山东省东营市高考数学一轮专题：第11讲 函数与方程
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数的概念及运算课
• (3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为 5_x－__y_－__4__2_＝__0_或__5_x_－__y_＋_4__2_＝__0_________.
• [分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得； • (2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5. • [解析] f′(x)＝3x2－1. • (1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2. • ∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
④y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′ ＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x) ＝(3－x2)e2－x. ⑤y′＝[ln2x＋3]′x2＋x12＋－1ln22x＋3x2＋1′ ＝2x2＋x＋33′·x2x＋2＋11－2 2xln2x＋3 ＝2x2＋12－x＋2x32xx＋2＋31ln22x＋3.
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 y′＝ fx＋Δx－fx
f′(x)＝___Δ_lix_m→_0_____Δ_x________.
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝___0___(C 为常数)；(2)(xn)′＝_____n_x_n_－_1_____(n∈Q*)
• 3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝( C )
• A．e
B．1
• C．－1 D．－e
• [解析] f′(x)＝2f′(1)＋ln x＋1，
• 当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，
• ∴f′(1)＝－1，故选C．
• 题组三 考题再现 • 4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为
高三数学一轮复习基础巩固课件：第11讲 函数与方程
②若_f_(_a_)_·f_(_c_)<__0_，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
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第11讲 函数与方程
双
向
固 基
③若__f_(_c)_·_f_(b_)_<_0__，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
础
第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零
否则结论不一定成立．
②当f(a)·f(b)＜0时，在区间(a，b)内至少有一个零点
(也可能存在多个)．
(2)图像法：若一个函数求解．如f(x)＝g(x)－h(x)，
画出y＝g(x)和y＝h(x)的图像，其交点即为函数f(x)的零
点．
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第11讲 函数与方程
(a，b)内没有零点．( )
(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，
且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零
点．( )
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第11讲 函数与方程
双
向 固
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
基 础
[解析] (1)函数的零点不是函数图像与x轴的交点，而是
变式题 (1)[2013·重庆名校联考] 函数 f(x)＝ln x－1x的
一个零点所在的区间是( )
点 面
A．(－1，1)
B．(1，2)
讲
C．(2，e)
D．(0，e)
考 向
(2)若 x0 是方程 x＋lg x＝2 的解，则 x0 属于区间( )
A．(0，1)
B．(1，1.25)
C．(1.25，1.75)
2021高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第11讲 函数与方程(50张PPT) .ppt
)
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第11讲 函数与方程
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√
础
[解析] (1)根据二分法的具体方法可知是无限逼近的
数学思想方法．(2)根据对分区间的方法可知，进行 n 次对
分后，区间的长度是b－2n a，区间内任意一个数值作为方程
的近似解，这个数值与方程的精确解的误差都不超过b－2n a.
向
固 基
[答案] (1)√ (2)× (3)√
础
[解析] (1)数形结合知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
存在一个正零点、一个负零点的充要条件是 af(0)<0，即 ac<0.(2)数形结合知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两
个 零 点 分 别 在 区 间 (m ， n) ， (n ， p) 内 的 充 要 条 件 是
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第11讲 函数与方程
双 向 固 基 础
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第11讲 函数与方程
双 向
2.二分法求方程的近似解
固
方 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不
基 础
法 断把函数 f(x)的零点所在的区间一__分___为__二_，使区间的两个端点逐步
逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法
在零点，再根据单调性可得零点唯一．(3)函数的零点是函
数图像与 x 轴交点的横坐标．
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第11讲 函数与方程
双
向 固 基
2．二次函数的零点 (1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零
础 点、一个负零点的充要条件是 ac<0.( )
高考数学(山东新高考版)一轮复习课件：2.8函数与方程
x
令 g(x)=|log0.5x|,h(x)=
1
2
1
2
.
,画出 g(x),h(x)的图象如图所示.
因为两个函数的图象有两个交点,所以 f(x)有两个零点.
第八单元
考点一
考点1
考点2
考点二
-15-
核心素养专项提升
考点3
(2)对任意实数 x,都有 f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x),由于 f(x)
零点个数
(x1,0),(x2,0)
2
(x1,0)
1
无交点
0
3.二分法
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 ,通过
不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区间的两个
端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
-3-
第八单元
考点一
知识梳理
(2)由 f + =-f(x),可得 f x+2 + 2 =-f + =f(x),即 f(x+π)=f(x),
2
2
故函数 f(x)的周期为 π,作出函数 y=f(x)与 y=lg|x|的图象.
