全等三角形能力提升(第一课时)优秀课件

D
△ABC≌△CDA
C
M
1
A
•Ｏ 2
N B
∠ACB=∠CAD △AOM≌△CON
∠１＝∠２
题型四.全等三角形中的位置变化问题
典例4 .已知:如图1，AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。若将
BD所在的直线绕C点旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB
、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
量代换出需要的结论，从而进行进一步 的证明。
课堂变式练1:如图，在△ABC中，D为BC边的中点。
求证(1)AB+AC>2AD; (2)若AB=5,AC=3,求AD取值范围。
A
思路提示：现有图形不能证明。延长AD
至E,使ED=AD,连结CE.
△ABD≌△CFD（SAS）
B
C
D
AB=EC
E EC - AC ＜ 2AD ＜ EC+AC
∠E＝∠C= ∠ADE =450
AE=AD
BC=AB+AD
课 堂 小 结：
本节课你有什么收获？
“倍长中线法”构造全等三角形
“截长补短法”证明线段和差问题
“截长法”是在较长线段上截取一段等于某一线段。 “补短法” ：一是将某短线段延长的部分等于另一短 线段；另一种是将某短线段直接延长至与较长的线段相 等。
课堂变式练2:已知：如图，在△ABC中,∠A=90°,
AB=AC，∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD．
（分别用截长法和补短法各证一次）
A
思路提示：方法一 截长法：
D
截取BC的一段BE,使BE=AB，连结DE.
△EBD≌△ABD(SAS)
1
B
2
∠BED＝900
C
E AB=AC
AB=BE
BC=BE+CE
得是（ ） A.①②③ B.①②④ C.①② D.①②③④
A
思路提示：易证△AFB≌△AEC，则①、②对， ∴∠AFB=∠AEC，∵∠BFD=∠AFB-∠1，
∠EAF=∠AEC-∠1 ∴∠BFD=∠EAF 故③对
F1 D
B
EC
解答：∵∠EAF=∠BAC
∴∠AFB=∠AEC
启示：解决此类题型
∴∠EAF-∠DAE=∠BAC-∠DAE ∵∠BFD=∠AFB-∠AFE
求证：CD=2CE
思路提示：现有图形不能证明。延长CE至F,使 A
E1 B
D
EF=CE,连结BF.
△BEF≌△AEC（SAS） ∠1＝∠A
F
BF=AC
BF=AC=B=BD
∠CBF＝∠CBD
CD=2CE
△CBF≌△CBD (SAS) CF=CD
题型一.“倍长中线法”构造全等三角形
典例1 如图，CE,CB分别是△ABC和
华东师大版八年级上册教材拓展
全等三角形能力提升
（第一课时）
我们学习了哪些证明全等三角形的定理？
SAS. ASA. AAS. SSS. HL
全等三角形的性质是什么？
全等三角形中的对应边、对应角、对应面积 分别对应相等。
题型一.“倍长中线法”构造全等三角形
C
典例1 如图，CE,CB分别是△ABC和
△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.
CE=AD
AD=DE
∠C＝∠EDC=450 CE=DE
BC=AB+AD
课堂变式练2: 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°AB=AC， ∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD． （分别用截长法和补短法各证一次）
思路提示：方法二 补短法：延长BA至E,使BE=BC,连结DE.
E △EBD≌△CBD(SAS)
∠1＝2∠C
CE=DE
∠B＝2∠C
∠C＝∠EDC ∠1＝∠C+∠EDC
DE=BD CE=BD
AB=AE
AC＝AB＋BD AC＝AE＋CE
启 示：
在处理线段和差问题时，常考虑“截长补短法”.
“截长法”是在较长线段上截取一段等于某 一线段，再证剩下的那一段等于另一线段即可。
“补短法”一般有两种方式：一是将某短线 段延长的部分等于另一短线段；另一种是将某 短线段直接延长至与较长的线段相等。
△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.
求证：CD=2CE
证明：延长CE至F,使EF=CE,连结BF.
∵ CE是△ABC的中线 ∴BE=AE 又∵∠BEF=∠AEC
EF=CE
∴△BEF≌△AEC（SAS）
∴ ∠1=∠A
∵∠CBF=∠1+∠ABC ∠CBD=∠A+∠ACB
又∵∠ABC＝∠ACB ∴ ∠CBF=∠CBD
∵ CB是△ADC的中线
∴AB=BD
∵ ∠ACB＝∠ABC
∴AB=AC
∴BD=AC 又∵BF=AC
∴BF=BD
∵ BF=BD ∠CBF=∠CBD BC=BC
∴△CBF≌△CBD（SAS）
∴CF=CD
∵CF=2CE
∴ CD=2CE
启 示:
通过( 等倍延长中线构造全等三角形 )
，再利用全等三角形得到的相等关系等
D
得DE=AB+BD.
C
E
B
图2
课堂变式练4: 已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
若将BD所在的直线绕C点旋转到如图所示的位置，则 线段BD、AB、DE之间数量关系怎样？并说明理由。
课 堂 小 结：
1.利用全等三角形证明线段或角相等 2.“倍长中线法”构造全等三角形 3.“截长补短法”证明线段和差问题 4.利用全等三角形位置变化后的相等关 系进一步证明其他问题
AB+AC>2AD
1＜ AD ＜ 4
(5 – 3)＜ AD ＜ (5+3)
题型二.“截长补短法”证明线段和差问题
典例2已知在△ABC中，AD是∠CAB的平分线，
A
且 AC＝AB＋BD,试说明：∠B＝2∠C
思路提示：截长法
E1
截取AC的一段AE,使AE=AB，连结DE
C
D
B
△AED≌△ABD(SAS)
的关键是根据已知条
∴∠BAF=∠CAE
∠EAF=∠AEC-∠AFE
件证明全等三角形，
∵AB=AC
∴∠BFD=∠EAF 故③对 然后利用全等三角形
AF=AE
题中条件无法证明④AB=BC的. 对应关系进一步证
∴△AFB≌△AEC（SAS） 故①对 故选A
明需要的结论。
∴BF=CE
故②对
课堂变式练3: 如图，AB＝CD，AD＝BC，O为AC中点，过Ｏ 点的直线分别交AD、BC于Ｍ、Ｎ，你能说明 ∠１＝∠２吗？
导学重点：回顾平时做过的什么基本图形与本题图
形中最重要 的部分相关，并对照已知条 件找出相
关的规律，充分利用课件显示位置变化 前后的对
应关系，从中寻找到该题的解法。 如：本题是由
图2（基本图形）变化而来，其中的关系可以借鉴。
图1
A
解答思路：易证Rt△ABC≌Rt△CDE
则AB=DC,由BC=DC+BD, BC=DE
作 业：
完成全等三角形能力提升 导学案上的题目
华东师大版八年级上册
全等三角形能力提升
（第二课时）
射洪市香山镇初级中学校
谢凯
题型三:利用全等三角形证明线段或角相等
典例3 如图，已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C,E,D,F共线。则下
列结论:①△AFB≌△AEC; ②BF=CE;③∠BFD=∠EAF; ④AB=BC.其中正确