(浙江版)中考数学总复习(全套)考点全汇总
中考数学浙教版知识点总结
中考数学浙教版知识点总结一、实数及其运算1. 实数及其性质实数的定义：实数是有理数与无理数的总称。
有理数包括整数、分数和小数。
无理数是连续不循环小数，如π、√2 等。
实数的性质：加法逆元、乘法逆元、交换律、结合律、分配律等。
2. 实数的运算（1）实数的加减法- 两个实数相加或相减时，要先将它们的变号运算转化成加法运算，再进行运算。
- 加法或减法可以从左到右依次进行。
（2）实数的乘除法- 两个实数相乘或相除时，要先将它们的变号运算转化成乘法运算，再进行运算。
- 乘法或除法可以从左到右依次进行。
二、代数1. 一元一次方程及其应用（1）一元一次方程的解- 一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，形式为 ax + b = 0（a ≠ 0），其中 a和 b 是已知的实数，且a ≠ 0。
- 解一元一次方程的方法有列方程将字母系数左右两边交换位置、开口处的系数转变为 1、把常数项移到等号右边、解方程验算等。
（2）一元一次方程的应用- 利用一元一次方程可以解决很多现实生活中的问题，比如速度、距离、时间、钱等。
2. 平方根和简单的二元一次方程（1）平方根- 对于任何非负数 a，总存在一个非负数 x，使得 x² = a。
这个非负数 x 就叫做 a 的平方根，记作√a。
（2）简单的二元一次方程- 二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形式为 ax + by = c（a、b、c 为已知的实数，且 a 和 b 不同时为零）。
- 解法一：先用一元一次方程消元法解出其中一个变量的值，再带入另一个方程求出另一个变量的值。
- 解法二：利用消元法先把二元一次方程变形成只含一个未知数的一次方程，再解出未知数的值。
三、几何1. 三角形的面积计算（1）三角形的面积- 如果一个三角形的底为 a，高为 h，则它的面积 S 为 S = ½ah（a 和 h 均为实数）。
（2）特殊三角形的面积计算- 对于斜边长等于 a、底边长等于 b 的直角三角形，它的面积为 S = ½ab。
九年级数学浙教版知识点归纳总结
九年级数学浙教版知识点归纳总结数学作为一门学科，在九年级的学习中起到了至关重要的作用。
为了更好地帮助同学们复习和巩固九年级数学浙教版的知识点，特将各个章节的重点内容进行归纳总结，并提供一些解题技巧和注意事项，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、函数与方程1. 一元一次方程与一次函数- 一元一次方程的概念及解法- 一次函数的概念与图像特征- 一元一次方程与一次函数之间的关系2. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念及解法- 二元一次方程组的几何意义3. 二次根式与二次函数- 二次根式的概念及运算规则- 二次函数的概念与图像特征- 二次函数与二次根式之间的关系二、平面图形的认识1. 三角形- 三角形的分类及性质- 三角形的内角和与外角性质2. 平行四边形与菱形- 平行四边形的性质- 菱形的性质3. 等腰梯形与等腰直角梯形- 等腰梯形的性质及面积计算- 等腰直角梯形的性质及面积计算三、立体几何与空间图形1. 立体图形的认识- 立体图形的分类及性质- 立体图形的表面积和体积计算2. 圆锥与圆台- 圆锥与圆台的性质- 圆锥与圆台的体积计算3. 圆柱与圆球- 圆柱与圆球的性质- 圆柱与圆球的体积计算四、统计与概率1. 统计的基本概念- 数据的收集与整理- 数据的图表表示及分析2. 概率的初步认识- 随机事件及其概率- 两个独立事件的概率计算3. 抽样与推测- 抽样调查的基本原则- 样本推断与总体估计通过对九年级数学浙教版各章节的知识点进行归纳总结，我们可以清晰地了解到每个章节的重点内容。
在复习时，我们应该重点关注每个知识点的概念及相关的解题方法，掌握基本的计算技巧和推理能力。
除此之外，我们还要注重实际问题与数学模型之间的联系，培养数学思维和应用能力。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：- 阅读题目时要认真理解题意，并推断出问题所需的数学思路。
- 分析问题时要分清已知条件和需求，合理运用已学知识进行问题求解。
初中数学知识点总结浙教版
初中数学知识点总结浙教版一、数与代数1. 数的基本概念- 自然数、整数、有理数和无理数的定义及其性质。
- 整数的四则运算规则及其应用。
- 分数的加减乘除运算，分数的化简和比较大小。
- 代数式的基本概念，包括单项式、多项式、同类项和合并同类项。
2. 代数表达式与方程- 代数表达式的书写和简化。
- 一元一次方程、二元一次方程的解法及其应用。
- 不等式及其解集的表示，一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。
3. 函数的初步认识- 函数的概念，函数的定义域和值域。
- 线性函数、二次函数的图像和性质。
- 函数的简单运算，包括加减乘除和复合函数。
二、几何1. 几何图形初步- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念，包括邻角、对角、同位角等。
- 直线、射线、线段的性质和关系。
2. 平面图形- 三角形的分类和性质，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
- 四边形的分类和性质，重点是矩形、正方形、平行四边形、梯形。
- 圆的基本性质，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
3. 几何图形的计算- 三角形、四边形和圆的面积计算公式。
- 矩形、正方形和圆的周长（或称“围长”）计算。
- 体积和表面积的计算，主要是长方体和圆柱体。
4. 几何变换- 平移、旋转和轴对称（反射）的概念及其在几何图形中的应用。
- 通过具体操作改变图形的位置和形状，理解变换的不改变性质。
三、统计与概率1. 统计- 数据的收集、整理和描述。
- 频数分布表和频数分布直方图的绘制和解读。
- 平均数、中位数和众数的概念及其计算方法。
2. 概率- 随机事件的概念和分类。
- 概率的初步认识，包括确定事件和随机事件的概率计算。
- 简单事件发生的可能性分析。
四、应用题1. 数的应用- 利用所学的数的知识解决实际问题，如购物、时间计算等。
- 利率、比例和百分数的应用。
2. 代数的应用- 一元一次方程和不等式在实际问题中的应用。
- 通过代数表达式简化和运算解决实际问题。
中考数学复习易忘知识点整理(浙教版) 潘建义
3、科学记数法： a 10n ⑴确定 a ：1 a 10 ；⑵确定 n ：①当原数 10 时， n 等于原数的整数位数减
去 1，如 12000=1.2×104；②当 0<原数<1 时，n 是负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零
的个数（含整数位数的零），如 0.0000123=1.23×10-5.
