《高等数学》空间向量与空间解析几何
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结空间向量和空间解析几何是高中数学中的重要内容，两者之间存在紧密的联系。
本文将对空间向量和空间解析几何的联系进行总结和阐述。
一、空间向量的概念和性质空间向量是空间中带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
空间向量具有以下性质：1. 平分定理：设空间向量$\overrightarrow{AB}$平分角$\angle AOC$，则有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$。
2. 共线定理：若空间向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$共线，则存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$。
3. 相反向量：对于任意空间向量$\overrightarrow{a}$，存在唯一一个向量$-\overrightarrow{a}$，使得$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。
二、空间解析几何的基本概念空间解析几何是利用坐标系统和代数方法研究空间中点、直线、平面等几何对象的学科。
其基本概念有：1. 空间直角坐标系：由三个相互垂直的坐标轴形成的坐标系。
通常用$(x, y, z)$表示空间中的点。
2. 空间直线的方程：空间直线可以用参数方程、对称方程或一般方程表示，如参数方程为：$$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$$其中$(x_0, y_0, z_0)$为直线上一点，$(m, n, p)$为方向向量。
3. 空间平面的方程：空间平面可以用点法式方程、一般方程或截距式方程表示，如点法式方程为：$$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=d$$其中$\overrightarrow{r}=(x, y, z)$为平面上一点，$\overrightarrow{n}=(A, B, C)$为法向量，$d$为常数。
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
空间向量与解析几何
空间向量与解析几何空间向量和解析几何是高等数学中的两个重要概念。
本文将介绍空间向量和解析几何的基本概念和相关性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、空间向量的定义和性质空间向量是指具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示。
空间中的向量通常用字母加箭头标记，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
1.1 向量的表示空间向量可以用坐标表示，也可以用点和方向向量表示。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，则向量AB的坐标表示为A B⃗=(x2 - x1) i⃗ +(y2 - y1) j⃗ +(z2 - z1) k⃗，其中i⃗、j⃗和k⃗分别是x、y、z轴的单位向量。
1.2 向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2.1 向量加法若有向量A B⃗和向量C D⃗，则它们的和为A B⃗ + C D⃗ = A C⃗。
1.2.2 向量减法向量减法与向量加法类似，即A B⃗ - C D⃗ = A B⃗ + (- C D⃗)。
1.2.3 数乘运算若有向量A B⃗，实数k，则kA B⃗ = A B⃗ + A B⃗ + ... + A B⃗ (k个A B⃗)。
1.3 向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积是两个重要的向量运算。
1.3.1 向量的数量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的数量积定义为A B⃗・ C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | cosθ，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，|A B⃗|和|C D⃗|分别为向量的模。
1.3.2 向量的向量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的向量积定义为A B⃗ × C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | sinθ n⃗，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，n⃗为与A B⃗和C D⃗都垂直且符合右手定则的单位向量。
二、解析几何的基本概念和性质解析几何是将几何问题转化为代数问题进行研究的数学分支，它主要运用代数方法研究空间中的几何问题。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
《高等数学》第8章空间解析几何与向量代数8_2点积叉积
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
F
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
c a b
A b
c
C
Ba
c 2 (ab)(ab) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
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ab 0
a b sin 0
sin 0，即 0 或
3. 运算律
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
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1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
方向 : c a , c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
高等数学向量代数与空间解析几何总结
{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。
空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。
在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。
向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。
向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。
数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。
点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。
向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。
空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。
其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。
直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。
平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。
空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。
对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。
在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。
例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。
向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
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7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
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，b
bx，by，bz
，c
cx，cy，cz
,
则它们的混合积为：
ax ay az
ab cbx by bz cx cy cz
想一想 如果四 A边 BC 中 形 D A， Ba2b， BC 4ab， CD 5a3b，那A 么BC 是D什么样的四
已知 a 向 3， 1 ， 量 2， b 1 ， 2， 1,试求下列
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a角位的坐向分标量解系式i、 O；xa j y、 z 中ka ，.x ， 则取a 称与y ， Oa xa 轴za 、x 称i O 为ya 轴向y、 j量 O的a zz 轴坐k
标式.
