函数极值与导数练习(基础)
《导数》基础训练题(1)答案
高考数学模拟卷基础题型训练（1）姓名：导数概念公式【笔记】课堂练习1、在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是（ D ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24【笔记】 2、曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ A ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10【笔记】4、函数1y x x=+的导数是（ A ） A ．211x -B ．11x -C ．211x + D ．11x+ 【笔记】5、函数cos xy x=的导数是（ C ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ． 2cos cos x x xx+- 【笔记】6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ C ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x +【笔记】课后作业（1） 姓名：1、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=，则a 的值等于（ D ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．3102、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为（ D ）A ．y x π=-B ．0y =C ． 4y x π=-D ．44y x π=- 3、求下列函数的导数：（1）12y x =； （2）41y x=； （3）y 【答案】（1）11'12x y =， （2）54--=x y ；（3）5253-=x y4、若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________1±________5、函数sin x y x =的导数为___________2'sin cos xx x x y -=__________ 6、与曲线y ＝1ex 2相切于P (e ，e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底)高考数学模拟卷基础题型训练（2）姓名：1、已知曲线3:C y x =。
极值与导数常见题型归纳讲义2023届高三数学二轮专题复习
函数的极值与导数常见题型归纳题模一：函数极值的概念与判定 1. 下列结论中正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，那么f （x 0）是极大值 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点________个；有极小值点________个． 2. 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为，且，那么下列情形不可能出现的是（ ） A.， B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点题模二：具体函数的极值1. 下列函数中，0x =是极值点的函数式（ ） A.3y x =- B.2cos y x = C.sin y x x =- D.1y x=2. 函数f （x ）=14x 4-13x 3+x 2-2在R 上的极值点有（ ） A.3个 B.2个 C.1个D.0个3. 已知函数．求的极小值．4. 已知函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f （x ）的极大值为____．5. 已知函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴． （1）求实数t 的值； （2）求f （x ）的极值．题模三：已知含参函数极值点求参数1.函数f （x ）=x 3+ax 2+3x -9，已知f （x ）在x=-3时取得极值，则a=（ ） A.2 B.3 C.4D.5()f x ()a b ，'()f x ()a b ，()f x ()a b ，()f x ()g x R ()f x ()g x 0x =0()()f x g x ≥x R ∀∈()()0f x f x ≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --()3213232f x x x x =-+()f x 题模精讲.2 设函数．若的两个极值点为、，且，求实数________．3. 若函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ）A.a ＞-3B.a ＜-3C.a ＞-13D.a ＜-134. 若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .题模四：已知含参函数极值情况求参数范围1. 若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(,1)-∞C.(0,)+∞D.1(0,)22. 已知三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点，则a 的范围是（ ）A.(0，13)B.(0，13]C.(-∞，13)D.(-∞，0)∈(0，13)3. 已知f （x ）=22(1)x bx --无极值，则b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44. 已知函数，，且有极值．求实数的取值范围．1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ A.y=x 3B.y=ln （-x ）C.y=xe -xD.y=x+2x2.关于函数()32f x x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.既有极大值也有极小值D.既无极大值也无极小值3. 已知函数f （x ）=（x 2+a ）•e x （x∈R ）在点A （0，f （0））处的切线l 的斜率为-3． （1）求a 的值以及切线l 的方程；（2）求f （x ）在R 上的极大值和极小值．4.已知函数f （x ）=（x 2+ax -2a 2+3a ）e x （x∈R ），若a∈R ，求函数f （x ）的单调区间与极值．5. 函数f （x ）=x 2+aln （1+x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的范围是()()326322f x x a x ax =+++()f x 1x 2x 121x x =a =()ln f x ax x =+(1)x e ∈，()f x a 随堂练习____．6. 已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3． （1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．7. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当为何值时，函数有极值？并求出极大值．8. 若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是____．9. 函数y=x 3-2ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，3）B.（0，32） C.（0，+∞） D.（-∞，3）10 已知f （x ）与g （x ）是定义在R 上的连续函数，如果f （x ）与g （x ）仅当x=0时的函数值为0，且f （x ）≥g （x ），那么下列情形不可能出现的是（ ） A.0是f （x ）的极大值，也是g （x ）的极大值 B.0是f （x ）的极小值，也是g （x ）的极小值 C.0是f （x ）的极大值，但不是g （x ）的极值 D.0是f （x ）的极小值，但不是g （x ）的极值11设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ）A.x=12为f （x ）的极大值点B.x=12为f （x ）的极小值点C.x=2为 f （x ）的极大值点D.x=2为 f （x ）的极小值点()()3211132f x x ax a x =-+-1a =()y f x =()00，a ()y f x =12 已知函数f （x ）=4x +a x -lnx -32，其中a∈R ，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． （∈）求a 的值；（∈）求函数f （x ）的单调区间与极值．13 已知函数，试讨论的极值 ．14已知函数（）．讨论在区间上的极值点．15 若函数f （x ）=21x ax ++在x=1处取极值，则a=____．16 如果函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，那么a = ，b = ．()ln f x ax x =+()f x ()2ln 2x f x a x =-1a >()f x ()1e ，答案解析题模一：函数极值的概念与判定 1.【答案】B 【解析】导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点，故A 错；如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，则函数先增后减，则f （x 0）是极大值； 如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，则函数先减后增，则f （x 0）是极小值； 故选B ．2.【答案】2；1【解析】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知在内只有2个极大值点，1个极小值点．3.【答案】D【解析】A 项，（）是的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点； C 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点；D 项，是把的图象分别关于轴、轴对称，因此是的极小值点．题模二：具体函数的极值 1.【答案】B【解析】A ．230y x '=-<，所以无极值点；B ．2cos sin y x x '=-，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上0y '>，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上0y '<，所以0x =是极大值点；C ．cos 10y x '=-≤，所以无极值点；D ．210y x'=-<，所以无极值点．2.【答案】C 【解析】f′（x ）=x 3-x 2+2x=x （x 2-x+2），∈x 2-x+2＞0，∈x∈（-∞，0）时，f′（x ）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0； ∈x=0是函数f （x ）的极小值点． 故选：C ．.3【答案】极小值为．【解析】．列表如下：1 2 + 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，的极小值为． '()f x ()f x ()a b ，()a b ，0x 00x ≠()f x ()f x -()f x y 0x -()f x -()f x -()f x x 0x ()f x -()f x --()f x x y 0x -()f x --()223f =23212f x x x x x '=-+=--x ()1-∞，()12，()2+∞，()f x '()f x ()f x ()23f =4.【答案】2ln2-2【解析】由于函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f′（x ）=2f′（1）×1x-1（x ＞0），f′（1）=2f′（1）-1，故f′（1）=1，得到f′（x ）=2×1x -1=2xx-，令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜2，令f′（x ）＜0，解得：x ＞2， 则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数， 故f （x ）的极大值为f （2）=2ln2-2 故答案为：2ln2-25.【答案】（1）t=-2（2）f(x)极大值=4，f （x ）极小值=1+4ln2 【解析】（1）∈f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1），∈f '(x)=2(x+t)+41x +，∈函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴，∈f '(1)=2(1+t)+42=0，解得t=-2．（2）由（1）知f '(x)=2(1)1x x x -+，x ＞-1，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得-1＜x ＜0或x ＞1， ∈f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（-1，0），（1，+∞）， ∈f(x)极大值=f （0）=4，f （x ）极小值=f （1）=1+4ln2． 1.【答案】D 【解析】∵f′（x ）=3x 2+2ax+3，又f （x ）在x=-3时取得极值 ∈f′（-3）=30-6a=0 则a=5． 故选D2.【答案】9．【解析】．已知，从而，所以．3.【答案】B 【解析】因为函数y=e 1a x -（）+4x ，所以y′=（a -1）e 1a x -（）+4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=11a -ln 41a-，因为函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，()()218622f x x a x a '=+++()()120f x f x ''==122118a x x ==9a =所以x 0=11a -ln 41a -＞0，即ln 41a-＜0， 解得：a ＜-3． 故选B ．4.【答案】15a --<或15a -+>或1a =【解析】即21()(1)04f x a x ax =-+-=有解.当–10a =时，满足.当–10a ≠时，只需2(1)0a a ∆=+->.题模四：已知含参函数极值情况求参数范围 1.【答案】D【解析】∵()2'36f x x b =-，由题意，函数'()f x 图象如右图．''(0)0,(1)0,f f ⎧<⎪∴⎨>⎪⎩即60,360,b b -<⎧∴⎨->⎩得102b <<．故选D 2.