，则
。
二、方程(组)及不等式（组）
1、一元一次方程标准形式： ax b 0 （其中 x 是未知数， a 、 b 是常数， a 0 ）
2、二元一次方程的解有无数多对。
3、二元一次方程组：
一般形式：
aa12xx
b1 y b2 y
c1 c2
解法：代入消元法和加减消元法
4、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0 （ a 0 ）
四、相交线与平行线 1、两点之间，线段最短； 2、点到直线之间，垂线段最短（点到直线的垂线段的长度叫做点到直线之间的距离）；
4
3、两平行线之间的垂线段处处相等（这条垂线段的长度叫做两平行线之间的距离）； 4、线段垂直平分线（或中垂线） 性质：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等； 判定：到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上。 5、角平分线 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等； 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
6、不等式的性质
（l） a b a c b c （2） a b, c 0 ac bc （3） a b, c 0 ac bc
（乘除负数要改变方向，但要注意乘除正数不要改变方向）
7、一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集时要注意方向和实心以及空心）
初中数学知识点总结浙江版
初中数学知识点总结浙江版初中数学知识点总结（浙江版）一、数与代数1. 有理数- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
- 有理数的分类：正有理数、负有理数和零。
- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法及混合运算。
2. 整数- 整数的性质：奇数与偶数、质数与合数。
- 整数的运算：加法、减法、乘法和除法。
- 整除与余数：整除的定义、最大公约数和最小公倍数。
3. 分数与小数- 分数的基本概念：真分数、假分数、带分数。
- 分数的运算：加减乘除运算法则。
- 小数的基本概念：小数的性质和四则运算。
4. 代数表达式- 代数式的概念：单项式与多项式。
- 代数式的运算：加减、乘除、因式分解。
5. 一元一次方程- 方程的建立：等式与不等式。
- 方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1。
6. 二元一次方程组- 方程组的建立：二元一次方程组的概念。
- 解法：代入法、加减消元法。
7. 不等式与不等式组- 不等式的性质：基本性质。
- 不等式的解集：表示方法。
- 不等式组的解法：同向相加、交叉相减。
8. 函数- 函数的概念：定义、函数图像。
- 线性函数：斜率、截距、方程。
- 二次函数：顶点、对称轴、开口方向。
二、几何1. 平面图形- 点、线、面：基本概念。
- 角：分类、性质、角的计算。
- 三角形：分类、性质、内角和定理。
- 四边形：分类、性质、对角线关系。
2. 圆- 圆的基本性质：圆心、半径、直径。
- 圆的计算：周长、面积。
- 圆的位置关系：相离、相切、相交。
3. 空间图形- 立体图形的基本概念：多面体、旋转体。
- 棱柱、棱锥：体积计算。
- 圆柱、圆锥、球：体积与表面积计算。
4. 几何变换- 平移：基本概念、坐标变化。
- 旋转：基本概念、旋转角度。
- 轴对称：对称轴、对称点。
5. 相似与全等- 全等三角形：判定条件。
- 相似三角形：相似比、对应角相等。
- 相似多边形：判定条件、性质。
三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理：普查、抽样。
浙教版中考数学知识点总结
浙教版中考数学知识点总结一、代数知识点1. 方程与不等式代数方程和不等式是中考数学中的重要知识点。
学生需要掌握如何解一元一次方程和一元一次不等式，以及如何应用一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
此外，学生还需要了解二元一次方程和一元一次绝对值不等式的解法及应用。
2. 函数基本概念函数是中考数学中重要的基本概念，学生需要了解函数的定义、定义域、值域、图像和性质。
此外，还需要掌握一次函数、二次函数、分段函数等的性质及应用。
3. 多项式多项式是中考数学中的重点内容，学生需要了解多项式的定义、加减乘除、因式分解、余式定理、因式定理等知识点，并能够熟练应用到解题过程中。
4. 方程与不等式组方程组和不等式组是中考数学中的重要内容，学生需要掌握如何解线性方程组和线性不等式组，并能够应用到实际问题中。
二、几何知识点1. 几何基本概念几何是中考数学中的一大重点，学生需要掌握点、线、面、角等基本概念，以及直线、射线、线段、平行线、垂直线、平行线段等性质及应用。
2. 四边形四边形是中考数学中的重要内容，学生需要了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等的性质及应用。
3. 三角形三角形是中考数学中的一大难点，学生需要了解三角形的内角和、外角和、中线定理、高定理、正弦定理、余弦定理、解三角形等相关知识，并能够熟练应用到解题中。
4. 圆圆是中考数学中的一大重点，学生需要掌握圆的性质、圆的周长和面积、弧长、扇形面积、关于圆的直线、切线等相关知识。
5. 相似与全等相似与全等是中考数学中的重要内容，学生需要了解相似三角形的性质、相似条件、相似比、全等三角形的性质、全等判定条件等知识点。
三、数论知识点1. 整式的基本概念整式是中考数学中的重要内容，学生需要了解整式的概念、加减乘除、整式的因式分解、整式的乘法公式、整式的除法等知识点。
2. 整式的应用整式的应用是中考数学中的一大难点，学生需要能够应用整式解决实际问题，如代数式的值、图形的面积和周长等问题。
浙教版九年级全册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)
浙教版九年级全册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。
浙教版初三中考复习 数学知识点总结归纳
第 1 页 共 68 页 1第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
第 2 页 共 68 页 2 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
中考数学知识点总结(完整版)
中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点：一、实数的分类：1、有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征.2、无理数：初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如、；特定结构的不限环无限小数，如1。
101001000100001……；特定意义的数,如π、°等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（1）实数a的相反数是—a；（2)a和b互为相反数a+b=02、倒数：(1）实数a（a≠0）的倒数是；（2)a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数3、绝对值:（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负)确认，再去掉绝对值符号。
4、n次方根(1）平方根，算术平方根：设a≥0,称叫a的平方根,叫a的算术平方根. （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根。
（3)立方根：叫实数a的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素.2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号,并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加,取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
浙江数学中考考点
浙江数学中考考点浙江数学中考考点数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。
