江苏省南京物理竞赛讲义-5.3角动量例题
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
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“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考αsin p r L ⋅=点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量等于外力的冲量L ∆矩（M 为外力对参考点O 的力矩），即。
若t M ∆⋅t M L ∆⋅=∆M=0，得=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
L ∆1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M i ∆⋅∑。
同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。
t M L i ∆⋅=∆∑0=∑i M 如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守0=∑i M 恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
高中物理竞赛讲义-角动量
高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛课件：角动量定理习题课
的作一用个，质式量中为km为的常质数点，r， 为今从受某到一力定F点到kr质/ r点3
的矢径。该质点在 r r0 处被释放，由静止开
始运动，则当它到达无穷远时的速率
为
。
2k mr0
FN
m dv dt
mv 2 FN R
mv2 m dv m dv ds mv dv
R
，得
mv2
G
Mm 3R
Ek
1 2
mv2
G
Mm 6R
R 2R
(2)
EP
G
Mm 3R
如图，物体质量
m 2 kg，沿固定的四分之一圆
弧由A静止滑下，到达
B点时的速率 v 6 m s1
，求摩擦力作的功．
A R=4 m O
m=2 kg
Bv
不动 v=6 m·s-1
解法1 应用动能定理求
WG
WFf
WFN
1 mv2 2
0
WG mgR； WFN 0
WFf
1 mv2 mgR 44 J 2
解法2 应用功能原理求
WFf Ek2 Ep2 (Ek1 Ep1)
1 mv2 mgR 2
A R=4m O
m=2kg
Bv
不动 v=6m·s-
1
Ff
FN
G=mg
质点自某高度以初速 v水0 平抛出，已知落地时速率
解: （1）绳子拉力是有心力，故相对圆孔
的角动量守恒，有
L r0mv0 rmv
v r0v0 20m / s r
（2）由动能定理 ，有
dEk F • dr
Ek
1 mv
2L2
2 r
物理竞赛分类汇编 动量 能量 角动量(教师版)
竞赛题汇编5 动量 能量 角动量 质心系1、 角动量定理2、 角动量守恒定律3、 质心系①质心加速度②质心系中动量③质心系中动能 一、（23届）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
参考解答：1． 求刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度设刚碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，并设它们的方向都与0v 的方向相同．由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有0A C 3M M m =+v v v（1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有C D 02ml ml =+v v（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （3）因为杆是刚性杆，小球B 和D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有B C C D --v v =v v（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 C v =0（5）和C 0456MM m=+v v（6）因为C v 也是刚碰撞后由B 、C 、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A 、B 、D 三球的速度 A 05656M mM m -=+v v（7）B 01056M M m =+v v（8）D 0256MM m =-+v v（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B 、C 、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C 0456MM m=+v v 沿0v 方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为656B M l M m ω-==+C v v v l（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，下面就M 、m 取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i ）A 0v =，即碰撞后小球A 停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 560M m -=即65M m = （11）（ii ）A 0v <，即碰撞后小球A 反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65M m < （12）（iii ）A 0v >但A C <v v ，即碰撞后小球A 沿0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C 的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 560M m ->和m M M 654->即665m M m << （13）（iv ）A C >v v ，即碰撞后小球A 仍沿0v 方向运动，且其速度大于小球C 的速度，发生这种运动的条件是6M m >（14）（v ）A C =v v ，即碰撞后小球A 和小球C 以相同的速度一起沿0v 方向运动，发生这种运动的条件是6M m = （15）在这种情形下，由于小球B 、D 绕小球C 作圆周运动，当细杆转过180 时，小球D 将从小球A 的后面与小球A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿0v 方向运动．