《初等数论》期末考试A卷(闭卷)
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)
《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。
《初等数论》期末考试A卷（闭卷）
五、
六、显然 m 是公倍数 假设不是最小 则设最小公倍数是 p 且 m=kp k>1 设 p/a1=q1 p/a2=q2
…… pn/an=qn 则 m/a1=kq1 m/a2=kq2 ……
mn/an=kqn 这样则 m/a1,m/a2,……,m/an 不是互素，因为有大于 1 的公倍数 k 和已知条件矛盾 所以假设错误 所以 m 是最小公倍数
一、填空
《初等数论》期末考试 A 卷（闭卷）
1、8
2、完全
3、0,1,2,3,4,5,6
4、28
5、
6、28 7、33 个 8、x=2mn
y=m^2-n^2 z=m^2+n^2 二、
三、 (1) a=3k(k∈Z)时， a^2+a=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a+1)=3k(3k+1). 3|(a^2+a), ∴a^2+a≡0(mod3). (2) a=3k+1(k∈Z)时,
a^2+a+1=3(3k^2+3k+1). 3|(a^2+a+1), ∴a^2+a+1≡0(mod3). (3) a=3k+2(k∈Z)时,
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
三套大学初等数论期末考试试卷
期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。
2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。
3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。
4. 。
5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。
6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。
7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。
8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。
9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。
二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。
（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。
2、 求1001006！约分后的分母。
四．解方程（16分）。
＝0 ；2. 525x ＋231y=42。
五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。
2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。
中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。
2018年西南大学初等数论期末大作业及答案
3、（15分）求400与240的最大公因数。
解：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 ， ，
所以400与240的最大公因数是 ，即80。
4、（15分）求不定方程10x+9y=1的一切整数解。
解：因为(10,9) = 1，所以不定方程有整数解。
显然x= 1，y= -1是其一个特解，
答：94536是9的倍数，因为 是9的倍数。
3.写出模6的最小非负完全剩余系。
答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。
2、（30分）给出有关同余的一条性质并加以证明。
答：同余的一条性质：整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt，t是整数。
证明如下：设 ， ， ， 。若a≡b（modm），则 ，因此 ，即m｜a－b。
所以不定方程的一切整数解为：
，其中t取一切整数。
5、（10分）证明：若a，b都是m的倍数，则 也是m的倍数。
证明：由题可得，a=xm，b=ym.
所以，a+b=xm+ym。得a+b=(x+y)m.
所以，得证a+b也是m得倍数。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2018年12月
课程名称【编号】：初等数论【0346】A卷
大作业满分：100分
一、简答题（每小题10分，共30分）
1.判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。
答：30是合数，其标准分解式为 。
2.94536是否是9的倍数，为什么？
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分,共18分）1、如果,，则( )。
A B C D2、如果，，则15（）.A 整除B 不整除C 等于D不一定3、在整数中正素数的个数（)。
A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果，是任意整数,则A B C D5、如果( ),则不定方程有解.A B C D6、整数5874192能被（）整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）。
2、同余式有解的充分必要条件是（)。
3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为（)。
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ）。
5、的公倍数是它们最小公倍数的( )。
6、如果是两个正整数，则存在（）整数，使，.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=？2、求解不定方程。
3、解同余式。
4、求,其中563是素数。
