数学分析复习

F ( x ) = ∫ f ( s )ds, ⇒ F '( x ) = f ( x ) = ∫ f ( x − s )ds = ∫
a
x
0 x −a
f (u )d ( −u ) (令u = x − s )
=∫
x −a
0 2x x
f (u )du, ⇒ F '( x ) = f ( x − a ). f ( s )ds = ∫
如何求函数在一点（或趋于无穷时）的 极限： 定义，四则运算，迫敛性，两个重要极 限 sin x 1 x
lim
x →0
= 1, lim(1 + ) = e x →∞ x x
无穷小量，无穷大量的定义 无穷小量，无穷大量的定义P59， ， 62-63，阶的比较 ，阶的比较P60-61 如何求曲线的渐近线P65：斜渐 ： 如何求曲线的渐近线 近线 f ( x ) = kx + b ，垂直渐近线
为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
收敛数列的性质P28－30：唯一性，有 界性，保号性，保不等式性，迫敛性等。 给定一个数列，判断它是否收敛的方法： 定义，是否有界，迫敛性，单调有界定 理P35，柯西收敛准则P38,是否任何子 列都收敛于同一极限（对判断发散特别 有用）P33 如何求数列的极限： 定义，四则运算，迫敛性
反函数的连续性P78， ， 反函数的连续性 一致连续性的定义P79 一致连续性的定义 一致连续性定理P80 一致连续性定理 求函数极限的一种新方法：利用初等 函数极限的一种新方法： 的一种新方法 函数的连续性（ 例题） 函数的连续性（P84例题） 例题
第五章 导数和微分
定义：导数 定义：导数P88，单侧导数 ，单侧导数P89，导 ， 函数P90，高阶导数 函数 ，高阶导数P106，高阶导 ， 函数，微分P111，高阶微分P113 函数，微分P111，高阶微分P113
利用泰勒公式求不定式极限。 利用泰勒公式求不定式极限。P137例4 例 （记住六个常用函数的麦克劳林多项式及其余 项P136例1） 例 ）
第七章 实数的完备性
关于实数集完备性的基本定理： 关于实数集完备性的基本定理：区间 套定理、聚点定理、 套定理、聚点定理、有限覆盖定理的 叙述与证明（书上的及习题） 叙述与证明（书上的及习题） 闭区间上连续函数性质的证明（ 闭区间上连续函数性质的证明（书上 的及习题） 的及习题）
即又是的最小上界.
则称数η为数集S的上确界, 记作η = sup S . 定义3 设S是R中的一个数集.若数ξ满足 : (i )对一切x ∈ S , 有x ≥ ξ , 即ξ是S的下界; (ii )对任何β > ξ , 存在x0 ∈ S , 使得x0 < β , 则称数ξ 为数集S的下确界, 记作ξ = inf S .
平面图形的面积P239： ： 平面图形的面积
∫
b
a
| f ( x ) | dx,
β α
∫
β
b
a
[ f 2 ( x ) − f1 ( x )]dx
参数曲线∫ | f (t ) x '(t ) | dt , 封闭曲线 | ∫ f (t ) x '(t )dt |
α
1 β 2 极坐标 ∫α r (θ )dθ 2 b 立体的体积P243： ∫ A( x )dx 立体的体积 ：
费马定理P93：求函数极值 ： 费马定理 利用导数概念求曲线的切线、法线 利用导数概念求曲线的切线、法线P92 求参变量函数的导数和高阶导数P104， ， 求参变量函数的导数和高阶导数 109 dy d dy
dy dt = dx dx dt
d y dt dx = 2 dx dx dt
2
(
)
第六章 微分中值定理及其应用
第一章
实数集与函数
确界的定义P6，确界原理P7， 函数的定义P10，复合函数P12， 反函数P13，
上、下确界 − −最小上界, 最大下界 定义2 设S是R中的一个数集.若数η满足 : (i )对一切x ∈ S , 有x ≤ η ,即η是S的上界;
(ii )对任何α < η , 存在x0 ∈ S , 使得x0 > α ,
df (x) d f (x) (n) = f '(a) = f (a) n dx x=a dx x=a
n
给定一个函数，判断它在一点是否可导。 给定一个函数，判断它在一点是否可导。 求出函数在某点的导数（微分）： 求出函数在某点的导数（微分）： 定义，基本初等函数导数公式 定义，基本初等函数导数公式P101， ， 求导法则P101（四则运算，反函数， 求导法则 （四则运算，反函数， 复合函数），对数求导法（ ），对数求导法 复合函数），对数求导法（例11） ） 求出函数在某点的高阶导数（微分）： 求出函数在某点的高阶导数（微分）： 定义，莱布尼兹公式 定义，莱布尼兹公式P108
