逻辑函数的卡诺图
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的卡诺图化简法2
逻辑函数的卡诺图化简法211.6 逻辑函数的卡诺图化简法2【预习】第三册课本第26⾄28页内容.【预习⽬标】了解逻辑函数的卡诺图的概念，了解卡诺图作图的作图⽅法及注意点. 【导引】1．卡诺图：卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则（⼏何位置上相邻的⼩⽅格只有⼀个因⼦互为反变量，⽽且⽔平、垂直⽅向的两端也如此）排列⽽成的⽅格图，即每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项．对于含有两个逻辑变量（记为A,B ）的逻辑函数,⽤00表⽰B A ?，01表⽰B A ?，10表⽰B A ?，11表⽰B A ?，其卡诺图的形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有三个逻辑变量（记为A,B,C ）的逻辑函数，可以仿照两个变量的符号表⽰⽅法，得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有四个逻辑变量（记为A,B,C,D ）的逻辑函数，仿照上⾯的⽅法可以得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.【试试看】1.卡诺图的每⼀个⼩⽅格对应着函数的（） A ．最⼤项B ．最⼩项C ．最简函数项D ．输⼊项2.变量为A 、B 、C 的逻辑函数其最⼩项有个，对应的卡诺图⼩⽅格有个.【本课⽬标】了解卡诺图的概念，能根据给定的逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【重点】卡诺图的概念，给定逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【难点】由逻辑函数画卡诺图. 【导学】任务1：学会画出逻辑函数对应的卡诺图.【例1】例1 画出逻辑函数()C B A C B A BC A C AB ABC C B A f ++++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C AB C B A BC A ABC C B A f +++=,,对应的卡诺图．【例2】画出逻辑函数()C A C B ABC C B A f ++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C B A C B A A C B A f ++=,,对应的卡诺图．【检测】画出逻辑函数(),,f A B C AB BC AB =++对应的卡诺图．【导练】⼀、选择题1.关于作卡诺图说法错误的是（）A.卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则排列⽽成的⽅格图B.根据变量数的不同，卡诺图可画成2⾏2列、2⾏4列、4⾏4列的形式C.三个变量的卡诺图第⼀⾏的4个取值依次为 00、01、10、11D.卡诺图中每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项2. 逻辑函数C B A C B A C AB Y ++=的卡诺图为（）A. B.C. D.3.最⼩项D C AB 的逻辑相邻项为（）A. D C B AB. ABCDC. D ABCD. D C B A ⼆、填空题4.将逻辑函数C B A B A Y +=展开为最⼩项表达式为．5.将逻辑函数()C B A Y +=展开为最⼩项表达式为．三、解答题6. 画出逻辑函数()CD B A D C B A CD B A D C AB D C B A f +++=,,,对应的卡诺图．7. 画出逻辑函数()C B C B C A C A C B A f +++=,,对应的卡诺图．。
《逻辑函数的卡诺图化简法》习题及参考答案
逻辑函数的卡诺图化简法 习题及参考答案习题1 用卡诺图化简下列函数，并写出最简与或表达式： （1）C B C B B A F ++=参考答案：B A F +=，卡诺图如下所示。
（2）D B A CD A B A D C A ABD F ++++=参考答案：CD A D B A D C B BD B A F +⋅+⋅⋅++=，卡诺图如下所示。
（3）()15,13,10,8,7,5,2,0),,,(∑=D C B A F参考答案：D B BD F ⋅+=，卡诺图如下所示。
习题2 用卡诺图化简下列具有约束条件为AB +AC = 0的函数，并写出最简与或表达式：（1）C A B A F +=参考答案：C A B F ⋅+=，卡诺图如下所示。
（2）D C B A D B A BD A C B A F +++=参考答案：D A C B F ++=，卡诺图如下所示。
习题3 根据如下真值表，写出逻辑函数。
化简此函数，并画出逻辑图。
A B C F 1 F 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 0 10 0 0 1 0 1 1 1参考答案：C B A AC C B ABC C B A C B A C B A F ++=+++⋅=1BC AC AB ABC C AB C B A BC A F ++=+++=2逻辑图如下所示：习题4 某逻辑电路有三个输入A 、B 、C ，当输入相同时，输出为1，否则输出为0，列出此逻辑事件的真值表，写出逻辑表达式。
参考答案：真值表如下图所示 逻辑表达式为ABC C B A F +⋅⋅=。
用卡诺图化简逻辑函数
1
ABC 11 1 1 1
ACD
10
11
F = ABC + ACD + ABD + BC
12
电子工程学院
卡诺图化简法举例3
化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=Σm(2,3,4,6,10,11,12,13,15)
解：
最简式不唯一，但最 简式中的项数和每一 项的因子数是固定的
BC
CD AB
00
01
11
ABD 01
(2) 画包围圈合并最小 BC
11
项，得到最简与-或
111 11
CD
表达式
10
1
1
ABCD
F = ABCD + ABD + ABD + BC + CD
10
电子工程学院
卡诺图化简法举例2
化简 F(A,B,C,D)=Σm(3,4,5,7,9,13,14,15)为最简与或式
解：
CD AB
00
10
00
11
ABD 01 1
1
ABC 11 1 1 1
ABD
10
11
F = ABC + ABD + ABD + BC
13
电子工程学院
卡诺图化简法举例4
化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=Σm(0~3,5~7,8~11,13~15)
圈1：
CD AB
00
01
11
10
B 00 1 1 1 1
圈0：
CD AB
ABCD + ABCD = ABD ABCD + ABCD = ABD ABD + ABD = AD ABD + ABD = AD
逻辑函数卡诺图表示方法
逻辑函数卡诺图表示方法从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。
确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。
例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。
