推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用
摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.
关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理
Promotion of Integral Mean Value
Theorem and Its Application
Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to
promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.
Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem
1预备知识
在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.
1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且
()0a
b
g x dx >⎰
则存在[,](,)c d a b ⊂使得
()0
d
c
g x d x >⎰
1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则
存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=
1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=
1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有
'()0b
a
f x dx >⎰
1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;
则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得
'()()
()f b f a f b a
ξ-=
-
1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数
()()x
a
x f t dt φ=⎰为变上限积分函数
1.7变上限积分函数有以下若干性质 （1）有界性
命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界
（2）连续性
命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续 （3）可积性
命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积 （4）可微性
（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且
'
()()()x
a
d x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈
2 推广的积分中值定理
积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点
[,]a b ξ∈,使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且
()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰
我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.
2.1积分第一中值定理的推广
定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
成立
证明: 作辅助函数()()x a
F x f t dt =⎰ [,]x a b ∈
则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点
(,)a b ξ∈,使得:
'()()()()F b F a F b a ξ-=-
注意到()()b
a F
b f x dx =⎰,()0F a =,即有
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
(,)a b ξ∈
2.2推广的第一积分中值定理的加强
引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0b
a g x dx >⎰,则存在[,](,)c d a
b ⊂使得
()0d
c
g x dx >⎰
证明:用反证法
作辅助函数()()b x a x
G x g t dt -+=⎰
[0,
]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2
b a
-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,
)2
b a
x -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.
引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=
证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定
理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.
引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0b
a g x dx >⎰
证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()
()02
g x g x ≥
>,则 00000000()
()()()()00()02
b
x x b x a
a
x x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ-++-+-=++≥++=>⎰
⎰
⎰
⎰⎰
证毕.
定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点
(,)a b ξ∈使得
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰
证法1(2)
证明:1︒
()0b
a
g x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰=0
于是对任意的0(,)x a b ∈有
0()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f x g x dx =⎰
⎰
命题成立
2︒当()0g x ≥，且()0b
a
g x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰则由推广的积分中值定理知，只能有
()()()()b b
a
a
f x
g x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）
或者 ()()()()b b
a
a
f x
g x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立 （2）
若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有
()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0d
c g x dx >⎰于是
()()()()()()()()()()b
b
c
d
b
a
a
a
c
d
f a
g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰
=123()()()()()()c d b
a
c
d
f g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰
其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于
1()()f f a ξ≥,
()0c
a
g x dx ≥⎰
,2()()f f a ξ>,
()0d
c
g x dx >⎰
,3()f ξ中的3b ξ≠时
3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0d
d g x dx ≥⎰,综上可得到
()()()()()()()()()()b c d b b
a
a
c
d
a
f a
g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰
这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明
3︒ 当()0g x ≤,且()0b
a g x dx <⎰时
此时()0g x -≥,且
[()]0b
a
g x dx ->⎰,由情形
2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得
()[()]()[()]b
b a
a
f x
g x dx f g x dx
ξ-=-⎰
⎰ 即有
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰ (,)a b ξ∈
总之,定理2.2完全得以证明
证法2(3)
证明:令()()x
a
F x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得
'
()()()F b F a F b a
ξ-=-,即
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若
()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0b
a g x dx >⎰
令()()()x a
F x f t g t dt =⎰,()()x
a
G x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，
(,)a b ξ∃∈,使
'
'()()()()()
()()
()()()()
()
()b
a
b
a
f t
g t dt
F b F a F f g f
G b G a G g g t dt
ξξξξξξ-=⇒
=
=-⎰
⎰
即
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰
2.3积分第二中值定理的推广
在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积 （1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得
()()()()b
a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=⎰
⎰
（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得
()()()()b
b
a
f x
g x dx g b f x dx η
=⎰⎰
其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=+⎰
⎰⎰
现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的
例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)
()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩
若在(,)a b 上存在ξ使得
()()()()()()b
b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=+⎰
⎰⎰
即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--
所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或
(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况
定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞
以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得
()()()()()()a
a
f x
g x dx g a f x dx g f x dx ξξ
+∞
+∞
=++∞⎰
⎰⎰
这里()lim ()x g g x →+∞
+∞=
证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:
()()()()A
a
a
f x G x dx G a f x dx η
=⎰
⎰
而()()A a
F A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)
inf ()A a m F A ∈+∞=,
[,)
sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为
()()()()A
a
a
f x G x dx G a f x dx η
=⎰
⎰
所以有
()()()()A
a
mG a G x f x dx MG a ≤≤⎰
再令A →+∞,则有
()()()()a
mG a G x f x dx MG a +∞
≤≤⎰
令 ()()()a
G a G x f x dx μ+∞
=⎰, （3）
则有
()()()mG a G a MG a μ≤≤
如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()A
a
F A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函
数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()a
f x dx ξ
μ=⎰将其带入（3）式就有
()()()()a
a
G a f x dx G x f x dx ξ+∞
=⎰⎰
即
(()())()(()())()a
a
g a g f x dx g x g f x dx ξ
+∞
-+∞=-+∞⎰⎰
所以
()()()()()()a
a
f x
g x dx g a f x dx g f x dx ξξ
+∞
+∞
=++∞⎰
⎰⎰
如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有
()()()()()()a
a
f x
g x dx g a f x dx g f x dx ξξ
+∞
+∞
=++∞⎰
⎰⎰
证毕.