【答案】D【解析】由题意知，f′（x ）=3ax 2-2x+1，∈三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点， ∈f′（x ）=3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根， ∈当a ＞0时，此时3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根， ∈44310203103a aa⎧⎪=-⨯⨯>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，即0＜a ＜13，∈当a ＜0时，此时3ax 2-2x+1=0有一正一负根，只须∈＞0，即4-12a ＞0，∈a ＜13，∈a ＜0综上所述，a 的范围是(-∞，0)∈(0，13)故选D ．3.【答案】B 【解析】∵f′（x ）=32(1)2(2)(1)x x b x ----=32(1)(1)x b x -+--， ∈若函数f （x ）=22(1)x bx --无极值，则1-b=-1，∈b=2．故选B ．4.【答案】． 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】由求导可得，令，可得． ∵，∴，∴ 又因为所以，有极值，实数的取值范围为．1.【答案】D 【解析】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项y=x 3单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值． 故选：D ．2.【答案】D【解析】∵()22123213033f x x x x ⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，∴既无极大值也无极小值，故选D ．3.【答案】（1）a=-3，3x+y+3=0 （2）极大值为6e -3，极小值为-2e 【解析】（1）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x+a ）•e x … 所以f'（0）=-3∈a=-3，…（4分）所以f （0）=-3，切线方程为3x+y+3=0；…（2）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x -3）•e x =（x+3）（x -1）e x ∈f'（x ）=0∈x=-3或x =1，…当x∈（-∞，-3），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（-3，1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（1，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，… 所以极大值为f （-3）=6e -3，极小值为f （1）=-2e ．…4.【答案】见解析 【解析】f′（x ）=[x 2+（a+2）x -2a 2+4a]e x令f′（x ）=0 解得x=-2a 或x=a -2以下分三种情况讨论．()ln f x ax x =+1()f x a x '=+1()0f x a x '=+=1a x=-(1)x e ∈，111x e ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，11a e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，(1)x e ∈，()f x a 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，极大值x 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a -1e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x '+0-()f x ↗↘随堂练习（1）若a ＞23，则-2a ＜a -2．当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： -所以f （x ）在（-∞，-2a ），（a -2，+∞）内是增函数在（-a ，a -2）内是减函数 函数f （x ）在x=2处取得极大值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极小值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（2）若a ＜23则-2a ＞a -2当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表：函数f （x ）在x=2处取得极小值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极大值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（3）若a=23则-2a=a -2函数f （x ）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值5.【答案】（0，12）【解析】∵f （x ）定义域为（-1，+∞），又f′(x)=2x+1ax +，令f'（x ）=0，则2x+1ax +=0，∈函数在（-1，+∞）内有两个不同的实数根， ∈a=-2x （x+1），令y 1=a ，y 2=-2x （x+1）， 如图示：∈0＜a ＜12． 6.【答案】（1）a=-6，b=9（2）0 【解析】（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3， 即3203a b a b +=⎧⎨+=⎩，a=-6，b=9（2）y=-6x 3+9x 2，y′=-18x 2+18x ，令y′=0，得x=0或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增． ∈y 极小值=y|x=0=0．7.1）；（2）．【解析】．（1）当时，，则曲线在点处的切线方程为； （2）显然，当时，即时函数有极值．1 + 0 - 0 +递增极大值点递减极小值点递增此时，函数极大值为．1+ 00 +递增极大值点 递减极小值点递增此时，函数极大值为 ． 综上，．8.【答案】[13，+∞）【解析】f′（x ）=3x 2+2x+m ，∈函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点， ∈f （x ）在R 上是单调函数，∈∈=4-12m≤0，解得m≥13，0y =()24(1)26=2223aa a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦1a =()00k f '==()y f x =()00，0y =11a -≠2a ≠2a <11a -<x ()1a -∞-，1a -()11a -，()1+∞，()f x '()f x ()y f x =()()2116f a a -=-x ()1-∞，()11a -，1a -()f x '-()f x ()y f x =()213f =-()24(1)26=2223a a a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，故答案为：[13，+∞）．9.【答案】B【解析】根据题意，y'=3x 2-2a=0有解，所以a ＞0 23a 所以23a 所以023a 1 0＜23a ＜1 0＜a ＜3210【答案】C【解析】根据题意和图形知结合函数的图象分析：可得A ，B ，D 可能．当0是f （x ）的极大值时，不是g （x ）的极值是不可能的，选C ．11【答案】D【解析】∈f （x ）=2x+lnx ； ∈f′（x ）=-22x +1x =22x x ； x ＞2∈f ′（x ）＞0；0＜x ＜2∈f ′（x ）＜0．∈x=2为 f （x ）的极小值点．故选：D ．12【答案】（Ⅰ）54，（Ⅱ）函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）； 单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．【解析】（∈）∈f （x ）=4x +a x -lnx -32， ∈f′（x ）=14-2a x -1x， ∈曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． ∈f′（1）=14-a -1=-2，解得：a=54， （∈）由（∈）知：f （x ）=4x +54x -lnx -32，f′（x ）=14-254x -1x =22454x x x --（x ＞0）， 令f′（x ）=0，解得x=5，或x=-1（舍），∈当x∈（0，5）时，f′（x ）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．13【答案】当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．【解析】函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+=． 当a≥0时，f'（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a ＜0时，由f'（x ）＞0，解得0＜x ＜-，此时函数递增．由f'（x ）＜0，解得x ＞-此时函数递减．此时函数在x=-处取得极大值．无极小值． 综上所述：当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．14【答案】的极小值点为【解析】，导数=， ≥e ，即a≥e 2时，在区间（1，e ）上单调递减，无极值点．②当＜e ，即1＜a ＜e 2时，在区间(1)上单调递减，在区间(，e)单调递增，则的极小值点为，无极大值点．15【答案】3【解析】f′（x ）=22222(1)x x x a x +--+=222(1)x x a x +-+． 因为f （x ）在1处取极值，所以1是f′（x ）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为316【答案】411-，【解析】22()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a =++=++==+++=′由已知得′，22334311.9a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩，，，联立解得或，当3a =-时，1x =不是极值点． 当411a b ==-，时满足题意．0a ≥0a <1x a=-()f x 1x 1ax x+1a 1a1a0a ≥0a <1x a=-()f x x a ()2ln 2x f x a x =-()a f x x x '=-2x a x-()()x a x a +-a ()f x ()f x a ()f x a a ()f x a。
导数基础练习题(2)
2导数基础练习题一选择题1函数f (x) =(2nx )的导数是(C )2 2(A) f (x) =4二x (B) f (X) =4二x (C) f (x) =8二x (D) f (x) =16二x2.函数f(x)二X €公的一个单调递增区间是( A )(A) 1-1,0 1 (B) 2,8 1 (C) 1,21 (D) 0,213 .已知对任意实数x，有f(-x)--f( ,x) g卜x)二g(且x 0时，f ( x) ,0 g (x )，则x 0 时(B )A. f (x) 0, g (x) 0B. f (x) 0, g (x) ：： 0C. f (x) ：： 0, g (x) 0D. f (x) ：：0, g (x) ：： 034.若函数f (x) = x -3bx 3b在0,1内有极小值，则(A )1(A) 0 ： b ：1 (B) b 1(C) b 0 (D) b :-25•若曲线y =x4的一条切线I与直线x • 4y-8 = 0垂直，则I的方程为(A )A. 4x-y-3=0 B . x 4y-5=0 C . 4x-y 3 = 0 D . x 4y 3 = 06.曲线y =e x在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )A. 2 2B. 2e c. eD.7.设f (x)是函数f (x)的导函数，将y二f (x)和y二f(x)的图象画在同一个直角坐标系B. C. D.2&已知二次函数f(x)=ax bx c 的导数为f'(x) , f'(O).O ，对于任意实数 x 都有f (x) Z 0，则丄^的最小值为(C )f'(0)c5 c3A . 3B .C . 2D .-2 29. 设 p: f (x^ e x ln x • 2x 2 mx 1 在(0, •：：)内单调递增，q : m > -5，则 p 是 q 的 (B )A.充分不必要条件 E.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知函数f (x^ax 3 bx 2 c ，其导数f (x)的图像如图所示，则函数 是( )A. a b cB. 3a 4b cC. 3a 2bD. c11. 函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数 y = f (x)的图象可能是() 12.函数f(x)=(x-3) 的单调递增区间是( )A. (2, ：：)B. (0,3)C. (1,4)D. (一：：，2)13.函数f (x) =2x 3 -6x 2 m ( m 为实数)在［-2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值为A -3B -27C -37D -5414三次函数 f(x)3 ..=mx — x 在(—8,+^ )上是减函数，则 m 的取值范围是()A. m<0B. m<1C. m< 0D. mC 1［答案］A［解析］f ' (x) =3mx — 1,由条件知f ' (x) <0在(—8,+8 )上恒成立，f (x)的极小值yxy = 3x 3 + x 在点(1 , 4)处的切线斜率k = y ，|3 34• k = 2,切线方程为 y — 3= 2(x — 1)，即 6x — 3y — 2= 0, 2 1 112 1令 x = 0 得 y = — 3,令 y = 0 得 x =命二 S = X 3 X 2= &216.若函数f(x)的导数为.f'(x)=-2x+1,则f(x)可能是 ( D )17.已知曲线y=£-3lnx 的一条切线的斜率为J ，则切点的横坐标为(B A -2 B 3 C 118.正弦曲线y 二sinx 上一点P,以点P 为切点的切线为直线 L ,则直线是(A )21已知直线y = x + 1与曲线y = In(x + a)相切，则a 的值为(C. — 1222已知函数f (x )在R 上满足f(x)=2f (2-x)-x &-8，则曲线y= f(x)在点m<0△ = 12m<0，二 m<0,故选 A.15曲线y = ］x 3+ x 在点j 1, 4处的切线与坐标轴围成的三角形面积为3i 3 ；A. 1 1 B .9 1 C.3 2 D.3［答案］［解析］ ••• y '= x 2+ 1,•••曲线 x =1= 1 + 1 = 2,A.-2 x 3+1B.-X+1C.-4xD.-3x 3+xL 的倾斜角的范围A [0,-][注二)B [0,二)C4 4n [419 yx =3处的导数值为(B. -D.-20若曲线y = x 2+ ax + b 在点(0, b)处的切线方程是 x — y + 1 = 0,则()A . a = 1, b = 1 b = 1C . a = 1, b =— 1D . a =— 1, b =— 1二.填空题32 •已知函数 f(x)二x -12x 8在区间［-3, 3］上的最大值与最小值分别为 M,m ，则M -m= —32.3 23.点P 在曲线y = x —x —上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为 〉，则〉的取值范3围是 ------------------------------ 0/ |； ” ,|—,二 --------IL 2 _41 3 24 •已知函数y x x • ax -5(1)若函数在-：= 总是单调函数，则 a 的取值范围3是 _________ a^1 ______ .⑵若函数在［1,+处)上总是单调函数，则a 的取值范围(1，f(1))处的切线方程是 () A 『=2X — 1 B 『=x c y=3x-2 D y = -2 x + 323•函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示, 极小值点 (f(x) 4 B.—312 D.—325.以下四图, 的序号是都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像, 、④1.函数f(x)=xlnx(x 0)的单调递增区间是.内有8 C.—324.如图是函数2A.—3=x 34个bx 2 cx d 的大致图象，则x其中一定不正确④① ②③ C .D . 3(3 )若函数在区间(-3 , 1 )上单调递减，则实数a的取值范围是a _ -3. _________ .5. 函数f(x)=x3—ax在［1 , +m)上是单调递增函数，则a的取值范围是__________________ 。
