相似三角形教案PPT

AD CD . CD BD ∴△ADC∽△CDB.
∴ ∠ACD= ∠B.
A
D
B
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
当堂练习
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ D ）
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD· BC D. AB2=BD· BC B D C A
B
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'，AE = A'C'， AB A' C ' ∴ AB AC ， 而 ∠ BAC =∠ DAE， AD AE AB BC . ∴ △ABC ∽△ADE.∴ AD DE
B 'C ' 1 A ' B ' A 'C ' . 从而 BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
当堂练习
1.已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， (3) AB=12， BC=15， AC＝10. AC＝24.
它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A = ∠A'， A′ A
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'． B′ C′ B C
证明：在 △ABC 的边 AB
（或它的延长线）上截取 AD =A'B'，过点D作BC的平 行线，交 AC 于点E，则
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 （①③）
①
②
③
④
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
A′
来自百度文库
B′ A
C′
又
∴
AB BC ' ' ' ' ，AD = A'B'， AB BC BC BC AB BC ' '. ' '.∴ DE BC AD B C
∴ DE = B'C'.
D B
E
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C
二 相似三角形判定定理的运用
AB 4, BC 10, AC 2;
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC 相似.
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，
BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
课堂小结
定理：两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三 角形相似 相似三角形的判定定理1的运用
讲授新课
一 相似三角形的判定定理2
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC . A ' B ' A 'C '
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D, 使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′, 交A′C′于点E. ∵DE∥B′C′, ∴△A′DE∽△A′B′C′. B A' D A' E . A' B ' A' C ' A D C B’
课堂小结
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
利用三边 判定三角 形相似
相似三角形的判定定理3的运用
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
一 证明相似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对
2.已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠ A=∠A′= 90°， AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm. 求证：△A′B′C′∽△ABC.
AB 6 AC 4.8 6 证明： , , A' B ' 5 A'C ' 3 5
∠A=∠A′= 90°， ∴△ABC∽△ A′B′C′.
A ' B ' B 'C ' A 'C ' , AB BC AC
使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
交A′C′于点E. ∵DE∥B′C′, ∴△A′DE∽△A′B′C′. A’ A
又A′D=AB, AB AC BC B . A' B' A' C ' B' C '
D
C B’
E C’
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'，
AB AC ' ' ' ' AB AC
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A A′ D B′ C′ B
1 2
E C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
AD AE DE AE DE . ∴ ， ∴ AB AC BC AC CB
A
A′ D B′ C′ B
1 2
E C
F
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
例：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. C D A B
∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
当堂练习
例2：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB. ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. B D
A
E
F
C
（两角分别相等的两个三角形相似．）
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶
点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5， 求正方形的边长. 解：∵四边形EFCD是正方形， ∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF. ∵∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ABC. AD ED . AC BC AC DC ED 7.5 DC DC , . AC BC 7.5 5 ∴DE=3,即正方形的边长为3.
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
课堂小结
定理2：两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似 利用两边及夹 角判定三角形 相似
相似三角形的判定定理2的运用
讲授新课
一 相似三角形的判定定理3
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知 在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
证明：∵ AB 6 1 ， BC 8 1 ， AC 10 1 ， AB 18 3 BC 24 3 AC 30 3 A
∴
AB BC AC ， AB BC AC
B A′
C
∴ △ABC ∽△A′B′C′ （三边成比例的两个三角形相似)．
B′
C′
∴A′E=AC , DE = BC. ∴△A′DE∽△ABC,
∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
二 相似三角形的判定定理3的运用
AB BC AC 例1:如图所示，在△ABC和△ADE中， .∠BAD=20°, AD DE AE 求∠CAE的度数.
A A′ D B′ C′
1 2
E C
∠1=∠B，∠2 =∠C， AD AE .
AB AC
B
F
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 AD CF AE CF ， . ∴ ∴ AB CB AC CB ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
D C
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴
DE AD 3 ∴BC=3. BC AB 4
∴DE=
3 9 BC . 4 4
例2:如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 AD CD CD BD 求证：∠ACB=90°． 解： ∵ CD是边AB上的高, ∴ ∠ADC= ∠CDB=90°. C
∴ AE =A'C'. 而 ∠ A=∠ A'， ∴ △ADE ≌ △A'B'C'. △ABC ∽ △A'B'C'.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A A′ D B′ C′ E C
AB BC AC A ' B ' B 'C ' A ' C '
3.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ABD+∠A=90°， A E O B C D
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE. 又∵ ∠A= ∠A， ∴△ ABD ∽ △ ACE. ∴
AD = AB . AE AC
否
是
DE＝20， EF＝16， DF＝8. 否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
（注意：大对大，小对小，中对中．）
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的
判断? 解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
A C A′ C′ B′
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
解：∵ AB BC AC , AD DE AE ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC. 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°. ∴∠CAE=20°.
D B
A
C E
例2:如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中， A' B ' A' C ' 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′ 2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′ 2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 由此得出，BC=2B′C′
二 相似三角形的判定定理1的运用
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,
AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
A D
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
AD DE . ∴ AB BC
E C
B
∴BC=14.
A’
E C’
∵A′D=AB，
AB AC . A' B ' A' C '
A' D A' E AC . A' B' A' C ' A' C '
∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE∽△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似．
二 相似三角形的判定定理2的运用
例1:如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 解：∵AE=1.5，AC=2，
AE 3 ∴ AC 4 . ∵ AD 3 , AB 4
AD 3 ，求DE的长. AB 4
A E B
AD AE ∴ . AB AC
A
A′ D
1 2
E
C
B′
C′
B
则∠ B = ∠ 1 ， ∠ C = ∠ 2 ，
AB AC . ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AD AE AB AC ∵ ' ' ，AD = A'B'， AB A' C ' AC AC AB AC . ' ' .∴ ∴ ' ' AE A C AD A C