根据质心运动定理，C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是()056πππ6M m l l t Mω+===v v（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C 走过的路程C 2π3ld t ==v （17）3．求第二次碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为D v ，小球D 的速度为B v ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A 'v 、B 'v 、C 'v 和D 'v ，并假定它们的方向都与0v 的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0A C 3M M m ''=+v v v （18） CB 02ml ml ''=+v v （19）222220A B C D 11111+22222M M m m ''''=++v v mv v v（20）由杆的刚性条件有D C C B''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0'=v （22） 和C0456MM m'=+v v（23）对于由B 、C 、D 三小球组成的系统，在受到A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A 0'=v v（24）B 0'=v （25）D 0'=v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A 以速度0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B 、C 、D 则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld =，而且小球D 和B 换了位置．评分标准： 本题25分．二、（29届）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
高中物理竞赛讲义-角动量例题
角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
中学物理竞赛讲义角动量例题
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
大物竞赛讲义及典型例题--角动量及刚体2013
第四章一、知识点 1. 角动量：力对固定点的力矩 质点对固定点的角动量 质点的角动量定理角动量、刚体M = r ×FL = r × mvdp F= dtdL M= dtt2 t1∫Mdt = ΔLdLz Mz = dt∫t2t1Fdt = ΔpM z k = rxy × Fxy Lz k = rxy × pxy有心力质点对轴的角动量定理质点的角动量守恒定律 当 M = 0 时， L =常矢量dL 质点系的角动量定理 M 外 = dt•内力矩只改变各质点角动量的分配，不改变系统的总角动量 •外力矩之和≠合外力的力矩 例外：重力矩∑(r × m gk ) = (∑ m r ) × gk = r × (mgk )i i i i c质点系的角动量守恒定律 质点系的动量守恒定律M 外 = 0 ⇒ L = const.vectorF外 = 0 ⇒ P = const.vector两条守恒定律是相互独立的外力矩之和为零≠合外力为零M 外 = ∑ ri × Fi = 0 ⇔ F外 = ∑ Fi = 0质心参考系中的角动量问题 与质心系是否为惯性系无关2. 刚体力学：刚体：理想模型；大小和形状都始终保持不变 定轴转动的运动学描述： 各点在转动平面上作圆周运动，可用角量来描述 角坐标θ 角速度ω 角加速度βs = rΔθv = rωa t = rβa n = rω 2M: 对转轴的外力矩 刚体转动惯性的量度dω 定轴转动的转动定律 M = J β = J dt转动惯量J = ∑ mi ri 2J = ∫ r 2 dm1 rc = ∫ rdm rc = ∑ mi ri ∑ mi 质心位置矢量 m 平行轴定理 J = J C + md 2 垂直轴定理 J z = J x + J y定轴转动的功和能 • 力矩的功W = ∫ Mdθθ1θ21 2 1 • 刚体转动动能 Ek = Jω = 2 21 mi ri ω = ∑ miv i 2 ∑ 22 2组成刚体所有质点绕转轴作圆周运动的动能之和 • 定轴转动的动能定理 W 外 =1 1 2 M d θ = J ω 2 − J ω 12 ∫θ1 2 2 因刚体无形变，内力矩的功不影响刚体的转动动能hc : 重心的高度θ2• 刚体的重力势能 Ep = mghc• 机械能守恒定律 当W外 + W非保内 = 0 时， E = Ek + Ep = 常量 对含刚体的系统，若只有保守力矩作功，则系统机械能守恒定轴转动的角动量 • 刚体对转轴的角动量 L = Jω = ( 质点的动量p = mvmi ri2 )ω = ∑ mi rivi ∑质点系的动量定理• 对转轴的角动量定理 d(J ω ) = J β ←若J 不变 M= dt∫t2d(mv ) F= = ma dtt1Mdt = J 2ω2 − J1ω1∫t2t1Fdt = p2 − p1对J 可变化的质点系或非刚体，上式仍然成立 • 对转轴的角动量守恒定律 当M = 0时，Jω =const. 守恒条件：对轴的外力矩之和为零 J不变时→ω不变；J变大时→ω变小；J变小时→ω变大 刚体平面平行运动=刚体绕过质心的轴的转动+质心的平动质点的运动 速度 加速度 质量 力 运动规律 动量 角动量 动量定理刚体的定轴转动 角速度 角加速度 转动惯量 力矩 转动定律 动量 角动量v=dv d 2 r a= = 2 dt dtdr dtmdθ ω= dt dω d 2θ β= = 2 dt dt J = ∫ r 2 dmFMF = map = mvL=r×pM = Jβp = ∑ Δmiv iL = JωF=d(mv ) dt角动量定理 M =d( Jω ) dt质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动 动量守恒刚体的定轴转动 角动量守恒∑ F = 0时 ∑ m v = 恒量i i iM = 0时∑ Jω = 恒量Aab = ∫ Mdθθ1 θ2力的功 动能 动能定理 重力势能Aab = ∫ F ⋅ drab力矩的功 转动动能 动能定理 重力势能Ek = 1 mv 2 22 A = 1 mv 2 − 1 mv12 2 2Ek = 1 Jω 2 22 A = 1 Jω2 − 1 Jω12 2 2Ep = mghEp = mghC机械能守恒A外 + A非保内 = 0时Ek + Ep = 恒量机械能守恒A外 + A非保内 = 0时Ek + Ep = 恒量质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较(续)二、典型问题质点(系)的角动量 质心参考系中的角动量 转动惯量的计算 定义、补偿法、平行轴定理 定轴转动 平面平行运动 刚体的纯滚动牛顿定律、定轴转动定律 刚体动能定理、角动量定理 质心运动定理、定轴转动定律 纯滚动的动力学条件 f ≤μN★ 质点(系)的角动量例：证明行星在轨道上运动的总能量为其中M，m分别是太阳和行星的质量， r1，r2分别为行星近日点和远日点到太阳的距离。