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
专题15导数与函数的极值最值(基础训练)(原卷版)
专题15 导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1eB ．2e 2C ．0D ．12e 3．(2020·广东惠州4月模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝( )A ．－ 3B ．2 3C ．－2 3D ． 35．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]6.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22＝________．7．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝13x 3－12(a 2＋a ＋2)x 2＋a 2(a ＋2)x ，a ∈R .(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)求函数y ＝f (x )的极值点．10．已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．[综合题组练]1．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为() A ．2e －1 B ．－1eC ．1D ．2ln 22．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)3．(2020·河南驻马店模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax ，x >0在[－2，2]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A ．(ln 3，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，12ln 3 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D ．(－∞，ln 3]4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．5．(2020·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝a e x －sin x ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，证明：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1；(2)若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上存在极值，求实数a 的取值范围． 6．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
(完整版)导数--函数的极值练习题
导数--函数的极值练习题一、选择题1.下列说法正确的是( )A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ( )①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y =216x x+的极大值为( ) A.3 B.4 C.2 D.54.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为( )A.0 B.1 C.2 D.45.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为( ) A.e －1 B.0 C.－1 D.1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( )A.6B.0C.5D.17．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, 0=x 是极值点的函数是( )A.3x y -= B.x y 2cos = C.x x y -=tan D.x y 1=9.下列说法正确的是( )A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.10.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为( ) A.)3,3(- B.)11,4(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在 11.函数|6|)(2--=x x x f 的极值点的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D.3个 12.函数xxx f ln )(=( ) A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值二．填空题：13.函数x x x f ln )(2=的极小值是 14.定义在]2,0[π上的函数4cos 2)(2-+=x ex f x的极值情况是15.函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是16.下列函数①32x y =,②x y tan =,③|1|3++=x x y ,④xxe y =,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是17.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 18.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.19.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 20.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三．解答题21.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.22.函数f (x )=x +xa+b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.23.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x =2处有极值，其图象在x ＝1处的切线垂直于直线y =31x -2 （1）设f(x)的极大值为p ，极小值为q ，求p-q 的值；（2）若c 为正常数，且不等式f(x)>mx 2在区间（0,2）内恒成立，求实数m 的取值范围。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。
课时导数与函数的极值、最值检测题与详解答案
导数与函数的极值、最值测试题与详解答案A 级——保大分专练1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选 A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：3.5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－1＋2b ＋c ＝0，f＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y＝2x －1x2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2.答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2＋－2x x ＋x 2＋2＝－x ＋x －x 2＋2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R)，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a－ln xx 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________．解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0. 由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t>0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2(a >0)．(1)由f ′(x )>0，解得x >1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞；由f ′(x )<0，解得0<x <1a，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .所以当x ＝1a时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1. ②若1<1a <e ，即1e <a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1.③若1a ≥e，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e＝0，即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e.综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)
导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。
第03讲-导数与函数的极值、最值-(精讲+精练)(学生版)
导数与函数的极值、最值1、函数的极值一般地，对于函数()y f x =，（1）若在点x a =处有()0f a '=，且在点x a =附近的左侧有()0f 'x <，右侧有()0f 'x >，则称x a =为()f x 的极小值点，()f a 叫做函数()f x 的极小值.（2）若在点x b =处有()=0f 'b ，且在点x b =附近的左侧有()0f 'x >，右侧有()0f 'x <，则称x b =为()f x 的极大值点，()f b 叫做函数()f x 的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数()f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.一、判断题1．（2021·全国·高二课前预习）函数()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在区间[],a b 上一定有最值，但不一定有极值. ( )2．（2021·全国·高二课前预习）函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 3．（2021·全国·高二课前预习）函数的极大值一定大于极小值. ( )4．（2021·全国·高二课前预习）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( ) 二、单选题1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是 （ ） A ．1,1- B ．1,17- C ．3,17-D ．9,192．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）函数y ＝ln xx的最大值为（ ） A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，则()f x 极值点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）若函数()329f x x ax x =+--在1x =-处取得极值，则=a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4高频考点一：函数图象与极值（点）的关系1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．当1x =时，函数()f x 取得极小值B ．函数()f x 在区间()11-，上是单调递增的C ．当3x =时，函数()f x 取得极大值D ．函数()f x 在区间()5,6上是单调递增的2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y xf x '=的图像如图所示，则（ ）A ．()f x 的极大值为f，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为()3f -，极小值为()3fD ．()f x 的极大值为()3f ，极小值为()3f -3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．()()13f f -<C ．()()35f f ''<D ．3x =是函数()y f x =的极小值点4．（2022·全国·高二）如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（ ）A ．23B ．43C ．83D ．123高频考点二：求已知函数的极值（点）1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数()32392f x x x x =-++-，()2,2x ∈-有（ ）A ．