高考数学 第五章第四节数列求和课件 新人教A版
合集下载
高考数学第五章数列求和-教学课件
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
答案：(n－1)·2n＋1＋2
n C.n－1
n＋1 D. n
解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a，∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n， ∴f1n＝n2＋1 n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1， ∴Sn＝f11＋f12＋f13＋…＋fn－1 1＋f1n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得 a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝31n.
2013版高考数学 5.4 数列求和课件 文 新人教A版
ì n+ 1 ï ï (n为奇数 ) ï 2 \ Sn = ï í ï n ï (n为偶数 ) ï ï ï î 2
∴S17=9,S33=17,S50=-25, ∴S17+S33+S50=1. 答案: (1)12 (2)1
3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和.
后一项,也可能剩下前几项和后几项.
错位相减法求和
【方法点睛】应用错位相减法应注意的问题 (1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列 {an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边 同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
2(1- 2n ) n［1 + (2n - 1)］ n+ 1 = + = 2 - 2 + n2. 1- 2 2 n+ 1 2 答案：(1)56 - 1 (2)2 + n - 2 10 2
2.倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.
则S=f(6)+f(5)+„+f(0)+„+f(-4)+f(-5),
∴2S=12×2,
∴S=12.
(2)当n是奇数时,Sn=(1-2)+(3-4)+„+［(n-2)-(n-1)］+n
= 1- n n+ 1 + n= ， 2 2
(新课标)高考数学总复习第四节数列求和课件理新人教A版
第六页，共37页。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①nn1＋1＝n1－n＋1 1.②nn1＋2＝12n1－n＋1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
第七页，共37页。
第二十八页，共37页。
(2)由 an＝2n＋1 可知 bn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝32nn＋3.
第二十九页，共37页。
角度二：an＝
第十一页，共37页。
3．数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2 015
等于( )
A．1 002
B．1 004
C．1 006
D．1 008
解析：选 B 因为数列 an＝ncosn2π呈周期性变化，观察此数列 规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故 S4＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝2.因此 S2 015＝S2 012＋a2 013＋a2 014＋a2 015＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋ (a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 0412×2＋(－2) ＝1 004.
.
②等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
第四页，共37页。
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列 组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①nn1＋1＝n1－n＋1 1.②nn1＋2＝12n1－n＋1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
第七页，共37页。
第二十八页，共37页。
(2)由 an＝2n＋1 可知 bn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝32nn＋3.
第二十九页，共37页。
角度二：an＝
第十一页，共37页。
3．数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2 015
等于( )
A．1 002
B．1 004
C．1 006
D．1 008
解析：选 B 因为数列 an＝ncosn2π呈周期性变化，观察此数列 规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故 S4＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝2.因此 S2 015＝S2 012＋a2 013＋a2 014＋a2 015＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋ (a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 0412×2＋(－2) ＝1 004.
.
②等比数列的前 n 项和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
第四页，共37页。
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列 组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
新课标人教A版数学必修5全部课件：数列的通项与求和
(B)65
(C)61
(D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项 和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等 比数列的项数为( C ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进 制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成 十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进 制数(111…11)2位转换成十进制形式是( C )
上述方法也称为“升次裂项法”.
2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的 和.
【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采 用错位相减法．
3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an， 求Sn与an的表达式.
【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要 想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)， 可用迭差.
4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，求S10和S99．
【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn 时，一般要考虑n是奇数还是偶数.