其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。
从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。
但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。
今天在这给大家整理了一些浙江数学中考考点，我们一起来看看吧!浙江数学中考考点1一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
如，=x, =│x│等。
4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);⑵算术平方根与绝对值① 联系：都是非负数，=│a│②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
2023浙江省数学中考考点
2023浙江省数学中考考点浙江省数学中考考点11.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
浙江省数学中考考点2一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1、这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
2、不等式与不等式组不等式：①用符号”=“号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
浙教版中考数学知识点总结
浙教版中考数学知识点总结浙教版中考数学知识点总结一、数的性质与关系1.自然数、整数、有理数、实数、正数、负数的含义及其性质。
2.数的绝对值的性质。
3.数的相反数与数的加、减运算法则。
4.数的乘法与数的除法运算法则。
5.大小关系的表示：大于、小于、等于、大于等于、小于等于。
6.绝对值的大小关系：绝对值大于另一个数与绝对值小于另一个数之间的关系。
二、分式与小数1.分数的定义及其性质。
2.分数的大小关系与化简。
3.分数的加法、减法、乘法和除法运算法则。
4.小数的定义及其运算。
5.小数与分数的相互转化。
三、整式与方程1.代数式、整式与多项式的定义及其性质。
2.单项式与多项式的加减运算法则。
3.一元一次方程及其解的概念与性质。
4.一元一次方程的解法与应用。
四、图形的认识1.各种多边形的定义及特征。
2.角的概念及其分类。
3.线段、直线、射线、平行线、垂直线的定义及特征。
4.相交线及其性质。
五、长方体和平行四边形的认识1.长方体的定义及其性质。
2.平行四边形的定义及其性质。
3.矩形的定义及其性质。
六、几何变换与投影1.几何变换的概念及分类。
2.平移、旋转和镜面对称的性质和规律。
3.图形的投影及其性质。
七、统计和概率1.统计数据的搜集、整理和处理。
2.频数、频率的概念与计算。
3.概率的定义及其性质。
八、函数与方程1.函数的概念及其表示法。
2.函数的关系及其图像。
3.一元一次方程组及其解的概念与性质。
4.二元一次方程组及其解的概念与性质。
以上是浙教版中考数学的主要知识点总结，相信通过对这些知识点的系统学习和掌握，同学们一定能够在中考中取得优异的成绩。
浙江中考数学考点总结
浙江中考数学考点总结浙江中考数学考点总结一、平面直角坐标系1.各象限内点的坐标的特点2.坐标轴上点的坐标的特点3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。
3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数(定义→图象→性质)1. 正比例函数⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线(过原点)⑶性质：①k>0，②k<0，2. 一次函数⑴定义：y=kx+b(k≠0)⑵图象：直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。
⑶性质：①k>0,②k<0,⑷图象的四种情况：3. 二次函数⑴定义：特殊地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线(用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点)。
用配方法变为，则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧，右侧;a<0时，在对称轴左侧，右侧。
4.反比例函数⑴定义：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线(两支)—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于，y随x;②k<0时，图象位于，y随x;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。
对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。
如下图：2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
中考数学考点总结考点1：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数<考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。
中考数学浙教版知识点归纳
中考数学浙教版知识点归纳中考数学是学生学习生涯中的一个关键阶段，它不仅考察学生对数学基础知识的掌握，还考察学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
以下是针对浙教版中考数学知识点的归纳：一、数与代数1. 有理数：包括正数、负数和零，理解有理数的四则运算规则。
2. 无理数：了解无理数的概念，如圆周率π。
3. 代数式：掌握代数式的加减乘除运算，以及代数式的化简。
4. 一元一次方程：解一元一次方程的一般步骤，包括移项、合并同类项、系数化为1。
5. 二元一次方程组：了解二元一次方程组的解法，如代入法和消元法。
6. 一元二次方程：掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法和公式法。
二、几何1. 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等基本图形的性质和计算。
2. 相似与全等：理解相似三角形和全等三角形的判定条件。
3. 圆的性质：掌握圆周角、切线、弧长等圆的基本性质。
4. 空间几何：包括立体图形的表面积和体积的计算，如长方体、圆柱、圆锥等。
三、统计与概率1. 数据的收集与处理：了解数据的收集方法，数据的分类和整理。
2. 统计图表：掌握条形统计图、折线统计图、饼状图的绘制和解读。
3. 平均数、中位数和众数：理解这些统计量的意义和计算方法。
4. 概率：了解概率的基本概念，包括事件的独立性、互斥性等。
四、函数与方程1. 一次函数：理解一次函数的图象和性质，包括斜率和截距。
2. 二次函数：掌握二次函数的图象和性质，包括顶点、对称轴等。
3. 反比例函数：了解反比例函数的图象和性质。
五、综合应用1. 解决实际问题：将数学知识应用于解决实际问题，如速度、距离、时间问题，成本、利润问题等。
2. 数学建模：初步了解数学建模的概念，能够用数学方法描述和解决实际问题。
结束语：通过以上对中考数学浙教版知识点的归纳，希望能够帮助同学们更好地复习和掌握中考数学的主要内容。
数学学习不仅需要记忆和理解，更需要通过大量的练习来提高解题能力。
浙教版初三数学知识点整理
第一章反比例函数 知识点：1.定义：形如y ＝x k（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。
其中x是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。
2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；xk y 1=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如x y 1=，x y 213=等都是反比例函数， 但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。
2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。
