物理竞赛辅导内容(功和能)

物理竞赛辅导内容（功和能）知识要点分析：功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。

利用能量的观点处理物理学的问题有三大优点：一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。

一、功1、功：力对空间的积累效应。

W=FScosθ2、力：保守力与非保守力1）保守力：力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。

例：重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。

理解：A物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；B 若能与势能联系起来，也为保守力；2）非保守力：做功与路径有关的力，例：摩擦力等。

3、位移：力的作用点的位置变化成为力的位移。

一般情况：物体的位移等于力的作用点的位移——质点；某些情况：物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；例1：半径为R的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F做得功为（R4⋅）Fπ例2：已知力F＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。

，求在此过程中，拉力做的功。

4、功的相对性：1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。

一般情况下，往往以地面为参考系。

例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θcos 2L S =，求各力所作的功及斜面对物体作的功。

（θ＝30）2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；A ：在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—f d 相对）而相对位移与参考系的选取无关。

若计算一对滑动摩擦力做得总功，分别以地面或运动木板为参考系计算出来的结果是一样的。

B ：一对作用力与反作用力做功特点：① 两力可能均不做功；② 两力之中只有一个做功；③ 两力均做功：均做正功；均做负功；一个做正功，一个做负功；5、 中学阶段常用的求功的方法；6、 1）恒力做功法：W=FScos θ2）变力做功法：① 微元法：把变力做功转化为恒力做功；方法：将过程分为许多小段，在每一小段内均可认为力F 为恒力，求出每一小段内该力作的功W i =F i S i cos θi , 最后求出所做的总功W=θsin i i S F ∑求和则讨论向心力始终对物体不做功。

例4： 截面呈圆环的玻璃管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在玻璃管内的最低点A 处有一直径略小于管径的小球，小球上连一轻绳，在外力F 的作用下，小球以恒定的速度V 沿管壁作半径为R 的匀速圆周运动，已知小球与管内壁外侧的动摩擦因数为μ，而内侧是光滑的，若忽略管的内外半径之差，认为均为R,，试求小球从A 点运动至最高点B 过程中拉力F 作的功。

②图像法：作出力随位移变化的图像，求出图线与位移轴所围面积的大小。

例5：用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：f = k x，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？例6：水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。

③平均力法：若力的变化与位移成比例，则可以取力的平均值求解；例7：用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：f = k x，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？例8：水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。

④等效法：从能量的变化或公式W=P t 求解；例9：一台抽水机将水从深为H的井中抽出，并以速度v0喷出，已知在t 秒内抽出水为m，则抽水机做功为多少？抽水机的平均功率为多少？例10：一枝水枪均匀地喷洒半径为R=12米的农田，已知从h=4米深的井中每秒抽出80升的水喷出，求水泵的功率。

（水枪的倾角为45度）例11：如图所示，在一盛水的烧杯中漂浮着月质量为m 的物块，求若施加外力将物块压入水底过程中压力作的功。

例12：跳水运动员从高于水面H=10米的跳台自由落下，假设运动员的体重为m ＝60kg ，其体型可等效为长度为L=1.0m ，直径d=0.30m 的圆柱体，略去空气阻力，入水后，水的等效阻力f 作用于圆柱体的下断面，阻力f 的量值随水的深度y 变化的函数曲线如图所示，此曲线可近似看作是椭圆的一部分，该椭圆的长、短半轴分别与坐标轴重合，椭圆与y 轴相交于Y=h 处，与f 轴相交于f=mg 25处，为了确保运动员的安全，试计算池中水的深度至少应为多少（ρ＝1.0×103kg ∕m 3）二、动能1、动能：状态量 E K ＝21mv 2, 由于v 与参考系有关，故动能的大小也与参考系的选取有关，因此，在计算功和能时，应选用同一参考系。

2、动能定理：21222121Mv Mv W＝外 ,合外力对物体作的总功等于物体动能的变化量。

优点：在运算过程中，不必考虑物体的运动情况如何，只要确定其间各力做功的代数和，考虑其的初始状态和终止状态的动能即可列式求解。

例13：长为2L 的细线系住两个质量为m 的小钢球，放在光滑的桌面上，在线中央施加如图所示的恒力F,试求①钢球第一次相碰时在与力F 垂直方向上钢球对地的速度；②经过若干次碰撞后最后两球一直处于接触状态，则失去的总 能量为多少？例14：如图所示，轨道的对称轴是过O、E两点的竖直线，轨道BEC为120。

的光滑圆弧，半径为R=2.0米，O为圆心，AB、CD两斜面与圆弧分别相切于B、C两点，一物体从高h=3.0米处以速率v0=4.0m∕s的速度沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数为μ＝0.2，求物体在AB、CD两斜面上（不包含圆弧部分）通过的总路程。

