高中数学专题训练常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(

⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅(1)2

n n ++< ⑷二项式放缩: n n

n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,

22

22210++=++≥n n C C C n n n n 2(1)(2)n

n n n >-≥ (5)利用常用结论：

Ⅰ.

的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：

2111(1)(1)

k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k

k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2

1k 的放缩(3)：221

4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.

Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1x f x x x

=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一． 先求和再放缩

例1.)

1(1+⋅=

n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1

例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2

1

二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消

例3．数列

{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s

，求证：

22n s <

（二）放缩后转化为等比数列。

例4. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+

（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥

（2） 1231111...3333n n T b b b b =

++++++++，求证：12

n T <

三、裂项放缩

例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:3

5112<∑=n k k .

例6.(1)求证:)2()12(2167)

12(151311222≥+->-++++n n n

(2)求证:n

n 412141361161412-≤++++ (3)求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n

n

例7.求证:3

5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n