3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5. 性质:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。
3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．6. 反比例函数y ＝xk （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
浙教版 初中数学 中考知识点汇总复习课程
a n n nb a b a =)(p p b a a b )()(=-32a n a n a am bm a b a b a b a b -=-=-)(121n x x x n x +++=Λ)(212211n f f f n f x f x f x x k k k =++++++=ΛΛa x x -=1'1a x x -=2'2a x x n n -='ax x +='])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-=Λ2s s =b a b a =b a ab ⋅=2a a )0()(2≥=a a a 浙教版 初中数学 中考知识点汇总1.数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001∙∙∙叫无理数；有理数和无理数统称实数。
实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。
2.自然数（0和正整数）；奇数2n-1、偶数2n 、质数、合数。
科学记数法：n a 10⨯（1≤a ＜10,n 是整数）,有效数字。
3．（1）倒数积为1；（2）相反数和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。
4．数轴：①定义（“三要素”）；②点与实数的一一对应关系。
(2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
5非负数：正实数与零的统称。
（表为：x ≥0）(1)常见的非负数有:6．去绝对值法则：正数的绝对值是它本身，“+（ ）”；零的绝对值是零,“0”； 负数的绝对值是它的相反数，“-（ ）”。
7．实数的运算：加、减、乘、除、乘方、开方；运算法则，定律，顺序要熟悉。
8.代数式，单项式，多项式。
整式，分式。
有理式，无理式。
根式。
9. 同类项。
合并同类项（系数相加，字母及字母的指数不变）。
10. 算术平方根： （正数a 的正的平方根）； 平方根： 11. （1）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式；（2）同类二次根式：化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式；（3）分母有理化：化去分母中的根号。
初中浙教版数学知识点总结
初中浙教版数学知识点总结一、数与代数1. 有理数的运算- 正数、负数、整数、分数、小数的概念- 有理数的加、减、乘、除运算- 乘方、开方运算- 绝对值的概念及运算- 有理数的比较大小2. 整式的运算- 单项式、多项式的概念- 整式的加减、乘法、除法运算- 因式分解：提公因式、公式法、分组分解法3. 代数式的化简与求值- 代数式的化简- 代数式的求值：直接代入、化简后代入4. 一元一次方程与不等式- 方程的建立、解法：移项、合并同类项、系数化为1 - 不等式的建立、解法：移项、合并同类项、系数化为1 - 线性方程组的解法：代入法、消元法5. 二元一次方程组- 二元一次方程组的建立- 解法：代入法、消元法（加减消元、代数乘法消元）6. 一元二次方程- 一元二次方程的建立- 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法7. 函数的概念与性质- 函数的定义、表示法- 函数的性质：定义域、值域、映射、单调性、奇偶性- 函数图像的绘制与识别8. 一次函数与反比例函数- 一次函数的概念、图像（直线）与性质- 反比例函数的概念、图像（双曲线）与性质9. 二次函数- 二次函数的概念、图像（抛物线）与性质- 顶点、对称轴的求法- 最大值、最小值问题10. 序列与数列- 等差数列的概念、通项公式、前n项和公式- 等比数列的概念、通项公式、前n项和公式- 数列的求和：分组求和、错位相减法二、几何1. 平面图形的认识- 点、线、面的基本性质- 角的概念：邻角、对顶角、同位角、内错角- 直线与角的关系：平行、相交、垂直2. 三角形- 三角形的分类：按边分类、按角分类- 三角形的性质：内角和定理、外角性质、三角形的中位线- 等腰三角形、等边三角形的性质与判定 - 直角三角形的性质与勾股定理3. 四边形- 四边形的分类与性质- 平行四边形的性质与判定- 矩形、菱形、正方形的性质与判定- 梯形的性质与中位线定理4. 圆的基本性质- 圆的定义、圆心、弦、直径、半径- 圆的基本性质：弧、弦、直径的关系 - 圆周角定理、圆心角定理5. 圆的计算- 扇形、弧长、圆锥的体积计算- 切线的性质与判定- 圆与圆、圆与多边形的位置关系6. 空间几何- 空间图形的基本概念：点、线、面、体 - 空间直线与平面的位置关系- 空间图形的计算：体积、表面积7. 相似与全等- 全等三角形的判定与性质- 相似三角形的判定与性质- 相似多边形的判定与性质- 相似比的计算与应用8. 解析几何初步- 坐标系的建立与应用- 直线、圆的解析表达式- 点、线、圆之间的距离与角度计算三、统计与概率1. 统计- 数据的收集、整理与描述- 频数、频率、频数分布表的概念与绘制 - 平均数、中位数、众数的计算与意义 - 方差、标准差的概念与计算2. 概率- 随机事件的概念与分类- 概率的定义与计算-。
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（浙江版）中考数学总复习（全套）考点全汇总目录全程考点训练1 实数一、选择题1．在实数－2, 0, 2, 3中, 最小的是(A)A．－2 B．0C ．2D ．3 2．8的平方根是(D ) A ．4 B ．±4 C ．2 2 D ．±2 2 3．下列计算正确的是(C ) A.4＝±2 B ．3－1＝－13C ．(－1)2014＝1 D ．|－2|＝－24．下列实数：253, sin45°, 3－1, π3, (5)0, －16, (3)－2, 1.732, 其中无理数有(B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 sin45°, 3－1,π3是无理数． 5．如图, 数轴的单位长度为1, 如果点A , B 表示的数的绝对值相等, 那么点A 表示的数是(B )(第5题)A ．－4B ．－2C ．0D ．4【解析】 设原点用字母O 表示, ∵点A , B 表示的数的绝对值相等, ∴OA ＝OB ＝4÷2＝2.∴点A 表示的数是－2.6．已知整数a 1, a 2, a 3, a 4, …满足下列条件：a 1＝0, a 2＝－||a 1＋1, a 3＝－||a 2＋2,a 4＝－||a 3＋3, ….依此类推, a 2014的值为(C )A ．－1005B ．－1006C ．－1007D ．－2012【解析】 a 1＝0, a 2＝－|0＋1|＝－1, a 3＝－|－1＋2|＝－1, a 4＝－|－1＋3|＝－2, a 5＝－|－2＋4|＝－2, …,∴当n 为奇数时, a n ＝－n －12；当n 为偶数时, a n ＝－n 2, ∴a 2014＝－20142＝－1007.(第7题)7．如图, 一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳, 若它停在奇数点上, 则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上, 则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳, 则经2015次后它所停的点所对应的数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】 5→2→1→3→5→2→1→3→5, 2015＝4×503＋3, 故到3. 二、填空题8．写出一个比3大的整数：2(答案不唯一)．9．我国已经成功发射了“嫦娥三号”卫星, 是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．“嫦娥三号”探测器的发射总质量约为3700 kg, 3700用科学记数法表示为3.7×103．10．猜数字游戏中, 小明写出如下一组数：25, 47, 811, 1619, 3235, …, 小亮猜想第六个数字是6467.