(8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）1、证明对于任意整数,数是整数。
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题（每题3分，共18分）1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）。
2、同余式有解的充分必要条件是（).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( )。
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的（倍数).6、如果是两个正整数,则存在（唯一)整数，使,.三、计算题（每题8分，共32分)1、求［136,221，391]=？（8分）解 [136,221，391]=［［136,221］,391］=［]=[1768，391] ——————-——-——(4分）==104391=40664。
初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论试卷,最全⾯的答案,包括截图初等数论考试试卷⼀、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 ?设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl ? 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l ? 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最⼤的称为最⼤公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设⼆元⼀次不定⽅程ax?by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有⼀整数解x o,y°,d⼆a,b，则此⽅程的⼀切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y ⼆y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y ⼆y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y ⼆y o t,t =0, ⼀1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.? 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的⼀个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.⽆解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x ? a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的⼀个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p ⼚定为f (x)三0(mod p勺,1的⼀个解B. '三I mod p「，：：1,⼀定为f (x)三0 mod p ：的⼀个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的⼀个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)⼆a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时⼤于p但不⼤于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平⽅剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可⽐符号->1，则(C )Im⼃2A. 同余式x三a modm ⼀定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a⼆p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ）A. a B . b C . ab D.⽆法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ） A. f a g a 为可乘函数； B . f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成⽴A ⼆ J 1 =1B .空-1 =1C .⼆■-2 = -1D .⼆=9 =0⼆. 填空题：（每⼩题1分，共10分）21.3在45!中的最⾼次n = ________ 21 ___ ; 22. 多元⼀次不定⽅程：a 1x 1 a 2x 2 ?⼁II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数⼀，0cavb , （a,b ）=1，能表成纯循环⼩数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__； b- _ 24. 设x 三冷 mod m 为⼀次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的⼀个解，则它的所有解 A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中，2 B .3 C 16. 对于模5，下列式⼦成⽴的是.2 A )12 C . 1, 2, m不可能等于：( D . 12 B ) 3, D 4, 6,12 D ?⽆法确定 )A. in d 32 =2ind 3^=3 C. in d 35 =0ind 310 ⼆ ind 32 ind 35 17. A. 下列函数中不是可乘函数的是：茂陛鸟斯（mobius ）函数w（a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数⼆x ；25. ____________________________ 威尔⽣（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26. 勒让德符号'^03 |= 1 ;訂013⼃27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平⽅剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28.在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __； 29.设。
