Tobit模型的一致性设定新检验

E (u ( zi ,θ 0 ) | xi ) = 0 a.s. ，对于某些 θ0 ∈ Θ 。显然，如果标准 Tobit 模型的设定正确，那么
原 假 设 H 0 便 成 立 ， 否 则 备 择 假 设 H1 成 立 。 在 原 假 设 H 0 下 ， 考 虑 样 本 条 件 矩
(1
n ˆ) 的渐近分布， ˆ 是 θ 的极大似然估计量。 n )∑ i =1 u ( zi ,θ 其中，θ 对 (1 0
A New Consistent Model Specification Test for Tobit Model
Abstract: Standard Tobit model mainly relies on three assumptions: homoskedasticity and normality of error term, and linear form of latent regression. The popular MLE estimators for standard Tobit model are inconsistent when these standard assumptions are violated. This paper proposes a new consistent specification test statistic, deirves its asymptotic distribution and simulate the actual size and power by Monte Carlo silmulation. The simulation results show that the test statistic has an exact actual size that is consistent with the norminal size, and a strong power against the nonliearity of latent regression, but a weak power against the heteroskedasticy and non-normality of the error term. Key words: Tobit Model, Consistent Model Specification Test, Test Size, Test Power, Censored Probability
数量经济学理论与方法（一） （计量经济学） ，4400 字
Tobit 模型的一致性设定新检验
【摘要】 ：标准 Tobit 模型主要有三种标准假定：随机扰动项同方差，且服从正态分布， 潜回归函数为线性。当标准假定不成立时，常用的 MLE 估计量不具一致性。为了对三种假 定进行一致性检验，本文构造了新的检验统计量，推导了它的渐近分布，并通过模特卡罗模 拟实验模拟了实际检验水平和检验功效。 模拟结果表明， 该统计量的实际检验水平与实际水 平相吻合， 对潜回归函数非线性具有较强的检验功效， 但对随机扰动项异方差和非正态性的 检验功效却较弱。 关键词：Tobit 模型，一致性模型设定检验，检验水平，检验功效，审查概率
其中， ε i xi : iid N (0, σ 0 ) 。
2
（1a） （1b）
Tobit 模型主要可以应用于两类基本经济问题的建模。 第一类是真实审查 （censor） 问题， 譬如， 美国当前人口调查三月份补充调查对不同来源的收入进行右审查。 第二类是角点解问 题。例如，在中国健康与营养调查中，受到非负性约束，患者的医疗支出有不少零点（见林 相森，方齐云和艾春荣, 2008） 。然而，针对不同的经济问题，我们所关心的参数或函数却不 同。对于第一类问题，我们感兴趣的是潜回归模型（1a） ，而对于第二类问题，我们感兴趣 的却主要是显回归模型（1b） 。据笔者调查，由于国内所有微观调查数据均未对收入采用审 查机制，Tobit 模型没有用于第一类问题的建模，但在第二类问题上却有不少应用（见吴卫 星，齐天翔，2007；林相森，方齐云和艾春荣, 2008） 。 估计标准 Tobit 模型的方法很多，其中极大似然估计因同时具有强一致性、有效性和逐 步提速的算法而被广泛使用。但是，当随机扰动向服从非正态分布，或者具有异方差时，系 数的极大然估计量，乃至其它条件期望或分位数函数估计量都不具一致性（Arabmazar 和 Schmidt，1981，1982） 。此外，如果潜回归函数是非线性的，那么所有条件期望或分位数函 数估计量也不具一致性。当标准假设不成立时，这就需要半参数或非参数估计方法，以首先 保证相应估计量的一致性， 但是这些半参数或非参数估计量在标准假设下的有效性却低于极 大似然估计量，而且运算效率较低。因此，有必要进行模型设定检验，以便确定合适的估计 方法。 当标准假设被违背时，Tobit 模型主要存在三种误设问题：随机扰动项具有异方差，随 机扰动项服从非正态分布， 潜回归函数非线性。 已有不少文献构造了可以检验对标准假设特 定偏离的统计量。 譬如， Lee 和 Maddala （1985） 提出的统计量用来检验异方差； Bera、 Jarque 和 Lee （1984） 提出的检验方法的备择假设是随机扰动项分布属于 Pearson 族； Newey （1987） ， Horowitz 和 Neumann（1989）构造用于检验异方差或非正态的统计量；Wang（2007）基于 k 近邻法构造检验统计量来检验潜回归函数的非线性。 本文主要研究一致性模型设定检验， 它 可以检验对零假设——给定的参数设定形式是正确的——的任意偏离。Nelson（1981）借鉴 Hausman（1976）的思想构造统计量来检验对 E ( xy ) 参数设定形式的偏离。由于我国微观调 查数据反映的都是第二类问题， 本文借鉴 Newey （1985） ， Tauchen （1985） 和 Andrews （1988）
δ 0 = xiT β 0 σ 0 ， θ0 = ( β 0 , σ 0 ) 。相应的，备择假设是： H1 : E ( yi | xi ) ≠ m( xi ,θ 0 ) a.s. ，对于所有 θ0 ∈ Θ .
