应用回归分析,第8章课后习题参考答案

第 8 章非线性回归
思考与练习参考答案
8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式，还要注意误差项的形式。

如：（1）乘性误差项，模型形式为y AK L e，
（2）加性误差项，模型形式为y AK L。

对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。

一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。

8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。

表8.15
生产率x（单位/周）1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000
废品率y（% ） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0
解：先画出散点图如下图：
12.00
10.00
8.00
6.00
1000.00 2000.00 3000.00 4000.00 5000.00
从散点图大致可以判断出 x 和 y 之间呈抛物线或指数曲线，由此
采用二次方程式和指数函数进行曲线回归
（1）二次曲线
SPSS输出结果如下：
ANOVA
从上表可以得到回归方程为：y? 5.843 0.087 x 4.47 10 7x2
由 x 的系数检验 P 值大于 0.05，得到 x 的系数未通过显著性检验。

由x2的系数检验 P值小于 0.05，得到 x2的系数通过了显著性检验。

（2）指数曲线
ANOVA
Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
Regression .573 1 .573 79.538 .000
Residual .036 5 .007
Total .609 6
Unstandardized Coefficients Standardized
Coefficients
t Sig.
B Std. Error Beta
x .000 .000 .970 8.918 .000
(Constant) 4.003 .348 11.514 .000
从上表可以得到回归方程为：y? 4.003e0.0002t
由参数检验 P 值≈0<0.05，得到回归方程的参数都非常显著。

从 R2值，σ的估计值和模型检验统计量 F 值、t 值及拟合图综合考虑，指数拟合效果更好一些。

8.3 已知变量x 与y 的样本数据如表8.16，画出散点图，试用αeβ/x来拟合回归模型，
假设：
(1) 乘性误差项，模型形式为y=αe /x e
(2) 加性误差项，模型形式为y=αeβ/x+ε 。

表8.16
序号x y序号x y序号x y
1 4.20 0.086 6 3.20 0.150 11 2.20 0.350
2 4.06 0.090 7 3.00 0.170 12 2.00 0.440
3 3.80 0.100 8 2.80 0.190 13 1.80 0.620
4 3.60 0.120 9 2.60 0.220 14 1.60 0.940
5 3.40 0.130 10 2.40 0.240 15 1.40 1.620
解：散点图：
(1) 乘性误差项，模型形式为y=αeβ/x eε
线性化：lny=ln α+β/x +ε 令y1=lny, a=ln α ,x1=1/x .
做y1 与x1 的线性回归，SPSS 输出结果如下：
b
b. Dependent Variable: y1
b
a.
b. Dependent Variable: y1
a
a.
从以上结果可以得到回归方程为： y1=-3.856+6.08x1
F 检验和 t 检验的 P 值≈ 0<0.05，得到回归方程及其参数都非常显著。

回代为原方程为：y=0.021e6.08/x
（2）加性误差项，模型形式为y=α e /x+ε 不能线性化，直接非线性拟合。

给初值α =0.021，β=6.08（线性化结果），NLS 结果如下：
Dependent variable: y
a.
R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) / (Corrected Sum of Squares) = 1.000.
从以上结果可以得到回归方程为： y=0.021e6.061/x
根据 R2≈1，参数的区间估计不包括零点且较短，可知回归方程拟合非常好，且其参数都显著。

8.4 Logistic 函数常用于拟合某种消费品的拥有率，表8.17（书上239 页，此处
略）是北京市每百户家庭平均拥有的照相机数，试针对以下两种情况拟合
Logistic 回归函数。

（1）已知u 100 ，用线性化方法拟合，
（2）u 未知，用非线性最小二乘法拟合。

解：（1），u 100时，的线性拟合。

对y 11函数线性化得到：
1 b0b1t u
1 1 1 1 1 1
ln（） 1.851 0.264 ln（） lnb0 tlnb1 ，令y3 ln（），作y3 y 100 y 100 y 100
关于t 的线性回归分析， SPSS输出结果如下：
b
b. Dependent Variable: y3
b
a. Predictors: (Constant), t
b. Dependent Variable: y3
a.
由表 Model Summary 得到，R 0.994趋于 1，回归方程的拟合优度好，由表 ANOVA 得到回归方程显著，由 Coefficients 表得到，回归系数
最后看拟合效果，通过 sequence 画图：
由图可知回归效果比较令人满意。

（2）非线性最小二乘拟合 ,取初值 u 100 , b 0 0.157 , b 1 一共循环迭代 8 次，得到回归分析结果为：
Parameter Estimate Std. Error
95% Confidence Interval
Low er Bound
Upper Bound
u 91.062 2.035 86.747
95.377 b
.211
.028 .152 .271 c
.727
.012
.701
.753
都是显著的，得到方程：
ln( 1
y
1
) 1.851 0.264 ，进 100
b 0 0.157 ， b 1 0.768 ( u 100)
回代变量得到最终方程形式
为：
y? 1 y?
0.01 0.157 0.768t
步计算得到：
0.768 ：
Source
Sum of
Squares df
Mean
Squares
Regression 60774.331 3 20258.110
Residual 85.369 16 5.336
Uncorrected Total 60859.700 19
Corrected Total 15690.386 18
a.
R squared = 1 - (Residual Sum of Squares) /
(Corrected Sum of Squares) = .995.
R 0.995>0.994，得到回归效果比线性拟合要好，且：
b0 0.211，b1 0.727 ，
回归方程
为：
1
y 1
t。

0.211*0.727t
最后看拟合效果，由 sequence画图：
得到回归效果很好，而且较优于线性回归
u 91.062 ，
8.5表8.18（书上240页，此处略）数据中GDP和投资额K都是用定基居民消费价格指数（CPI ）缩减后的，以1978 年的价格指数为100。