返回
延伸·拓展
5.在数列{an}中，an＞0， ①求Sn和an的表达式；
②求证Sn = an +1(n∈N)
1 Sn 2
【解题回顾】利用
1 n n - 1
，再用裂项法求和.利用
此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必 要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项. 返回
高考数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和课件 文 新人教版
等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
即时突破 1 (2013 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项
xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn. 解:(1)由 x1=3,得 2p+q=3, 4 5 又因为 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x5=2x4, 5 5 即 3+2 p+5q=2 p+8q,解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 xn=2n+n, 所以 Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n)=2 -2+
2 n-1
反思归纳
分组转化法求和的解题策略:
(1)数列求和应从通项入手,通过对通项变形,转化为等差数 列或等比数列或可求前 n 项和的数列求和. (2)分组转化法求和的常见类型 ①若 an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组 求和法求{an}的前 n 项和.
bn , n为奇数， ②通项公式为 an= 的数列,其中数列{bn},{cn}是 cn , n为偶数
100 1 100 2
2
=5050, 故选 C.
4.设数列{an}的通项公式为 an=2 ,令 bn=nan,则数列{bn}的 前 n 项和 Sn 为 . 2n-1 解析:由 bn=nan=n·2 知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1, ① 从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 ①-②得(1-22)·Sn =2+2 +2 +…+2
高中数学 数列复习——数列求和课件 新人教A版必修5
2. 错位相减法： 错位相减法： 求和： 例2. 求和：
x + 3x + 5x +⋯+ (2n − 1)x ( x ≠ 0).
2 3 n
数列求和的方法： 数列求和的方法：
3. 分组法求和： 分组法求和：
1 1 1 1 例3. 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ 2 4 8 16
的前n项和 的前 项和. 项和
1 2 3 10 + 2 2 + 2 2 +⋯+ 2 2 . 2 2 1 + 10 2 + 9 3 + 8 10 + 1
2 2 2 2
对某些前后具有对称性的数列， 对某些前后具有对称性的数列， 可运用倒序相加法求其前n项和 倒序相加法求其前 项和. 可运用倒序相加法求其前 项和
数列求和的方法： 数列求和的方法：
思考题
1 1 1 1. 求数列： , 4 , 6 , ⋯前n项的和 求数列： 2 . 4 8 16 1 2 n 2. 在数列 an } ：n = { 中a , + +⋅⋅⋅ + n+1 n+1 n+1 2 又bn = , 求数列 bn }的前 项的和 { n . an ⋅ an+1
3. 在各项均为正数的等比 , 数列中 若a5a6 = 9, . 求log3 a1 + log3 a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + log3 a10的值
数列复习 ——数列求和 数列求和
数列求和的方法： 数列求和的方法：
1. 倒序相加法： 倒序相加法： 求和： 例1. 求和：
1 2 3 10 + 2 2 + 2 2 +⋯+ 2 2 . 2 2 1 + 10 2 + 9 3 + 8 10 + 1
x + 3x + 5x +⋯+ (2n − 1)x ( x ≠ 0).
2 3 n
数列求和的方法： 数列求和的方法：
3. 分组法求和： 分组法求和：
1 1 1 1 例3. 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ 2 4 8 16
的前n项和 的前 项和. 项和
1 2 3 10 + 2 2 + 2 2 +⋯+ 2 2 . 2 2 1 + 10 2 + 9 3 + 8 10 + 1
2 2 2 2
对某些前后具有对称性的数列， 对某些前后具有对称性的数列， 可运用倒序相加法求其前n项和 倒序相加法求其前 项和. 可运用倒序相加法求其前 项和
数列求和的方法： 数列求和的方法：
思考题
1 1 1 1. 求数列： , 4 , 6 , ⋯前n项的和 求数列： 2 . 4 8 16 1 2 n 2. 在数列 an } ：n = { 中a , + +⋅⋅⋅ + n+1 n+1 n+1 2 又bn = , 求数列 bn }的前 项的和 { n . an ⋅ an+1
3. 在各项均为正数的等比 , 数列中 若a5a6 = 9, . 求log3 a1 + log3 a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + log3 a10的值
数列复习 ——数列求和 数列求和
数列求和的方法： 数列求和的方法：
1. 倒序相加法： 倒序相加法： 求和： 例1. 求和：
1 2 3 10 + 2 2 + 2 2 +⋯+ 2 2 . 2 2 1 + 10 2 + 9 3 + 8 10 + 1
【把握高考】高三数学最新专题课件 第五章 5.4《数列求和及总和应用》人教版必修
2．解数列应用题的步骤： (1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
第五章 数 列
1．等差数列{an}、{bn}满足a1＝5，b1＝7，且a20＋b20
＝38，则数列{an＋bn}的前20项和为
()
A．400
B．500
C．600
D．1 000
解析：由题知{an＋bn}为等比数列，则前 20 项和为
第五章 数 列
【即时巩固 1】 数列{an}前 n 项分别为：1＋1，1a＋4， a12＋7，…，an1－1＋3n－2，求其前 n 项和 Sn.
