解排列组合题的几种常见方法(一)ppt课件
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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
排列组合ppt课件高中
10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1
(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分 步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法， 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后 让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三 几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个． 所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.
排列组合(一)PPT课件
A.26 C.20 B.24 D.19 B 6
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件
![高考数学解排列组合问题的常用方法大纲人教版(1)[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/081c6db9f18583d0496459d6.png)
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
位题主置最,排先然需分常,排以后先析用末免排安法也位不首排和是共合位特元最有要共殊素基_求有元C _分本31_的_素C 析的_41 元_,法方再素是法处占解,理了若决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同足有C 个时31 _特AC 约还_4341_殊AC束要4位3 41 条兼=置2件顾8的8A，其4要3 往它求往条,是件再C 31
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
A
m n
C
m n
例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老 师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾， 共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
2）若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
位题主置最,排先然需分常,排以后先析用末免排安法也位不首排和是共合位特元最有要共殊素基_求有元C _分本31_的_素C 析的_41 元_,法方再素是法处占解,理了若决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同足有C 个时31 _特AC 约还_4341_殊AC束要4位3 41 条兼=置2件顾8的8A，其4要3 往它求往条,是件再C 31
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
A
m n
C
m n
例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老 师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾， 共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
2）若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
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一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 要求同某时几对个相元邻素元必素须内排部在进一行起自的排问。题,可以用
甲乙 丙丁
捆绑由法分来步解计决数问原题理.即可将得需共要有相A5邻5A22的A22元=素48合0 并
为一种个不元同素的,再排与法其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也；.必须排列.
数原理共有76种不同的排法
分步计数原理的应用
；.
5
排列与组合：
名
称
排列
定 从n个不同元素中取出m个元 义 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出 m个元素，把它并成一组
种 所有排列的的个数 数
符 号
Anm
所有组合的个数
C
m n
；.
6
（一）.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
北师大版高中数学2-3第一 章《计数原理》
法门高中姚连省制作
；.
1
一、教学目标：
（1）掌握排列组合一些常见的题型及解 题方法，能够运用两个原理及排列组合 概念解决排列组合问题；
（2）提高合理选用知识解决问题的能 力．
二、教学重点、难点：排列、组合综合 问题．
三、教学方法：探析归纳，讨论交流
四、教学过程
题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分
步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分
步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏 和重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（1） 特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选 （组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后 局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定 问题除法处理；（6）正难则反，合理转化． （六）．课外作业：课本P20页1、2、3；习题1-4中 A组1、2 五、教后反思：
12
（四）.元素相同问题隔板策略
例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的_元__素_C_分_96_成__m_份_种（分n，法m。为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 一 n1 班
二三四五 六 七 班 班；. 班 班 班 班13
练习题
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
C 个，有多少装法？
4
9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解
的组数
C3
；. 99
9
练习题
用1,2,3,4,5组成没有重复数字 的五位数其中恰有两个偶数
夹1,５这两个奇数之间,这样 的五位数有多少个？
；.
10
（三）.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进
行排队再把相不相邻独 元素独插入中独 间和相两端
；.
11
练习题
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 （ 20）
；.
；.
7
练习题
从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m 接力.试求满足下列条件的参赛方案各 有多少种?
(1)甲不能跑第一棒和第四棒; (2)甲不跑第一棒,乙不能跑第四棒.
；.
8
（二）.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C_分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为 主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C_41_,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C个时31_特AC_约还4341_殊AC束要43位41 条 兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C31
；.
17
14
（五）.正难则反总体淘汰策略
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.
；.
16
回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细 分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问
种不同的方法．N=m1m2 mn
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，；. 不能完成整个事件4．
练习: 1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法.把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计
；.
2
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．N=m1+m2 + +mn
；.
3
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有：
甲乙 丙丁
捆绑由法分来步解计决数问原题理.即可将得需共要有相A5邻5A22的A22元=素48合0 并
为一种个不元同素的,再排与法其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也；.必须排列.
数原理共有76种不同的排法
分步计数原理的应用
；.
5
排列与组合：
名
称
排列
定 从n个不同元素中取出m个元 义 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出 m个元素，把它并成一组
种 所有排列的的个数 数
符 号
Anm
所有组合的个数
C
m n
；.
6
（一）.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
北师大版高中数学2-3第一 章《计数原理》
法门高中姚连省制作
；.
1
一、教学目标：
（1）掌握排列组合一些常见的题型及解 题方法，能够运用两个原理及排列组合 概念解决排列组合问题；
（2）提高合理选用知识解决问题的能 力．
二、教学重点、难点：排列、组合综合 问题．
三、教学方法：探析归纳，讨论交流
四、教学过程
题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分
步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分
步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏 和重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（1） 特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选 （组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后 局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定 问题除法处理；（6）正难则反，合理转化． （六）．课外作业：课本P20页1、2、3；习题1-4中 A组1、2 五、教后反思：
12
（四）.元素相同问题隔板策略
例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的_元__素_C_分_96_成__m_份_种（分n，法m。为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 一 n1 班
二三四五 六 七 班 班；. 班 班 班 班13
练习题
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
C 个，有多少装法？
4
9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解
的组数
C3
；. 99
9
练习题
用1,2,3,4,5组成没有重复数字 的五位数其中恰有两个偶数
夹1,５这两个奇数之间,这样 的五位数有多少个？
；.
10
（三）.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进
行排队再把相不相邻独 元素独插入中独 间和相两端
；.
11
练习题
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 （ 20）
；.
；.
7
练习题
从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m 接力.试求满足下列条件的参赛方案各 有多少种?
(1)甲不能跑第一棒和第四棒; (2)甲不跑第一棒,乙不能跑第四棒.
；.
8
（二）.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C_分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为 主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C_41_,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C个时31_特AC_约还4341_殊AC束要43位41 条 兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C31
；.
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（五）.正难则反总体淘汰策略
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.
；.
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回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细 分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问
种不同的方法．N=m1m2 mn
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，；. 不能完成整个事件4．
练习: 1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法.把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计
；.
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复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．N=m1+m2 + +mn
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2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有：