根据此规律, 第n 个数是2n2n ＋3．11．已知|a |＝1, |b |＝2, |c |＝3, 且a >b >c , 那么a ＋b －c ＝2或0． 【解析】 由|a |＝1, |b |＝2, |c |＝3, 得a ＝±1, b ＝±2, c ＝±3.∵a >b >c , ∴a ＝±1, b ＝－2, c ＝－3, ∴a ＋b －c ＝1＋(－2)－(－3)＝2, 或a ＋b －c ＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.12．式子“1＋2＋3＋4…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和, 由于式子比较长, 书写不方便, 为了简便起见, 我们将其表示为错误!错误!＝错误!．【解析】 n ＝120151n （n ＋1）＝11×2＋12×3＋...＋12015×2016＝1－12＋12－13＋ (12015)12016＝1－12016＝20152016.13．已知a , b 为有理数, m , n 分别表示5－7的整数部分和小数部分, 且amn ＋bn 2＝1, 则2a ＋b ＝52．【解析】 易得m ＝2, n ＝3－7, a ·2×(3－7)＋b (3－7)2＝1.∴(6a ＋16b )＋(－2a －6b )7＝1.∵a , b 为有理数, ∴6a ＋16b ＝1且－2a －6b ＝0, ∴a ＝32, b ＝－12, ∴2a ＋b ＝52.14．有一数值转换器, 原理如图所示, 若开始输入x 的值是5, 可发现第1次输出的结果是8, 第2次输出的结果是4……则第2015次输出的结果是4．(第14题)【解析】 由已知可得：第1次输出的结果为8, 第2次输出的结果为4, 第3次输出的结果为2, 第4次输出的结果为1, 第5次输出的结果为4……所以规律为从第2次开始每三次一个循环, (2015－1)÷3＝671……1, 所以第2015次输出的结果是4.三、解答题 15．计算：(1)||23－1＋(2－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1.【解析】 原式＝23－1＋1－3＝ 3. (2)2－2sin45°－(1＋8)0＋2－1－(－1)2015.【解析】 原式＝2－2×22－1＋12－(－1)＝12. 16．观察下列等式：12×231＝132×21, 13×341＝143×31, 23×352＝253×32, 34×473＝374×43, 62×286＝682×26,…以上每个等式中两边的数字是分别对称的, 且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律, 我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空, 使式子成为“数字对称等式”：①52×______＝______×25.②______×396＝693×______．(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a, 个位数字为b, 且2≤a＋b≤9, 写出表示“数字对称等式”一般规律的代数式(含a, b), 并证明．【解析】(1)①275, 572. ②63, 36.(2)规律：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．证明：左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a ＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a), 右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a), 左边＝右边．17．观察图形, 解答问题：(第17题)(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×(－1)×2＝－2 (－3)×(－4)×(－5)＝－60三个角上三个数的和1＋(－1)＋2＝2 (－3)＋(－4)＋(－5)＝－12积与和的商－2÷2＝－1(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.【解析】 (1)图②：(－60)÷(－12)＝5；图③：(－2)×(－5)×17＝170, (－2)＋(－5)＋17＝10, 170÷10＝17.(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360, 5＋(－8)＋(－9)＝－12, y ＝360÷(－12)＝－30； 图⑤：1·x ·31＋x ＋3＝－3, 解得x ＝－2.18．阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013的值．解：设S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22012＋22013①,将等式两边同时乘2, 得 2S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22013＋22014②,用②式减去①式, 得2S －S ＝22014－1,即S ＝22014－1,则1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013＝22014－1.请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210.(2)1＋3＋32＋33＋34＋ (3)(其中n 为正整数)． 【解析】 (1)设S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210①, 将等式两边同时乘2, 得2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211②,用②式减去①式, 得2S －S ＝211－1, 即S ＝211－1, 则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211－1. (2)设S ＝1＋3＋32＋33＋34＋ (3)①, 将等式两边同时乘3, 得 3S ＝3＋32＋33＋34＋ (3)＋3n ＋1②, 用②式减去①式, 得3S －S ＝3n ＋1－1, 即S ＝3n ＋1－12, 则1＋3＋32＋33＋34＋ (3)＝3n ＋1－12. 全程考点训练2 整式一、选择题1．下列计算正确的是(B )A ．a ＋2a 2＝3a 3B ．(a 3)2＝a 6C ．a 3·a 2＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4【解析】 a 与2a 2不是同类项, 不能合并；(a 3)2＝a 3×2＝a 6；a 3·a 2＝a3＋2＝a 5；a 8÷a2＝a8－2＝a 6.2．化简5(2x －3)＋4(3－2x )的结果为(A ) A ．2x －3 B ．2x ＋9 C ．8x －3 D ．18x －3【解析】 5(2x －3)＋4(3－2x )＝5(2x －3)－4(2x －3)＝2x －3 . 3．若3×9m ×27m ＝311, 则m 的值为(A ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 3×9m ×27m ＝3×32m ×33m ＝35m ＋1＝311,∴5m ＋1＝11, ∴m ＝2.4．已知x 2－2＝y , 则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是(B ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4【解析】 ∵x 2－2＝y , 即x 2－y ＝2,∴原式＝x 2－3xy ＋3xy －y －2＝x 2－y －2＝2－2＝0.5．某企业今年3月的产值为a 万元, 4月比3月减少了10%, 5月比4月增加了15%, 则5月的产值是(B )A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a (1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%＋15%)万元D ．a (1－10%＋15%)万元6．当x ＝1时, 代数式12ax 3－3bx ＋4的值是7, 则当x ＝－1时, 这个代数式的值是(C )A ．7B ．3C ．1D ．－7【解析】 当x ＝1时, 12ax 3－3bx ＋4＝12a －3b ＋4＝7, ∴12a －3b ＝3.