解 ： Sn ＝ (1 ＋ 1) ＋ 1a＋4 ＋ a12＋7 ＋ … ＋ an1－1＋3n－2
＝1＋1a＋a12＋…＋an1－1＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)．
第五章 数 列
考点四 数列实际应用题 【案例 4】 甲、乙两大型购物商场，2001 年的销售
额均为 P(2001 年为第 1 年)，根据市场分析和预测，甲超市
前 n 年的总销售额为P2(n2－n＋2)，乙超市第 n 年的销售额
比前一年多2nP－1. (1)求甲、乙两购物商场第n年的销售额的表达式； (2)根据甲、乙两购物商场所在地的市场规律，如果
第五章 数 列
(2)显然 bn<2P，所以 n>3 时，an>bn， 故乙购物商场将被甲购物商场收购． 令15an>bn，即n－5 1P>P(2－2n1－1)， 所以 n>11－2n5－1. 因为 n＝10 时，10>11－259不成立． 而 n＝11 时，11>11－2510成立．即 n＝11 时，15a11>b11 成立． 答：这个情况将在 2011 年出现，且是乙购物商场被甲 购物商场收购．
第五章 数 列
1．等差数列{an}、{bn}满足a1＝5，b1＝7，且a20＋b20
＝38，则数列{an＋bn}的前20项和为
()
A．400
B．500
C．600
D．1 000
解析：由题知{an＋bn}为等比数列，则前 20 项和为
第五章 数 列
【即时巩固 1】 数列{an}前 n 项分别为：1＋1，1a＋4， a12＋7，…，an1－1＋3n－2，求其前 n 项和 Sn.
解 ： Sn ＝ (1 ＋ 1) ＋ 1a＋4 ＋ a12＋7 ＋ … ＋ an1－1＋3n－2
＝1＋1a＋a12＋…＋an1－1＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)．
第五章 数 列
考点四 数列实际应用题 【案例 4】 甲、乙两大型购物商场，2001 年的销售
额均为 P(2001 年为第 1 年)，根据市场分析和预测，甲超市
前 n 年的总销售额为P2(n2－n＋2)，乙超市第 n 年的销售额
比前一年多2nP－1. (1)求甲、乙两购物商场第n年的销售额的表达式； (2)根据甲、乙两购物商场所在地的市场规律，如果
第五章 数 列
(2)显然 bn<2P，所以 n>3 时，an>bn， 故乙购物商场将被甲购物商场收购． 令15an>bn，即n－5 1P>P(2－2n1－1)， 所以 n>11－2n5－1. 因为 n＝10 时，10>11－259不成立． 而 n＝11 时，11>11－2510成立．即 n＝11 时，15a11>b11 成立． 答：这个情况将在 2011 年出现，且是乙购物商场被甲 购物商场收购．
新高考数学人教版一轮课件：第5章-第4讲-数列求和-
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)；
(6)nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2.
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
返回导航
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和为 Sn
＝a11－－aqn＋1.
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
返回导航
6．(2020·课标Ⅰ，16,5分)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前 16项和为540，则a1＝__7__.