极大值25，极小值7-B ．极大值25，极小值9-C ．极大值25，无极小值D ．极小值7-，无极大值2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数232()xf x x a-=+在4x =处取得极值，则()f x 的极大值为（ ）A ．15B ．1C ．14-D ．4-3．（2022·全国·高二）已知函数()23x f x e x =-+，则()f x 在定义域上（ ） A ．有极小值52ln 2- B ．有极大值2ln 2C ．有最大值D ．无最小值4．（2022·全国·高二）函数()()233e x f x x x =-+的极大值与极小值之和为（ ）A ．eB ．3C ．3e -D ．3e +5．（2022·全国·高二课时练习）若1x =是函数()ln f x x m x =+的极值点，则函数()f x （ ） A ．有极小值1B ．有极大值1C ．有极小值-1D ．有极大值-1高频考点三：根据函数的极值（点）求参数1．（2022·河南新乡·二模（文））已知0a >，函数()2313f x a x x =-的极小值为43-，则=a （ ）AB ．1C D 2．（2022·全国·高三专题练习）已知()()()2ln 40,0f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为___________.3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()3223ax ax f x x =++-不存在极值点，则a 的取值范围是______．4．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值2，则a b -=______.5．（2022·全国·高二课时练习）函数()()322,,R f x x ax bx a a b =+++∈在x ＝1处有极值为10，则b 的值为 __.6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））若函数()23ln 2a f x x x x =-在区间(0,)+∞上有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．7．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））若函数3()4,2f x ax bx x =-+=当时，函数()f x 有极值43．(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间.高频考点四：求函数的最值（不含参）1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点，则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．92ln 32-B ．52-C ．172ln 38--D ．2ln 24-2．（多选）（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数3223125y x x x =--+在[]2,1-上的最值情况为（ ） A ．最大值为12 B ．最大值为5 C ．最小值为8-D ．最小值为15-3．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知函数32()393f x x x x =--- (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)求()f x 在[2,2]-上的最值．4．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知关于x 的函数()3213f x x bx cx bc =-+++，且函数f （x ）在1x =处有极值－43．(1)求实数b ，c 的值；(2)求函数f （x ）在[－1，2]上的最大值和最小值．5．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数()ln f x ax x =-．（a 为常数） (1)当1a =时，求函数()f x 的最值；6．（2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习）已知()2e xx af x -=．(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值；7．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈.(1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；高频考点五：求函数的最值（含参）1．（2022·广西·高二期末（文））已知函数()3222f x x ax =-+.(1)若0a >，讨论函数()f x 的单调性；(2)当0<<3a 时，求()f x 在区间[]0,1上的最小值和最大值.2．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ，求()M a 的最小值；3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.4．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数()32231f x x ax =++，a R ∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]0,2上的最小值.5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()3()3f x x ax a a =-+∈R ．(1)若()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ，求()g a 的最小值．高频考点六：根据函数的最值求参数1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩无最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．()–,0∞D ．(),1-∞-2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知0a >，函数()ln f x ax x =-的最小值为()1ln21a -+，则=a （ ） A ．1或2B ．2C ．1或3D ．2或33．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））已知函数()()2e 32xf x x a x =+++在区间()1,0-上有最小值，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数()()R e xx af x a -=∈． (1)若2a =-，求()f x 的极值； (2)若()f x 在[]1,2上的最大值为21e，求实数a 的值．5．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）已知函数()ln .af x x x=+(1)讨论()f x 在定义域内的单调性；(2)若0a >，且()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值.6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数()ln 3f x a x x =+-. (1)若()f x 在()1,+∞上不单调，求a 的取值范围； (2)若()f x 的最小值为2-，求a 的值.7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数1()ln (R)ah x x a x a x+=-+∈． (1)求函数()h x 的单调区间；(2)函数()h x 在区间[1,e]上的最小值小于零，求a 的取值范围．高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用1．（2022·全国·高二）已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(1,3)-D ．(,2)-∞-2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））函数()22ln ,(,)x a b x b R x a f =++∈有极小值，且极小值为0，则2a b -的最小值为（ ） A ．eB ．2eC ．21e D ．21e -3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处取得极小值3-，且321()13g x x x =-+在区间(,4)c c +上存在最小值，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(5,8)D ．[5,8)4．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-5．（2022·河南焦作·二模（文））已知函数()(2)e x f x x =-. (1)求()f x 的极值；(2)若函数()()(ln )g x f x k x x =--在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，求实数k 的取值范围.6．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()21()e xf x x ax a -=+-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()33f x x ax =-，(1)讨论函数()f x 的极值情况； (2)求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值.1．（2021·全国·高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >2．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．3．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.4．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．一、单选题1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（理））已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．－1或－3C ．－1D ．－32．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数fx 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数()232ln 5f x x x =-+的极值点为（ ）A B ．6ln3+ C ．1 D ．84．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数321()13f x x tx x =+++在R 上不存在极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞ B ．(1,1)-C ．(,1][1,)∞∞--⋃+D ．[1,1]-5．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）函数()ln f x x x =-在区间(0，e](其中e 为自然对数的底数)上的最大值为（ ） A ．1e -B ．－1C ．－eD ．06．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数()33f x x x =-在区间(2,)m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A ．(-B ．(]1,3-C ．(-D ．(]1,2-7．（2022·陕西商洛·一模（理））若对任意的()1,x ∈+∞，恒有ln ln 11e e e e axxax x+≥+，则a 的取值范围为（ ） A ．（—∞，e] B ．11(,][,)e e ∞∞--⋃+C ．（—∞，1e]D ．[1e，+∞）8．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））直线y a =分别与函数1()(0)x f x x x-=>，2()x g x e =交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．22ln 2+ B ．2C ．2ln 2D ．22ln 2-二、填空题9．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）若函数()3269x x x f x a =-++在[]22-,上的最大值为3，则=a ___________.10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切，当b 取得最大值时，k 的值为_______________________．12．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．三、解答题13．（2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习）设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.14．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数()323,R f x x ax x a =-+∈.(1)若x =3是f （x ）的极值点，求f （x ）的极值；(2)若函数f （x ）是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.15．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当(1,3]a ∈时，若()f x 在区间[0,1]a +上的最大值为M ，最小值为m ，求证：23M m ->．16．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>.(1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.。
完整版)导数与极值、最值练习题
完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。
二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。
题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。
《导数与极值》基础练习题