（1）用线性化乘性误差项模型拟合C-D 生产函数；
（2）用非线性最小二乘拟合加性误差项模型的C-D 生产函数；
（3）对线性化检验自相关，如果存在自相关则用自回归方法改进；
（4）对线性化检验多重共线性，如果存在多重共线性则用岭回归方法改进；
（5）用线性化的乘法误差项模型拟合C-D 生产函数；解：（1）对乘法误差项模型可通过两边取对数转化成线性模型。

ln y=ln A+ ln K+ lnL
令y′=ln y, β0=ln A, x1=ln K, x2=ln L, 则转化为线性回归方程：
y′=β0+ x1+ x2+
SPSS输出结果如下：
模型综述表
b
b. Dependent Variable: lnY
从模型综述表中可以看到，调整后的为0.993，说明C-D 生产函数拟合效
果很好，也说明GDP 的增长是一个指数模型。

方差分析表
b
b. Dependent Variable: lnY
从方差分析表中可以看到，F 值很大，P 值为零，说明模型通过了检验，这与上述分析结果一致。

系数表
根据系数表显示，回归方程为：
尽管模型通过了检验，但是也可以看到，常数项没有通过检验，但在这个模型里，当lnK 和lnL 都为零时，lnY 为-1.785，即当K 和L 都为1时，GDP为0.168，也就是说当投入资本和劳动力都为1 个单位时，GDP 将增加0.168个单位，这种解释在我们的承受范围内，可以认为模型可以用。

最终方程结果为：
y=0.618K 0.801
L
0.404
（2）用非线性最小二乘法拟合加性误差项模型的C-D 生产函数；上述假设误差是乘性的，现假设误差是加性的情况下使用非线性最小二乘法估计。

初值采用（1）中参数的结果，SPSS输出结果如下：
参数估计表
SPSS经过多步迭代，最终得到的稳定参数值为P=0.407，a=0.868，b=0.270 y=0.407K0.868
L 0.270
为了比较这两个方程，我们观察下面两个图线性回归估计拟合曲线图
Coe fficients a
a. Dependent Variable: lnY
非线性最小二乘估计拟合曲线图
我们知道，乘性误差相当于是异方差的，做了对数变换后，乘性误差转为加性误差，这种情况下认为方差是相等的，那么第一种情况（对数变换线性化）就大大低估了GDP 数值大的项，因此，它对GDP前期拟合的很好，而在后期偏差就变大了，同时也会受到自变量之间的自相关和多重共线性的综合影响；非线性最小二乘法完全依赖数据，如果自变量之间存在比较严重的异方差、自相关以及多重共线性，将对拟合结果造成很大的影响。

因此，不排除异方差、自相关以及多重共线性的存在。

3）对线性化回归模型采用DW 检验自相关，结果如下：
模型综述表
Model Summ ary b
a.
b. Dependent Variable: lnY
DW=0.715<1.27，落在自相关的区间，所以采用迭代法改进
将得到的数据再取对数，而后用普通最小二乘法估计，保留DW 值
模型综述表
Model Summ ary b
a. Predictors: (Constant), Ltt, Ktt
b. Dependent Variable: Ytt
方差分析表
b b.
Dependent Variable: lnYtt
系数表
a
从模型综述表中可以看到， DW=1.618>1.45，认为消除了自相关；方差分析 表中可以看到 F 值很大， P 值为零，说明模型通过了检验。

从系数表可得回归方程：
再迭代回去，最终得方程为：
Lny t －Lny t －１＝-1.859＋0.755（LnK t －LnK t －１） ＋0.465
（LnL t －LnL t －１）
4） 对线性化回归方程通过 VIF 检验多重共线性：
方差分析表
ANOVA b
a.
Predictors: (Constant), lnL, lnK b.
Dependent Variable: lnY
系数表
Coe fficients a
Dependent Variable: lnY
多重共线性诊断表
a
直观法：从模型综述表上可以看到，F值很大，而t 值很小，这是多重共线性造成的影响；
VIF 检验法：从系数表上可以看到，VIF=13>10 ，也说明多重共线性的存在；条件数：从诊断表上可以看到，最大的条件数是429，远远大于了100，所以自变量之间存在较为严重的多重共线性。

利用岭回归改进：
R-SQUARE AND BETA COEFFICIENTS FOR ESTIMATED VALUES OF K
K RSQ LNK LNL
.00000 .99394 .860706 .141014
.05000 .99015 .646381 .330432
.10000 .98639 .577758 .375355
.15000 .98260 .539715 .390822
.20000 .97843 .513383 .395623
.25000 .97379 .492922 .395526
.30000 .96869 .475918 .392882
.35000 .96318 .461184 .388818
.40000 .95730 .448063 .383937
.45000 .95109 .436158 .378587
.50000 .94462 .425211 .372979
.55000 .93791 .415047 .367248
.60000 .93101 .405541 .361481
.65000 .92395 .396598 .355735
.70000 .91677 .388147 .350049
从岭迹图观察，当k=0.2 时，变量基本趋于稳定
SPSS输出结果为：α =0.479，β =1.127
取k=0.2 进行岭回归，
从岭回归给出的结果来看，说明劳动力L 较资金K 对GDP 的影响较大，而我国属于人口大国，就业人数对GDP 的贡献不一定有显著的影响，相反，资金对GDP 的影响按常理来说是非常显著的，这点普通最小二乘法给出了合理的解释，但是，岭回归在理论上很可信的。

总之，影响统计的因素有很多，例如统计员的失误、国家政策等，造成函数系数的不稳定。