下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表3.最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。
例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。
对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。
解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m4.最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。
卡诺图化简法
下面两个图，你会画卡诺圈吗？
CD AB 00
01 11
10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11
10
ABCD00 01 11 10
00 1
1
01 1
1
11 1
1
10 1
1
FA
FD
小结
• 1、卡诺图，用卡诺图表示逻辑函数 • 2、卡诺图法化简逻辑函数的步骤
数字电子技术
数字电子技术
目录
• 1、什么是卡诺图？ • 2、卡诺图法化简的步骤
逻辑函数卡诺图化简法
• 卡诺图是什么？
最小项 卡诺图画法规则
卡诺图表示函数
逻辑函数卡诺图化简法
•最小项： 设有 n 个变量，它们组成的“与” 项中每个变量或 以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次， 这些与项均称之为n个变量的最小项。若函数包含 n 个变量，构成的最小项应为 2n个，分别记为 mn。
③“圈1”-----用卡诺圈把相邻最小项进行合并，遵照 最大化原则；
④“读圈”----- 根据所圈的卡诺圈，消除圈内全部互 反的变量，保留相同变量作为一个“与”项。
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图法化简时应遵循以下原则
① “1” 的个数为2n； ② 包围圈越大越好，个数越少越好； ③“1”可以被重复包围使用； ④必须把所有的“1”都圈完。
三变量的最小项共有23 =8个，可表示为：
ABC 000 m0 ABC 001 m1 ABC 010 m2 ABC 011 m3 ABC 100 m4 ABC 101 m5 ABC 110 m6 ABC 111 m7
逻辑函数卡诺图化简法
•卡诺图画法规则： 卡诺图是平面方格阵列图，其画法满足几何
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法代数化简法的优点是不受变量数目的限制。
缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。
它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh ）发明的，所以称为卡诺图化简法。
卡诺图实际上是真值表的一种变形，一个逻辑函数的真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。
所不同的是真值表中的最小项是按照二进制加法规律排列的，而卡诺图中的每一项则是按照相邻性排列的。
1．卡诺图的结构（1）二变量卡诺图。
00011110m ABm AB1m 03m AB AB4A(a)B 0132AB(b)（2）三变量卡诺图。
0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC74ABCm m m ABCABC0(a)(b)132457610011100BCA 01BC A（3）四变量卡诺图。
m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412m 15m ABCDABCD ABCD m ABCD 8m 1011m 9m ABCD ABCD 0132765413141512981110AB CD0000010111111010(a)(b)2．从真值表到卡诺图例3.2.3 某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。
解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表3.2.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图3.2.4所示。
图3.2.4 例3.2.3的卡诺图3．从逻辑表达式到卡诺图（1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。
卡诺图
卡诺图
n个最小项组织在给定的方格矩阵中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。
[编辑]变量卡诺图
▪表示各最小项的2n（n-变量数）个小格，排列呈矩形。
▪小格按“循环码”排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。
（几何相邻有“内相邻”“外相邻”和“中心对称”）
[编辑]函数卡诺图
把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格
内。
99
[编辑]用卡诺图化简逻辑函数的步骤
▪如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
▪如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入。
▪合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
▪尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。
要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
▪圈的个数尽量少。
▪卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
▪在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
▪写出化简后的表达式。
每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。
然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。
数字逻辑电路- 逻辑函数的卡诺图
第二章 逻辑函数及逻辑门2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。
2-3-l 卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。
二变量 卡诺图三变量 卡诺图四变量卡诺图例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。
Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10)解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图例2-14试画出的卡诺图。
解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式：Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15)同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。