这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.
通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.
一方面可由微分中值定理推出积分中值定理
根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的
原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得
'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈
即
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
(,)a b ξ∈
另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导
函数,直接计算得:
'()()()b
a
f x dx f b f a =-⎰ （4）
而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得
''()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
（5）
由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.
2.4 导函数的积分中值定理及其应用
在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.
引理1(5)（Darboux ） 若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于
'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=
引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有
'()0b
a
f x dx >⎰
定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在
[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得
''()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰
证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'
()f a +
,在b 点取'()f b -,令()0b
a I g x dx =≥⎰,又
'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有
'()()()()b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰
当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可
当0I >或m M <时,令'
1()()b a u f x g x dx I
=
⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=
若对一切的(,)x a b ∈,有'
()0f x u ->且()0b
a
I g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为
零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域
00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()
()02
g x g x ≥
>,则 0000'''
0()(())()(())()(())2
b
x x a
x x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σ
σσ
σ++--->-≥
-⎰
⎰
⎰ 由引理2可得00'
(())0x x f x u dx σ
σ
+-->⎰,从而有'(())()0b a
f x u
g x dx ->⎰
另一方面:''0(())()()()()0b
b
b
a
a
a
f x u
g x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=
当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立
同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.
定理2.4的应用说明
例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得
''324().[()()]()2
b a
a b
f f x f dx b a ξ+=
--⎰ 证明:记02
a b
x +=
,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'
''
0000()()()()()()2
x x f x f x x x f x f η--=-+
其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0b
a
x x f x dx -=⎰,即
2''
00()(()())()2
b
b
a
a
x x f x f x dx f dx η--=⎰
⎰
由定理知存在(,)a b ξ∈使
32
''
''
2
''
00()()()()()()12b
b
a a
b a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰
从而
''
324().[()()]()2b a a b
f f x f dx b a ξ+=--⎰
例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证
2
'1
lim ()0n
x n f x e dx -→∞=⎰
证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得
2
2
2
'
'
'
111
1
()()()n n
n
x x f x e
dx f e
dx f e
ξξξ---==⎰
⎰
从而有
2
'1
lim ()0n
x n f x e dx -→∞=⎰
3 推广的积分中值定理的应用
3.1用于确定零点分布
例3 (7)
证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b b
a a
f x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至
少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =
证明:设()()x
a F x f t dt =⎰那么我们有
()()()0b
a
f x dx F b F a =-=⎰
,所以
()()F b F a ==0又因为
()()()()b
b
b
b
a a
a
a
xf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰
⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---
所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕
例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0
()()cos 0f x dx f x xdx ππ
==⎰⎰,证明:存在
两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==
证明:令0()()x
F x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==
00
()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d x
π
π
π
π
==-⎰
⎰⎰
()sin ()sin .0F x xdx F π
ξξπ===⎰
所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在
1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕 例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0
()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ
==⎰⎰,则
()f x 在(0,)π内至少有两个零点.
证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得
0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππ
ξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈
即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有
()sin()0f x x dx π
ξ->⎰
（或0<）
与已知0
()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx π
π
π
ξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.
3.2 证明积分不等式
在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.
例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有
1
()()a
f x dx a f x dx >⎰
⎰
证明:将要证的不等式移项
1
1
()()()()()a
a a a
f x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰
⎰⎰⎰⎰
1
(1)()()a
a
a f x dx a f x dx =--⎰⎰
因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()a
f x dx af a ≥⎰,再对上
式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成
1
(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a a
a f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰
因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.
例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明
()()2b
b
a
a
a b xf x dx f x dx +>⎰
⎰
证明:将要证的不等式移项,并分部积分得
()()2
b
b
a
a a
b xf x dx f x dx +-
⎰
⎰ 22
()()()()()()222a b
b
b a b a a a b a b a b
x f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-
,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2
a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2
a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在
11()2a b a ξξ+<<,22()2
a b
b ξξ+<<,使得
221222
()()()()()()()()2222a b
a b
b b a b a b a
a a
b a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dx
ξξ++++++++-+-=-+-⎰
⎰⎰⎰整
理得
2
21()[()()]8
a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以2
21()[()()]08
a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值
定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.
3.3求极限
例8
(10)
证明1
0lim 01n
n x dx x
→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1
[0,1]2
ξε∈-,则有10lim 01n
n dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当
n N >时,有12
n ξε
ξ<+,又因为:
1
112
0012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰
对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式
011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122
n x dx x εε
<<-+⎰,所以有
1
0lim 01n n x dx x
→∞=+⎰ 证毕.
参考文献
[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10
月.123页.
[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学
报,1994年,第1期.54,55页.
[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.
[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.
[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.
[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页
[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.
[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.
[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.
[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.
致谢
从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.
回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！
最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.
谢谢！。