李贤平-概率论基础答案

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概率论答案---李贤平版---第二章

概率论答案---李贤平版---第二章

第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少?2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。

3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。

4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。

5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。

6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少?7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少?8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。

9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。

以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。

试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。

10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。

若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答

即得 Cn 2Cn 3Cn nCn n2
1 2 3 n
n 1
(2)在上式中令 x=-1 即得 Cn 2Cn 3Cn (1)
1 2 3 n 1 n nCn 0
(3)要原式有意义,必须 0 r a 。由于 Cab Cab , Cb Cb
m
~m
这个公式的证明思路是,把 n 个不同的元素编号为1,2, ,n,再把重复组合的每一组中 数从小到大排列,每个数依次加上 0,1,, m 1 ,则这一组数就变成了从 1,2,, n m 1 共
m
m

3 10 7 6 15 9 207 . 25 25 25 25 25 25 625
14.由盛有号码 1,2, ,N 的球的箱子中有放回地摸了 n 次球,依次记下其号码,试求这些 号码按严格上升次序排列的概率。 解:若取出的号码是按严格上升次序排列,则 n 个号码必然全不相同, n N 。N 个不同号 码可产生 n ! 种不同的排列,其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种组 合对应一种严格上升排列, 所以共有 C N 种按严格上升次序的排列。 总可能场合数为 N n , 故题中欲求的概率为 P
解: (1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。
(2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。 (4)A=B 及 A C A B C ,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也就不是 运动员的学生全体时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生,并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5.用摸球模型造一例,指出样本空间及各种事件运算。 解: 设袋中有三个球,编号为 1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点(1) , ( 2) , 1,2, B 1,3, C 3, (3)设 A 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1 , A B {2},

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C +C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P A B P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B =I B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -=U B .()A B B A -⊃UC .()A B B A -⊂UD .()A B B A -=U8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC U U 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=,P (B )=,P (C )=,则P A B C -=U ()( ).A .B .C .D .17掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答
(1) P{只订购A的} P{A(B C)}=P A P AB P AC P ABC
0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
(2) P{只订购 A 及 B 的} PAB C} P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
(3) P{只订购 A 的} 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
(5)若 E2 ,则必有 E1 或 E3 之一发生,由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础(第 2 版)李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中,公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中,订阅 A 的占 45%,订阅 B 的占 35%,订阅 C 的占 30%,同时订阅 A 及 B 的占 10%,同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率:(1)只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的;(3)只订阅一种报纸的;(4)正好订阅两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的;(6) 不订阅报纸的。 解:
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解:
(1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。
解:
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)= A1 A2 A1 An A1 A2 An1 .

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
20、袋中有n只球,记有号码 ,求下列事件的概率:(1)任意取出两球,号码为1,2;(2)任意取出3球,没有号码1;(30任意取出5球,号码1,2,3,中至少出现一个。
21、袋中装有 号的球各一只,采用(1)有放回;(1)不放回方式摸球,试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。
24、从52张扑克牌中任意抽取13张来,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张草花的概率。
.
14、解:若取出的号码是按严格上升次序排列,则n个号码必然全不相同, 。N个不同号码可产生 种不同的排列,其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种组合对应一种严格上升排列,所以共有 种按严格上升次序的排列。总可能场合数为 ,故题中欲求的概率为 .
16、解:因为不放回,所以n个数不重复。从 中取出m-1个数,从 中取出 个数,数M一定取出,把这n个数按大小次序重新排列,则必有 。故 。当 或 时,概率 .
28、解:设x,y分别为此二人到达时间,则yF N E
。显然,此二人到达时间8
与由上述条件决定的正方形CDEF内和M H
点是一一对应的(如图)。7D
设A表事件“其中一人必须等另外一人的C G
时间1/2小时以上“,则A发生意味着满足如下0 7 8 x
不等式 。由几何概率得,
事件A的概率等于ΔGDH及ΔFMN的面积之和与正方形CDEF的面积之比,所以
18、解:有利场合是,先从6双中取出一双,其两只全取出;再从剩下的5双中取出两双,从其每双中取出一只。所以欲求的概率为
19、解:(1)有利场合是,先从n双中取出2r双,再从每双中取出一只。
(2)有利场合是,先从n双中取出一双,其两只全取出,再从剩下的 双中取出 双,从鞭每双中取出一只。
.
(3) .