初等数论A卷
教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：广西师范大学漓江学院试卷 （2011—2012学年第1学期） 课程名称：初等数论 课程序号： XZ 341191 开课系：理学系 命题教师：蒋晓云 年级、专业：2008级数学与应用数学 考试时间：120分钟 考试用品： 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □ 试卷类型：A 卷 ■ B 卷 □ C 卷 □一、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1．51480的标准分解式为 . 2．(25733 + 46)26被50除的余数 . 3. 模7的绝对最小完全剩余系为 . 4. 最大公因数(1859,1573)= . 5 今天是星期日，再过101010天后是星期 . 二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） （正确的打“√”，错的打“×”） 1. (a , 0) = |a | （ ） 2．设a 是任一大于1的整数，则a 的除1外最小正因数q 是一质数，并且当a 是合数时，a q ≤. （ ） 3. 设a ，b ，c ，d 是整数，并且a ≡ b (mod m )，c ≡ d (mod m )， 则 a ±c ≡ b ± d (mod m )（ ） 4. 设a,b,u,v,d 是整数,且d bv au =+，则d 为a 与b 的最大公因数 （ ）5.设a,b,c 为整数，若 c a ，c b 则c ab （ ）学 号：姓名：所属系：年 级：专 业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 解同余方程325x≡ 20 (mod 161)2.求不定方程3x+ 6y+ 12z = 15的解.3. 已知a 是质数，求)1(ϕ+)(a ϕ+…+)(aa ϕ.四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．设m 是正整数，(a , m ) = 1，则aϕ(m ) ≡ 1 (mod m )2．证明：3为无理数。
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
《初等数论》试题A
2005－2006学年度第一学期期末考试《初等数论》试卷（A 卷）数学 系 02 级本科 姓名 学号注：本试卷共 大题 页，草稿纸附后，连同试卷一并交。
一、判断题（每题1分，共10分）1、整数4、8、16、28、32、38、44、52、56是模15的一个简化剩余系；( ) 2、若( a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n ) = 1，则( a i , a j )=1， ( i ≠j , 1≤ i 、j ≤n ) ；( )3、若ac ≡ bc (mod m) ，则a ≡b (mod m) ；( )4、M b a b a nn)(+=+, M ∈Z , n 为奇数；( )5、若a ∣a i , 则a ∣∑=ni ia1, a i ∈Z ；( )6、在n!的标准分解式中，质因数p 的最高次幂指数为h , h =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1k k p n ； ( ) 7、 n!∣∏=+ni i a 1)(，a ∈Z ；( )8、若x 2+y 2=z 2 , (x , y) = 1, 则x 、y 不同奇偶；( )9、[x] ≤x ＜[x] +1， x －1＜[x]≤x ，0≤{x}＜1成立；( ) 10、在小数0.a 1a 2a 3…a n …，（0≤a i ≤9, a i ∈Z ）中，若有i s a +＝i kt s a ++ k ∈Z 成立，那么该小数为循环小数，循环节长度为t ，循环节的第一位数是s a ，最后一位是t s a +；( )二、选择题（每题2分，共20分）1、不大于300且与300互质的正整数的个数为（ ）A 100个B 120个C 140个D 160个2、关于质数、合数，下列说法正确的是（ ）A ．两个质数之和一定是质数B ．两个质数之积一定是质数C ．两个合数之和一定是合数D ．两个合数之积一定是合数3、设a 是整数，(1) a ≡0(mod9) 、(2) a ≡2004(mod9)、(3) a 的十进位表示的各位数码字之和可被9整除、(4)划去a 的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除。
《初等数论》期末模拟试题
证明：∵ n 2 p 1 为素数，由威尔逊定理 (n 1)!1 0(mod n) ， 即有
(n 1)!1 (n 1)(n 2) 3 2 1 1 (n 1) 2 (n 2) p(n p) 1(mod n)
∴ n 为素数。
18、
18、（10 分）证明： (a b) p ap bp(mod p)
证明：由费尔马小定理知对一切整数有： ap a( p), bp b( p)
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由同余性质知有： ap bp a b( p)
又由费尔马小定理有 (a b) p a b( p) ap bp(mod p)
5、（15 分）设 p、q 是两个大于3
是两个大于 3 的质数，证明：
3,8) = 1，
证明：因为24
证明：因为24 = 3 × 8，(3,8)
。
≡ ()
(mod3)，p2 ≡ q2 (mod8)同时成立。
(mod8)同时成立。
∴ 只需证明p
只需证明p2 ≡ q2 (mod3)，
故 b1 ka .因此 m aka ab1t
反过来，当 t 为任一整数时，
ab
t ，其中 t 满足等式 k a b1t .
( a, b)
ab
t 为 a , b 的一个公倍数，
(a, b)
故上式可以表示 a , b 的一切公倍数.
的一切公倍数.