例2-15 试画出函数Y的卡诺图。
Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6)解作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量卡诺图Y＝AD+ABC+BCD+ABCD2-3-2用卡诺图化简函数 一、卡诺图化简原理 (1) 圈1法(最小项之和) ● 规则 ● 表达式例2-17 试用卡诺图化简函数Y ＝f (A ，B ，C)＝∑m (0，2，4，7)。
5§1.5用卡诺图法化简逻辑函数
1
BC A 00 01 11 10
0
1
1
1
BC A 00 01 11 10
0 11 1 1
1
第一章 数字电路基础
BC A 00 01 11 10
01
1
1
BC A 00 01 11 10
0 11
1 11
BC A 00 01 11 10
01
1
11
1
脉冲数字电路
CD AB 00 01 11 10
最小项是指包含逻辑函数中所有变量的一个乘积项。 对于n个变量的逻辑函数有2n个最小项。
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
mi: m—最小项
i—最小项对应的变量取值所对应的十 进制数。
如： ABC m5
ABCD m10
ABC m2 ABCD m15
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
序号
0 1 2 3 4 5 6 7
2.不同的最小项，使它的值为1的那组变量取 值也不同；
3. 对于变量的任一组取值，任何两个最小项的乘 积为0；
4. 对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
（二）逻辑函数的最小项表达式
任何一个逻辑函数均可展开成最小项之和的形式，它是标 准形式，而且是唯一的。
F AB AC AB C C A B B C
脉冲与数字电路
学习内容
• 逻辑函数的卡诺图化简法
学习目标
• 知道最小项、相邻项等概念，能作出四变量以下 的逻辑函数的卡诺图，并能通过卡诺图对逻辑函 数进行化简。
脉冲与数字电路
第一章 数字电路基础
§1.5 用卡诺图法化简逻辑函数
逻辑函数卡诺图化简
11
二、用卡诺图表示逻辑函数
0100
最简与非—与非式为： 本节的重点是逻辑函数的卡诺图表示法和卡诺图化简方法。
1111 n个变量的函数--k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；
BD
11 10
1
1 1
1 1
1 1
八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量
F F AB CA CB D D A B C
1100
01 1 0 0 1
八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量
0101 1011
说明：如果求得了函数
1 1 1Ｙ1 的反函数Ｙ，则对Ｙ中所
11 0 0 0 0 10 0 0 1 1
包含的各个最小项，在卡诺 图相应方格内填入0，其余
ＢＣ的公因子
方格内填入1。
图形法化简函数
一A 、 A卡B诺C图D合 并A B最C小D项的规则：
0001111000011110abcd两个相邻格圈在一起两个相邻格圈在一起结果消去一个变量结果消去一个变量abdad000111100001111011abcd四个相邻格圈在一起四个相邻格圈在一起结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起八个相邻格圈在一起结果消去三个变量结果消去三个变量十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起结果一起结果mmii并在一起构成正方形或矩形圈消去i个变量而用含ni个变量的积项标注该圈
并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量， 而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。
CDE
AE
AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
逻辑函数的卡诺图
数字逻辑基础 【例】 解 画出函数 Z ( A B)C ( B C )D 的卡诺图。
Z ( A B)C （B C）D ( A B AB )C ( BC B C ) D A BC AB C B C D BCD
式中:
A BC m6 m7 AB C m10 m11 B C D m1 m9 BCD m7 m15
卡诺图
BC A 0 1
00 0 0
01 0 1
11 1 1
10 0 1
1 1
1 1
0
1
1
1
数字逻辑基础
（2）如果给出的是逻辑函数的标准与或式——最小项表达式， 只要 在变量卡诺图上找到函数表达式所包括的全部最小项对应的小方格，并填 上1，其余的小方格填0，即可得函数的卡诺图。
CD 00 AB 00 0 01 11 10 0 0 0
数字逻辑基础
3、最小项编号
对最小项进行编号主要是为了叙述和书写方便， 编号的方法是：
•
把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进
制数就是该最小项的编号。 • 例如变量A、 B、C的最小项 对应的变量取值组合是 000，相应的十进 ABC 制数是“0”，因此其编号是“0”，记作m0。表中列出了三变量A、B、C的 每个最小项的相应编号。
例如：两变量函数 而
AB
A
AB
是最小项 不是最小项
A B
A AB
数字逻辑基础
2、最小项的性质为：
• 每一个最小项对应了一组变量取值，而任意一个最小 项只有对应的那一组变量取值组合使其值为1； • 对于某一种取值，任意两个最小项的积恒为0； • 对于某一种取值，全体最小项之和恒为1； • 若两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小 项为逻辑相邻项。n变量函数，每个最小项有n个最小项 与之相邻。
卡诺图
卡诺图卡诺图是逻辑函数的图形表示。
利用卡诺图可以简化逻辑函数。
卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。
因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为。
二个变量的卡诺图见下图所示。
图中第一行表示，第二行表示A；第一列表示，第二列表示B。
这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。
三变量卡诺图三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。
沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；原变量与非变量各占4格。
四变量卡诺图∙四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；∙纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；∙原变量与非变量各占8格卡诺图的有用组合卡诺图二方格相邻组合几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）；有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的；任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。
