矩阵初等变换
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矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换规则
矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。
2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。
3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。
4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。
（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。
使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。
同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。
（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。
2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。
3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。
4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换
E (i, j ( k )) = E ( j, i ( k ))
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵. 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵 2. E (i, j ) = −1
E (i ( k )) = k E (i, j ( k )) = 1
初等矩阵都是非奇异的. 初等矩阵都是非奇异的
行变换相当于左乘初等矩阵; 行变换相当于左乘初等矩阵 列变换相当于右乘初等矩阵. 列变换相当于右乘初等矩阵
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 第三种初等变换： 第三种初等变换：
(i ) 对换矩阵中第i, j两行(列)的位置，记作 rij ( cij )或ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) (ii ) 用非零常数 k乘第 i行(列）记作 kri ( kc i ). ,
利用初等变换将 A化为 B， A与 B之间用记号 → 或 ≅ 连接。
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵 ， 对矩阵 实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 实行有限次初等变换得到矩阵 等价， 阵A与B等价，记作 A ≅ B. 与 等价
A ≅ A;
1 0 M A ≅ 0 0 M 0
(iii ) 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行 （列）对应元素上去, 记作ri + krj ( ci + kc j ).
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为换可以将矩阵化为梯形阵。 例如：
E (i ( k )) =
E ( i , j ( k )) =
6.6矩阵的初等变换
1 1 1 A 1 3 / 2 3 5 / 2 3 2 1
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的初等变换
论 A m 结 :设 是 ×n矩 , 阵
A 过 干 初 行 变 变 B A 若 经 若 次 等 列 换 成 ,即 → B, 在 阶 等 逆 阵1 2L l n 初 ⇔存 m 初 (可 )矩 P ,P , ,P和 阶 等 逆 阵 1 (可 )矩 Q ,Q2, ,Qt使 L 得 B = PP LPAQQ2LQt 1 2 l 1
所以,对AX = B ⇒ X = A−1B,
行 可构造[ AB] [ EX] , X = A−1B →
−1 −1 −1 k 2 1 : k 行 P−1LP−1P−1 −1 2 1
特别Ax = β ⇒ x = A−1β ,
可构造[ Aβ ] [ Ex] , x = A β →
行 −1
1 1 1 3 (2) 例 已知A = , B = 2 5且AX = B.求解X. 3 −2
应 初 行 换 相 的 等 变 .
a1 a2 a3 1 0 k a1 a2 a3 + ka1 b b b 0 1 0 b b b kb 再 1 2 3 看 = 1 2 3 + 1 c1 c2 c3 0 0 1 c1 c2 c3 + kc1
0 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1
1 0 −2 1 ∴[(C − B)T ]−1 = 1 −2 0 1 1 0 0 1 ∴A = D[(C − B)T ]−1 = 0 0 0 0
1 性 : P(i(k)) = k ≠ 0, P(i(k)) = P(i( )) 质 k
−1
1 1 O O 1 1 k ri + krj (3)E = O O (c + kc ) = P(i, j(k)) j i uuuuuuuuu r 1 1 O O 1 1
矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B行等价 矩阵A与 行等价 行等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B列等价 矩阵A与 列等价 列等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称 定义 矩阵A与 等价 等价,记作A~B . 矩阵 与B等价
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A= 1 2
2 3 4 5 1 4 6 8 10 r2 −2r1 0 1 3 3 4 5 4 5 8 10 2
2 3 4 0 0 0
5 0 = A3 3 3 4 5 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 定义 初等行变换 (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) .
r 2 − 2 r1 r3 − r1 r 4 − 2 r1
§1 矩阵的初等变换
r 2 ↔ r3
A1
− 1 × r4
1 0 0 0 2 1 0 0
2 1 0 0 3 0 1 0
3 0 0 1 4 0 0 0
4 0 0 0
5 0 = A2 0 0 5 0 = A3 0 0
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B列等价 矩阵A与 列等价 列等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称 定义 矩阵A与 等价 等价,记作A~B . 矩阵 与B等价
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A= 1 2
2 3 4 5 1 4 6 8 10 r2 −2r1 0 1 3 3 4 5 4 5 8 10 2
2 3 4 0 0 0
5 0 = A3 3 3 4 5 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 定义 初等行变换 (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) .
