模糊数学方法在数学建模中的应用-课件PPT

函数A(x)可定义为
A(x) x140 A(x) x100
190140
200100
也可用Zadeh表示法：
A00.20.40.60.81 x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.150.2 0.420.6 0.8 0.9 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6 7
例2 古代史的分期（指划分奴隶社会和封建 社会的界限）是模糊的，可表示为模糊集
模糊数学建模方法
于鹏 陕西科技大学理学院
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模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊
矩阵的合成.
设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 系可表示为模糊矩阵的合成：
尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
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第一部分 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价 关系
A0.9 (90分以上者) = {u5 , u6}, A0.6 (60分以上者) = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 10
§1.3 模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系.
模糊子集 R 的隶属函数为映射
对于有限论域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, y2, … , yn}，则X 到Y 模糊关系R可用m×n 阶模糊 矩阵表示，即
R = (rij)m×n， 其中rij = R (xi , yj )∈[0, 1]表示(xi , yj )关于模糊关 系R 的相关程度.
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模糊关系的合成
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§1.2 模糊集的基本定理
-截集：
(A) = A= {x | A(x) ≥ }
模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属 度不小于的成员构成.
例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学 习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
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y
§1.1 模糊子集及其Βιβλιοθήκη Baidu算
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经 典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子 集就是模糊子集的特殊情形.
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模 糊 集 合 的 表 示 方 法 ：
设 论 域 U{x1,x2,,xn}是 有 限 论 域 ， U上 的 模 糊 集 A,其 隶 属 函 数 为 A （ xi） （ i=1,2,,n) (1)扎德表示法
A（x1） A（x2） A（xn） A
x1
x2
xn
(2 )序 偶 表 示 法
A （ {x 1 ， A （ x 1 ） ） ， （ x 2 ， A （ x 2 ） ） ， ， （ x n ， A （ x n ） ）
R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度.
特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
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模糊关系的运算
由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.
设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)； 并： R1∪R2 的隶属函数为
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(3)向量表示法
A
（
A（
x1）
，A（
x
）
2
，
，A（
x
）
n
）
一 般 ， 若 0 ai 1, i 1, 2, , n, 则 称 a (a1, a1, , an ) 为模糊向量.
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例1 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身 高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属
A 夏 1 商 1 西 0 .周 9 春 0 .秋 7 战 0 .国 5 0 秦 .4 西 0 .汉 3 东 0 .汉 1
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模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)； 交： R1∩R2 的隶属函数为
(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).
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(R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者 R2”的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊 关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对 模糊关系“非R”的相关程度. 模糊关系的矩阵表示