由图可知当x>0时,有5个交点,又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
∴函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10个.故选B.
数y=f(x)有 零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
连续不断的
f(a)·f(b)<0
f(x0)=0
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业11函数与方程课件
5．方程 4x2＋(m－2)x＋m－5＝0 的一根在区间(－1,0)内，另 一根在区间(0,2)内，则 m 的取值范围是( B )
A.53，5 C.－∞，53∪(5，＋∞)
B.－73，5 D.－∞，53
解析：设 f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5， ∵方程 4x2＋(m－2)x＋m－5＝0 的一根在区间(－1,0)内，另 一根在区间(0,2)内，
若
x1<x2<x3<x4，且 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是
( BCD )
A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1<x4<2
D．0<x1x2x3x4<1
解析：画出函数 f(x)的大致图象如图，得出 x1＋x2＝－2，－ log2x3＝log2x4，则 x3x4＝1，故 A 错误，B 正确；由图可知 1<x4<2， 故 C 正确；因为－2<x1<－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－x21－2x1＝－ (x1＋1)2＋1∈(0,1)，所以 x1x2x3x4＝x1x2∈(0,1)，故 D 正确．则结 论正确的是 BCD，故选 BCD.
14．已知函数 f(x)＝e4xx，3－x<60x2，＋1，x≥0， 其中 e 为自然对
数的底数，则函数 g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3 的零点个数为( B )
备考2020年高考数学一轮专题：第11讲 函数与方程
备考2020年高考数学一轮专题：第11讲函数与方程一、单选题（共12题；共24分）1. ( 2分) 函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. ( 2分) 函数的零点所在区间是( )A. B. C. D.3. ( 2分) 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )A. B. C. D.4. ( 2分) 设a是方程2ln x－3＝－x的解，则a在下列哪个区间内( )A. (0,1)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)5. ( 2分) 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6. ( 2分) 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度为)，则最少需要将区间等分的次数为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. ( 2分) 设函数f（x）=2a x﹣b x，其中b≥2a＞0，则f（x）的零点所在区间为（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，2）D. [1，2）8. ( 2分) 设f（x）= ，则函数y=f（f（x））的零点之和为（）A. 0B. 1C. 2D. 49. ( 2分) 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A. （1，1.25）B. （1.25，1.5）C. （1.5，2）D. 不能确定10. ( 2分) 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.11. ( 2分) 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A. f（x0）=0B. f（x0）＞0C. f（x0）＜0D. f（x0）的符号不确定12. ( 2分) 方程有解，则a的最小值为（）A. 2B.C. 1D.二、填空题（共4题；共4分）13. ( 1分) 设函数f（x）= ，若f（α）=5，则实数α的值为________．14. ( 1分) 若函数f（x）=2x+x﹣7在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点，则k的值等于________．15. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+x﹣5，那么方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），则n=________．16. ( 1分) 已知函数f（x）=2x+ x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=________．三、解答题（共6题；共55分）17. ( 5分) 关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．18. ( 5分) 已知函数．（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．19. ( 10分) 已知函数.（1）证明有且只有一个零点；（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.20. ( 10分) 设函数f（x）=ax2+bx+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．21. ( 10分) 已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）若a=1，求当x∈[﹣3，0]时，函数f（x）的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=0有实数根，求实数a的取值范围．22. ( 15分) 已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】二分法的定义【解析】【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，故答案为：B【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点。
通用版高考数学一轮复习2.11函数与方程讲义文
第十一节函数与方程一、基础知识批注——理解深一点1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(二)选一选1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)内有零点．2．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 由x －2>0，得x >2，所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以当f (x )＝0，即(x －1)ln(x －2)＝0时，解得x ＝1(舍去)或x ＝3.3．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0，故函数f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)．(三)填一填4．已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋m，x ≥2，2x，x <2的一个零点，则f [f (4)]的值是________．解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，∴m ＝－1，∴f [f (4)]＝f (log 23)＝232log ＝3.答案：35．若函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.所以函数f (x )是单调函数，要满足题意，只需f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1)·(1－a )<0，所以(a －1)·(3a －1)<0，解得13<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1考点一 函数零点个数、所在区间[典例] (1)(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 [解析] (1)解方程法令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2. (2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点． 法二：定理法当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．[答案] (1)C (2)D[解题技法] 掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[题组训练]1.[定理法]函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．2.[解方程法或图象法]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0解析：选B 法一：(解方程法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．3.[图象法]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．考点二 函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意． 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． [答案] C考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围[典例] (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x－2x－a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵函数f (x )＝4x－2x－a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x－2x－a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，∵x ∈[－1,1]，∴2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2[解题技法]1．利用函数零点求参数范围的3种方法[题组训练]1．(2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－94∪[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－94∪(－2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－94∪(－2，＋∞)解析：选C 方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－94∪(－2，＋∞)．[课时跟踪检测]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·重庆一中期中)函数f (x )＝e x＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为(1,2)．4．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：选C 由题意知，f (－1)·f (1)＜0， 即(1－a )(1＋a )＜0，解得a ＜－1或a ＞1.5．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 因为a ＞1,0＜b ＜1，所以f (x )＝a x＋x －b 在R 上是单调增函数，所以f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知，f (x )在区间(－1,0)上存在零点．