第2讲(学生)八年级数学平行线的定义及平行公理精讲 -
平行线的性质ppt课件
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
认识平行线课件
认识平行线课件一、引言平行线是几何学中的一个基本概念，它在日常生活、艺术设计和科学研究中都有广泛的应用。
本课件旨在帮助大家深入理解平行线的定义、性质和判定方法，从而提高几何学的学习效果。
二、平行线的定义1.在同一平面内：这是平行线的基本前提，如果两条直线不在同一平面内，那么它们不可能平行。
2.不相交：这是平行线的核心特征，如果两条直线在同一平面内，且永不相交，那么它们就是平行线。
三、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等。
同位角是指两条平行线之间的相对位置相同的角。
2.内错角相等：两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。
内错角是指两条平行线之间的相对位置相邻的角。
3.同旁内角互补：两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。
同旁内角是指两条平行线之间的相对位置在同一侧的角。
4.平行线之间的距离处处相等：两条平行线之间的距离是指从一条平行线到另一条平行线的最短距离，这个距离在平行线的任意位置都是相等的。
四、平行线的判定方法1.观察法：通过观察两条直线的方向，如果它们的方向相同或重合，那么它们可能是平行线。
但这种方法不够严谨，只适用于简单的情况。
2.同位角法：如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线是平行线。
3.内错角法：如果两条直线被第三条直线所截，且内错角相等，那么这两条直线是平行线。
4.同旁内角互补法：如果两条直线被第三条直线所截，且同旁内角互补，那么这两条直线是平行线。
5.平行公理法：根据平行公理，通过一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
因此，如果通过一点有两条直线与已知直线平行，那么这两条直线也是平行线。
五、平行线的应用平行线在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如：1.地图制图：在地图制图中，经常需要绘制平行线和垂线，以便准确地表示地理位置和方向。
2.建筑设计：在建筑设计中，平行线用于表示建筑物的结构和布局，以及确定建筑物的方向和位置。
平行线(定义、平行公理及推论)课件
在同一平面内，两条直线有 几种位置关系？
同一平面内两直线的位置关系：
平行 相交
a b
a ∥b
垂直 b a a⊥b
相交但不垂直
a
பைடு நூலகம்
b
一放 二靠 三推 四画
●
怎样画平行线？动 手画一画吧！ 这种方法你会 了吗？
讨论 在转动木条a的过程中，有
几个位置使得a与b平行？如图，过 点B画直线a的平行线，能画出几条？
那么这两条直线互相平行．
也就是说：如 果b∥a，c∥a， 那么b∥c。
c
这一结论通常称 为平行线的传递 性
b a
本节课你的收获是什么？
(1) 平行线的定义； (2)平行线的表示方法; (3)两条直线在同一平面内的位置关系。 (4)平行线的画法。 (5)平行线公理 (6)平行线公理的推论。
平行线在生活中是很常见的， 你 能举出 一些例子吗？
生活中的平行线
双杠
扶手
铁轨
归纳
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平 行线． 平行线的表示：通常用符号“∥”表示平行.
定义
图形
符号
读法
A
在同一平
面内，不 C
相交的两 条直线.
a
b
B AB∥CD 直线AB平行
D
于直线CD.
a∥b
直线a平行于 直线b.
问题1
分别将木条a，b与木条c钉在一起，并把它们想象 成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线，顺时针 转动a.
(1)直线a与直线b的交点位置将发生什么变化?
(2)在这个过程中，直线a与b有没有不相交的时候?