恒 f (x) − f (x0 ) < ε. 有
函数在区间上的连续性定义P72 函数在区间上的连续性定义
给定一个函数， 给定一个函数，判断它是否在一点连 若不连续，判断它属于哪类间断 续，若不连续，判断它属于哪类间断 点P71-72 连续函数的性质P74： ： 连续函数的性质 局部性质：与函数极限类似，但注意 局部性质：与函数极限类似， 复合函数的连续性” 定理4.5) “复合函数的连续性”P75(定理 定理 闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质P76： 上连续函数的性质 ： 最大、最小值定理，有界性定理， 最大、最小值定理，有界性定理，介 值性定理， 值性定理，根的存在性定理
a
旋转体的体积P245: π ∫ [ f ( x )]2 dx 旋转体的体积
a
b
曲线的弧长P247: 曲线的弧长
∫α ∫
a
β
x ' (t ) + y ' (t )dt
2 2
b
1 + y ' ( x )dx
2
极坐标r = r (θ ), ∫
β
α
r (θ ) + r ' (θ )dθ
2 2
旋转曲面的面积P254: 旋转曲面的面积
a
换元积分法P224，分部积分法P226，借助定 ，分部积分法 换元积分法 ， 积分的性质（ 性质1、 、 ） 积分的性质（P213性质 、2、4） 性质 特点：不求出原函数， 特点：不求出原函数，仍然可能求出定积分的 值P225例3 例
常见的可积函数类：连续函数P209，只有有 常见的可积函数类：连续函数 ， 限个间断点的有界函数P210，单调函数 限个间断点的有界函数 ，单调函数P210。 。 定积分的性质： 定积分的性质： 线性性（ 性质1、 ）， ），两个可积函数的 线性性（P213性质 、2），两个可积函数的 性质 乘积函数是可积的（P213性质 ），积分区间 乘积函数是可积的（ 性质3），积分区间 性质 ）， 的可加性（P214性质 性质4，P215规定 规定1、2）， 的可加性（P214性质4，P215规定1、2）， 积分不等式（ 性质5），积分第一、 积分不等式（P215性质 ），积分第一、第二 性质 ），积分第一 中值定理（ ），推广的积分第一中 中值定理（P217，222），推广的积分第一中 ， ）， 值定理（ ），原函数存在定理 值定理（P218），原函数存在定理（微积分 ），原函数存在定理（ 学基本定理）P221。 学基本定理） 。
给定一个函数： 给定一个函数： 1)能利用导数判别它的单调区间 能利用导数判别它的单调区间 2)能写出它在一点的泰勒多项式（公式），麦 能写出它在一点的泰勒多项式（公式），麦 能写出它在一点的泰勒多项式 ）， 克劳林多项式（公式），佩亚诺型、 ），佩亚诺型 克劳林多项式（公式），佩亚诺型、拉格朗 日型余项（注意不同类型的余项， 日型余项（注意不同类型的余项，对函数的 要求不一样） 要求不一样）P134，138 ， 3)能判断其极大、极小值P142、最大、最小 能判断其极大、极小值 能判断其极大 、最大、 值P145 4)能判断其凸（凹）性区间和拐点P148－152。 能判断其凸（ 能判断其凸 性区间和拐点 － 。 5)利用上面的讨论和渐近线，画出函数图象 利用上面的讨论和渐近线， 利用上面的讨论和渐近线
即又是的最大下界.
第二章
数列极限
数列的定义P23，数列极限的ε -N 定义P23,
定义 如果对于任意给定的正数 ε (不 论它多 么小),总存在正数 么小),总存在正数N ,使得对于n > N 时的一 ), 切xn ,不 式 xn − a < ε都 立 那 就 常 立, 等 成 , 末 称 数
a是数列xn 的极限,或者称数列 n 收敛于 ,记 a x 的极限,
2π ∫ f ( x ) 1 + y ' ( x )dx
2 a b
2π ∫ f (t ) x ' (t ) + y ' (t )dt
2 2
β
α
第十一章 反常积分
定义：无穷积分P265， 定义：无穷积分 ，
∫ ∫
+∞
a
f (x)dx= lim ∫a f (x)dx
利用微分中值定理证明各种类型的不等 式及等式：罗尔P119，拉格朗日 式及等式：罗尔 ，拉格朗日P120， ， 柯西P125-126 柯西 利用洛必达法则求不定式极限P127： 利用洛必达法则求不定式极限 洛必达法则求不定式极限 ：
0 ∞ 0•∞ 1∞ 00 ∞0 ∞−∞ 0 ∞
注意：并非所有不定式极限都可以用 注意：并非所有不定式极限都可以用P130
"ε − δ"定 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时, 义
恒有 f ( x ) − A < ε.