6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A 由题意知f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点的存在性定理可知函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．7．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.8．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.9．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－1210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－111．(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －f ，f f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 12．已知方程2x＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10)13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解， 即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1,1)．。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．(×)(2)连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )<0.(×)(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．(√) 教材改编题1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0C.14D ．0或－14答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1，故f (x )只有一个零点为－1.当a ≠0时，则Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14. 综上有a ＝0或－14.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________． 答案－2，e解析⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案(3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ，∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6，∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3>0，故f (x )在(2,3)上有唯一零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )() A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案D解析f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点． 又f (e)＝e 3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18解析由函数y ＝f (x )的性质，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，再作出函数y ＝|lg x |的图象，由图可知，y ＝f (x )与y ＝|lg x |共有10个交点，故原函数有10个零点．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．题型三 函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x )，x <0，x ＋2x，x >0，若关于x 的方程f (x )－m －1＝0恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，22]B ．(－∞，22－1)C ．(22－1，＋∞)D ．(22，＋∞)答案C解析恰有三个不同的实数解等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点． 作出f (x )的图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点时有m ＋1>22， 解得m >22－1，所以实数m 的取值范围为(22－1，＋∞)．命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax x .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 答案B解析由f (x )＝3x－1＋ax x ＝0， 可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x－1x >0， 所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________． 答案－1 解析由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ， 函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0. 即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根． 显然k ≠0，即1k ＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k >－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k ＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 无交点，不满足条件．2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R )有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 4，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22，＋∞ 答案C解析令f (x )＝e x －ax 2＝0，显然x ≠0，∴a ＝e xx 2，令g (x )＝e x x 2(x ≠0)，则问题转化为“若y ＝a 的图象与y ＝g (x )的图象有三个交点，求a 的取值范围”．∵g ′(x )＝(x －2)e xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝2，∴当x <0或x >2时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当0<x <2时，g ′(x )<0，g (x )在(0,2)上单调递减，g (x )在x ＝2处取极小值g (2)＝e 24，作出y ＝g (x )的简图，由图可知，要使直线y ＝a 与曲线g (x )＝e x x 2有三个交点，则a >e 24，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞. (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧ m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0. 课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点所在的区间为() A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3 答案A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1－1，x <2，log 3x 2－13，x ≥2，则f (x )的零点为()A ．1,2B ．1，－2C ．2，－2D ．1,2，－2答案A解析当x <2时，令f (x )＝e x －1－1＝0，即e x －1＝1，解得x ＝1，满足x <2；当x ≥2时，令f (x )＝log 3x 2－13＝0，则x 2－13＝1，即x 2＝4，得x ＝－2(舍)或x ＝2.因此，函数y ＝f (x )的零点为1,2.4．若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案C解析由条件可知f (1)·f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为() A ．[－3,0) B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案A解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．6．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案B解析f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数不可能是()A ．1B ．2C ．4D ．6答案D解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2B．3C．4D．多于4答案C解析f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.答案x 3－x (答案不唯一)解析f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案(1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e 解析∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2， f (x )＝ln x (x >1)，f ′(x )＝1x ，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e .则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1e . 12．(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1的零点分别为a ，b ，则a ＋b ＝________.答案－1解析由已知得y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ， 又y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为－12，故a ＋b ＝－1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为()A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案12解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝1 2；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________．(填序号)①f(x)＝2x＋x；②g(x)＝x2－x－3；③f(x)＝12x＋1；④f(x)＝|log2x|－1.答案②③④解析对于①，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故①中函数不是“不动点”函数；对于②，若g(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故②中函数是“不动点”函数；对于③，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故③中函数是“不动点”函数；对于④，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故④中函数是“不动点”函数．16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e ，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。
高考数学一轮复习课时作业11函数与方程课件理高三全册数学课件
2021/12/13
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8．若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2 和 3，则不等式 af(－2x)>0 的解集是 x|－32<x<1 .