c
c a
b
c
a a
平行线ppt课件
02
平行线判定方法的 误用
提醒学生注意不同判定方法的使 用条件和限制，避免误用或混淆。
03
忽略平行线的存在 性
提醒学生在解题时，不要忽略题 目中可能存在的平行线，否则可 能导致解题错误。
拓展延伸内容推荐
平行线与相似三角形的关系
探讨平行线与相似三角形之间的联系，以及如 何利用平行线的性质解决相似三角形的问题。
交通信号灯
交通信号灯中的红灯、绿灯、黄灯等灯光的排列 也遵循平行线的原则，使得驾驶员和行人能够清 晰地辨认交通信号。
导向标志 道路两侧的导向标志牌上的文字、图案等也采用 平行线排列，方便驾驶员快速获取道路信息。
日常生活用品设计美学体现
家居用品
家居用品中的桌子、椅子、床等家具的设计中经常运用到平行线， 使得家具外观简洁大方，符合现代审美。
图形示例
判定步骤
首先确定两条被截直线和截线，然后 找出同旁内角并测量其角度之和是否 为180度，如果是，则两条直线平行。
在图形中，画出两条被第三条直线所 截的直线，并标出同旁内角。
实际应用场景分析
建筑设计中
在建筑设计中，平行线的概念经常被用来确保建筑物的稳定性和美观性。例如，在设计墙壁、 地板和天花板时，需要确保它们是平行的，以避免出现倾斜或不平整的情况。
在物理学中，平行线的概念被广泛应用于光 学、力学等领域的研究中，如光的反射、折 射等现象都与平行线密切相关。
计算机图形学
工程测量与建设
在计算机图形学中，平行线的绘制和处理是 图形渲染、图像处理等任务中的重要环节之 一。
在工程测量与建设中，平行线的运用可以确 保建筑物的精确度和稳定性，提高工程质量。
05
预备工作
建议学生提前预习相关知识点，回顾平行线的定义、性质及判 定方法，并尝试思考一些与平行线相关的实际问题，为下一讲 的学习做好准备。
八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题第2课时定理与证明ppt课件新版北师大版
定理 同角(等角)的余角相等.
定理 三角形的任意两边之和大于第三边.
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与 ∠BOD是对顶角. 求证： ∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O. ∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）. ∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）.
说明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
举反例 证明
课堂小结
通过本课的学习，你们有什么收获？
由上面的例题，我们可以得到定理：
定理 对顶边之和大于第三边”的证明.
辨一辩
所有的命题都是公理. × 所有的真命题都是定理. × 所有的定理是真命题. √ 所有的公理是真命题. √
归纳总结
2、说明一个命题是假命题的方法： 3、说明一个命题是真命题的方法：
思考探究，获取新知
读一读
课本P.168-170页，了解古希腊数学家欧几里得（公元前 300年前后）和他的《原本》；找出下列各个定义.
1、原名: 某些数学名词称为原名. 3、证明: 公认的真命题称为公理. 2、公理: 演绎推理的过程称为证明. 4、定理: 经过证明的真命题称为定理.
一些条件
+
原名、公理
推理的过程 叫证明
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其它命 题的正确性
本套教材选用如下八条基本事实作为证明的公理
1.两点确定一条直线. 2.两点之间，线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 8.三边对应相等的两个三角形全等.
初中八年级数学课件 7.4 平行线的性质
课堂小结
两直线平行，同位 角相等
平行线 的性质
两直线平行，内错 角相等
两直线平行，同旁 内角互补
平行于同一直线的 两直线平行
课后作 业
例1析：如图所示，已知四边形ABCD 中，
AB∥CD， AD∥BC，试问∠A与∠C，∠B与
∠D 的大小关系如何？
A
D
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）B
C
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知） ∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
第七章 平行线的
证明
7.4 平行线的性质
学习目 标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定 理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推 理证明．（难点）
导入新课 观察与 思考
一条公路两次拐弯后，和原来的 方向相同，第一次拐的角∠B是130°， 第二次拐的角∠C是多少度？
C
B
讲授新课
一 平行线的性质
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换)
如果两条直线都和第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行. 已知：如图，直线a,b,c被直线d所截， 且a∥b,c∥b. 求证：a∥c.
证明：
∵a∥b，∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3，∴∠1=∠3， ∴a∥c.
总结归 纳
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)
证明：两条直线被第三条直线所截，
八年级数学上册平行线的判定课件人教新课标版
2=135º，判断l1 与 l2 是否平行，并说明
理由。
2
l3
3
1 l1
l2
练习1:已知直线 l1, l 2 被 l3 所截(如图) ,
1 2 180
平行,并说明理由.
判断 l1与l2 是否
2
1l3
3
l2
l1
练习2:已知直线 l1, l 2被 l3 所截(如图) , 1 2
即：同位角相等，两直线平行
几何语言：
∵∠１＝ ∠２
∴a∥b
１
a
（同位角相等，两直线平行）
２
b
c
A
若1=B,则_A_B_∥P_D_E_; ( 同位角相等，两直线平行 ) B
D 1C
若1=E,则_B_C_ ∥P_E_F等，两直线平行 )
例1、已知直线l1， l2被l3所截，1=45º，
A
60O
G
E
30O
CB
D
作业：必做：作业本，课时特训（基础知识）
选做：课时特训（综合提高）
1、某人骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B处 后，右转15°，沿直线向前行驶到C处（如图）。这 时他想仍按正东方向行驶，那么他应怎样调整行驶方 向？请画出他应继续行驶的路线，并说明理由。
A
B
1
15°
C2 E
练一练
1.如图,已知直线 l1, l2 被直线AB所截,AC l2于 点C.若 1 500 , 2 400 , 则 l1与 l2平行吗?
