二次三项式的因式分解(用公式法)

ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
2
千万不能忽略。 中的因式 a千万不能忽略。 2.在分解二次三项式 在分解二次三项式
ax
2
+ bx + c
的因式时， 的因式时，可先用求根公式求出方程
ax
2
+ bx + c = 0
的两个根x 的两个根 1,x2然后,写成
ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
2
四、课堂练习
A 组
1. 填空题
2 2 （1）若方程 ax + bx + c = 0的两根为x1 , x2 , 则ax + bx + c分解为 ）
a( x − x1 )( x − x2 )
（2）分解因式： ）分解因式： = ( x + 8)( x + 12)
(3x − 7 y )(2 x + y )
二、新课
1. 我们把 ax + bx + c ( a ≠ 0) 叫做 的二次三项式。 叫做x的二次三项式。 的二次三项式
2
这个式子的x的最高次项是 ，并有一次项和常数项， 这个式子的 的最高次项是2，并有一次项和常数项， 的最高次项是 共有三项。 共有三项。 2. 请同学说出 的二次三项式 ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 请同学说出x的二次三项式 和x的一元二次方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 的一元二次方程 形式上有什么不同？ 形式上有什么不同？
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) （3）写出公式 ）
并把
x1 , x2 ;
的值代入公式中的
六、作业
课本P38习题 习题12.5 A组（全） 课本 习题 组 B组1，2（双） 组 ， （
从以上例2的因式分解来研究。 从以上例 的因式分解来研究。 的因式分解来研究 与二次三项式
2
2x2 − 8x − 6
对应的一元二次方程是
2x − 8x − 6
=0 这个方程的两根是
8 ± (−8) 2 − 4 × 2 × (−6) x= = 2± 7 2× 2
x1 = 2 − 7 , x2 = 2 + 7
1 B、( x + 3)( x − ) 2 2 1 D、( x − 3)( x + ) 2 2
（2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ D） ）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（
A、x + x − 15 6
2
C、x − 2 xy − 4 y
2
2
D、x 2 − 4 xy + 5 y 2 2
4 即：x1 = , x2 = −2 5
4 ∴ 5 x + 6 x − 8 = 5( x − )( x + 2) 5 此步的目的是去掉括号内的分母 = (5 x − 4)( x + 2)
2Biblioteka Baidu
例2 把2 x 2 − 8 xy + 5 y 2分解因式
解：关于x的方程2 x 2 − 8 xy + 5 y 2 = 0的根是 8 y ± (−8 y ) 2 − 4 × 2 × (5 y 2 ) x= 2× 2
B组 组 1. 填空题 （1）在实数范围内分解因式 ）
（x − 3 −2+ 3 7 y )( x −
2
3x + 4 xy − y 为
2 2
−2− 3
7
y)
（2）已知方程 ）
x + mx + n = 0
的两根之和是5， 的两根之和是 ，
2 2
之积为3， 之积为 ，则 x 2 + mx + n分解因式为 ( x − 5 + 13 )( x − 5 − 13 ) 2. 选择题 是关于 的完全平方式， 若 x − (2k + 1) x + k + 5 是关于x 的完全平方式，则
在实数范围内不能分解) 在实数范围内不能分解
3. 用求根公式分解二次三项式 其程序是固定的， 其程序是固定的，即： （1）第一步：令 ）第一步：
ax 2 + bx + c(a ≠ 0)
ax
2
+ bx + c = 0
①；
（2）第二步：求出方程①的两个根 ）第二步：求出方程①
x1 , x2 ; x1 , x2 处。
由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？ 由此可以看出例 的因式分解的结果与两根的关系是什么？ 的因式分解的结果与两根的关系是什么
2 x 2 − 8 x − 6 = 2[ x − (2 − 7 )][ x − (2 + 7 )] = 2( x − x1 )( x − x2 )
这个关系是：二次三项式系数乘以 减去一个根的差， 这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差， 再乘以x减去另一个根所得的差 减去另一个根所得的差。 再乘以 减去另一个根所得的差。
x −2x−2= x −2x+1−1−2=(x−1) −3
2 2 2
=(x−1) −( 3) =(x−1+ 3)(x−1− 3)
2 2
4. 分解因式
2x2 − 8x − 6
分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项 分析：把二次项系数化为 ，便于配方， 除以2 而是各项提取公因数2 除以 ，而是各项提取公因数 解：
(3)在实数范围内分解因式x − 5 x + 3 =
2
(x −
5 + 13 5 − 13 )( x − ) 2 2
(4)已知方程 已知方程
2
2 x + 8 x + 5a = 0
