4_4矩阵的秩
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奇异矩阵为降秩矩阵.
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1 1 0 2 例如：矩阵 A 0 0 0 0 a1 (1,1, 3,1), a2
3 1 1 4 的行向量组是 0 5 0 0 (0, 2, -1, 4),
a3 (0, 0, 0, 5), a4 (0, 0, 0, 0) 可以证明 1 , 2 , 3 是A的行向量组的一个极大无关组.
式的最高阶数.
对于AT， 显然有R( AT ) R( A).
定义3 矩阵的行向量组的秩，称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，称为矩阵的列秩。
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0,
A 的最高阶非零子式为 A , R( A) n, 故A的标准形为单位阵E ,A E .
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
则BX 0一定有非零解， 由于AX 0与BX 0是同解方程组， 所以AX 0也有非零解。
这与前面的结论矛盾，所以t n.
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Ai1 在A中可以找出一个n阶子式 M 0， Ain
而且它为阶数最高的子式，所以A的秩为n。
定理１ 矩阵的行秩、列秩、秩都相等。 证明 如果A＝0，则结论显然成立。
其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
Page 8
1 7 例３ 求矩阵A 2 6 的秩、行秩与列秩。 3 1 1 7 解：A的二阶子式d 0， 2 6
Page 5
可以验证1 , 2 , 4 线性无关，
7 1 而 3 1 2 0 4 2 2 所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1 , 2 , 4
所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。
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x1α1 x2 α 2 L xn αn 0
x1a11 x 2 a12 L xn a1n 0 x1a 21 x 2 a 22 L xn a 2n 0 或 L x1as1 x 2 as2 L xn asn 0
而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关，
1 , 2 , 3 , 4 线性相关。 所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是
1 1 3 1 0 2 1 4 1 , 2 , 3 , 4 0 0 0 5 0 0 0 0
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例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
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3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
A没有三阶子式，故rA 2 ；
1 7 又 0, , 线性无关， 2 6 2 6 添加分量得A的两个列向量线性无关，A的列秩＝２。 1 7
A的1,2行线性无关，三个2维行向量线性相关，
A的行秩 = 2，于是rA A的行秩 A的列秩 2 。 Page 9
二、矩阵秩的求法
引理
设矩阵A aij
s n
的列秩等于A的列数n，
则A的行秩、秩都等于n。
证明：对A进行列分块和行分块。
A1 A 2 A α1 ,α 2 , L ,α n ,A , M As
由于A的列秩＝n, A的列向量线性无关，即
只有零解，也就是方程个数s n . 因为任意n 1个n维向量线性相关，故A的行秩t n.
若t n，则A的行向量可由行极大无关组 Ai1 , Ai2 , L , Ait 线性表出，
则A可以通过一系列的初等行变换变化为
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Ai1 M B ， Ait 0 ( s t ) n
§４.4 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
二、矩阵秩的求法 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
三、矩阵与向量组秩的关系 四、小结
4
1
2
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在m n矩阵A中任取k 行k列（k m , k n）,
位于这些行列交叉处的个k 2 元素, 不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的 k阶子式.
当A 0时，设rA r , A的列秩为p.由于A的秩为r ,
根据定义A中一定有一个非零r阶子式
因为，由 k11 k2 2 k3 3 0 即
k1 (1,1,3,1) k2 (0,2, 1,4) k3 (0,0,0,5) ( k1 , k1 来自百度文库k2 ,3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
Page 4
可知 k1 k2 k3 0, 即 1 , 2 , 3 线性无关；
注： m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 个.
k m k n
定义2
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，
且所有r 1阶子式（如果存在的话）全等于0， 那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩 阵A的秩，记作R( A).并规定零矩阵的秩等于零.
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注： m n 矩阵A的秩R( A)是A中不等于零的子
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1 1 0 2 例如：矩阵 A 0 0 0 0 a1 (1,1, 3,1), a2
3 1 1 4 的行向量组是 0 5 0 0 (0, 2, -1, 4),
a3 (0, 0, 0, 5), a4 (0, 0, 0, 0) 可以证明 1 , 2 , 3 是A的行向量组的一个极大无关组.
式的最高阶数.
对于AT， 显然有R( AT ) R( A).
定义3 矩阵的行向量组的秩，称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，称为矩阵的列秩。
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0,
A 的最高阶非零子式为 A , R( A) n, 故A的标准形为单位阵E ,A E .
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
则BX 0一定有非零解， 由于AX 0与BX 0是同解方程组， 所以AX 0也有非零解。
这与前面的结论矛盾，所以t n.
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Ai1 在A中可以找出一个n阶子式 M 0， Ain
而且它为阶数最高的子式，所以A的秩为n。
定理１ 矩阵的行秩、列秩、秩都相等。 证明 如果A＝0，则结论显然成立。
其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
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1 7 例３ 求矩阵A 2 6 的秩、行秩与列秩。 3 1 1 7 解：A的二阶子式d 0， 2 6
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可以验证1 , 2 , 4 线性无关，
7 1 而 3 1 2 0 4 2 2 所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1 , 2 , 4
所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。
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x1α1 x2 α 2 L xn αn 0
x1a11 x 2 a12 L xn a1n 0 x1a 21 x 2 a 22 L xn a 2n 0 或 L x1as1 x 2 as2 L xn asn 0
而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关，
1 , 2 , 3 , 4 线性相关。 所以向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是
1 1 3 1 0 2 1 4 1 , 2 , 3 , 4 0 0 0 5 0 0 0 0
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例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
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3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
A没有三阶子式，故rA 2 ；
1 7 又 0, , 线性无关， 2 6 2 6 添加分量得A的两个列向量线性无关，A的列秩＝２。 1 7
A的1,2行线性无关，三个2维行向量线性相关，
A的行秩 = 2，于是rA A的行秩 A的列秩 2 。 Page 9
二、矩阵秩的求法
引理
设矩阵A aij
s n
的列秩等于A的列数n，
则A的行秩、秩都等于n。
证明：对A进行列分块和行分块。
A1 A 2 A α1 ,α 2 , L ,α n ,A , M As
由于A的列秩＝n, A的列向量线性无关，即
只有零解，也就是方程个数s n . 因为任意n 1个n维向量线性相关，故A的行秩t n.
若t n，则A的行向量可由行极大无关组 Ai1 , Ai2 , L , Ait 线性表出，
则A可以通过一系列的初等行变换变化为
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Ai1 M B ， Ait 0 ( s t ) n
§４.4 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
二、矩阵秩的求法 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
三、矩阵与向量组秩的关系 四、小结
4
1
2
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在m n矩阵A中任取k 行k列（k m , k n）,
位于这些行列交叉处的个k 2 元素, 不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的 k阶子式.
当A 0时，设rA r , A的列秩为p.由于A的秩为r ,
根据定义A中一定有一个非零r阶子式
因为，由 k11 k2 2 k3 3 0 即
k1 (1,1,3,1) k2 (0,2, 1,4) k3 (0,0,0,5) ( k1 , k1 来自百度文库k2 ,3k1 k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
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可知 k1 k2 k3 0, 即 1 , 2 , 3 线性无关；
注： m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 个.
k m k n
定义2
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，
且所有r 1阶子式（如果存在的话）全等于0， 那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩 阵A的秩，记作R( A).并规定零矩阵的秩等于零.
Page 2
注： m n 矩阵A的秩R( A)是A中不等于零的子