矩阵函数

f ( A) ck Ak .

例如：
1 1 k e I A A , 1! k! 1 3 1 2 sin A A A , cos A I A 3! 2!
A
k 0
2
Байду номын сангаас
一些简单性质： (1) eiA=cosA+isinA; (2) cosA=(eiA+e-iA)/2; (3) sinA=(eiA-e-iA)/(2i); (4) cos(-A)=cosA，sin(-A)=sinA; (5) eAe-A=e-AeA=I，(eA)-1=e-A； (6) (eA)m=emA； (7) 一般的，eAeB≠eA+B；如 A 1 1 , B 1 1 . 0 0 0 0
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(8) 若AB=BA，则eAeB=eBeA=eA+B。
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2. 矩阵函数值的求法
(a) 待定系数法 ：求矩阵函数 f(A) 思想：（1） 给定A后，确定首1多项式g(l)，满足 g(A)=0。(特征多项式或最小多项式均可) （2）设f(l)=g(l)q(l)+r(l)，利用待定系数 法确定r(l)。 则 f(A)=r(A) 。 例1 设 2 0 0 A 1 1 1 , 1 1 3 4 求eA和etA。
4 6 0 例3 设 A 3 5 0 , 求eA，etA和cosA。 3 6 1
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(d) Jordan标准型法 一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在非奇异 矩阵P，使得
J1 P 1 AP J , Js
则
f ( J1 ) 1 P . f ( A) P f ( J s )
3.2 矩阵函数
1. 矩阵函数的概念 2. 矩阵函数值的求法
1
1. 矩阵函数的概念
设一元函数f(z)能展开成z的幂级数：
f ( z ) ck z k , | z | r ,
k 0
k c A 则当n阶方阵A满足r(A)<r时，矩阵级数 k 收 k 0 敛，其和称为矩阵函数，记为
0 0 0 0 0 , A 0 1 0
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(c) 对角形法 假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得 l1 , P 1 AP ln 则
f (l1 ) P 1 . f ( A) P f ( ln )
(b) 数项级数求和法 给定A后，确定首1多项式g(l)，满足g(A)=0。(特 征多项式或最小多项式均可) Am b1 Am 1 bm 1 A bm I 0. 这表明Am可以用Am-1,…,I线性表出。 A的更高次幂也可以用Am-1,…,I线性表出。
例2 设
求sinA。