r 2 − 2 r1 r3 − r1 r 4 − 2 r1
§1 矩阵的初等变换
r 2 ↔ r3
A1
− 1 × r4
1 0 0 0 2 1 0 0
2 1 0 0 3 0 1 0
3 0 0 1 4 0 0 0
4 0 0 0
5 0 = A2 0 0 5 0 = A3 0 0
矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
矩阵的初等变换
r
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
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例6 已知向量组α1=(2,-1,3,1)T，α2=(4,-2,5,4)T, β=(2,-1,4,-1)T，试判断β能否由 已知向量组α =(2,=(4,=(2,-1,4,-1)T，试判断β α1，α2线性表出，若能，则写出相关的线性组合。 解：以α1 α2 β 为列构成矩阵，并对它施行初等行变换，化为行最简形矩阵
解：
1 2 −3
r2 − 2 r1 r3 + 3r1
1 −3 7 1 −3 7 r + 1 / 5r 0 10 − 17 0 10 − 17 0 0 196 / 10 0 − 2 23
3 2
= 1 × 10 × 196 / 10 =196。
2 求矩阵的逆
一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n×2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-1
am 2 ⋯ amn
= c1……cl a11 ' a22 ' a mn ' 其中第i步使用第一型初等行变换时，取 α=-1，使用第二型初等行变换时，ci=1/k 使用第三型初等行变换时，ci=1 （i=1，2…l）
1
例1 计算
−3 4 7
7 −3 2
7 −3 2
det A的值。 的值。
2 −3
−3 4 7
1 0 −3/ 2 3/ 4 5/ 4 → 0 1 −3/ 2 −7/ 4 −1/ 4 0 0 0 0 0
3 − 3 5 2 4 4 x1 3 7 − 1 x2 x = == c1 2 + c 2 4 + 4 ，其中 c1 , c 2 为任意常数。 x 3 0 0 1 x 4 1 0 0
4 2 r ↔r 1 4 − 1 1 / r 2 1 r +r r −4 r − 1 − 2 − 1 rr −32rr 0 2 − 2 rr + 7 rr 0 − +4 → → 3 5 4 0 −7 7 0 1 0 − 4 4 0 4 − 1
x1 + x 2 − 3 x 3 − x 4 = 1 例4 求解非齐次线性方程组 3 x 1 − x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 4 x + 5x − 9x − 8x = 0 1 2 3 4
1 1 1 −3 −1 1 1 −3 −1 1 解：B = 3 −1 −3 4 4 →0 1 −3/ 2 −7/ 4 −1/ 4 0 0 0 1 5 − 9 −8 0 0 0
B的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm中的向量αi1……αir 构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm的秩。
5 确定向量组的线性相关性
一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为列构成矩阵A，对A施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m， 则α1α2……αm线性无关，若r（A）<m，则α1α2……αm线性相关。 例5 已知a1=[1,1,1]T,a2=[0,2,5]T,a3=[1,3,6]T,讨论a1,a2,a3的线性相关性。 解：计算以向量组成的矩阵的秩
1 r2 ↔r3 → 0 0 1 r3 ×(−1) → 0 0
1 − 4 − 3 −1 A = 1 − 5 − 3 −1 6 4
验证：
2 2 3 1 − 4 − 3 1 0 0 1 − 1 0 1 − 5 − 3 = 0 1 0 − 1 2 1 − 1 6 4 0 0 1
目 录
引 言 1 行列式的计算 2 求矩阵的逆 3 求矩阵的秩 4 求线性方程组的解 5 求向量组的线性关系 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出 7 求向量组的秩与极大无关组 8 判断两向量组是否等价 9 向量空间内向量在基下的坐标 10 一组向量组生成的子空间的基与维数 11 求两个子空间的和与交的基与维数 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵 结 论
3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C１，C２，…，Cn-k为 任意常数)就是AX=0的通解。 (2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵 1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)， 若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2° 2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的 线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应 的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷 多解，转入3° 3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元 为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的 自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0 4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一 个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１， X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k 5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C １，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B的通解。
3 求矩阵的秩
一般格式：将m×n矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵 A
初等行变换 → 行阶梯形矩阵B
其中B中非零行数即为矩阵A的秩，记作r（A）。
3 2 −1 − 3 − 2 1 − 3 2 −1 3 例3 求矩阵 7 0 的秩 5 −1 − 8
3 2 −1 − 3 − 2 1 3 r1 −r2 解： 1 − 3 → 2 − 1 2 −1 3 7 0 7 0 5 −1 − 8 3 −4 −4 1 1 1 r3 −3r2 − 5 → 0 0 − 7 11 9 0 − 21 33 27 − 17 0
( AE ) 初等行变换 →(E ⋮ A −1 )
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
例2 求矩阵
2 2 3 1 −1 0 −1 2 1
的逆。 的逆。
解：
2 2 3 1 0 0 r ↔r 1 −1 0 0 1 0 r12 −2r21 → 1 −1 0 0 1 0 0 4 3 1 −2 0 −1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 2 3 4 4 2 1 1 1 1 3 4 2 2 2
3 1 − 1 0 0 0 0 0
β=3α 故：β=3α1 -α2
7 求向量组的秩与极大无关组
一般格式：设向量组α1α2……αm，以它们为列构成矩阵A
A = (α1α 2 …α m ) 初等行变换→ 行阶梯形矩阵 B
×1 1 0 1 rr ×1 // 2 1 0 1 1 0 1 r − r r −r 5 r −r 1 2 3 → 0 2 2 → 0 2 2 0 5 5 0 0 0 1 5 6
−1 0 0 1 4 0 1 0 0 r1 + r2 1 0 1 0 2 1 r3 − 4r2 1 0 1 1 → 0 1 1 0 1 1 0 0 −1 1 − 6 − 4 3 1 − 2 0 1 0 2 1 r1 − r3 1 0 0 1 − 4 − 3 r2 − r3 1 0 1 1 → 0 1 0 1 − 5 − 3 0 0 1 −1 6 1 −1 6 4 4 1
引 言
矩阵是线性代数的重要研究对象， 矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 下面三种变换定义为矩阵初等行变换： 1.互换两行（记 1.互换两行（记 ri ↔ rj ）； 2.以数 2.以数 k（ k ≠ 0）乘以某一行（记 ri × k ）； 3.把某一行的 3.把某一行的 k 倍加到另一行上（记 ri + k rj ）。 若将上述定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换。初等行变 换和初等列变换统称为初等变换。 利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩， 确定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。 本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。 同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似 之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区 别才能正确使用这些计算格式。 首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序
A
பைடு நூலகம்→ → 行阶梯形矩阵
从左到右 从上到下
从右到左 从下到上
行最简形矩阵
正
1 行列式的计算
文
一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形
a11 a21 ⋮ am1
a12 a22 α ⋮
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋮ ⋮
a11 ' a12 ' ⋯ a1n ' 初等行变换→ c1……cl 0 a22 ' ⋯ a2 n ' ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 amn '
矩阵初等变换的应用 举例
内容摘要
矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变 换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩 阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方 程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性 关系。 本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题 的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于 这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格 式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区 别。