向量线性运算规律
分解式
a b a x b x i a y b y j a z b z k
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
dOM x2y2z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
x
O M 1 P
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
M2
Q y1
y2 y
M 2 (Q )
两点间距离公式：
d M 1 M 2x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
数量积的性质
（ 1）aaa2
（ 2 ） 两个 a ， b ， 则 非 a b a 零 b 0 向量
数量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 交a 换 b b a 律
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,b,c,表示
或用黑体字母,,,表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB (或 a ， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
记作 0
单位向量
模长为1的向量.
例题
设 a 2， b 3， (a ， b )， 求 (a b )(a b )
与 (a b )(a b ).
3
解：( a b ) ( a b ) a a b b a 2 b 2 5
因为ababco s(a，b)23cos 3
所以(ab)(ab)aa2abbb3
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依
次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
向量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 反交 a b 换 b a 律
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
向量的混合积
设a
ax，ay，az
a22abb2 222332 19
向量夹角余弦公式
两个非零a， 向b夹 量角的余弦公式为： co s(a，b)aabb
axbx ayby azbz
ax2ay2az2 bx2by2bz2
7.2.2 向量的向量积
引例
设O为一根杠杆L的支点，力F作用于这
杠杆上点P, F与OP的夹角为,力F对支
点O的力矩是一向量M ,它的模为
a (a x ) i (a y ) j (a z ) k (为常数)
坐标式
a b a x b x ， a y b y ， a z b z
a a x ， a y ， a z (为常数)
练习
1.已知两点M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),试用坐
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有 aaa0成立,则称向量a0为原向量 a同方向的
单位向量.
定理
向量
a与向量
b 平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数和 ,使得a b 0 .
例题
已求知：2 a a e 3 1 b 2 c e 2 . 3 e 3 ， b 2 e 1 3 e 2 e 3 ， c 1 e 2 3 e 3 ， 3
1 a b 2 2a b b 3 2a b 2a b
7.3 平面与直线
平面和直线是几何学中最基本的研究 对象,是一些向量空间和几何空间中 某些对象的最基本原型,同时它们也 是几何分析中“以直代曲”的最基本 元素.本章中要求掌握平面和直线的 代数表达形式以及点、线、面间的位 置关系.
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
ABBCAC
图示 D
A
C ABADAC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
ABACCB
B
C
ABADDB
解： 2a 3 b c
2 e 1 2 e 2 3 e 3 3 2 e 1 3 e 2 e 3 1 e 2 3 e 3 3
2 e 1 6 e 1 4 e 2 9 e 2 1 e 2 6 e 3 3 3 e 3 3 e 3
标式来表示向量M 1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 OA4,1,5与OB1,8,0,求向量AB
与 OAOB 的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M 1M 2 ,则力F 所做的功
(方向未做规定)
记作 e
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作 ab
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a 空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
aa a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作
a//b
注 零向量与任何向量都平行.
M OQ F OP F sin
O Q
PLeabharlann F L向量积定 义 给定两a和 个 b,a和 向 b的 量 向 量 (或积 外 )仍积 是一 向量 记a , 作 b,其大a小 b为 absi n(a， b),其 方向规a和 定 b都 为垂 与 且 a 直 ,b,a, b构成右手
向量积模的几何意义 以a， b为邻边的平等 面四 积边 . 形的
a b a b y y a b z z ， a b x x a b z z ， a b x x a b y y
例题
已 知 AB的 C顶点A(分 1， 2， 3)， 别 B(3是 ， 4， 5)，
C(2， 4， 7)， 求 AB的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
7.3.1 平面的方程
平面的法向量 定 义 在空间中通 M0且 过与 一非 定n零 点 垂向 直量
的平 是 面唯一确定向 的n量 为 ，平 此时 面 的 法向 . 量