[解析] 令n＝2k(k∈N*)，则有a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)， ∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41， ∴前16项的所有偶数项和S偶＝5＋17＋29＋41＝92， ∴前16项的所有奇数项和S奇＝540－92＝448， 令n＝2k－1(k∈N*)，则有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)．
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
返回导航
(2)因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝ (1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋ (9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－ 13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22 －S31＝29－44－61＝－76.
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
返回导航
人教A版高中数学必修五课件：数列求和
3、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法，这种方法主要用于求
数列{an· bn}的前n项和，其中{an}、{bn}
分别是等差数列和等比数列.
4、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，即数列每一项 都可按同样的方法拆成两项之差，在求和时 一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成 首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂 项相消法.（见到分式型的要往这种方法联想 ）
数列求和的方法：
1、公式法：主要用于特殊数列的求和，如 等差数列或等比数列 等差数列前n项和公式：
当q=1时， 等比数列前n项和公式：
当
时，
2、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比
数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
再将其合并即可。 思路: 将数列的一项分成两项(或多项)，然后重新 组合，再利用等差、等比数列的前n项和公 式进行求解。
裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中
的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项
（通项）分解，然后重新组合，使之能消去
一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂
项）如：
①② ③；；源自；④⑤2、数列
的通项公式是 ，则n=. 120
，若
3、若
10 则n的值为.
4、
高考数学 第五章 第四节 数列求和 理 新人教A版
分组法 分为若干组整体求 和
an=(-1)nn,求S2n
倒序 相加法
函数f(x)图象关于点(1,1)对 把求和式倒序后两 称，求f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) 和式相加
+f(3)
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公
_n_a_1 ,q=1
1+2+…+n= n ( n 1 )
2
前n个 正奇数之和
前n个正整 数平方和
前n个正整 数立方和
1+3+5+…+(2n-1)=_n_2 12+22+…+n2= n(n1)(2n1)
6
13+23+…+n3=[ n ( n 1 ) ]2
2
2.裂项相消法 把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵 消的项的求和方法. 3．错位相减法 (1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数 列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.
a n a n1
1 ( 1 1 ) .( )
d a n a n1
【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可 知. (2)正确.根据等比数列的求和公式可知. (3)正确.直接验证或倒推可知正确. (4)错误.需要分a=0,a=1，以及a≠0且a≠1三种情况求和. (5)正确.根据周期性可得. (6)正确.直接验证或倒推可得. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
5．一个数列{an}，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，
2022届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件新人教版
1．在数列{an}中，an＝
1 nn＋1
，若{an}的前n项和为
2 2
019 020
，则项数n为
(D )
A．2 016
B．2 017
C．2 018
D．2 019
2．已知数列：1
1 2
，2
1 4
，3
1 8
，…，
n＋21n
，…，则其前n项和关于n的表
达式为________．
答案：nn2＋1＋1－21n
B．22
019 020
2 019 C.2 018
D．12
019 010
2．(2021·张掖期末测试)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长
方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，21，31，41，…，1n.①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an，
a2－5＝3(a1－3)． 因为a1＝3，所以an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
2n－1，
故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝( 3 －1)＋( 5 － 3 )＋…＋
( 2n＋1－ 2n－1)＝ 2n＋1－1.
裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准 确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消 去项的规律为止． (2) 消 项 规 律 ： 消 项 后 前 边 剩 几 项 ， 后 边 就 剩 几 项 ， 前 边 剩 第 几 项，后边就剩倒数第几项.
高中数学人教A版必修5《数列求和及综合应用》PPT
所以 a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝－2(1＋3＋5＋…＋2 011) ＋2 0132＋2(3＋5＋7＋…＋2 013)－2 0152＝－2×1＋2×2 013＋2 0132－2 0152＝－2＋2 013×2 015－2 0152＝－2＋2 015×(2 013－2 015)＝－2－4 030＝－4 032.