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解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2,3 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根， 由根与系数的关系知－－22＋×33＝＝－b. a， ∴ab＝＝－－16，， ∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式 af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0， 解集为x|－32<x<1.
2021/12/13
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二、填空题
7．已知 f(x)＝x－＋x32＋，2xx≤＋13，，x>1， 则函数 g(x)＝f(x)－ex 的 零点个数为 2 .
解析：函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数即为函数 y＝f(x)与 y＝ ex 的图象的交点个数．作出函数图象可知有 2 个交点，即函数 g(x) ＝f(x)－ex 有 2 个零点．
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10．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 015x ＋log2 015x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为 3 .
解析：因为函数 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝2 015x＋log2 015x 在区间 0，2 0115内存在一个零点，又 f(x)为增函数， 因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点． 根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3.
2019届高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用第11讲函数与方程课件理
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函数零点的 利用函数零点求解函数、不 应用 等式的问题
★★☆
教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2017· 全国卷Ⅲ] 已知函数 f(x)=x -2x+a(e +e a= ( A.- 2 C.2
1 1
2 x-1 -x+1
[答案]
C
2 x-1 -x+1
)有唯一零点,则
[解析] ∵f(x)=x -2x+a(e +e
2 2-x-1
),∴
2
) B.3 D.1
1
f(2-x)=(2-x) -2(2-x)+a(e +e )=x -4x+4 1-x x-1 2 x-1 -x+1 -4+2x+a(e +e )=x -2x+a(e +e ),∴ f(2-x)=f(x),即直线 x=1 为 f(x)的图像的对称轴. 由题意,f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为 x=1,∴f(1)=1 -2×1+a(e +e
函数与方程
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第11讲 PART 2
考试说明
结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存
(山东专用)高考数学一轮复习专题11函数与方程其应用(含解析)
专题11函数与方程及其应用一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：关于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只好判断函数在某个区间上的变号零点，而不可以判断函数的不变号零点，并且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不用要条件.3．二分法的定义关于在区间[ ，]上连续不停且f () (b)<0的函数y＝(x)，经过不停地把函数f( )的零点所在的区间一ab af f x 分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获取零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不停的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不停的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．(3)连续不停的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间1 x－2例 3 的图象的交点为(x，y )，若x∈(n，n＋1)，n∈N，则x 所在的区间是1.(1)设函数y＝x0 0 0 0________.1(2) 设函数f(x)＝3x－ln x，则函数y＝f(x)( )1A．在区间e，1，(1，e)内均有零点1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点1C．在区间e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点1，1内无零点，在区间 (1，e)内有零点D ．在区间e 【答案】(1)C(2)Dx －2x －2【分析】(1)31，则x 是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数31设f (x )＝x －2的图象以下列图.1 －1因为f (1)＝1－2 ＝－1<0，1f (2)＝8－2＝7>0，所以f (1)f (2)<0，所以x 0∈(1，2). (2) 法一：图象法令 ( )＝0得 1 ＝ln ．作出函数 1 和 ＝ln的图象，如图，f x 3xx y ＝ y x3x1，1内无零点，在(1 ，e)内有零点．明显y ＝f (x )在e法二：定理法当 x ∈ 1 时，函数图象是连续的，且1 1 x －3f ( x )在 1 ，e′()＝－＝<0，所以函数，e 上单调递减．e x3xe31 1 11又f e ＝3e ＋1>0，f (1)＝3>0，f (e)＝3e －1<0，所以函数有独一的零点在区间(1，e)内．【解法小结】 掌握判断函数零点个数的 3种方法(1) 解方程法若对应方程f (x )＝0可解，经过解方程，即可判断函数能否有零点，此中方程有几个解就对应有几个零点． (2) 定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但一定结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 才能确立函数的零点个数．(3)数形结合法合理转变成两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其能否有交点，若有交点，此中交点的个数，就是函数零点的个数．考点二函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围例2.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e x，x≤0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a ln x，x>0，的取值范围是( )A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)【答案】C【分析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的表示图，以下列图．