《导数与极值》基础练习题一、单选题 1．已知3()x xf x e=，则()f x （ ） A ．在(,)-∞+∞上单调递增 B ．在(,1)-∞上单调递减 C ．有极大值3e ，无极小值 D ．有极小值3e，无极大值 2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．73．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最大（小）值，则a 等于（ ） A ．2B ．1C ．233D ．05．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数有（ ）A ．2个B ．1个C ．0个D ．由a 确定7．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤8．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．-29．已知a 为函数3()27f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．3B ．－2C ．4D ．210．函数()()x f x x x e 2=-3+1的极大值为（）A ．2e -B ．15e -C ．3254e -D ．2e -11．函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．e12．函数()ln f x kx x =-的极值点为2x =，则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．12-13．已知1x =是2()(3)23xf x x a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞14．函数()[]2cos 0,f x x x π=+在上的极小值点为（ ）A ．0B ．6πC ．56π D ．π15．设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值 16．已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（ ） A ．263-B ．7C ．223D ．26317．若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ） A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或218．已知是函数2x =就函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ）A ．-2B ．6C ．17D ．18二、多选题19．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点20．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩，若()f x 的零点为α，极值点为β，则（ ）A ．=0αB ．+=1αβC ．()f x 的极小值为1e --D ．()f x 有最大值 三、填空题21．函数2sin y x x =-在()0,π上的极值点为______. 22．函数()ln f x x x =的极值点是x =__________.23．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点___________个.24．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 25．若函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，则a =________. 26．若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 27．函数()ln f x x x =-的极大值是______.28．已知a 为函数()212f x x x =-的极小值点，则a =______ .29．已知函数()2()e xf x x ax =+的一个极值点为1，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为______.30．函数f （x ）＝x 3+ax 2+（a +6）x +1有极值，则a 的取值范围是_____．31．设函数()2xf x e x ax =+-，若0x =是()f x 的极值点，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为_______.32．已知函数()xf x e ax =+在1x =处取得极小值，则实数a =__________.33．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________． 34．已知函数f (x )=x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x =－1时有极值0，则m ＋n =________. 35．若函数f （x ）＝a sin x +cos x 在x 3π=处有极值，则实数a 等于________.四、双空题 36．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.五、解答题37．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．38．已知函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在点()()1,1A f 处切线的方程.39．已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表).40．已知函数()ln(1)f x x =+与函数2()g x x ax b =++在0x =处有公共的切线.（1）求实数a ，b 的值；（2）记()()()F x f x g x =-，求()F x 的极值.《导数与极值》参考答案1．C 【解析】由题意3(1)()xx f x e-'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，1x >时，()0f x '<，()f x 递减，(1)f 是函数的极大值，也是最大值3(1)f e=，函数无极小值．故选：C ．2．B 【解析】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选：B ．3．A 【解析】由图象，设()'f x 与x 轴的两个交点横坐标分别为c 、d 其中c d <，知在(,)c -∞，(),d +∞上()0f x '≥，所以此时函数()f x 在(,)c -∞，(,)d +∞上单调递增，在(,)c d 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)c d 上单调递减，所以x c =时，函数取得极大值，x d=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: A4．A 【解析】∵()f x 在3x π=处有最大（小）值，∴3x π=是函数()f x 的极值点.又∵()cos cos3()f x a x x x R =+∈'，∴cos cos 033f a πππ'⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得2a =.故选：A 5．B 【解析】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增，在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，所以x a =时，函数取得极大值，x b=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: B6．C 【解析】因为，32()33f x x x x a =++-，所以，令2'()3630f x x x =++=，得，2(1)0x +=，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数为0，选C ．7．C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，故选C ． 8．C 【解析】()'1f x a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==.此时()()'112022x f x x x x-=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意.所以12a =.故选：C 9．A 【解析】3'22()27()3273(9)03f x x x f x x x x =-⇒=-=-=⇒=±.当3x >时，'()0f x >，因此函数单调递增，当33x -<<时，'()0f x <，因此函数单调递减，当3x <-时，'()0f x >，因此函数单调递增，所以3x =是函数的极小值点，故3a =.故选：A 10．B 【解析】依题意()()'22x fx x x e =--()()21x x x e =-+，故函数在()(),1,2,-∞-+∞上递增，在()1,2-上递减，所以函数在1x =-处取得极大值为()115f e --=.故选B. 11．C 【解析】由题意得：()cos xf x ae x '=-．()f x 在0x =处有极值，()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C12．C 【解析】因为()ln f x kx x =-，所以()´1fx k x=-；又()ln f x kx x =-的极值点为2x =，所以()´20f=，即12k =.故选C 13．D 【解析】依题意()()()1xf x x a x e '=--，零点为121,x x a ==，要1x =是函数的极小值点，则必须1a <，此时函数在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值.故本题选D. 14．C 【解析】y′＝1﹣2sinx ＝0，得x π6=或x 5π6=，故y ＝x+2cosx 在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数．∴x 5π6=是函数的极小值点，故选：C ． 15．A 【解析】()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A. 16．C 【解析】由题可知：()'23fx ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =.经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=.故选：C 17．D 【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D18．D 【解析】函数3()32f x x ax =-+的导数()233f x x a '=-， 由题意得，()20f '=，即1230a -=，4a =． ()3122f x x x =-+，()()()2312322f x x x x '=-=-+，令()0f x '>，得2x >或2x <-；()0f x <′，得22x -<<， 所以当时2x =-取极大值，即()()8242218f x f -=-=++=极大值． 故选：D ．19．AC 【解析】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0fx >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确.在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误.故选：AC20．BC 【解析】当0x <时，()0x f x xe =<，此时函数无零点，当0x ≥时，()39x f x =-，函数的零点为2，所以2α=，当0x <时，()(1)x x xf x e xe e x ='=++，由()0f x '<得1x <-，由()0f x '>，得10x -<<，所以函数在1x =-处取得极小值，极小值点为1-，极小值为1(1)f e --=-，当0x ≥时，()39x f x =-为递增函数，此时()f x 无极值，也无最大值，所以1β=-，所以2(1)1αβ+=+-=，故选：BC21．3π【解析】∵'12cos y x =-，∴当03x π<<时，'0y <；当3x ππ<<时，'0y >.故极值点为3π. 22．1e 【解析】令()'ln 10f x x =+=，解得1e x =.则函数()ln f x x x =的极值点是1ex =， 23．1【解析】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，24．1e-【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e>；由()0f x '<得10x e <<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.25．3【解析】由题意，得2()32f x x ax '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，可得()20f '=，所以34220a -⨯+⨯=，解得3a =.26．14【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =，经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点.所以14a =.27．-1【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln f x x x =-，∴()1'1f x x=-，令()'0f x =，解得1x =，当01x <<时，()'0f x >；当1x >时，()'0f x <，()f x ∴递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞，故()f x 在1x =处取得极大值，极大值为()1ln111f =-=-.28．6【解析】由()212f x x x =-有()()221226f x x x '=-=-．令()0f x '>，得6x >，则()f x 在()6+，∞上单调递增.令()0f x '<，得6x <，则()f x 在()6，-∞上单调递减.所以()f x 在6x =处取得极小值,所以6a =29．320x y +=【解析】2()(2)e x x x a a f x ⎡⎤=+++⎣⎦'，由()01f '=，有32a =-，又切点为(0,0)，3(0)2f '=-,则切线方程为32y x =-，320x y +=.30．{a |a ＜﹣3或a ＞6}【解析】函数32()(6)1f x x ax a x ++++＝有极值，则2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数解，22412(6)4(318)0a a a a ∆=-+=-->，3a ∴<-或6a >.31．1e +【解析】由已知()2xf x e x a '=+-，所以()010f a '=-=，得1a =，所以()1211f e e '=+-=+，32．