例15：如图所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，设绳子的总长度始终不变，绳的质量，定滑轮的质量和尺寸，定滑轮的摩擦均不计，开始时车在A点，滑轮左右两侧的绳都已绷紧，且是竖直的，左侧绳长为H,提升物体时车加速向左运动，从A运动到B的距离为H, 车过B点时车的速度为v，求车由A运动到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。

若不计质量为M的车从A运动到B过程中所受的摩擦阻力，求小车在此过程中，牵引力做了多少功？例16：如图所示，一固定光滑的半圆形碗，半径为R,在光滑的碗的边缘两边通过一轻质的细线挂着质量分别为M和m的两个小物体，M＞m，现让M从靠近碗的边缘处有静止开始沿碗的内壁下滑，求的物体M下滑到碗的最低点的过程中，细线对物体M做的功。

3、质点系统的动能定理：12K K E E W W -+＝内外1） 质点的动能定理研究的是一个质点，质点系的动能定理研究的是若干个质点。

质点系的动能定理可以由质点动能定理推导出来。

设：质点系由N 个质点组成，其中第I 个质点受到系统外力和系统内力的作用，则该时刻对该质点运用动能定理：W i 外 ＋ W i 内 ＝21222121i i i i v m v m -；（分析各物理量含义） 对所有质点均利用动能定理，并求和：122122)2121()(K K i i i i i i E E v m v m W W -=-∑∑＝＋内外结论：对于质点系，外力和内力对物体所做的总功等于质点系动能的增加量。

例17：质量为M 的列车正沿平直轨道匀速行驶，忽然尾部有一质量为m 的车厢脱钩，待司机发现并关闭油门时前部车厢已行驶的距离为L, 已知列车所受的阻力与其质量成正比（设比例常数为k ），列车启动后其牵引力不变，问前后两节车厢都停下时相距多远？例18：水平桌面上放着一条伸长的柔软轻绳，绳的一端挨着桌面上的小孔，绳长为L,质量为m ，一根细线通过小孔与绳头相连，下面悬挂一质量为m 1的物体，开始用手按着轻绳使之处于静止，然后放开使之运动，设绳与桌面的动摩擦因数为μ，求绳尾滑到小孔时，绳子和物体的速度为多少？例19：在光滑的水平面上放着一质量为m 1 ，高度为a 的长方体滑块，长度为L （L＞a ）的光滑轻杆靠在滑块的右上侧的棱上，且轻杆能绕O 轴在竖直面内自由转动，轻杆的上端固定一个质量为m 2的小球，开始时系统静止，轻杆与水平面的夹角为θ0,求系统释放后滑块的速度v 1随θ角的变化。

例20：水平弹簧，一端固定，另一端系着质量为m的小球，小球的劲度系数为k，小球与水平面的动摩擦因数为μ，当弹簧为原长时，小球位于O点，开始小球位于O点的右边的A点，AO=L0,静止释放，则①为使小球能且只能通过O点一次，则μ的取值范围如何？②在上述条件下，设小球停在最左边时，与O点的最大距离如何？三、势能（一）、基本概念：1、保守力：做功与路径无关的力称为保守力。

例：重力，弹力，万有引力等；2、势能：在保守力场中，有一种仅有质点的位置决定的能量，称为势能（位能）。

3、保守力与势能的关系：保守力分别对应一种势能，它们做功均与势能变化有关，且保守力做的功等于势能的减少。

（重力——重力势能、弹簧弹力——弹性势能、分子力——分子势能）4、势能不属于某个质点，而是质点和保守力场共有的。

例如：重力与重力势能。

（二）、三种势能：1、重力势能：当质量为m的物体位于地球表面附近时，一般选择地面或物体运动过程中的最低点为零势能面，物体与地球构成的系统具有重力势能，大小为：E P＝mgh，（h为物体相对零势能面的高度）；例21：劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m A和m B的两物体A和B相连，劲度系数为k2的轻弹簧下端压在桌面上（不拴接），上端与物体B拴接，整个系统处于平衡状态，现施加外力使物体A缓慢地向上提起，直至弹簧B的下端刚离开桌面，在此过程中，物体B重力势能增加了__________物体A的重力势能增加了___________弹性势能：①胡克定律：F=k x ； ②图像表示：F —x 图线，各项含义:图线与坐标轴所围的面积代表功。

;21212kx x kx W F =⋅=③平均值法：弹力大小与形变量的大小成正比，22120kx x kx W F =⋅+=④弹力做功，引起弹性势能变化，则E P ＝ ;212kx W F =结论：当弹簧的形变量为x 时，系统具有的弹性势能为;212kx 此时，弹簧的弹力做功为—;212kx例22：质量为M=2千克的物体，其一端经过轻弹簧施加大小为30牛的水平恒力F,若弹簧的劲度系数k ＝100N ／M,，物体与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3,求物体位移为2米时的速度。