若g(x)存在2 个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2 个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不吻合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，吻合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围例3.(2019·安庆摸底)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1] 有零点，则实数a的取值范围是________．【答案】1 －，2 4【分析】∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1] 上有解，x x即方程a＝4 －2在[－1,1]上有解．x x x 12 1方程a＝4－2 可变形为a＝2 －2 －4，∵ x ∈[－1,1]，∴2x∈1，2，2x 1 211 ∴2－2 －4∈－4，2.1 ∴实数a 的取值范围是－，2.4x －4，x ≥λ，例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x <λ.(1)当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.(2) 若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 【答案】(1)(1 ，4)(2)(1，3]∪(4，＋∞)【分析】(1)若λ＝2，当 x ≥2时，令 x －4<0，得2≤ x <4；当 x <2时，令x 2－4 x ＋3<0，解得1< <2.综x上可知，1<x <4，所以不等式f(x )<0的解集为(1，4).(2) 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4，当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 【解法小结】 1．利用函数零点求参数范围的3种方法直接法 直接依据题设条件成立关于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围 分别参分别参数(＝( ))后，将原问题转变成＝()的值域(最值)问题或转变成直线agxygx数法 y ＝a 与y ＝g (x )的图象的交点个数问题(精选分别、次选分类)求解数形结先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，而后数形结合求解合法2. 利用函数零点求参数范围的步骤三、【名校新题】1.(2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x－2－ a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是x()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】Cx2x2【分析】因为函数f (x )＝2－x －a 在区间(1,2) 上单调递加，又函数f (x )＝2 －x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0， 即( －3)<0，解得0<<3.aaax2－2，≤0，xx2.(2019·岳阳二模)已知函数f (x )＝1则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是()1＋x ，x >0，A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是 y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，以下列图，由函数的图象可知，零点个数为 2.3.(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝e x －a ，x ≤0，(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则2 x －，>0ax实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]【答案】A【分析】画出函数f(x)的大体图象以下列图．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0 时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.4.(2019·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )1 1 7 3A.4B.8C.－8D.－8【答案】C【分析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则＝1－8(1＋λ)＝0，解得7λ＝－8.x5.已知函数f(x)＝2＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点挨次为a，b，c，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】A【分析】令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.明显a<b<c.6.(2018·济南月考)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(1 ，＋∞)C.(－∞，1]D.[1 ，＋∞)【答案】B【分析】因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即＝4－4a<0，由此可得a>1.ln（x＋1）（x≥0），7.(2019·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝3－3 （<0），若函数y＝f(x)－k有三个不一样的零x x x点，则实数 k 的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【分析】 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递加，在(－1，0)上单调递减. 又f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递加. 则函数f (x )图象以下列图.f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0，故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不一样零点.8.(2019·永州模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( )A.(5，6)B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10) 【答案】A【分析】因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， ∴ f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， ∴实数a 所在的区间为(5，6).9.(2018·郑州一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2.令 g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是()A.(0，＋∞)B. 0，1211 1C. 0，D. ，344 【答案】C【分析】令g (x )＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，由f (x )的周期性，作出y ＝f (x )在[－1，3]上的图象以下列图.1设直线 y ＝k 1(x ＋1)经过点 (3，1)，则k 1＝4.1∵直线 y ＝k (x ＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y ＝k (x ＋1)与 y ＝f (x )的图象有4个交点，∴0<k ≤4.10.