信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式

2.5.1 信号流图

信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.

1. 信号流图的组成及基本性质

信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:

前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.

回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.

不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X X

X X X

是节点；

j h d c b a ,,,,, 为支路增益；

4,1X X 为输入节点；

7X 为输入节点；

6532X X X X 为混合节点。

信号流图共有三条前向通道，第一条是7

65321X

X

X

X

X

X →

→

→

→

→；第二条是

76531X X

X

X

X →

→

→

→；第三条是765324X X

X

X

X

X

→

→

→

→

→

。

有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。

图2-31 信号流图

注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。

2.5.2 信号流图的绘制

信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1． 根据系统方框图绘制

将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。

从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出

点，但在比较点之后有引出点时，只需在比较点之后设置一个节点即可，如图2-32（a ）所示；若方框图的比较点之前有引出点，就需要在比较点和引出点处各设一个节点，分别表示两个变量，两个节点之间的增益是1，如图2-32(b)所示。

图 2-32 比较点与节点对应关系

系统结构图如图2-33所示，其对应的信号流图如图2-34所示。

图2-33 比较点与节点对应关系

图2-34 系统信号流图

2． 根据系统方程绘制信号流图 某线形系统由下方程组描述

12

aX X

= 4

23eX

bX X +=

4324fX dX cX X ++=

根据系统（2-55），首先确定接点 4,3,2,1X X X X ，然后绘制式（2-55）中各方程信号流图，如图2-35（a ）,(b), (c), 所示；最后将各个图连接起来，即得到系统的信号流图，如图2-35（d ）所示。1X 为输入变量，4X 为输出变量。

图2-35 系统信号流图

如果采用克莱姆法则求解，将输入变量 1X 留到方程右侧，其余移到方程左边经整理式（2-55）变为

12

aX X =

0432=-+-eX X bX 04

32

=-+-eX

X bX

上述方程组的系数行列式为

11140

0101

111001X +X -=---X =∆-+-=-----=∆ac abd d

c

b

a f

de f d c e b

则有 1441)(X f

de db c a X --+=

∆

∆=

从上式求解过程可知，系数行列式与信号流图之间有一种巧妙的关系，首先作为传递函数分母的系数行列式∆ ，其中的两项恰巧与信号流图中的两各回路增益之和相对应，即

)(de f +。其次，作为传递函数分子系数行列式4∆ 的系数，其中的两项恰好与信号流图中

的两个前向通道总增益之和相对应，即ac abd +。这种对应关系，为我们直接从信号流图采用观察的方法，求区系统的传递函数提供了一般规律，这就是梅森公式的基本指导思想。

2.5.3 梅森公式

由信号流图可以得到任意输入接点之间的传递函数，即任意两个节点之间的总增益。任意两个节点之间传递函数的梅森增益公式为

k n

k P P ∆∆

=

∑=1

4

1

式中：P 为从输入节点到输出节点的总增益（或传递函数）；

n 为从输入节点到输出节点的前向通道条数；

∑∑∑+++-=∆f e d c b a L L L L L L 1 为系统特征式，其中

∑a

L

为系统流图中所有单独回路的增益之和；

c b

L L

∑为所有两个互不接触回路的回路增益乘积之和；

∑f

e

d

L

L L 为所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；

k P 为第k 条的前向通道增益；

k ∆为第k 条前向通道的余因子，即在信号流图中，把与第k 条前向通道相接触的回路

除去以后的∆ 值。

例2-11 如图2-36所示信号流图，求输入节点到输出节点的传递函数。

图2-36 例2-11 的系统信号流图

解 根据梅森增益公式，从输入节点到输出节点之间，只有一条前向通道，其增益为

43211G G G G P =

有三个单独回路，即

1321H G G L -=，2432H G G L -=，343212H G G G G L -=

其回路之和为

34321243121H G G G G H G G H G G L

a

---=∑

这三个回路都有公共点，所以不存在互不接触电路。于是特征式为

3432124312111H G G G G H G G H G G L a +++=-=∆∑

因为这三个回路都和前向通道 接触，所以其余因子式 ，最后得到输入节点到输出节点的总增益P 即系统传递函数为

3

43212431214

321111H

G G G G H G G H G G G G G G P P +++=

∆

∆=

例 2-12 求图2-37所示信号流图的传递函数。