概率论基础答案李贤平

概率论基础答案李贤平

第一章 事件与概率1、解:(1) P {只订购A 的}=P{A(B ∪C)}=P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P {只订购A 及B 的}=P{AB}-C }=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P {只订购A 的}=0.30,P {只订购B 的}=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P {只订购C 的}=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P {只订购一种报纸的}=P{只订购A}+P{只订购B}+P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}=P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P {至少订购一种报纸的}= P {只订一种的}+ P {恰订两种的}+ P {恰订三种的} =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P {不订任何报纸的}=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解:(1)ABC ,若A 发生,则B 与C 必同时发生。

(2),B 发生或C 发生,均导致A 发生。

A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪(3)与B 同时发生必导致C 发生。

A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂,A 发生,则B 与C 至少有一不发生。

(4)n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解:121121−+++n n A A A A A A A . (或)=C AB 4、解:(1)={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};C B A ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案.doc

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第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >,1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1)1{2}2kk P X =±=; (2)(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-;(3)11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明对{}k ξ成立大数定律。

9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n nηξξ=++,11()n n a E E nξξ=++,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。

10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而0mn→时, 22211~2nmn n e n m n π-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。

12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证,在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt ex x-∞--≤≤+⎰。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

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第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C +C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P A B P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B =I B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -=U B .()A B B A -⊃UC .()A B B A -⊂UD .()A B B A -=U8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC U U 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=,P (B )=,P (C )=,则P A B C -=U ()( ).A .B .C .D .17掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。

李贤平《概率论基础》第五章答案

李贤平《概率论基础》第五章答案

1第5章 极限定理解答1.证:对任意0x >,11{}()()()axayaxaxy xy xy xP x dF y e dF y e dF y eeξ≥≥≥≥==≤⎰⎰⎰1()ay axa axe dF y eE eeξ∞-≤=⎰2、证:()h ξ为非负随机变量,所以对0c >有1{()}()()h h x cx cP h c dF x xdF x cξ≥≥≥=≤⎰⎰11()()h xdF x E h ccξ∞≤=⎰。

4、解:现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=⎛⎫→ ⎪⎝⎭∑,2211022k E k k ξ=-=,2221122sssk D kkkξ=+=。

若12s <,这时210s -<,利用k ξ间的独立性可得222122211110()sn nss k k k n n D knn n n n ξ-==⋅⎛⎫=≤=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑。

若12s ≥,则 222211111110()2n nnsk k k k n D kk n n nnnξ===+⎛⎫=≥=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。

所以当时,大数定律可用于独立随机变量序列。

6、证:(1)0k EX =,()()221122422kkk D X k =⋅+-⋅=,11222221111144440()1433n n n nk k k k D X D X n n n nnn++==-⎛⎫==⨯=-→→∞ ⎪-⎝⎭∑∑。

不满足马尔可夫条件。

(2)()()222121110,22122kkk k k k E X D X ++==⋅+-⋅=,2211110()n k k D X n n n n n =⎛⎫=⋅=→→∞ ⎪⎝⎭∑。

满足马尔可夫条件。

(3)()32221122110,22k k EX D X k k k k k ==⋅+-⋅=,23222221111111(1)1()22n nnk k k k n n D X kkn n n nn===+⎛⎫=≥=⋅→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案第1章 事件与概率2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ⊂;(4)BC A ⊂.3、试把nA AA 21表示成n 个两两互不相容事件的和.6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。

8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n nn n n nn nC C C C;(2)0)1(321321=-+-+--nn n n n nnC C C C;(3)∑-=-++=ra k ra ba kb r k a C C C.9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。

11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m mm m m m =++只的概率。

13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。

现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。

14、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

16、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:nm x x x x <<<<< 21,试求Mxm=的概率,这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有39、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,,求()AB P 及()B A P 。

概率论基础第2版李贤平全部习题解答.pdf

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解:
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)= A1 A2 A1 An A1 A2 An1 .
4.在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学,事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌,事件 C 表示选到的人是运动员。(1)表述 ABC 及 ABC ;(2)什么条件下成立
同时发生。
(2) A B C A B C A B A且C A ,B 发生或 C 发生,均导致 A 发生。
(3) AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 (4) A BC A B C ,A 发生,则 B 与 C 至少有一不发生。
3.试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和.
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解:
(1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。
0.73 0.14 0.03 0.90 . (6)P{不订任何报纸的} 1 0.90 0.10 .
2.若 A,B,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1) ABC A ;(2) A B C A ;
(3) AB C ;(4) A BC .
解:
(1)ABC A BC A(ABC A显然) B A且C A ,若 A 发生,则 B 与 C 必
概率论基础(第 2 版)李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中,公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中,订阅 A 的占 45%,订阅 B 的占 35%,订阅 C 的占 30%,同时订阅 A 及 B 的占 10%,同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率:(1)只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的;(3)只订阅一种报纸的;(4)正好订阅两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的;(6) 不订阅报纸的。 解:

概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)

概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)

第一章 事件与概率1、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A =U U ;(3)C AB ⊂;(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和.3、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。

4、证明下列等式:(1)1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ; (2)0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ; (3)∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。

7、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

9、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。

现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码L ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列L ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<<L L 21,试求M x m =的概率,这里N M ≤≤1。

李贤平概率论与数理统计答案

李贤平概率论与数理统计答案

第1章事件与概率2、若A,B,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(l)qBC=A:(2)AUBUC = A;(3)A3uC:(4)Au 貳.3、试把儿U A: U…U A“表示成n个两两互不相容事件的和.6、若A, B. C, D是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3) A, B都发生而C, D都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。

8、证明下列等式:(1) C:+2C:+3C;+ ・- + nC;=“2"“;⑵ C;—2C:+3C;_…+ (—l)f C; =0;9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取岀三球,求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边:(3)第一卷或第五卷出现在旁边:(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。

11、把戏,2, 3, 4, 5诸数各写在一小纸片上,任取英三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n只白球,n只黑球,n只红球的袋中,任取m只球,求其中白、黑、红球分别有m,, m2, m3(/n, +m2 + m3 = m)只的概率。

13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。

现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。

14、由盛有号码1,2,…,N的球的箱子中有放回地摸了n次球,依次记下英号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

16、任意从数列1,2,…,N中不放回地取岀n个数并按大小排列成:X, < x2< ■•- < x nf试求x m = M的概率,这里1 < A/ < 7V18、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少?19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只,求下列事件发生的概率:(1)没有成对的鞋子;(2)只有一对鞋子:(3)恰有两对鞋子:(4)有r对鞋子。

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案word精品文档19页

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案word精品文档19页

第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量,若(0)a Eea ξ<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1)1{2}2kk P X =±=; (2)(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明对{}k ξ成立大数定律。

9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ=++,11()n n a E E nξξ=++,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。

10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而0mn→时, 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证,在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+⎰。

14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明:在贝努里试验中,01p <<,则不管k 是如何大的常数,总有{||}0()n P np k n μ-<→→∞。

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

李贤平《概率论与数理统计》标准答案第5章极限定理1、ξ为非负随机变量,若(0)a Eea ξ<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >,1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1)1{2}2kk P X =±=;(2)(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-;(3)11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明对{}k ξ成立大数定律。

9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n nηξξ=++,11()n n a E E nξξ=++,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??-=??+-??。

10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而0mn→时,2221~2n mn n n m -???? ???-??。

12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证,在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+?。

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<M
的数,哪
k2
次取到>M
的数,这共有
C k1 n
×k2 n−k1
种不同的固定方式,因此
k1
次取到<M

数,
k2 次取到>M
的数的可能取法有
C k1 n
×k2 n−k1
(M
− 1) k1
(N

M
)k2
种。
设 B 表示事件“把取出的 n 个数从小到大重新排列后第 m 个数等于 M“,则 B 出现就
是 k1 次取到<M 的数, k2 次取到>M 的数的数,0 ≤ k1 ≤ m −1,0 ≤ k2 ≤ n − m ,因此 B 包含
(6) E1 中还有这样的点 ω :12345,它仅属于 E1 ,而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示(如图)。
8、解:(1)因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
,两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ,在其中令 x=1 即得所欲证。
就不是运动员的学生全体时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学 生,并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。
5、解:设袋中有三个球,编号为 1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点(1),
(2),(3)。设 A = {1,2}, B = {1,3}, C = {3},则 A = {3}, A ∪ B = {1,2,3}, A ∩ B = {1}, A − B = {2},
从其每双中取出一只。所以欲求的概率为 P
=
C61C
C2 2
25
C21C
1 2
/ C142
=
16 33
=
0.48
19、解:(1)有利场合是,先从 n 双中取出 2r 双,再从每双中取出一只。
P
=
Cn2r
(C
1 2
)
2
r
/
C 2r 2n
,
(2r < n)
(2)有利场合是,先从 n 双中取出一双,其两只全取出,再从剩下的 n −1双中取 出 2r − 2 双,从鞭每双中取出一只。
(5){至多发生一个}= ABC D + ABC D + B AC D + C ABD + D ABC
= AB ∪ AC ∪ AD ∪ BC ∪ BD ∪ CD .
7 、 解 : 分 析 一 下 Ei 之 间 的 关 系 。 先 依 次 设 样 本 点 ω ∈ Ei , 再 分 析 此 ω 是 否 属 于
1,2}=1/
C
2 n
.
(2)任取 3 个球无号码 1,有利场合是从除去 1 号球外的 n −1个球中任取 3 个球
的组合数,故
A 发生。
(3) AB ⊂ C ⇒ A与 B 同时发生必导致 C 发生。 (4) A ⊂ BC ⇒ A ⊂ B ∪ C ,A 发生,则 B 与 C 至少有一不发生。
3、解: A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = A1 + ( A2 − A1) + + ( An − A1 − − An−1)
(或)= A1 + A2 A1 + + An A1 A2 An−1 .
14、解:若取出的号码是按严格上升次序排列,则 n 个号码必然全不相同, n ≤ N 。N 个不 同号码可产生 n !种不同的排列,其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种
组合对应一种严格上升排列,所以共有
C
n N
种按严格上升次序的排列。总可能场合数为
N
n