(2)由(1)知 bn＝ana3n＋1＝6n－5[63n＋1－5] ＝126n1－5－6n1＋1，故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－17＋ 17－113＋…＋6n1－5－6n1＋1＝121－6n1＋1. 因此，要使121－6n1＋1<2m0(n∈N*)恒成立， 则 m 需满足12≤2m0即可，则 m≥10，所以满足要求的最小 正整数 m 为 10.
减，得 an－an－1＝1(n≥2)，
所以数列{an}是以 1 为首项、1 为公差的等差数列，
an＝n，n∈N*.
(2)bn＝an
1 an＋1＋an＋1
＝ an n
1 n＋1＋n＋1
n
＝
1 nn＋1 n＋1＋
＝ n
n＋1－ n nn＋1 n＋1＋ n n＋1－ n
＝
nn＋n1＋－1n＝
1－ n
1 n＋1.
Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 1－
1 2
＋
1－ 2
1 3
＋
1－ 3
14＋…＋
1－ n
n1＋1＝1－
1 n＋1.
在 T1，T2，T3，…，T100 中有理数为 T3，T8，T15，…，
T99，共 9 个．
在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一 定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的 两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几 项，从而求出其和．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
第 五
第 四 节
章
数
数
列
列
求 和
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些 特殊数列的和.
怎么考
1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求 和，特别是错位相减出现的机率较高．
2.题型上以解答题为主.
一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
以Sn＝－1－1－－1－n×1 －1＝－12n－1，选D.
答案： D
2．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝nn1＋1，
则S5等于
()
A．1
5 B.6
C.16
D.310
解析：因an＝n1－n＋1 1，
∴S5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
答案： B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
1．(2012·宁波六校联考)设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对
任意正整数 n，Sn＝
n[－1n－1]
A.
2
－1n－1＋1 B. 2
()
－1n＋1 C. 2
－1n－1 D. 2
解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用 此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
答案：(n－1)·2n＋1＋2
数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通
项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
解析：S2 012＝－1＋2－3＋4－…－2 011＋2 012 ＝1＋1＋…＋1＝1 006. 答案： 1 006
5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ ______________.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公 比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝ nn＋1
2 (2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n .
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
[精析考题]
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别 是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中 的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6
4
14
第三行 9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn} 的前2n项和S2n.
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
答案：A
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为 －2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求 数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31
B．120
C．130
D．185
解析：a1＋…＋ak＋…＋a10 ＝240－(2＋…＋2k＋…＋20) ＝240－2＋202×10 ＝240－110＝130.
答案： C
4．数列{(－1)n·n}的前2 012项和S2 012为________．
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
第 五
第 四 节
章
数
数
列
列
求 和
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些 特殊数列的和.
怎么考
1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求 和，特别是错位相减出现的机率较高．
2.题型上以解答题为主.
一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
以Sn＝－1－1－－1－n×1 －1＝－12n－1，选D.
答案： D
2．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝nn1＋1，
则S5等于
()
A．1
5 B.6
C.16
D.310
解析：因an＝n1－n＋1 1，
∴S5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
答案： B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
1．(2012·宁波六校联考)设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对
任意正整数 n，Sn＝
n[－1n－1]
A.
2
－1n－1＋1 B. 2
()
－1n＋1 C. 2
－1n－1 D. 2
解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用 此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
答案：(n－1)·2n＋1＋2
数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通
项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
解析：S2 012＝－1＋2－3＋4－…－2 011＋2 012 ＝1＋1＋…＋1＝1 006. 答案： 1 006
5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ ______________.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公 比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝ nn＋1
2 (2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n .
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
[精析考题]
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别 是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中 的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6
4
14
第三行 9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn} 的前2n项和S2n.
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
答案：A
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为 －2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求 数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31
B．120
C．130
D．185
解析：a1＋…＋ak＋…＋a10 ＝240－(2＋…＋2k＋…＋20) ＝240－2＋202×10 ＝240－110＝130.
答案： C
4．数列{(－1)n·n}的前2 012项和S2 012为________．