∴当x ＝－1时, 12ax 3－3bx ＋4＝－12a ＋3b ＋4＝－3＋4＝1.故选C.7．若将代数式中的任意两个字母交换, 代数式不变, 则称这个代数式为完全对称式, 如a ＋b ＋c 就是完全对称式．有下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的为(A )A ．①② B．①③ C ．②③ D．①②③【解析】 根据完全对称式的定义知①②正确；对于③, 若交换a , b , 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a 变为b 2a ＋a 2c ＋c 2b , 与原式不相等．二、填空题 8．计算：(1)m ＋n －(m －n )＝2n ； (2)3x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－19x 2＝－13x 5；(3)－(－2a 2)4＝－16a 8； (4)9x 3÷(－3x 2)＝－3x ．9．已知a ＋b ＝2, ab ＝－1, 则3a ＋ab ＋3b ＝5, a 2＋b 2＝6． 【解析】 3a ＋ab ＋3b ＝3(a ＋b )＋ab ＝3×2－1＝5.a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝22＋2＝6.10．若－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y , 则a ＋b ＝3_．【解析】 由－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y , 可知－4x a y , x 2y b , －3x 2y 是同类项, 则a ＝2, b ＝1, ∴a ＋b ＝3.11．如图, 各圆的三个数之间都有相同的规律．根据此规律, 第n 个圆中, m ＝9n 2－1(用含n 的代数式表示)．(第11题)【解析】 ∵8＝9－1＝(1＋2)2－1, 35＝36－1＝(2＋4)2－1, 80＝81－1＝(3＋6)2－1, …, ∴第n 个圆中, m ＝(n ＋2n)2－1＝9n 2－1.12．定义新运算“⊕”：当a≥b 时, a ⊕b ＝ab ＋b ；当a<b 时, a ⊕b ＝ab －a.若(2x －1)⊕(x ＋2)＝0, 则x ＝－1或12．【解析】 ①当2x －1≥x ＋2, 即x ≥3时, (2x －1)(x ＋2)＋(x ＋2)＝0, (x ＋2)(2x －1＋1)＝0,解得x 1＝－2, x 2＝0, 均不符合题意, 都舍去； ②当2x －1<x ＋2, 即x <3时, (2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0, (2x －1)(x ＋2－1)＝0,解得x 1＝－1, x 2＝12, 均符合题意．13．如图, 图①是一块边长为1, 周长为P 1的正三角形纸板, 沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②, 然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12)后, 得到图③, 图④……记第n (n ≥3)块纸板的周长为P n , 则P n －P n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．(第13题)【解析】 由图可得： 第1次剪去后, 周长P 2＝3－12,第2次剪去后, 周长P 3＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14, 第3次剪去后, 周长P 4＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－18, ……第(n －1)次剪去后, 周长P n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－18－12n －1, ∴P n －P n －1＝12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.三、解答题 14．计算：(1)(a ＋3)(a －1)－a(a －2)．【解析】 原式＝a 2－a ＋3a －3－a 2＋2a ＝4a －3. (2)[(2x －y)(2x ＋y)＋y(y －6x)]÷(2x)．【解析】 原式＝(4x 2－y 2＋y 2－6xy)÷(2x)＝(4x 2－6xy)÷(2x)＝2x －3y. 15．先化简, 再求值：(1)(x －3)2＋2x(3＋x)－7, 其中x 满足2x －1＝3.【解析】 (x －3)2＋2x(3＋x)－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2. 由2x －1＝3, 得x ＝2,∴当x ＝2时, 原式＝3x 2＋2＝14.(2)(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2－2a 2, 其中a ＝3, b ＝－13.【解析】 原式＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab. ∴当a ＝3, b ＝－13时, 原式＝2ab ＝－2.16．已知实数a, b 满足(a ＋b)2＝7, (a －b)2＝5, 求a 2＋b 2＋ab 的值． 【解析】 a 2＋2ab ＋b 2＝7①, a 2－2ab ＋b 2＝5②, ①＋②, 得a 2＋b 2＝6；①－②, 得ab ＝12,则a 2＋b 2＋ab ＝6＋12＝132.17．有足够多的矩形和正方形的卡片, 如图①所示．(第17题)(1)如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张, 如图②所示, 可拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)．请画出这个矩形的草图, 并运用拼图前后面积之间的关系说明这个矩形的代数意义．(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a＋3b)(2a＋b)＝2a2＋7ab＋3b2, 那么需用2号卡片______张, 3号卡片______张．【解析】(1)如解图,(第17题解)a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)．(2)3, 7.18．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列, “杨辉三角”就是其中一例．如图, 这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1, 其余每个数均为其上方左右两数之和, 它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如, 在三角形中, 第三行的三个数1, 2, 1恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1, 3, 3, 1恰好对应(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数等．(第18题)(1)根据上面的规律, 写出(a＋b)5的展开式．(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.【解析】(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.19．一个两位数, 将它的十位数字与个位数字对调, 证明所得的数与原来的两位数之差是9的倍数．【解析】设原两位数的十位数字是a, 个位数字是b, 那么这个两位数就等于10a＋b.将十位数字与个位数字对调, 所得的新数的十位数字是b, 个位数字是a, 新数就等于10b＋a.所得的新数与原来的两位数之差为：(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a ＝9(b－a)．因为b－a是一个整数, 所以9(b－a)是9的倍数, 所以所得的新数与原来的两位数之差是9的倍数．全程考点训练3 因式分解一、选择题1．下列多项式中, 能因式分解的是(D)A．x2－y B．x2＋1C．x2＋y＋y2 D．x2－4x＋4【解析】x2－4x＋4＝(x－2)2.2．分解因式x2y－y3结果正确的是(D)A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．3．