故题中欲求的概率为
P
=
C
n N
/
中取出 n − m 个数,数 M 一定取出,把这 n 个数按大小次序重新排列,则必有 xm = M 。
故P
=
C m−1 M −1
C11
C n−m N −M
/
C
n N
。当 M
−1<
m −1或
N
−M
<
n − m 时,概率
P
=
0.
17、解:从1,2, , N 中有放回地取 n 个数,这 n 个数有三类:<M,=M,>M。如果我们固
11、解:末位数吸可能是 2 或 4。当末位数是 2(或 4)时,前两位数字从剩下四个数字中
选排,所以 P = 2 × A42 / A53 = 2 / 5
12、解:
P
=
C
m n
1
Cnm
C2 m n
3
/ 3C3mn
13、解:P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}
= 3 × 10 + 7 × 6 + 15 × 9 = 207 = 0.33 . 25 25 25 25 25 25 625
了从1,2, , n + m −1 共 n + m −1 个数中,取出 m 个数的不重复组合中的一组,这种运算构
成两者之间一一对应。 若取出 n 个号码按上升(不一定严格)次序排列,与上题同理可得,一个重复组合对
应一种按上升次序的排列,所以共有 C~Nn 种按上升次序的排列,总可能场合数为 N n ,从而
m−1 n−m
∑ ∑ 的所有可能的取法有
C k1 n
C
k2 n−k1
(
M
−1)k1 (N
− M )k2
种。所以
k1=0 k2 =0
4
∑ ∑ P(B)
=
1 Nn
m−k1
× (M
−1)k1 (N
− M )k2
.
k1=0 k2 =0
18、解:有利场合是,先从 6 双中取出一双,其两只全取出;再从剩下的 5 双中取出两双,
4、解:(1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2) ABC = A ⇒ BC ⊃ A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C ⊂ B 成立。
(4)A=B 及 A = C ⇒ A = B = C ,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也
m1
=
C
C 0
n−1
1 N
+
Cn1−1C
2 N
+
C
C 2
n−1
3 N
+
+
Cnn−−11C
n N
=
C
n N
+ n −1
.
此式证明见本章第 8 题(3)。总可能场合数为 n1 = N n ,故所还应的概率为
P
=
m1
/
n1
=
Cn N +n−1
/
N
n
.
16、解:因为不放回,所以 n 个数不重复。从{1,2, , M −1} 中取出 m-1 个数,从{M +1, N}
1
A + C = {1,2,3}。
6、解:(1){至少发生一个}= A ∪ B ∪ C ∪ D . (2){恰发生两个}= ABC D + ACBD + ADBC + BC AD + CD AB + BDAC .
(3){A,B 都发生而 C,D 都不发生}= ABC D . (4){都不发生}= ABC D = A ∪ B ∪ C ∪ D .
李贤平-概率论基础答案
第一章 事件与概率
1、解: (1) P{只订购 A 的}=P{A(B∪C)}=P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P{只订购 A 及 B 的}=P{AB}-C}=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P{只订购 A 的}=0.30,
ω ∈ E1E2 。由此得 E3 E1 ∪ E3 E2 = E3, , E1E2 E3 = φ 。
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
E2 E3
(5)若ω ∈ E2 ,则必有 ω ∈ E1 或 ω ∈ E3 之一发生,由此得
E6 = φ, E0 = Ω
E2 E1 ∪ E2 E3 = E2 。
P{只订购 B 的}=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P{只订购 C 的}=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. ∴P{只订购一种报纸的}=P{只订购 A}+P{只订购 B}+P{只订购 C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的} =P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P{至少订购一种报纸的}= P{只订一种的}+ P{恰订两种的}+ P{恰订三种的}
定 k1 次是取到<M 的数, k2 次是取到>M 的数,当然其余一定是取到 M 的。 当次数固定后,<M 的有 (M −1)k1 种可能的取法(因为每一次都可以从 M −1个数中取
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