e -【解析】因为()xf x e ax =+，所以()´x fx e a =+，又函数()xf x eax =+在1x =处取得极小值，所以()´1e 0fa =+=,故a e =-.33．21【解析】因为()32f x x ax bx =++，所以()2'32f x x ax b =++£®因为2x =-与4x =是函数，()32f x x ax bx =++的两个极值点，可得()()2124044880f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩，解得3a =-，24b =-，所以21a b -=£® 34．11【解析】()()3222336f x x mx nx m f x x mx n =+++∴'=++， 依题意可得()()210130 10360f m n m f m n ⎧-⎧-+-+⎪⇒⎨⎨'--+⎪⎩⎩＝＝＝＝，联立可得29m n =⎧⎨=⎩或1?3m n =⎧⎨=⎩；当1,3m n ==时函数()32331f x x x x =+++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 无极值，所以1,3m n ==舍去；所以2,9m n ==，所以+11m n =. 35解析】由函数f （x ）＝asinx +cosx ，则f ′（x ）＝acosx ﹣sinx ，由函数f （x ）在x 3π=处有极值，则'()03f π=，即acos3π-sin 3π=0，故a =36()1ln 212-【解析】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112()22x f x x x x -+=-+==,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.37．【解析】（1）函数()ln 1f x x x ax =-+的导数为()ln 1f x x a '=+-，在点(1,(1))A f 处的切线斜率为12k a =-=，(1)2f '∴=-，即12a -=-，3a ∴=；（2）由（1）得，()ln 2,(0,)f x x x '=-∈+∞， 令()0f x '>，得2x e >，令()0f x '<，得20x e <<，即()f x 的增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．在2x e =处取得极小值21e -，无极大值． 38．【解析】（1）()()3223168,f x x a x ax =-+++()()()()2661661f x x a x a x a x ∴=-++=--'而()f x 在3x =处取得极值，故()'30f=，得3a =，经检验，当3a =时，()f x 在3x =处取得极值. 所以()32212188f x x x x =-++.（2）由（1）得，()()()631f x x x -'=-所以，切线的斜率()10k f '==，而()116f =，所以切线的方程为160y -=. 39．【解析】（1）3()31=-+f x x x ，/2()333(1)(1)∴=-=-+f x x x x ，设'()0f x =可得1x =或1x =-. ①当/()0f x >时，1x >或1x <-； ②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-. 40．【解析】（1）()11f x x '=+，()2g x x a '=+， 由题意得()()00f g '='，()()00f g =，解得1a =，0b =. （2）()()()()2ln 1F x f x g x x x x =-=+--，()()23121(1)11x x F x x x x x -+=--=>-++'， ()F x '，()F x 的变化情况如下表：x()1,0-()0,∞+()F x ' +-()F x极大值由表可知，()F x 的极大值为()00F =，无极小值.。
专题15 导数与函数的极值、最值(原卷版)
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
2023高考一轮复习讲与练
专题15导数与函数的极值、最值
练高考 明方向
1.（2022·全国甲（文T8）(理T6)）.当 时，函数 取得最大值 ，则 （）
A. B. C. D. 1
2.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数 ，则（）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C.点 是曲线 的对称中心D.直线 是曲线 的切线
8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)= x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝lnx＋ax2－ x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
1.3.2 函数的极值与导数(4)
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第 1 页 共 1 页 1.3.2 函数的极值与导数（4）
运用导数及函数的极值判断方程解的个数、函数图象与x 轴交点个数
例1、设a 为实数，函数f (x ) = x 3 – x 2 – x + a .
（1）求f (x )的极值；
（2）当a 在什么范围内取值时，曲线y = f (x )与x 轴仅有一个交点.
例2．已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．
例3．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.2
3)21
(='f (Ⅰ)求)(x f 的解析式; (Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.
例4．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．
证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．
例5．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12
b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．。
中职数学极限与导数基础知识点测试题（含答案）
高中数学第十三、四章极限与导数章节知识点与05年高考试题一、知识结构：【知识网络】【学法点拨】1．注意“函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)”与“函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f'(x)”之间的区别与联系．2．求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0，得f(x)的递减区间．3．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f ' (x)；（2）求方程f ' (x)=0的根；（3）检查f '(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二、基本知识点：数学归纳法：1.数学归纳法证题的关键是一凑假设,二凑结论;数学归纳法证明问题过程中,归纳假设一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件.2.用数学归纳法证明整除性问题,关键在于n=k成立推n=k+1成立过程中归纳假设的运用,一般通过整体凑假设的手段进行代数式的变形.3.利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少,一般地,证明第二步时常用的方法是加一法,即在原来k的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.4.猜想,归纳能培养探索问题的能力,所以成为高考的重点,应引起足够的重视,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,解归纳问题,需要从特殊情况入手,通过观察,分析,归纳,猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳,猜想.数列的极限 1. 求数列极限的基本类型1)()()n f n limg n →∞型,分子,分母同除以n 的最高次幂 2) 含有n 的无理形式,利用分子或分母有理化.3)指数行数列极限,如n 1n n 1n+1n a b lim a b ++→∞-+,分子,分母同除以n 1a +或n 1b +转化为()n n lim q =0q <1→∞.4) 求和型,需要先求和(利用等差,比数列的前n 项和或裂项法求和等),然后求极限. 2.无穷递缩等比数列各项的和1a =1-qS ,关键是确定1a q 和. 3. 注意极限与数列等内容的综合应用. 函数的极限及连续性1. 求函数极限的常见方法有: 1)直接代入发; 2)对型的极限计算,应通过根式有理化或因式分解,约去零因子. 3) 对∞∞型的极限计算,通常是分子,分母同除以分母的最高次幂. 4)∞-∞型,主要是通过通分,分子,分母有理化转化为00型或∞∞型. 5)分段函数的函数极限计算,通过计算左右极限来求.2已知极限求参数值,主要运用求函数极限的方法建立参数的有关等式求解. 3求函数的极限,判断函数的连续性,注意画函数的图像,通过图像的直观性解题. 导数的概念及运算 1. 函数求导的常用方法及应注意的问题:1)复合函数的求导问题,关键是分析好函数的复合关系,合理选择中间变量从外到内逐项求导.2) 对于复杂函数求导问题,应先分解函数,使之成为初等函数的复合,然后应用公式,函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导,注意计算的准确性.3) 对于较复杂的函数,在求导前可以先对函数解析式进行化简,然后求导. 4)对于形如()()222x lnx 3fx =32log x e++的函数求导,应先求出函数解析式,然后求导. 5) 两边对x 求导,特别要注意y 是x 的函数.6)隐函数的导数表达式中常包含x,y 两个变量,如x y=x (x>0)它的导数:由原式lny=xlnx '1y =ln x 1y∴⋅+故()'x y =x ln ex 2对于抽象函数问题,常常利用导数的定义来解题,用定义求导的一般步骤为: 求函数的增量()()y=fx+x f x - ;求平均变化率()()f x+x f x y =x x- ;取极限,得导数()'y f x =limxx → 2. 注意导数的两个实际背景:切线的斜率和瞬时速度,出现上述问题常利用导数来解决. 导数的应用(一)1. 求函数的单调区间的具体步骤为:确定()f x 的定义域;计算导数()'f x ;求出()'0f x =的根;用()'0f x =的根将()f x 的定义域分成若干区间,列表考查这若干个区间内()'f x 的符号,进而确定()f x 的单调区间.2. 若()f x 在(),a b ,(),b c 上单调递增(减)又()f x 在x=b 处连续,则()f x 在(),a c 上单调递增(减) 3. 求函数极值的步骤: 1)求导数()'f x ;2) 求出()'0f x =或()'f x 不存在的所有的点;3) 检查上面求出的是x 的两侧导数的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个点处取极大值;如果左负右正,那么()f x 在该点处取极小值.导数的应用(二) 1.连续函数()f x 在[],a b 上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:求极值;把极值和()f a ,()f b 相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把问题情景译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解. 3.证明不等式也是导数应用之一,把不等式问题转化为函数问题,然后利用函数的单调性,最值去解决.4.参数讨论问题,一般要对参数进行分类讨论,分类讨论时要注意:分类讨论的依据;分类讨论要不重不漏.三、巩固练习（2005年高考试题）： 1．(2005年湖北卷理)若1)11(lim 21=---→x bx a x ，则常数a ，b 的值为 （ C ） A ．a=-2，b=4 B ．a=2，b=-4 C ．a=-2，b=-4 D ．a=2，b=4 2．（2005年广东卷）23lim9x x x →∞+=- （ A ）1()6A - ()0B 1()6C 1()3D3．（2005年广东卷）已知数列}{n x 满足,...4,3),(21,22112=+==--n x x x x x n n n 。
高中数学导数与函数的极值、最值 (含解析)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．2．函数f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点所在的区间为()A．(0，1) B．(－1，0)C．(1，2) D．(－2，－1)解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2e x为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0，∵f′(x)＝2x－5＋2e x的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2e x 的极值点在区间(0，1)上．3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1，2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值解析：选C.当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )＜0， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在x ＝1处取得极小值．故选C.4．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：选D.因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.5．(2018·山东临沂模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( )A.14 B ．13C.12D ．1解析：选D.因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a ＞12，所以0＜1a ＜2.当x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.6．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． 