请说明理由.
A 1 l1
2
B C
l2
练一练
2、如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点
G，且∠FGE＝60°， ∠ABG＝30°。请判断
2.2探索两直线平行的条件(精讲)(学生版)
2.2探索两直线平行的条件“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.．判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）题型2：平行线的判定1（同位角相等）2.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠3+∠5＝180°．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）平行线的画法（【变式3-1】如图.直线a.点B.点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?【变式3-2】如图，在方格纸上∶（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的?（2）过点M画AB的平行线（3）过点N画GH的平行线平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.题型5：内错角、同旁内角的概念及识别5.如图，下列两个角是内错角的是（）A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4【变式5-1】如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【变式5-2】如图，A点在直线DE上，在∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠CAE，∠C中，∠B的同旁内角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）6.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．【变式6-1】如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠2＝∠4D．∠3＝∠5判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）证明：∵“内错角”或“同旁内角”）【变式8-1】如图，（1）∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；（2）能用图中数字表示的∠3的同位角是；（3）图中与∠2是同旁内角的角有个．的位置关系，并说明理由．题型10：平行线的判定简单综合10.光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．试判断。
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。
写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。
八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
北师大版八年级数学上册《平行线的判定》平行线的证明PPT课件
学习目标 • 单击此处编辑母版文本样式
三 级
级
此 处
四 级
编
五
辑
• 二级
级
母
击 此 处 编
1.了•解三•级并四级掌握平行线的判定公理和定版文 理．（重点辑）
2.了解证•明五级的一般步骤．（难点）本样
式
母 版
标
题
样
式
2200232/53//55/5
2
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•
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观单•察单击与击请此思此找处考处编出辑图编母中版辑文的母本平导样版行式入标线新！题它课样五们四 级式三级为二级什单击此处编辑么平行?
• 二级
级
母
单 击 此 处 编
• 三级
• 四级 • 五级
版 文
辑
本
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样 式
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3
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讲授新课 单
单
知单识击点1此平处行编线辑的母判版定标题样式三 级
二 级
击 此 处
击 此
• 单公相•击二等理此级，处编那两辑么条母这直版文两线本条被样直第式线三平条行直五 级.线四 级 所截编辑母，如果同位处编角
练单一练击：此根处据编条辑件完母成版填标空题. 样式三C二级 级
击
此1
处
F 3
① ∵• 单∠击此1处=_编_辑∠_母_2_版（文已本样知式）
四 级
编
五
辑
∴•A二B•级∥三级CE(内错角相等,两直级线平行母版)
②
∵ ∴
∠CD1∥• +四_B•级∠_五F_级(3_同_=旁18内0o（角已互知补）,两直A线文本样式平行
北师大版八年级数学上册《平行线的判定》课件2
a
求证：a∥b.
证明： ∵∠1=∠2，∠1=∠3， b
∴∠3=∠2. ∴ a∥b.Βιβλιοθήκη c31 2
（ 用公理证明其成立）你行吗？
判定：同旁内角互补，两直线平行
根据题意画图：
c
求证： a∥b.
a
证明：∵∠1与∠2互补，
1
∴ ∠1+∠2=180°.
∴ ∠1=180°-∠2. ∵ ∠3+∠2=180°， ∴ ∠3=180°- ∠2.
b
2
3
∴ ∠1= ∠3.
∴ a∥b.
想一想？
我们可以用右图的方法作出 平行线，你能说说其中的道 理吗？
课内练习
课本P174数学理解---2、3
小结
• 判定两条直线平行的方法： • 1、同位角相等，两直线平行. • 2、内错角相等，两直线平行. • 3、同旁内角互补，两直线平行.
北师大版八年级上册
7.3平行线的判定
平行线定义：在同一平面内，不相交 的两条 直线叫做平行线
平行线的判定方法： 定理 ①两条直线被第三条直线所截， 如果 内错角 相等，那么这两条直线平行
②两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
判定：内错角相等，两直线平行
根据题意画图：
已知： ∠1=∠2
八年级数学上册 5.4 平行线的性质定理和判定定理课件
【揭示新知】
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是 第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命 题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中 一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命 题。
【做一做】
指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. 1.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角 互余.
