等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合

填空题

1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,

则{}n a 的通项公式是______.

【答案】2

2n a n n =-+

2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()*

11226n n a n N a +-=∈+,则11n

i i

a =∑=______. 【答案】232

4

n n ⋅--

3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,

若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3

4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.

【答案】14

5 ．已知数列

}{n

a 满足1

22n n a

qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，

则1a = ．

【答案】2-或

126

6 ．观察下列等式:

31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1

4×2

3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *

, 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1

2

n =______. 【答案】()n

n 211

1⋅+-

7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如

下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在

n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____.

【答案】1951 8 ．若数列

{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =⋅⋅

⋅时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.

【答案】

n

c c c n

+++ 21

9 ．已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比

数列,则所加的这个数为___________. 【答案】7-

10．过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的

切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.

【答案】()

e n n ，

11．已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<

1

125

的最小整数n 是______. 【答案】7

解答题

12．数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S .

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;

(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,⋅⋅⋅,n d ,⋅⋅⋅,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

【答案】

13．设等差数列}{n a 的公差0≠d

,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a =

(1)求数列}{n b 的公比q ;

(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;

(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数

r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.

【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-d

a aq d

a aq 624

2 1=q 不合题意,故3

11142=--q q ,解得22=q 2±=∴q

(2)由m n b a =得

1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2

a d =

∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2

112

)1(1+-±=+m m n

*

1N n ∈+ 0)

(1

>±∴-m 122

1-=∴+m n m 为奇数，且

(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:12

2

1-=+m n m 为奇数，且

令)(12*

N k k m ∈-=,则11122)2(---•=•=k k m a a b

a c n n 12-=∴

若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则

⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)

2()2()2(221

11r a p a q a r

p q r p q 1

1

2

2

2--+=∴r p q ,又)""(2

2

22

2

2

2

1

1

===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p

又r p ≠ ,2

1

1

2

2

2

r p r p +-->+∴

又x

y 2=在R 上增,2r p q +>

∴.与题设2

r

p q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意