解析：因为f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝1，故f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x －1＝2－x x ，则f (x )在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x ＝2时f (x )取得极大值，且f (x )极大值＝f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－27．(2018·大同模拟)f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减，所以x ＝2是极小值点，故c ＝2(不合题意，舍去)，c ＝6.答案：68．不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为________．解析：(1)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，即为f (x )＝e x －kx ≥0恒成立，即有f (x )min ≥0，由f (x )的导数为f ′(x )＝e x －k ，当k ≤0时，e x ＞0，可得f ′(x )＞0恒成立，f (x )递增，无最值； 当k ＞0时，x ＞ln k 时f ′(x )＞0，f (x )递增；x ＜ln k 时f ′(x )＜0，f (x )递减．即在x ＝ln k 处取得最小值，且为k －k ln k ， 由k －k ln k ≥0，解得k ≤e ，即k 的最大值为e. 答案：e9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间．(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x （e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x ，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以－3＜x ＜0时， g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e－3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e －5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. 10．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )单调递减； 当x ＞2时，f ′(x )＞0，即f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2，无极大值．(2)∵f ′(x )＝a ＋2x x，∴当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＞0得，x ＞－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增；由f ′(x )＜0得，0＜x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．∴当a ＜0时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a ＜0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得－2≤a ＜0， ∴实数a 的取值范围是[－2，0)．B 级 能力提升练11．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D.函数f (x )的极大值f (x 0)不一定是最大值，故A 错误；f (x )与－f (－x )关于原点对称，故x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点时，－x 0是－f (－x )的极小值点，故选D.12．函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1，2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选B.因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.13．(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x ＞0)． ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上无零点． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0解得x ＞a3，由f ′(x )＜0解得0＜x ＜a3，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 3上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增．又f (x )只有一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，∴a ＝3.此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1，1]时，f (x )在[－1，0]上递增，在[0，1]上递减． 又f (1)＝0，f (－1)＝－4，∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3. 答案：－314．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.15．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)·e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围．解：(1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1， (e －x )′＝－e －x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12x －1e －x－(x －2x －1)e －x＝（1－x ）（2x －1－2）e －x 2x －1⎝⎛⎭⎪⎫x ＞12.(2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e －x 2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.因为又f (x )＝12(2x －1－1)2e －x ≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12e －12.C 级 素养加强练16．已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2ax (a ＞0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，且f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2（x 2－ax ＋1）x，令x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4， ①当0＜a ≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞2时，Δ＞0，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的实根，分别设为x 3，x 4，不妨令x 3＜x 4，则x 3＝a －a 2－42，x 4＝a ＋a 2－42，此时0＜x 3＜x 4， 因为当x ∈(0，x 3)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 3，x 4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 4，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递增．(2)由(1)得f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，则f (x 1)－f (x 2)＝2ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2a )＝2ln x 1x 2＋x 22－x 21x 1x 2＝2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2， 令t ＝x 1x 2，则0＜t ＜1，f (x 1)－f (x 2)＝2ln t ＋1t －t ， 令g (t )＝2ln t ＋1t －t (0＜t ＜1)，则g ′(t )＝－（t －1）2t 2＜0， 故g (t )在(0，1)上单调递减且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－2ln 2， 故g (t )＝f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜t ≤12， 而a 2＝(x 1＋x 2)2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝t ＋1t ＋2，其中0＜t ≤12，令h (t )＝t ＋1t ＋2，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 所以h ′(t )＝1－1t 2＜0在t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 故h (t )＝t ＋1t ＋2在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，从而a 2≥92， 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.。
《导数与极值、最值关系》能力练习题
《导数与极值、最值关系》能力练习题一、单选题1．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．02．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值3-，则+a b 的值等于（ ）A ．9B ．6C ．3D ．23．已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为（ ）A ．ln21--B ．ln21-+C ．1-D ．14．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．45．已知函数()2()xf x x a e =-，则“1a ≥-”是“()f x 有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．已知32()f x x px qx =++的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为（ ）A ．8，6B ．9，6C ．4，2D ．6，98．若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-9．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-10．若函数322312y x x x m =--+在[0，3]上的最大值为5，则m =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．811．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．5212．已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（ ）A ．31-B ．34C ．43D ．31+13．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．已知定义在[,]m n 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（ ）①函数()f x 的值域为[(),()]f d f n ；②函数()f x 在[,]a b 上递增，在[,]b d 上递减； ③()f x 的极大值点为x c =，极小值点为x e =；④()f x 有两个零点. A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()()211x f x x ax e-=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（ ） A ．[]1,e - B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦二、填空题 16．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是_________． 17．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为___________. 18．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________． 19．已知函数()()321233f x x ax a x =++++在(),-∞+∞上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.20．已知()3222f x x cx c x =-+在2x =处有极小值，则常数c 的值为___________.21．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.22．已知函数()1ln x f x x =+在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，则实数a 的取值范围是_______.23．若函数()33f x x x =-在区间()25,a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是______.24．若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 25．已知.函数.e 为自然对数的底．（1）当时取得最小值,求的值;（2）令，求函数在点P 处的切线方程．26．已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.27．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.28．已知32()1f x x ax bx =+++在1x =与1=3x -时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的极大值和极小值；（3）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值.29．