2
有一个根是
4+ 6 , 2
则
2 x + 8 x + 5a
分解因式为 2( x −
4+ 6 12 + 6 ) )( x + 2 2
= a[x2 − (x1 + x2 )x + x1x2 ] = a(x − x1)(x − x2 )
结论： 结论：在分解二次三项式
ax 2 + bx + c(a ≠ 0)的因式分解时，可先用 公式求出方程ax 2 + bx + c = 0的两根x1 , x2然后写成
ax +bx+ c = a(x − x1)(x − x2 )
一、复习
分解因式
(1) x − x − 2
2
( 2) x − 3 x + 2
2
(3) x 2 − 2 x − 2
答案： 答案： （1）∵ - 2=1× (- 2)且1+（- 2）= -1 ） × 且 （ ） 原式= ∴原式 (x+1)(x-2) (2) ∵2= - 1×（- 2）且- 1+（- 2）= - 3 × ） （ ） 原式= ∴原式 (x-1)(x-2) （3）用原来学过的方法解本题较困难，本题怎解 ）用原来学过的方法解本题较困难，
2
答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。 答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。
2 分解因式。 3. 用配方法把 x − 2 x − 2 分解因式。
分析： 分析：对 x 2 − 2 x 再添一次项系数的一半的平方 （注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 注意：因为因式分解是恒等变形， 减去一次项系数一半的平方） 减去一次项系数一半的平方） 解： 这是配方的关键
分解二次三项式
ax + bx + c
2
宜用一元二次方程的
求根公式分解因式。 求根公式分解因式。 2. 当 ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0时，ax 2 + bx + c在实数范围内可以分解因式； 当 ∆ = b 2 − 4ac〈0时，ax 2 + bx + c在实数范围内不能分解因式；
2 x 2 − 3x + 2 (例如：分解因式 例如： 例如
分析： 分析：由根系关系可求出另一个根 − 然后代入公式即可
12 + 6 2
2. 选择题
1 （1）已知方程 2 x − ax − 3 = 0的两根为3和 − , ） 2
2
则2 x 2 − ax − 3分解因式的结果为（D ）
1 A、x − 3)( x + ) ( 2 1 C、( x − 3)( x − ) 2 2
以上的结论怎样证明？ 以上的结论怎样证明？ 证明： 证明：设一元二次方程
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根是x1，x2 − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac 则x1 = , x2 = 2a 2a
b c ∴ x1 + x 2 = − , x1 x 2 = a a b c 就是 = − ( x1 + x 2 ), = x1 x 2 a a b c 2 2 ∴ ax + bx + c = a ( x + x + ) a a
2x −8x − 6 = 2(x − 4x −3) = 2[(x − 4x + 4) − 4 −3]
2 2 2
= 2[(x − 2) − 7] = 2[(x − 2) − ( 7) ] = 2[x − 2 + 7][x − 2 − 7]
2 2 2
我们知道在解一元二次方程时， 我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定 模式的， 千篇一律” 模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二 次方程的求根公式法。由此推想， 次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解 必定与方程的根有关系， 必定与方程的根有关系，这个关系是什么
8y ± 2 6y 4 ± 6 = = y 4 2
4+ 6 4− 6 ∴ 2 x − 8 xy + 5 y = 2( x − y )( x − y) 2 2
2 2
本题是关于x的二次三项式，所以应把 看作常数 本题是关于 的二次三项式，所以应把y看作常数 的二次三项式
注意： 因式分解是恒等变形 因式分解是恒等变形， 注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式
2 2
2 2 由△= [−( 2k + 1)] − 4 ×1× (k + 5) = 4k − 19 = 0 19 ∴k = 4
K的值为 （ B ） 破题思路 的值为 19 19 B、 A、 − 4 4
C、 2
D、 2 −
五、本课小结
x 2 + (a + b) x + ab = ( x + a )( x + b) 1. 对于不易用以前学过的方法： 对于不易用以前学过的方法：
2
2 x 2 − 6 x + 4 = 0的两根是x1 = 1, x2 = 2 例如， 例如，已知一元二次方程
就可以把二次三项式分解因式， 就可以把二次三项式分解因式，得
2 x − 6 x + 4 = 2( x − 1)( x − 2)
2
三、例题讲解
例1 把
5 x 2 + 6 x − 8 分解因式
解：方程5 x 2 + 6 x − 8 = 0的根是 − 6 ± 6 2 − 4 × 5 × (−8) − 6 ± 196 − 6 ± 14 x= = = 2×5 10 10