江苏省南京市金陵中学高中物理竞赛《热学教程第四讲 动量 角动量和能量》教案
热学教程第四讲 动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的 “运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mvt F 0-=∆ y ty y mv mv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t -第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
物理竞赛之角动量
角动量1．一质量为m的粒子位于（x，y）处，速度v=v x e x+v y e y，并受到一个沿-x方向的力。
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
2．电子的质量为9.1×10-31kg，设其在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。
已知电子的角动量为h/2π（h为普朗克常量，h=6.63×10-34J·s），求其角速度。
3．一质量为m、长为l的均匀细棒，在光滑水平面上以v匀速运动，如图。
求某时刻棒对端点O的角动量。
4．在光滑的水平桌上，用一根长为l的绳子把一质量为m联结到一固定点O。
起初，绳子是松驰的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。
质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。
（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。
能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？5．一质量为m的物体，绕一空过光滑桌面上极小的圆孔的细绳旋转，如图。
开始时物体到中心的距离为r0，旋转角速度为ω0。
若在t=0时，开始以固定的速度v拉绳子，于是物体到中心的距离不断减小。
求（1）ω（t）；（2）拉绳子的力F；6．如图所示，两个质量很小的小球m与M，位于一很大的摩擦的半径为R的水平圆周轨道上，它们可在这轨道上自由运动。
现在将一弹簧压强在两球之间，但弹簧两端并不固定在m与M上，再用一根线将两个小球紧缚起来。
（1）如果这根线断了，则被压缩的弹簧（假设无质量）就将两球沿相反方向射出去，而弹簧本身仍留在原处。
问这两个球将在轨道上何处发生碰撞（用M所经过的角度θ表求）？（2）假设原先贮藏在被压缩的的弹簧中的势能为U0，问线断后经过多少时间发生碰撞？7．质量都是m的两个质点，中间用长为l的绳子连在一起，以角速度ω绕绳子的中点转动（设绳的质量可以略去不计）。
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义动量守恒定律碰撞
4。
5动量守恒定律 碰撞一、动量守恒定律（可类比机械能守恒定律）系统的合外力为0时，系统的总动量保持不变。
I Ft =二、正碰（对心碰撞）设两物体质量为m 1，m 2，碰前速度为v 10，v 20，碰后速度为v 1，v 21、假设碰撞过程中无能量损失（弹性碰撞），满足动量守恒定律和机械能守恒定律11022011222222110220112211112222m v m v m v m v m v m v m v m v +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得：12102201122120110212()2()2m m v m v v m m m m v m v v m m -+⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩几种特殊情况：（1）当两者质量相等时(m 1=m 2） ，两者交换速度 （2)当一个物体静止时（v 10≠0,v 20=0),解得1210112110212()2m m v v m m m v v m m -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩[1]若12mm <<（撞墙)，则v 1= —v 10，v 2=0［2］若12mm >>（改变参考系，撞墙）则v 1= v 10，v 2=2v 102、假设碰撞过程中有能量损失（非弹性碰撞）满足动量守恒定律，不满足机械能守恒定律根据动能损失的多少，定义恢复系数:211020v v e v v -=-恢复系数满足：01e ≤≤（1)当e =0时，完全非弹性碰撞，能量损失最大 （2）当0<e <1时,非弹性碰撞，损失部分能量 （3）当e =1时，完全弹性碰撞，无能量损失 根据动量守恒和e 的定义：1102201122211020m v m v m v m v v v e v v +=+⎧⎪-⎨=⎪-⎩解得：21020110121201022012()(1)()(1)m v v v v e m m m v v v v e m m -⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪+⎩能量损失为:222212102001211(1)()(1)22m m E e v v e u m m μ∆=--=-+质心动能不变,(1)相对动能减为0 e =0 （2）相对动能减为2212e u μ 0〈e <1（3)相对动能不变 e =1例1、在水平桌面上有一座可以自由地沿桌面滑动的“山"，一辆小车以速度v驶向这座“山”．小车质量为“山”质量的1/3．求当小车最高能爬到多高?例2、A 、B 、C 三球质量均为m ，可在水平面无摩擦滑动，AB 两球在一长为l 且不可伸长的绳子两端。
高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量
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14．如图所示，半径为 R、质量为 m0 的光滑均匀圆环，套在光滑竖直轴 OO′上，可沿 OO′ 轴滑动或旋转。圆环上串着两个质量均为 m 的小球。开始时让圆环以某一角速度绕 OO′ 轴转动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放。 （1）设开始时环绕 OO′ 轴转动的角速度为 ω0，在两小球从环顶下滑过程中，应满足什么 条件，圆环才能沿 OO′ 轴上滑？ （2）若小球下滑至 θ=30°时（θ 是过小球的圆环半径与 OO′ 轴的夹角）时，圆环就开始沿 OO′ 轴上滑，求开始时圆环绕 OO′ 轴转动的角速度 ω0、在 θ=30°时圆环绕 OO′ 轴转动的 角速度 ω 和小球相对于圆环滑动的速率 v。
