2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题及参考答案(含详解)

2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）

1．方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

2．如果，p，q是正整数，则p的最小值是（）A．15B．17C．72D．144

3．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，）

第3题第5题

4．将四个编号为1，2，3，4的小球随机放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．记f（i）为第i个盒子中小球的编号与盒子编号的差的绝对值．则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4的概率为（）

A．B．C．D．5．（2017•余姚中学自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，那么BC的长等于（）

A．3B．5C．2D．

6．（2017•黄冈中学自主招生）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

A．B．C．D．7．（2017•黄冈中学自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2016•温州中学自主招生）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD＝θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）

A．B．1C．D．

第8题第10题

二、填空题（共7小题，满分42分，每小题6分）

9．（2014•乐清中学自主招生）设非零实数a，b，c满足，则的值为．

10．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P 从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是．11．（2016•黄冈中学自主招生）已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是．

12．（2018•四川绵阳中学自主招生）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON

交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为．

第12题第15题13．（2018•山东枣庄八中自主招生）已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab＝．

14．方程7x2﹣（m+13）x+m2﹣m﹣2＝0的两根为x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则m的取值范围为．

15．（2017•浙江诸暨中学自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P是该抛物线上位于A、M 两点之间的部分上的动点，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，且交抛物线于点D，连接BC，AD，OP，当四边形ABCD被OP分成的两部分面积比为1：2时，点P的坐标为．

三、解答题（共4小题，满分60分）

16．（12分）已知实数a、b、c满足：（1）；（2）a＝bc．请你求出所有满足上述条件的c的值．

17．（12分）二元二次方程组有两个实数解和，其中y1＝2，且，求常数n，t的值．

18．（18分）如图，在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC＝25，BD＝20，BE＝7，求AK的长．

第18题

19．（18分）如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，﹣1），S

＝15，抛物线y＝ax2﹣2ax+4经过点A、B、C．

四边形AFBC

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA＝，求出点P的坐标．

（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB＝∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

第19题

2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试

数学试题参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）

1．方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【解析】（1）当x+3＝0，x2+x﹣1≠0时，解得x＝﹣3；

（2）当x2+x﹣1＝1时，解得x＝﹣2或1．

（3）当x2+x﹣1＝﹣1，x+3为偶数时，解得x＝﹣1

因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．

故选：B．

2．如果，p，q是正整数，则p的最小值是（）A．15B．17C．72D．144

【解析】由题意得，p＜q＜p，

如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；

如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；

如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；

如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；

综上可得p的最小值为17．

故选：B．

3．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（）