记 zi = ( yi , xi ) , u ( zi , θ 0 ) = yi − m( xi , θ 0 ) ， 那 么 原 假 设 实 际 上 等 价 于
数量经济学理论与方法（一） （计量经济学） ，4400 字 的思路，基于条件矩限制构造用来检验 E ( y | x) 参数形式设定的统计量。 本文其它内容安排如下： 第二部分基于条件矩限制构造一致性模型设定检验统计量， 并 推导它在零假设下的渐近分布； 第三部分考察该检验统计量在以渐近分布的临界值为参照时 的检验水平和功效；第四部分是全文的结论。
其中，
−1 Ω0 = [1, − A0 B0 ]Λ[1, − A0 B0−1 ]T , 2 E[u ( zi , θ 0 ) g ( zi , θ 0 )T ] E[u ( zi ,θ 0 )] . Λ= T T E [ g ( z , θ ) u ( z , θ )] E [ g ( z , θ ) g ( z , θ ) ] i 0 i 0 i 0 i 0
Qn (θ ) =
xT β ( y − xT β ) 2 1 n = ∑ {I ( yi = 0) Log[Φ (− i )] + I ( yi > 0)[− Log ( 2πσ ) − i i2 ]} n i =1 σ 2σ ˆ = arg max Q (θ ) ，即为方程组 则参数的极大似然估计量 θ θ ∈Θ n ∂Qn (θ ) = 0. ∂θ θ =θˆ
n ˆ − θ ) = − B −1 × 1 n (θ g ( zi ,θ 0 ) + o p (1) . ∑ 0 0 n i =1 2 2
（5）
其中， B0 = E[∂ Qn (θ ) ∂θ ]θ =θ0 = E[∂g ( zi , θ ) ∂θ ]θ =θ0 。将（5）式代入（2）式得：
n 1 n 1 n ˆ) = 1 u ( zi , θ u ( zi , θ 0 ) − A0 B0−1 × ∑ ∑ ∑ g ( zi ,θ0 ) + o p (1) n i =1 n i =1 n i =1
定样本 z i = ( y i , x i ), i = 1, 2, ..., n ，对数条件似然函数是：
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n n I ( yi >0) 1 Log{ΠP( yi = 0 xi ) I ( yi = 0) Π[φ ( yi xi )] } n i =1 i =1
= [1, − A0 B0−1 ]
1 n u ( zi , θ 0 ) ∑ n i =1 + o p (1) 1 n g ( zi , θ 0 ) ∑ n i =1
（6）
.
在原假设成立的条件下，由（6）式可得：
1 n d ˆ) u ( zi , θ → N (0, Ω0 ) , ∑ n i =1
T T
n ˆ) 的渐 n )∑ i =1 u ( zi , θ
近分布取决于（2）式等号右端所示的两个主导项： (1 为了推导 (1
n ˆ −θ ) 。 n )∑ i =1 u ( zi , θ 0 ) 和 n (θ 0
n ˆ) 的渐近分布，首先要给出 n (θ ˆ − θ ) 的线性表达式。给 n )∑ i =1 u ( zi ,θ 0
的 解 。 记 [∂Qn (θ ) ∂θ ]θ =θ0 = (1 n)
, （3）
（4）
∑
n i =1
g ( zi , θ0 ) ，且 原 假 设 成立的 条件 下 ， 容易 验 证 ，
ˆ = θ 附近进行一阶 Taylor 多项式展开，并经整理可得： E[ g ( zi ,θ0 )] = 0 。 （4）式左端在 θ 0
二、一致性模型设定检验统计量的构造及渐近分布
假设我们想检验标准 Tobit 模型的设定是否正确，可以考察 E ( y | x) 的参数设定形式， 继而给出下列原假设：
H 0 : E ( yi | xi ) = m( xi ,θ 0 ) a.s. ，对于某些 θ0 ∈ Θ ，
其中， m( xi , θ 0 ) 是标准 Tobit 模型的条件期望函数，且 m( xi , θ 0 ) = σ 0 [δ 0 Φ (δ 0 ) + φ (δ 0 )] ，
（7）
需要注意的是，上面关于 Ω0 的解析式不依赖于原假设，其样本类似估计量虽然能一致 估计 Ω0 ，但不具有有效性，这对于后面要构造的统计量的检验水平和检验功效可能不利。 为了提高有效性，需要利用原假设的信息。根据迭代期望性质，条件期望的期望等于无条件 期望，所以对于无条件期望 B0 和 Λ ，在原假设 ε i xi : iid N (0, σ 0 ) 下，可以先求关于 xi 的
姓名：王建国 性别：男 出生年月：1985 年 02 月 学位：经济学博士 职务，职称：博士后 工作单位：北京师范大学经济与工商管理学院 电子邮箱：jgwang0225@gmail.com
数量经济学理论与方法（一） （计量经济学） ，4400 字
一、前言
考虑下列标准 Tobit 模型：
yi* = xiT β 0 + ε i , yi = Max( yi* , 0) ,
n ˆ) n )∑ i =1 u ( zi , θ
ˆ = θ 附近进行一阶 Taylor 展开，可得： 在θ 0
n 1 n ˆ) = 1 u ( z , θ ∑ i ∑ u( zi ,θ0 ) + A0 × n (θˆ − θ0 ) + o p (1) , n i =1 n i =1
（2）
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其中， A0 = E[∂u ( zi , θ ) ∂θ ]θ =θ0 = − E[ xi Φ (δ 0 ), φ (δ 0 )] 。因此，(1