令 t 1 ，即得到最小的正数，故得证 a , b
证明：由题设可知， mi mi 1 , i 2,3,L , n 1, 且 a1 m2 , ai mi , i 2,3,L , n , ，
初等数论试卷
初等数论试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( )Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( )Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡６．模１０的一个简化剩余系是( )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________；26． 勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；30． ()48ϕ=_________________________________。
初等数论题库
浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷）一、填空（30分）1、d （1000）= 。
φ（1000）= 。
(10174)=______ 。
2、 ax+bY=c 有解的充要条件是。
3、20022002被3除后余数为 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）=。
6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。
8、带余除法定理是 。
解同余方程组（12分）A 、叙述威尔逊定理。
B ．证明若)(mod 01)!1(m m ≡+-，则m 为素数（10分）四．解方程 474++x x ≡0（mod ２７） （10分）设2Ｐ+1为素数,试证)12(mod 0)1()!(2+≡-+p p p （10分）六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数12-=PP M 不是素数。
（10分） 七、证33393z y x =+ 无正整数解。
（8分） 八、设n 是大于2的整数，证明)(n ϕ为偶数（10分）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)12(mod 2x x x答案1、16．2340，12、（a ，b ）|c3、14、3，4，5，6，7，8，9，10，115、 np6、 )()1()(2121q p p qq p ---=，p ，q 为奇素数7、2，298、a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，r 使得 b r r bq a <≤+=0,答案解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解原方程等价于方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)5(mod 1)3(mod 1)5(mod 6)2(mod 6)3(mod 2)4(mod 2≡≡≡≡-≡-≡x x x x x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2≡-≡-≡x x x由孙子定理得)60(mod 46≡x答案A ．(威尔逊定理)整数是素数，则证：若m 不是素数，则m=ab ， m b a 〈〈,1，则 1)!1(|,)!1(|+--m a m a ，则有 1|a不可能，所以m 是素数。
Z(08)理科 初等数论学期末A答案
《初等数论》试卷答案及评分标准 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷一、 填空题（本大题共有3题，每题3分，9分。
） 1、a ≡b(mod m)的充要条件是 m|(a-b).2、算数基本定理的内容是：每个大于1的正整数a 均可分解成有限个素数之积, 并且若不计素因数的次序, 其分解是唯一的.3、()()22100110111-=()211110二、 判断题（本大题共3题，每小题2分，共6分。
） 1、若 a 是b 的真因数, 则 1＜|a|＜|b|.（ √） 2、 a 不能被p 整除当且仅当: (p,a)=1（× ）3、设a 和b1,b2,…,bn 都是正整数, n ≣2. 若(a,b1)=(a,b2)=…=(a,bn)=1, 则(a,b1b2…bn)=1.（√） ）三、 选择题（本大题共3题，每小题3分，共9分）1、 1、 整数 a=bq+r 0<r<b其中q 和r 都是正整数, 则以下四个结论正确的是（ ①②③④） ①a 和b 的任一公因数也是b 和r 的公因数； ②b 和r 的任一公因数也是a 和b 的公因数； ③(a,b)=(b,r);④若(a,b)=d, 则 (a|d, b|d)=1. 3、、a ≡b(mod m)的充要条件是 AA m|(a-b)B (a,b) =1C (a,m)=1 D(b,m)=1 5、正确命题是（ ABCD ）A 、设m ＞2, 且(a,m)=1,则:)(mod 11)(m a m ≡-ϕB 若p 是素数, 则: )(mod 11m a p ≡-C 、素数有无穷多个D 、若a 和b 是正整数, 且(a,b)=1, 则(a,bc)=(a,c) 四：计算题(本大题共3题，每小题6分，共18分) 1、 对任意正整数n ，求：（12n+7，14n+8）解：∵14n+8＝12n+7＋2n+112n+7=6(2n+1)+1（3分）∴（12n+7，14n+8）＝（2n+1，12n+7）＝（1,2n+1） ＝1（3分）2、计算：m 取何值时，下列各式成立：（1） 32≡11 （modm ） （2） 480≡26 （modm ） 解：（1）∵32-11≡0 （modm ），而32-11=21=3×7，∴m ＝3，或7，或21（2）∵480-26≡0（modm ），而480-26=454=2×227，∴m ＝2，或227或454 3、求：（1）（36,108,204） （2）〔36,108,51〕 解：（1）（36,108,204）＝4×（9,27,51）＝4×3×（3,9,17）＝12×（（3,9），17）＝12×（3×（1,3），17）＝12×（3,17）＝12 （2）〔36,108,51〕＝12×〔3,9,17〕＝12〔〔3,9〕，17〕＝12×〔9,17〕＝12×3×3×17＝612五、 策略题(本大题共3题，每小题6分，共18分)1、判断下列一次同余方程是否有解。
(完整版)初等数论练习题二(含答案)
《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、 同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、 如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、 在176与545之间有（）是13的倍数.10、 如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（ ）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、 如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 （）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（ ）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.1、 求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)
《初等数论》试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48ϕ=_________________________________。