说说你所悟到的 证明一个真命题 的方法,步骤,书
∴∠3= 180° -∠2(等式的性质).
写格式以及注意
∴∠1=∠3(等量代换).
事项.
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
已给的基本事实,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据,用 来证明新的定理.
【归纳升华】
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行.
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，
H，下列条件：① ∠1=∠2；
②∠3=∠6；③∠2=∠8；
④∠5+∠8=180°，
其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【解析】选B. ∠1和∠2是同位角，因此已知∠1=∠2， 可得AB∥CD；∠3和∠6是内错角，因此已知∠3=∠6， 可得AB∥CD；∠2和∠8是对顶角，因此由∠2=∠8不能 得到AB∥CD；由∠5+∠8=180°，可以得到 ∠6+∠7=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行， 可以得到AB∥CD.
条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2.等边三角形的每个角都等于60° 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60° 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形.
北师大版八年级数学上册：7.3 平行线的判定
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC 的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
北师大版八年级上册数学《平行线的判定》平行线的证明说课教学课件
2.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( D) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定直线a 与b平行的是80°
（来自《典中点》）
知1－练
4 (中考·金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸 带两条边线a，b互相平行的是( C )
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2 B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图③，测得∠1＝∠2 D．如图④，展开后再沿CD折叠，两条折痕（的来交自点《为典中O，点测》）
知识回顾
1.公理: 公认的真命题.
2.定理: 经过证明的真命题.
3.证明: 除公理外，一个命题的正确性需要经过 演绎推理，才能作出判断，这个演绎推 理的过程叫做证明.
情景导入
请找出图中的平行线！它们为什么平行?
获取新知
1.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么这两条直线平行． 简述：同位角相等，两直线平行．
知2－讲
归纳
知2－讲
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互 补，那么这两条直线平行.
简述为：同旁内角互补，两直线平行.
（来自《教材》）
例2 如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，
知2－讲
试说明：DF∥BE.
导引：要想说明DF∥BE，可通过说明∠1＝∠EDF
来实现，由于∠1＝30°，所以只需求出
1.平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,
如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
2.简述：同旁内角互补，两直线平行
北师大版数学八年级上册：平行线的性质精品课件
c
已知：如图，直线a//b,∠1和
∠2是直线a,b被直线c截出的 a 同旁内角．
31
2
求证：∠1+∠2＝180°
b
证法２： ａ//b （已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等）
又 ∠1+∠3＝180°（补角定义）
∠1+∠2＝180°（等量代换）
北师大版数学八年级上册：平行线的 性质精 品课件
E 1
B
M
2 D
反证法---是 一种间接的 证明方法
这与基本事实”过直线外一点有且只有一条直 线与这条直线平行”相矛盾
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2 。
定理1：两条平行直线被第三条直线
所截，同位角相等
（简述为：两直线平行，同位角相等。)
证明：两条平行直线被第三条直线所截，
内错角相等。
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结束寄语
下课了!
l 一个人只要坚持不懈地 追求,他就能达到目的.
北师大版数学八年级上册：平行线的 性质精 品课件
1 a 2 b 3 c
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行。
（简述为：平行于同一条直线的两条直线平行）
北师大版数学八年级上册：平行线的 性质精 品课件
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练一练
1.一自行车运动员在一条公路上骑车，两次拐
弯后，和原来的方向相同（即拐弯前后的两条
c
3
已知：如图，直线a//b,∠1和 a
∠2是直线a,b被直线c截出的
1
同旁内角．
2
b
求证：∠1+∠2＝180°
平行线的证明+思维图解+++知识考点梳理+课件件+2024-2025学年北师大版数学八年级上册
课标领航·核心素养学段目标1. 探索并ຫໍສະໝຸດ 明平行线的判定定理：两条直线被第三条直
线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条
直线平行.
2. 掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直
线所截，同位角相等.* 了解定理的证明.