一次课堂练习, 小敏同学做了如下4道因式分解题, 其中分解不够彻底的是(A) A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2C．x2y－xy2＝xy(x－y)D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)【解析】x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．4．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式, 则m的值是(D)A．－5 B．7C．－1 D．7或－1【解析】完全平方式为(x±4)2, 故2(m－3)＝±8, m＝7或－1.5．多项式4x2＋1加上一个单项式后, 使它能成为一个整式的平方, 则加上的单项式不可能是(D)A．4x B．－4xC．4x4 D．－4x46．已知a－b＝3, b＋c＝－5, 则代数式ac－bc＋a2－ab的值是(C)A ．－15B ．－2C ．－6D ．6【解析】 a －b ＝3, b ＋c ＝－5两式相加, 得a ＋c ＝－2.ac －bc ＋a 2－ab ＝c (a －b )＋a (a －b )＝(a ＋c )(a －b )＝－2×3＝－6.7．由m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc , 可得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3, 即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式．下列运用立方和公式进行的变形中, 不正确的是(C )A ．(x ＋4y )(x 2－4xy ＋16y 2)＝x 3＋64y 3B ．(2x ＋y )(4x 2－2xy ＋y 2)＝8x 3＋y 3C ．(a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝a 3＋1 D ．x 3＋27＝(x ＋3)(x 2－3x ＋9)【解析】 (a ＋1)(a 2＋a ＋1)≠a 3＋1, 应为(a ＋1)(a 2－a ＋1)＝a 3＋1. 8．已知248－1可以被在60～70之间的两个整数整除, 则这两个整数是(D ) A ．61, 63 B ．61, 65 C ．61, 67 D ．63, 65【解析】 248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1), 26＋1＝65, 26－1＝63.二、填空题9．分解因式：(1)x 2y 4－x 4y 2＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )； (2)2x 2＋4x ＋2＝2(x ＋1)2．【解析】 (1)提取公因式x 2y 2, 再用平方差公式, 得原式＝x 2y 2(y 2－x 2)＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )．(2)提取公因式2, 再用完全平方公式, 得原式＝2(x 2＋2x ＋1)＝2(x ＋1)2.10．在实数范围内分解因式：x 2－2x －4【解析】 原式＝(x 2－2x ＋1)－5＝(x －1)2－(5)2＝(x －1＋5)(x －1－5)． 11．已知a (a －2)－(a 2－2b )＝－4, 则a 2＋b 22－ab 的值为__2__．【解析】 ∵a (a －2)－(a 2－2b )＝a 2－2a －a 2＋2b ＝－2a ＋2b , ∴－2a ＋2b ＝－4, ∴a －b ＝2. 则a 2＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 2＝（a －b ）22＝2.12．如图, 各块图形的面积和为a2＋3ab＋2b2, 分解因式的结果为(a＋2b)(a＋b)．(第12题)【解析】根据图示可看出大矩形是由2个边长为b的正方形, 1个边长为a的小正方形和3个长为b、宽为a的小矩形组成, 所以用大矩形的面积的两种求法作为相等关系, 即可得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．13．在日常生活中, 取款、网上支付等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码, 方便记忆．原理是：对于多项式x4－y4, 因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2), 若取x＝9, y＝9, 则各个因式的值是：x－y＝0, x＋y＝18, x2＋y2＝162, 于是就可以把“018162”作为一个由6个数字组成的密码．对于多项式4x3－xy2, 若取x＝10, y＝10, 则用上述方法产生的密码是：103010或101030或301010_(写出一个即可)．【解析】4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)．三、解答题14．分解因式：(1)m(a－b)＋n(b－a)．【解析】原式＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)．(2)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9.【解析】原式＝(a＋2b＋3)2.(3)(x2＋x＋1)2－x2.【解析】原式＝(x2＋x＋1－x)(x2＋x＋1＋x)＝(x2＋1)(x＋1)2.(4)(a2＋4b2)2－16a2b2.【解析】原式＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)＝(a＋2b)2(a－2b)2.15．在三个整式x2＋2xy, y2＋2xy, x2中, 请你任意选出两个进行加(或减)运算, 使所得整式可以因式分解, 并进行因式分解．【解析】方法一：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；方法二：(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；方法三：(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；方法四：(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．16．有7张如图①的长为a, 宽为b(a>b)的小矩形纸片, 按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD 内, 未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S, 当BC 的长度变化时, 按照同样的放置方式, S 始终保持不变, 则a, b 满足什么关系？(第16题)【解析】 左上角阴影部分的长为AE, 宽为AF ＝3b, 右下角阴影部分的长为PC, 宽为CG ＝a.∵AD ＝BC, AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋a, BC ＝BP ＋PC ＝4b ＋PC, ∴AE ＋a ＝4b ＋PC, ∴AE ＝PC ＋4b －a,∴阴影部分面积之差S ＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC ＋4b －a)－a·PC＝(3b －a)PC ＋12b 2－3ab.∵S 保持不变, ∴3b －a ＝0, 即a ＝3b.17．(1)已知a, b, c 为△ABC 的三边长, 且满足关系式a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4, 试判断△ABC 的形状．(2)若a, b, c 是△ABC 的三边长, 且满足关系式a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0, 试判断△ABC 的形状．(3)已知△ABC 的三边长分别为a, b, c, 且a ＝m 2－n 2, b ＝2mn, c ＝m 2＋n 2(m ＞n, m, n 都是正整数), 则△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．