【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)第一种组合方式：_ _m 8+m12= A C D （几何相邻）_ _m 2+m3= A B C （几何相邻）_ _m 2+m10= B C D （几何不相邻，逻辑相邻）第二种组合方式：_ _m 8+m12= A C D_ _m 2+m3= A B C_ _m 8+m10= A B D （几何不相邻，逻辑相邻）F(A,B,C,D) =∑m(2,3,8,10,12)_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + B C D_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + A B D两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。
另外，m2、m8重复使用是允许的。
卡诺图四方格相邻组合四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。
2.2_逻辑函数的卡诺图化简法
CD AB
00
01 11 10
数简。最函数适单学宜击习返主使回页用返，回单卡卡击变允诺继诺量许图续图法，的有化继进代一简续行码个逻向辑下只不化 以学习四。变量(AB同CD。)的卡诺
00
00 00 00 01 00 11 00 10
AB0CD AB1CD AB3CD AB2CD
01
01 00 01 01 01 11 01 10
单击返回返回2逻卡.诺对辑图各法函化最简数小逻辑的项按卡十诺进图制化进简行法编号并列表
函数学习主页 ，单击继续，继续向
下2学.习最。 小项的各种表示方式（以三变量为例）
变量组返回合 十进制继续 最小项 ABC
000
0
ABC
001
1
ABC
010
2
ABC
011
3
ABC
100
4
ABC
ห้องสมุดไป่ตู้
101
5
ABC
110
=(A0+A)C 1
=C 0
1
四 C以相只项10同剩中，下只所11C有 11
“或同”1理后，只橙0剩框下四B项0。相 11
1 0 11
绿框1 四项1相“或0”后 1
只剩下1 A。 1 1 1
三变量卡诺图
C AB
0
1
00 ABC 0 ABC 1
01 ABC 1 ABC 1
11 ABC 1 ABC 1
10 ABC 1 ABC 1
项发现，任意相邻两个最 小项之间只有一个变量不
10
10 00 10 01 10 11 10 10 ABCD ABCD ABCD ABCD
同。
把最小项的具体形式代入。
卡诺图
物电11<11> 吴志峰 11415235卡诺图在数字电子技术中的数字逻辑电路设计的分析、化简中起着一个非常重要的数学工具的作用，通过系统的研究及总结可以让读者更为直观、全面的了解卡诺图并得以充分的利用。
1 卡诺图的定义卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。
两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。
2 用卡诺图表示逻辑函数2.1 最小项的意义N 个变量的最小项是n 个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。
任何一个逻辑函数经过逻辑代数的基本公式的变换，都能表示成唯一的若各干最小项之和的形式，即最小项表达式2.2 最小项的编号最小项通常用M i 表示，下标i 即最小项编号，用十进制表示。
将最小项中的原变量用1表示，非变量用0 表示，可得到最小项的编号以ABC 为例，因为它和000相对应，所以就称ABC 是和变量取值000相对应的最小项，而000相当于十进制中的0，所以把ABC 记作M 3。
2.3 卡诺图的引出卡诺图是逻辑函数的一种图形表示，是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格内，特定方格的系统组成及内含规律即卡诺图的作图、算法的使用原则。
依据逻辑函数中变量数的不同，卡诺图也有相对应变量数图形，从简到繁依次为一变量卡诺图、二变量卡诺图、三变量卡诺图等。
下面给出常用的四变量卡诺图，其它图形可依此推演。
填入最小项的卡诺图 最小项简化表示法由此可得出卡诺图是可以直接观察相邻项。
也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在集合上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
现在以四变量卡诺图为例来说明，为清楚起见，把各最小项填入对应方格内，且用1表示原变量，0表示非变量。
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1.最小项的基本概念
由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是
1. 每项都只有三个因子
2. 每个变量都是它的一个因子
3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次
一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质
为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号
表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为最小项通常用m
i
例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而
按此原则，3个变量的最小项
011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m
3
二、逻辑函数的最小项表达式
利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将
化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将
逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即
又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；
（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；
（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用
乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数
1.卡诺图的引出
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。
比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：
其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m
1和m
，即m
=D，m
1
=D。
这两个最小项
可用两个相邻的方格来表示，如下图所示。
方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。