3. 探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第
行
线
的
证
明
三角形内角和定理
三
角
形
的
外
角
三角形的内角和等
于 180°
三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角
第七章 平行线的证明
单
元
思
维
图
解
同位角相等，两直线平行
平
行
线
的
证
明
平
行
线
平行线
的判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
∵DA⊥FA，∴∠DAF=90°，
∴∠FAB=∠DAF-∠2=52.5°．
综合与实践
［点拨］ 本题考查了平行线的判定与性质，锻炼和提升
学生的推理能力，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题
的关键．
平行线
的性质
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线
平行
综合与实践
运用平行线的判定与性质解决问题
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，
通过平行线判定与性质的学习，使学生能够从给定条件出
发，依据规则推出结论，初步掌握推理的基本形式和规则
2020-2021学年初二数学精讲：第8课时 平行线的性质(二)
保证原创精品 已受版权保护2020-2021学年初二数学精讲5 . 3平行线性质（二）[教学目标]1. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念， 推理能力和有条件表达能力2. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论3. 能够综合运用平行线性质和判定解题[教学重点与难点]重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念难点:平行线性质和判定灵活运用[教学设计]一.复习引入1．平行线的判定方法有哪些？2．平行线的性质有哪些？3．完成下面填空已知：BE 是AB 的延长线，AD//BC ，AB//CD ，若 100=∠D 则EBC A C ∠∠∠,,4．b c b a ⊥⊥,那么a ，c 的位置关系如何？二．新课1．例1，已知a//c,,b a ⊥直线b 与c 垂直吗？为什么？例2如图是一块梯形铁片的残余部分，量得 115,100=∠=∠B A ，梯形另外两个角分别是多少度？2．实践 与探究（1）学生操作：用三角尺和直尺画平行线，做成一张55⨯个格子的方格纸。
观察并思考：做出的方格纸的一部分，线段2211,C B C B …55C B 都与两条平行线5251,C A B A 垂直吗？它们的长度相等吗？教师给出两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线， 并且夹在这两条平行线间的线段长度叫做两条平行线的距离。
问题：AB//CD ，在CD 上任取一点E ，作,AB EF ⊥垂足F ，问EF 是否垂直DC ？垂线段EF 是平行线AB 、CD 的距离吗？结论：两条平行线的距离处处相等，而不随垂线段的位置而改变3．命题和它的构成下列语句，分析语句的特点（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
（2）对顶角相等（3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式（4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断命题：判断一件事情的句子，叫做命题（1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知项推出的事项（2）形式：通常写成“如果…,那么…”的形式，三．巩固练习1．“等式两边乘以同一个数，结果仍是等式”是命题吗？如果是，它的题设和结论分别是什么？2举出一些命题的例子四．作业课本P25。
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第2讲平行线的定义及平行公理
一. 本周教学内容：
平行线的定义及平行公理； 二. 重点、难点分析：
1. 重点：平行线的判定定理。
2. 难点：用平行线判定定理证明两条直线平行。
三.
1. 平行线：在同一 如图：
若AB 平行于CD 2. 3. 4. 例如：AB//CD 且5. （1（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
【典型例题】
[例1] 若a//b ，b//c ，则a//c 有依据为（ C ）
A. 平行公理
B. 等量代换
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 以上都不对
因为a//b ，b//c ，即a 、c 都与b 平行。
所以根据平行于同一条直线的两条直线平行，应选C 。
[例2] 如图，填空
∵21∠=∠
∵32∠=∠∴42∠=∠∴41∠=∠ 解：
[例3]
【模拟试题】
一. 填空题：
1. 如果直线a 与b 在同一平面内，且a 与b 无公共点，那么直线a 与b 的位置关系是 。
2. 若直线3221//,//l l l l ，则31//l l 一定 。
3. 如图（1）∵a c b a //,//（已知） ∴ // ，理由 。
（2）∵c b b a //,//（已知） ∴ // ，理由 。
∵︒=∠︒=∠602,701，︒=∠50C （已知）
∴︒=∠+∠+∠180321 即 ︒=∠+180
C ∴ // （ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 重合
D. 相交
2. 平面内有三条直线，如果有且只有两条直线互相平行，则它们有（ ）交点。
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
3. 下列说法，错误的个数是（ ）
（1）两条不相交的直线叫做平行线。
（2）两条不平行的线段在同平面内必相交。
（3）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。
（4）如果直线c a b a //,//，那么c b //。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图由21∠=
∠，可推出（ ） A. AD//BC B. AD//BC 且AB//DC C. AB//CD
D. 以上结论都不对
b 与
c 的关 6. 在同一平面内的三条直线a 、b 、c ，c a b a ⊥⊥,，则有（ ）
A. c b ⊥
B. c b //
C. b 与c 重合
D. 直线b 与c 可能平行 7. 已知三条直线321,,l l l 在同一平面内，若31l l ⊥，32l l ⊥，则1l 与2l 的关系为（ ） A. //l l
B. l l ⊥
C. l 与l 重合
D. l 与l 相交。