(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________． 11 【答案】 4，2m ≠2，【分析】依题意并结合函数f (x )的图象可知，f － f ，ff，≠2，m即[m －2－m ＋m ＋m ＋ ，[－2＋＋＋－＋2＋ ＋ ，mmm mmm11解得4<m <2.|lg x |，x >0，211.已知f (x )＝ 2|x|，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]－3f (x )＋1 的零点个数是________.【答案】521【分析】由2[f (x )]－3f (x ) ＋1＝0得f (x )＝2或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象.1由图象知y ＝2与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点.所以函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1 的零点有5 个.12. (2019·西安调研)方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围是________. 【答案】 [5，10)【分析】令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数.当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0，即 (5－k )(10－k )<0，解得5<k <10.又当f (1)＝0时， ＝5.则方程 2x ＋3＝k 的解在[1，2)内， k 的取值范围是[5，10).kx13.（2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________【答案】【分析】当时，易知x=0不是方程的解，故m=-x在上是减函数，故m即m 时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当x时，令得故,即当 时，方程 f(x)=0 在x上有且只有一个解，综上，若 f(x)在区间 上有且只有2 个零点，则实数 m 的取值范围是14.(2019 ·邯郸模拟)若曲线y ＝log 2(2x －)(x >2)上最少存在一点与直线y ＝＋1上的一点关于原点对称，mx则m 的取值范围为________. 【答案】(2，4]【分析】 因为直线y ＝x ＋1关于原点对称的直线为 y ＝x －1，依题意方程log 2(2x －m )＝x －1在(2，＋∞)上有解，即＝2x －1 在 x ∈(2，＋∞)上有解，∴>2.mmxx又2－m >0恒成立，则m ≤(2)min ＝4，。
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山东省东营市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）函数f（x）=lgx﹣的下列函数中不能用二分法求零点的是（）
A . （0，1]
B . （1，10]
C . （10，100]
D . （100，+∞）
2. （2分） (2019高一上·大名月考) 函数f(x)＝3x＋ x－2的零点所在的一个区间是（）
A . (－2，－1)
B . (－1,0)
C . (0,1)
D . (1,2)
3. （2分）如图是函数的部分图像，函数的零点所在的区间是
，则k的值为（）
A . -1或0
B . 1
C . -1或1
D . 0或1
4. （2分） (2016高一上·大名期中) 函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）
A . （1，2）
B . （2，3）
C . （3，4）
D . （5，6）
5. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 设 =（1，﹣2）， =（a，﹣1）， =（﹣b，0）（a＞0，b ＞0，O为坐标原点），若A、B、C三点共线，则的最小值是（）
A . 4
B .
C . 8
D . 9
6. （2分） (2018高一上·珠海期末) 某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为（）
A . 0.1
B . 0.01
C . 0.001
D . 0.0001
7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（）
A . 越大，零点的精确度越高
B . 越大，零点的精确度越低
C . 重复计算次数就是
D . 重复计算次数与无关
8. （2分） (2016高一下·西安期中) y=sinx，x∈[﹣π，2π]的图象与直线y=﹣的交点的个数为（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
9. （2分）函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在所在区间是（）
A . [－2,1]
B . [， 4]
C . [1，]
D . []
10. （2分）已知函数在上两个零点，则m的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前nn项的和,则＝（）
A . 45
B . 55
C .
D .
12. （2分） (2020高三上·海淀期末) 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足 . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）
A . 倍
B . 倍
C . 倍
D . 倍
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2019·黑龙江模拟) 已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是________．
14. （1分） (2017高一上·温州期中) 函数的零点个数是________；其所有零点之和为________．
15. （1分） (2016高二下·福建期末) 函数f（x）=log3x﹣的零点所在的区间是（n，n+1）（n∈N*）则n=________
16. （1分）设f（x）=|lg（x﹣1）|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分）已知函数
（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）=0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内．
18. （5分）利用计算器，求方程的近似解(精确度 )．
19. （10分）若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
20. （10分） (2016高三上·长春期中) 已知函数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2．21. （10分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+3．
（1）试证明函数f（x）是偶函数；
（2）画出f（x）的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹）
（3）请根据图象指出函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x2﹣4|x|+3=k的实根的个数．22. （15分）(2020·汨罗模拟) 已知函数 .
（1）若函数的图象与x轴相切，求实数a的值；
（2）讨论函数的零点个数.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、21-1、21-2、
21-3、21-4、22-1、
22-2、
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