【例题选讲】 1．如图所示，质量为 m 的小球自由落下，某时刻具有速度 v，此时小球与图中的 A、B、 C 三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与 A、C 点的距离分别为 l1、l2。试求： （1）小球所受重力相对 A、B、C 三点的力矩 M1、M2、M3； （2）小球相对 A、B、C 三点的角动量 L1、L2、L3。
P0′
ω0
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10．如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为 2l，两端和中心处分别固连着质量为 m 的 小球 B、D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A，以 一给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A、B、C、 D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
11．一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上。一小滑块在半球面 内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为 v0 ( v0 0 )。求滑块在整个运动过程中可 能达到的最大速率。重力加速度大小为g。 v0
角动量守恒定律在物理竞赛中应用
“角动量及角动量守恒定律的应用角动量（angular momentum) 在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量。
概念：转动物体的转动惯量(rotational inertia) 和角速度(angular velocity) 的乘积叫做它的角动量。
L = IωI 是转动惯量，ω（欧米伽）是角速度。
角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。
角动量是矢量。
L= r×p其中，r表示质点到旋转中心（轴心）的距离（可以理解为半径），L表示角动量。
p 表示动量。
角动量的方向：角动量是r（参考点到质点的距离矢量）叉乘动量，是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵循右手螺旋法，即右手四指指向r的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向就是角动量的方向。
在不受外力矩作用时，体系的角动量是守恒的。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
角动量是一种特殊的动量，它的大小取决于转动的速率和转动物体的质量分布。
角动量守恒定律（conservation of angular momentum,law of）物理学的普遍定律之一。
反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。
反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
例如一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。
因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律之一。
一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的角动量守恒。
如质点系受到的外力系对某一固定轴之矩的代数和为零，则质点系对该轴的角动量守恒。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量例题
“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值a sin p r L ×=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量L D 等于外力的冲量矩t M D ×（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L D ×=D 。
若M=0，得L D =0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定律质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t MiD ×å，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t ML iD ×=D å。
同样当0=åi M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。
时，质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，处于非惯性系中，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，只要把质点系的质心取作参考点，上上述结论仍成立。
述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零，即0=åiM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
江苏省南京物理竞赛讲义-第四、五章-能量动量角动量-单元测验
第四、五章 能量动量角动量 单元测验行政班___________ 姓名__________ 成绩_______寒假没上课的同学，可以不进行本次测验（题5、6为角动量，可做），自己复习竞赛讲义或自学黑白皮相关内容。
1、（5分）光滑水平面上静止放置一个质量为M ，半径为R 的薄球壳，一个质量为m ，半径为r 的小球从如图1位置开始由静止滑动，最后滚到底部，此过程中，球壳的位移为__________________2、（10分）一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻绳连接的A 、B 两球，悬挂在圆柱面边缘两则，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱面内边缘由静止释放，若不计一切摩擦，求A 球沿圆柱面滑至最低点时速度的大小?3、（10分）如图所示．质量分别为m 1、m 2的两个小球系在长为l 的不可伸长的轻绳两端，放置在光滑水平桌面上，初始时绳是拉直的．在桌面上另有一质量为m 3的光滑小球，以垂直于绳的速度u 与小球m 1对心正碰，若恢复系数为e ，求碰后瞬时绳中的张力．4、（10分）一根均匀柔软绳长为l 、质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上．其中一端突然从钉子上脱落，求下落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多少?5、（10分）如图所示，两个物体的质量分别为m 1和m 2,滑轮的质量不能忽略，其转动惯量为J ，半径为R,m 2与桌面间的动摩擦因数为 ，滑轮转轴光滑，绳与滑轮间无滑动。
