1.5三角函数图像变换

O
2 6 2 3
y sin(x ) 6

3 5 2 3
x 2 13
6
-1
引入思考：
• 活动： 学生阅读教科书并思考、回答问题。 • 问题： 你认为可怎样讨论参数φ、ω、A对y＝ Asin(ωx+φ)的图象的影响？
y
y sin(x

3
)
1
o
yysinsinsinxx yysinsinsinxx yysinxsinxx yysinxxsin ysinxx x ysinsin yysinx y x y
点的纵坐标缩短到原来的
y 2 1 O

2
2
倍。
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？

-1 -2
3 2
2
x
1 y sin x 2
y 2 sin x
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以 看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐 标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到 原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A，最小值为-A.这种变换称为振幅变换 。

6

6

3
D. 向左平移

3
小结：
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法：
（1）利用变换关系作图; （2）用“五点法”作图。
作业：
课后练习： 3), (4) 2.(
把y=sinx的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(2x )的图象? 3
函数 y=sinωx与y=sinx的图象的联系
对函数 y=sinx 图象的影响
1 对于函数y sin x 2 1. 列表：
x
1 x 2
sin 1 x 2
0 0 0


2
2

3
3 2
4
2 0
1
0
－1
2. 描点：
横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)
1 倍(纵坐标不变) 而得到的。 到原来的
这种变换称为周期变换

为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 . B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变 . D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 .
比较这两个函数与 函数y=sinx的图象 的形状和位置，你 有什么发现？
y sin(x ) 6
6 2 2 3

2
3

3 5 2 3
2
13 6
x
-1
函数 y sin(x ) y sin(x ) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上 3 移动 和 向右平行 移动 个单位而得到的。 6 所有的点向左平行
y sin x 变换得 y 3 sin(2 x )的图象？ 3 方法1：
例1、如何由
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
1 2
y=sin(x+ ) 的图象 3 y=sin(2x+ ) 的图象 3
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 （3）横坐标不变
倍
纵坐标伸长到原来的3倍
1
y

步骤1
-1
o
2
3 2
2
x
(沿x轴平行移动)
y
步骤2
1
3 2
2
o
-1
2

x (横坐标伸长或缩短)
1
y o
2
步骤3
-1

3 2
2
x
(纵坐标伸长或缩短)
1
y o
步骤4
-1
2
思 考 : 有 否 别 的 变 换

3 2
2
x
方法2(选讲)：
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变 （2）向左平移 6
y
1
2
O
1

3
4 x
对于函数y=sin 2 x
1. 列表：
x
2x sin 2 x
1
0 0 0
4
2
2

0
3 4
3 2

2 0
1
1
2. 描点： 2 y
2 O 1 2
3 x
y 1
比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置，你有什么 发现？
2
O
3
2
0
2
O

2
2
(2)描点 :
-2
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :
用两种方法画出函数y 2 sin( 2 x )在长度 4 为一个周期的闭区间上的简图.
y

2

3 8

8

3 2
2
x
1 y sin x 2
y sin x
y 2 sin x
1 y=2sinx的图象可以看作是把 与y sin x 的图象 函数 y 2 sin x 、 sin xy=sinx的图象上所有点 y 的纵坐标伸长到原来的2倍。 2 1 y= 2 sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 间的变化关系. 1
4 x
1
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。 2
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象
可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的
练习：函数y = 3cos(x+ 4 )图象向左平移 3 个单位所得图象的函数表达式为 _____
5 思考：函数y = sin2x图象向右平移 12 个
7 答案：y 3cos( x ) 12
单位所得图象的函数表达式为______ 5
答案：y sin(2 x 6 )
想一想?
3
6
1.探索y=sin(x+ )与y=sinx的图象关系
1

o
-1
2
3 2
2
x
一、函数y=sin(x+ ) 图象
函数y=sin(x+ )（ ≠0）的图象可以看
作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当 ＞ 0时 ）或向右（当 ＜0时 ）平行移动 个单位而得到的。
平移变换：（左加右减）

0
7 6
3 2
5 3
2
0
sin(x
)
0
1
-1
y 1


O 3 1
6

2
2 3
7 6
3 2
5 3
2
x
y sin x y sin(x ) y sin(x ) 函数图象 6 3
y y sin(x ) 1
3
y sin x
2 3
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
3 关键点: (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2 y 1
O 1

2

3 2
2
x
y sin(x ) 3
x
x

的图象 五点法作图


6
2

3
3
0
3
2 3
-3
例2
1 画出函数y 2 sin( x )的简图. 3 6

解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个 6 单位长度, 得到y sin( x )的图象; 再把后者所有 6 点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到 1 y sin( x )的图象; 再把所得图象上所有的纵坐标 3 6 1 伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y 2 sin( x ) 3 6 的图象.

1 2
倍
y=Sin2x的图象
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
方法2：(按 , , A顺序变换 )
y
3
2
y=3sin(2x+ )

3
5 6
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
2.把y sin( 2 x )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为 D A. y sin( 2 x ) 2 B. y sin( 2 x ) 6 3 C. y sin( 2 x ) 2 D. y sin 2 x



x x 3.要得到函数y sin( )的图象, 可由y sin 2 6 2 的图象 C A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移
O
8
3 8
5 8
x
-2
变式题 : 画出函数y 2 sin 2( x )在长度为一个周期的 4 闭区间上的简图.