高中数学必修5《解三角形应用举例》教案

人教版必修5课题：《解三角形应用举例》教材：人教版教学目标：（1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题；（3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力；（5）指导学生学会评价分析与改进优化。

教学重点、难点：分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。

教学方法与手段：学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。

教学内容设计：一、情境导入位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示：探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上）测量工具为：测角仪与皮尺首先通过示图，了解测角仪的原理与作用测角仪常用于测量：（1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3）图1 图2 图3此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。

二、学生设计方案交流从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。

三、分析与解决问题学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。

交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍）如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ∆得海心塔与西塔的距离αtan h AB =教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便；（3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。

不足与改进：（1）测角仪器本身的高度没有考虑，会产生误差。

改进如图5； 则两塔间的距离为 αtan dh AB -=（2）如果在AB 间有一幢较高的楼房挡住了视线，让测量者无法看到西塔的底部A ，而也不知两塔的底部在不在同一水平线上，则仰角α无法测量。

改进如图6，把测量的地点改到能看到西塔底部的地方，或是岛上的其它点，或是在海心塔的顶部测俯角；图5 图6αcot 1h AE =，βcot 2h EB =，CA αB D h仰角 ABC俯角水平线方向角 测量点北西东南αC A α B Dh d C D α β A B E h 2h 1两塔间的距离为 AEB EB AE EB AE AB ∠⋅⋅-+=cos 2222（3）图4至图6的方法都必须在已知海心塔和西塔的高度前提下才能求出，假若不知两塔的高度，能否求出两塔间的距离？思考问题：假若不知两塔的高度，如何测量两塔间的距离？组织同学们进行小组讨论，研究测量方案。

选取优秀的方案，让同学们交流学习。

可能出现的可行方案有：图7 图8在图7与图8中，都选取了一条基线EB = m ，把不可到达点的距离转化为可到达点的距离，而且对西塔的高度h 都是设而不求。

交流方案二：（以李弘杰为组长来介绍）如图9，从俯视图看，点A 表示西塔，点B 表示海心塔，在B 处测得A 在B 的西偏北β的方位上，从B 往正东方向走m 的距离，到达C ，测得此时A 在C 的西偏北α的方位上，由正弦 定理得：)sin(sin αβα-=m AB 所以)sin(sin αβα-=m AB 教师指导学生评价分析方案二 图9 优点：（1）从俯视图的角度分析问题，可避免高度产生的误差； （2）俯视图中，用点表示物体，示意图简单明了；（3）运用了基线进行测量计算，计算简便；可进一步改善为图10，把方位角改为方向角，这 样基线BC 就可以是随意的方向，只需方便测量， 且在同一水平线上。

图10 四、知识要点归纳解三角形的常用知识：CAαBDhd mβEACαβd GH mBEF DA Cαβ m B1、直角三角形的边与角的关系；2、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 3、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=，五、思想方法总结1、解决的思想是转化为解三角形的问题；2、应用解三角形解决实际问题的步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 3、常用的两种示意图分析思路：主视图与俯视图；4、基线的作用是把不可到达点的距离测量问题转化为可到达点的距离测量；5、实际问题要考虑操作的可行性与细节处理。

六、进一步研究问题探究活动二：假如你处于珠江的一艘游轮上，游轮正匀速地往一个方向直线行驶，你能否测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部以及游轮甲板均在同一水平线上）可行的方案如上图11与图12，注意基线的选择与角的测量。

课后作业：可将此问题布置给学生课后通过小组合作研究完成，每小组提出方案，全班进行方案的公布与评选。

《解三角形应用举例》教案说明一、 教材分析解三角形应用举例的知识编写在人教版必修5的第一章，承接在正弦定理与余弦定理的学习之后，是运用解三角形的知识解决实际生活中的测量问题。

二、 目的分析ADα βmBCθγ AD α βm BC θγ学习的目的在于应用。

在实际的问题情景中，引导学生应用解三角形的数学知识和方法加以分析与解决，以使学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会通过建立数学模型，运用数学知识、思想和方法解决一些实际问题。

三、过程分析教案设计的教学流程是：（1）课前：提出问题——学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案；（2）课堂上：个别学生介绍设想与方案——同学间相互交流学习——老师指导学生对方案进行评价分析——老师对好的方面加以肯定与总结——老师针对不足提出问题——学生思考讨论——形成改善或优化方案——不同方案的比较——总结思想方法——提出新的问题让学生思考与探究；（3）课后：学生小组合作探究新的问题——写出设计方案——班上评选与交流学习。

设计的意图是：（1）围绕核心问题展开教学；（2）培养学生的自主学习与探究的能力，增强学生小组合作研究的意识；（3）让课堂成为学生交流学习的平台，集思广益，让学生敢于把自己的想法说出来，同时学会从别人的观点与言论中学取有效的信息来完善与提升自己。

四、教法分析根据不同的环节采用不同的教学方法：（1）问题式启发教学法：重点围绕核心问题探讨解决方案，从方案评价中引发对新问题的思考与探讨；（2）开放式交流讨论教学法：师生交流设计方案、评价方案、改善与优化方案；（3）师生合作学习探究教学法：在问题的探究中，老师既是学生的引导者，也是学生的合作者，师生合作，共同探究，形成一种良好的教学与研究氛围。

五、评价分析教学反馈：从课前收集的设计方案来看，很多学生不懂得如何运用所学知识入手解决实际问题，提出的方案也存在不少的漏洞；而课后绝大部分学生反映基本掌握此类问题的解题的思路，并能对新的探究问题较快地提出较为完善的解决方案。

教学预设效果的达成情况：学生能积极参与问题的探究、思考、讨论与解决，较好地进行了设计方案的交流、评价与优化，学生基本掌握运用数学知识解决实际问题的思路和方法。

教学反思：1、结合多种形式、多个角度，集中解决一个核心问题，并做好思想方法总结，实效性较好；2、这样的教学方式能使得课堂气氛活跃起来，能充分调动学生学习的积极性，激活思维，受学生喜欢，可以作为传统数学课堂的有效补充与继承发展；3、问题启发式教学值得注意与有待加强的地方：（1）设计问题时应考虑该问题是否有深入研究学习的价值，对课堂教学是否有帮助，对学生的思维是否有提升；（2）提问题应精简、明确，有针对性、启发性，能突出重点，体现关键点；（3）启发要得当，老师不能全权代办；4、开放式交流讨论教学值得注意与有待加强的地方：（1）时间的把握。

本节课绝大部分时间在解决探究问题一，若能有时间让学生对探究问题二进行小组讨论研究，并交流设想的话，效果会更好，问题能得到更好的深化，能力能得以更好地提升；（2）避免跑题。

学生对问题进行开放式交流与讨论，容易把问题过于发散而造成偏离主题，老师应注意把控。

5、课前设计方案的征集与课堂上方案的介绍交流，可以让老师较好地了解学生已掌握了哪些知识，具备了哪些能力，存在哪些疑难，从而确定应在课堂上着重教会学生什么、怎么教，提高课堂的有效性；而课后的探究活动可在对课堂所学知识进一步深化拓展的同时，了解学生的掌握程度，从而指导接下的教学。