2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

核心点拨

1、题型简介

未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

2、核心知识

形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

a.不定方程是否有解？

b.不定方程有多少个解？

c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1：

二元一次不定方程，

A.若其中，则原方程无整数解；

B.若，则原方程有整数解；

C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

定理2：

若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

方程的所有解（即通解）为（k为整数）。

（2）多元一次不定方程（组）

多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

例：

②－①消去x得y+2z=11 ③

③的通解为，k为整数。

所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

（3）其他不定方程

3、核心知识使用详解

解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。

（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

夯实基础

1、二元一次不定方程

例1：

小明在商店买了若干块5分钱的糖果和1角3分钱的糖果，如果他恰好用了1块钱，问他买了多少块5分钱的糖果？

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】

B

【解析】

[题钥]

假设若干个未知数，由给定的条件列出不定方程。

[解析]

根据题意，设小明分别买了5分钱的糖果和1角3分钱的糖果x、y块，则有：

5x和100都能被100整除，则13y(<100)也一定能被5整除，

故y只能为5，(若y=0,则选项中没有正确答案，故排除)。

故x=7，

因此，选B。

例2：

有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A. 1辆

B. 3辆

C. 2辆

D. 4辆

【答案】

B

【解析】

[题钥]根据条件列出方程，再根据奇偶性进行计算。

[解析]

设大客车有x辆，小客车有y辆，则有：

37x+20y= 271。

根据数字的奇偶性判断：

可知20y为偶数，而271为奇数，

所以37x为奇数，故x为奇数，排除C、D。

将A、B代入方程，可知，只有当x=3时，y为整数，符合题意，

故选B。

2、多元一次不定方程（组）

例3：

甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙买了4支同样的签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共用去43元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需多少元钱？

A. 21

B. 11

C. 10

D. 17

【答案】

【解析】

[题钥]

根据条件，设未知数，列出方程，采用特殊值法目的是简化解题步骤，应合理取值。

[解析]

设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，则有

设系数最复杂的y=1，则有

解得x=8，z=1，

所以签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，需要：

x+y+z=8+1+1=10。

因此，选C。

3、其他不定方程

例4：某大学军训，军训部将学员编成8个小组，如果每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人。由此可知，预定的每组学员人数是：

A. 20人

B. 18人

C. 16人

D. 12人

【答案】