求系统的加速度a 及竖直绳子的拉力T 1和水平绳子的拉力T 2。
6、（10分）如图所示，一根L=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂。
现有一质量m=8g 的子弹以v=200m/s 的速度从A 点水平射入棒内，A 点离O 点的距离为3L/4。
求：（1）棒开始转动时的角速度。
（2）棒的最大偏角。
（3）若子弹射入的方向与棒的夹角α=30︒，棒开始转动时的角速度。
高中物理竞赛角动量.docx
角动量定理角动量守恒习题我国第- •颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点•己知地球半径R=6378 km,卫星与地|fli的最近距离/|=439 km, 与地Ifli的最远距离Z2=2384 km・若卫星在近地点A\的速度“=&1 km's,则卫星在远地点的速度3= .1.如本题图，一质量为m的质点B由降落，在某时刻具有速度V。
此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d ［、d?、d?。
求（1）质点对三个点的角动量；（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。
2.两个质量都是m的滑雪者，在冰场两条相距为Lo的平直跑道上均以速度Vo迎而匀速滑行, 当两者之间的距离等于5时，分别抓住一根长为Lo的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向口己一边拉绳了，知道二者和距L （小于Lo）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。
3.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，O我们可将它逐渐拉短。
设摆长为厶时摆锤的线速度为"且与竖直方向的夹角为环、、摆长拉倒厶时，与竖直方向的夹角为&2,求摆锤的速度冬为多少4.在光滑的水平面上市一根原长Lo=0.6m,劲度系数k=8N/m的弹性细，绳的一端系着一个质量m=0.2kg 的小球B,另一端固定在水平而上的A点.最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度,AB的间距d=().4m。
如图所示，在以后的运动中当小球B的速率为v吋，它与A点的距离最大，且弹性绳长L=0.8m,求B的速率v及初速率v()5.在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质最为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求：1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，其初速度V。
为多少？2、若初速度V L2V(),求小球在运动过程中的最人髙度和最小高度。
6.小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌而上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为L,不可仲长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A, B的间距为L/2,A,B间的连线与小槽垂直, 今给滑块A—冲击，使其获得平行于槽的速度V。
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5.3角动量例题
例1、在一根长为3l 的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l ，再在杆
的两端以及距另一端为l 处各固定一个质量为M 的小球。
然后通过此孔
将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O 上。
开始时，轻杆静止，一质量为m
的铅粒以v 0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大
高度。
例2、质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平
光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．
例3、两个质量均为m 的质点，用一根长为2L 的轻杆相连。
两质点
以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O 与杆的夹角为θ。
试求
以O 为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于
桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m ，并用长为L 、不
可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A 、B 之间的距离
为L/2， A 、B 间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A 一个冲击，使其获得平行与槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度
例5、有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 例6、一质量为M a ，半径为a 的圆筒A ，被另一质量为M b ，半
径为b 的圆筒B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A
的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有
一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD
的中点B处用一细线悬于天花板A点。
突然剪断DF，求剪
断后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？。