第4讲 平面向量应用举例

第4讲 平面向量应用举例

一、选择题

1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB →

＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形

B ．非等腰直角三角形

C ．等边三角形

D ．钝角三角形

解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3

.

答案 C

2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )

A ．－2

B ．－1

C ．2

D ．无法确定，与C 点位置有关

解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.

答案 A

3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB

→＝ ( )． A ．4

B ．6

C ．1

D ．2

解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，

∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB

→－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6.

答案 B

4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则

AE →·AF →＝( )． A.53 B.54 C.109 D.158 解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12

E C →，B

F →＝2FC →， 则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13

AC →； AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23

AC →. 所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC

→) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC

→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.

法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB

＝90°，

如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝

⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝

⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A.

答案 A

5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，

N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →

，则x ·y x ＋y

的值为( )．

A ．3 B.13 C ．2 D.12

解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y

＝13

. 答案 B 6．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA

→＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB

→方向上的投影为 ( )． A ．1 B ．2 C. 3 D ．3

解析 如图，由题意可设D 为BC 的中点，

由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO

→＝2AD

→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心，

∴AO 为BC 的中垂线，

∴|AC

→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD

→|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C

二、填空题

7. △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．

解析 ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.

∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.

答案 3

8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3

.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为

________．

解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cos π3

＝4＞0， ∴|a ＋b |＞|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 答案 3

9．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________． 解析 若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.

9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6.

当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值．

答案 6

10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则

a 与

b 的夹角范围为________．

解析 由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，

即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围

为⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦

⎥⎤π3，π