为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。
但是还可以
进一步简化，也就是将m
0，m
1
只用其下标编号来表示。
若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数的最小项表达式为
由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。
这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合
展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。
而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m
项，即维持展开前两方格
最小项序号不改变。
由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1＝22-1＝2。
按照这个规律折叠时，方格1后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。
综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：
①新增加的方格按展开方向应标以新变量。
②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2n-1。
按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。
３变量逻辑函数L(B, C, D)应有８个最小项，可用８个相邻的方格来表示。
新增加的４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。
而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：
同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。
在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。
将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。
2.卡诺图的特点
上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项。
也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律
的，例如，m
4和m
6
的差别仅在C和。
同样，垂直方向同一列里最上端和最下端
两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。
这个特点说明卡诺图呈现循环邻接的特性。
3.已知逻辑函数画卡诺图
根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。
例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可
根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。
例：画出
的卡诺图
解：
（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：
（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。
四、用卡诺图化简逻辑函数
1.化简的依据
我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。
比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是
，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻
方格中不相同的那个因子。
若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、３、７、６，它们的逻辑加是
消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子
，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。
这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。
2.化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：
（1）将逻辑函数写成最小项表达式。
（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。
（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。
（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。
有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。
画包围圈时应遵循以下原则：
（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、3、…。
（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。
（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。
化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。
实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大
，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。
下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。
例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的与一或表达式及与非一与非表达式。
解：
（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。
（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。
（3）求与非一与非表达式。
二次求非然后利用摩根定律得
利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项
，往往显得零乱而易出错。
这时采用包围０的方法化简更为简单。
即求出非函数
再对求非，其结果相同，下面举例说明。
例：化简下列逻辑函数
解：
（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。
（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得
所以有：
（3）用包围０的方法化简，如图所示，
根据图得到：，两边去反后可得：
两种方法得到的结果是相同的。
实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。
无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。