已知函数()2ln f x a x bx =-，a ､b R ∈，若()f x 在1x =处与直线12y相切. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值.30．设函数3()65,f x x x x R =-+∈.（1）求(2)f '的值；（2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围.《导数与极值、最值关系》能力练习题参考答案1．A 【解析】由()'x f x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选A ．2．B 【解析】由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3,3a b ==，所以6a b +=，故选：B 3．A 【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭.故选：A. 4．B 【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯.故选：B.5．B 【解析】()2()20xf x x x a e '=-=+，220x x a +-=，44a ．若440a ∆=+≤，1a ≤-则()2()20x f x x x a e '=+-≥恒成立，()f x 为增函数，无极值；若440a ∆=+>，即1a >-，则()f x 有两个极值．所以“1a ≥-”是“()f x 有极值”的必要不充分条件．故选:B6．D 【解析】因为32()33[(2)1]f x x ax a x =++++，所以2()363(2)f x x ax a '=+++，函数()f x 有极大值又有极小值，()0f x ∴'=有两个不相等是实数根，∴23636(2)0a a ∆=-+>，化为220a a -->，解得2a >或1a <-．则a 的取值范围是(-∞，1)(2-，)+∞．故选：D ．7．D 【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得：20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==.故选：D 8．D 【解析】函数321()13f x x x =+-的导函数为2()2f x x x =+'，令()0f x '=，得2x =-或0x =，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，则0x =为极小值点，2x =-为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m +上存在最小值，可得03m m <<+，解得30m -<<，此时32211()1(3)11(0)33f m m m m m f =+-=+->-=，因此实数m 的取值范围是(3,0)-，故选：D.9．B 【解析】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.10．C 【解析】()()26612612y x x x x '=--=+-，当[]0,2x ∈时，0y '<，函数单调递减，当[]2,3x ∈时，0y '>，函数单调递增，当0x =时，y m =，当3x =时，9y m =-，则函数在[]0,3上的最大值为m ，则5m =.故选：C.11．C 【解析】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时，12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C 12．A 【解析】由2()x f x x a =+，得()222()a x f x x a '-=+，当1a >时，若x >()0,()f x f x '<单调递减，若1x <<()0,()f x f x '>单调递增，故当x =()f x 有最大值=，解得314a =<，不符合题意.当1a =时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，最大值为1(1)2f =，不符合题意.当01a <<时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.此时最大值为1(1)1f a ==+，解得31a ，符合题意.故a 1.故选：A .13．C 【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2.故选：C.14．B 【解析】根据导函数()'f x 的图象可知，当[,)x m c ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,]m c 上单调递增，当(,)x c e ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[,]c e 上单调递减，当(,]x e n ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,]e n 上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为()f m 或()f e ，最大值为()f c 或()f n ，故①错误，当()0>f m 且()0f e >时，函数无零点，故④错误.故选：B.15．A 【解析】由()()2121x x a x a ef x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A16．[]1,1-【解析】因为321()53f x x ax x =-+-，所以2()21f x x ax '=-+，因为函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，所以2240a，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[]1,1-，17．(2,0)-【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<.18．11【解析】322()3f x x mx nx m =+++，2()36f x x mx n ∴'=++，依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+，函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n ．19．{|1a a <-或}2a >【解析】由题可知：()222f x x ax a '=+++，因为函数()f x 在(),-∞+∞上存在极值点，所以()0f x '=有解，所以()244120a a ∆=-⨯⨯+≥，则1a ≤-或2a ≥，当1a =-或2a =时，函数()y f x ='与x 轴只有一个交点，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，没有极值点，故舍去，所以1a <-或2a >，即{|1a a <-或}2a >20．2【解析】由()3222f x x cx c x =-+知，()2234f x x cx c '=-+，因为()f x 在2x =处取极小值，所以()221280f c c '=-+=，解得2c =或6c =，当2c =时，2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-，()f x 在2x =处取极小值，符合题意，当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，()f x 在2x =处取极大值，不符合题意，综上知，2c =.21．[3)+∞，【解析】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减.又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞ 22．112a <<【解析】因为()1ln x f x x +=，0x >，所以()2ln x f x x '=-.当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.因为函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，所以1112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112a <<. 23．()1,2-【解析】由题意得：233fxx ，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>解得1x <-或1x >，所以函数在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，故函数在1x =-处取到极大值2，所以极大值必是区间()25,a a -上的最大值，∴251a a -<-<，解得-1a 2<<.检验满足题意24．(]4,1--【解析】由题可知：()22f x x x '=-．令()00'>⇒<f x x 或2x >，令()002'<⇒<<f x x ，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()(),0,2,-∞+∞单调递增，故函数的极大值为()00f =，所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．25．【解析】（1），由得，由得，（2），26．【解析】（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值，∴()10f '=，解得23a =(经检验，符合题意). （2）由（1）知32()2=-+f x x x x ，则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,)+∞()'f x+-+()f x极大值极小值∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．【解析】（1）2222(1)e 11(1)e 1()x x x x x f x k k x x x x x ---⎛⎫'=--+=- ⎪⎝⎭，即()2(1)()x x e k f x x--'= 当2e k =时()22(1)()x x e e f x x--'=，0x >。
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函数极值与导数（基础）
1.下列说法正确的是
A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值
B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值
C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值
D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ）
A ．极小值－1，极大值1
B ．极小值－2，极大值3
C ．极小值－2，极大值2
D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递减；
③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；
④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12
x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________．
5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______
6、函数x x
x f ln 1
)(+=
的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值：
(1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21
2)(2-+=
x x
x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．
(1)．试求常数a 、b 、c 的值；
(2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是．
参考答案
DAD ③④ 6 1
7解：(1)．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f
令0)(='x f ，得2±=x ．
当2>x 或2-<x 时，0)(>'x f ，∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ，∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，当2=x 时，函数有极小值
.16)2(-=f
(2)．函数定义域为R ．2()2+(2+)x x x f x xe x e x x e '== 令0)(='x f ，得0=x 或2x =-．
当2x <-或0x >时，()0f x '>，∴函数)(x f 在(),2-∞-和()0,+∞上是增函数； 当20x -<<时，()0f x '<，∴函数)(x f 在（-2，0）上是减函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，当2x =-时，函数取得极大值
24)2(-=e f ．
(3)．函数的定义域为R ．
.)
1()1)(1(2)1(22)1(2)(2
2222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-<x 或1>x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ，∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ，当1=x 时，函数取得极大值
.1)1(-=f
8解：(1)c bx ax x f ++='23)(2．1±=x Θ是函数)(x f 的极值点， ∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232=++c bx ax 的两根， 由根与系数的关系，得
20, 31,
3b a
c a
⎧-=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， 解得23,0,21-===c b a ． (2)．x x x f 2321)(3-=
，∴).1)(1(2
3
2323)(2+-=-='x x x x f 当1-<x 或1>x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f
∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数． ∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ， 当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ． 9解：。