【解析】 (1)∵a 2c 2－b 2c 2＝c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2), ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)－c 2(a 2－b 2)＝0,∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0, ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0, ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2, ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0可配方成12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]＝0, 故a ＝b ＝c.∴△ABC 为等边三角形．(3)是．理由：∵a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4＝(m 2＋n 2)2＝c 2, ∴△ABC 为直角三角形．18．设a 1＝32－12, a 2＝52－32, …, a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2(n 为大于0的自然数)． (1)探究a n 是否为8的倍数, 并用文字语言表述你所获得的结论．(2)若一个数的算术平方根是一个自然数, 则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1, a 2, …, a n , 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数, 并指出当n 满足什么条件时, a n 为完全平方数(不必说明理由)．【解析】 (1)∵a n ＝(2n ＋1＋2n －1)(2n ＋1－2n ＋1)＝4n·2＝8n, n 为大于0的自然数, ∴8n 一定是8的倍数, 即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．(2)a 2＝16, a 8＝64, a 18＝144, a 32＝256.当n 满足n ＝2k 2(k 为正整数)时, a n 为完全平方数．全程考点训练4 分式一、选择题1．分式22－x 可变形为(D )A.22＋x B ．－22＋x C.2x －2 D ．－2x －2【解析】 分式22－x 的分子、分母都乘－1, 得－2x －2.故选D.2．若|x |－1x 2＋2x －3的值为0, 则x 的值是(C )A ．±1 B．1 C ．－1 D ．不存在【解析】 |x |－1＝0且x 2＋2x －3≠0, ∴x ＝－1. 3．如果把分式2xyx ＋y中的x 和y 都扩大到原来的3倍, 那么分式的值(A ) A ．扩大到原来的3倍 B ．缩小到原来的13C ．扩大到原来的9倍D ．不变【解析】 x , y 都扩大到原来的3倍后, 2·3x ·3y 3x ＋3y ＝18xy 3（x ＋y ）＝6xy x ＋y ＝3·2xyx ＋y , ∴分式的值扩大到原来的3倍．4．化简x 2x －4＋4x 4－x的结果是(D ) A ．x ＋4 B ．x －4 C ．－x D ．x【解析】 x 2x －4＋4x 4－x ＝x 2x －4－4x x －4＝x 2－4x x －4＝（x －4）xx －4＝x .5．分式方程1x －1＝3（x －1）（x ＋2）的解为(D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝－2 D ．无解【解析】 方程的两边同乘(x －1)(x ＋2), 得x ＋2＝3, 解得x ＝1.检验：当x ＝1时, (x －1)(x ＋2)＝0, 即x ＝1不是原分式方程的解．∴原分式方程无解．6．某人从A 地到B 地的速度为v 1, 从B 地返回A 地的速度为v 2, 若v 1≠v 2, 则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度是(A )A.2v 1v 2v 1＋v 2B.v 1＋v 22v 1v 2C.v 1＋v 22D ．以上都不对【解析】 设从A 地到B 地的路程为s , 则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度＝2ss v 1＋sv 2＝2v 1v 2v 1＋v 2. 7．如图, 设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0), 则有(B )(第7题)A ．k ＞2B ．1＜k ＜2 C.12<k <1 D ．0<k <12【解析】 图甲中阴影部分的面积为a 2－b 2, 图乙中阴影部分的面积为a (a －b ),则k ＝a 2－b 2a （a －b ）＝（a －b ）（a ＋b ）a （a －b ）＝a ＋b a ＝1＋b a.∵a ＞b ＞0, ∴0＜b a＜1, ∴1<k <2. 二、填空题 8．使代数式1＋1x －1有意义的x 的取值范围是x ≠1． 【解析】 x －1≠0, ∴x ≠1.9．化简：a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷2a －2b a ＋b ＝12． 【解析】 原式＝（a ＋b ）（a －b ）（a ＋b ）2·a ＋b 2（a －b ）＝12. 10．如果关于x 的方程x x －2＝ax －2＋1去分母时会产生增根, 那么a ＝2． 【解析】 方程两边同乘x －2, 得x ＝a ＋(x －2), 增根为x ＝2, ∴a ＝2.11．杭州到北京的铁路长1487 km.火车的原平均速度为x (km/h), 提速后平均速度增加了70 km/h, 行驶时间缩短了3 h, 则可列方程为1487x －1487x ＋70＝3．【解析】 题中的等量关系为：提速前所用时间－提速后所用时间＝3 h, 则可列出方程1487x －1487x ＋70＝3.12．已知1x －1y ＝3, 则代数式2x －14xy －2y x －2xy －y 的值为4．【解析】 由已知, 得y －x xy ＝3, ∴x －y ＝－3xy , 2x －14xy －2y x －2xy －y ＝2（x －y ）－14xy（x －y ）－2xy＝－6xy －14xy －3xy －2xy ＝－20xy －5xy＝4.13．观察分析下列方程：①x ＋2x ＝3；②x ＋6x ＝5；③x ＋12x＝7.请利用它们所蕴含的规律, 求关于x 的方程x ＋n 2＋nx －3＝2n ＋4(n 为正整数)的根：x ＝n ＋3或x ＝n ＋4．【解析】 由①x ＋1×2x ＝1＋2, 得x ＝1或x ＝2；由②x ＋2×3x＝2＋3, 得x ＝2或x＝3；由③x ＋3×4x ＝3＋4, 得x ＝3或x ＝4.故由(x －3)＋n （n ＋1）（x －3）＝n ＋(n ＋1), 得x －3＝n 或x －3＝n ＋1, ∴x ＝n ＋3或x ＝n ＋4.三、解答题 14．化简： (1)2x x 2－4－1x －2. 【解析】 原式＝2x （x ＋2）（x －2）－x ＋2（x ＋2）（x －2）＝2x －x －2（x ＋2）（x －2）＝1x ＋2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x ＋1. 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x ＋1x －1＝x x ＋1·x ＋1x －1＝x x －1.15．解分式方程：2x 2x －5－22x ＋5＝1.【解析】 原方程两边同乘(2x －5)(2x ＋5), 得 2x (2x ＋5)－2(2x －5)＝(2x －5)(2x ＋5), 展开, 得4x 2＋10x －4x ＋10＝4x 2－25, 整理, 得6x ＝－35, 解得x ＝－356.检验：当x ＝－356时, 2x ＋5≠0, 且2x －5≠0,∴x ＝－356是原分式方程的解．16．当a 取什么值时, 方程x －1x －2－x －2x ＋1＝2x ＋a（x －2）（x ＋1）的解是负数？ 【解析】 当x ≠－1且x ≠2时, 原方程两边同乘(x －2)(x ＋1), 得x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a , 即2x ＝a ＋5,∴x ＝a ＋52.由a ＋52<0, 得a <－5. 又由a ＋52≠2,a ＋52≠－1, 得a ≠－1, a ≠－7.故当a <－5且a ≠－7时, 原方程的解是负数．17．从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2；②3a －3b ；③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造分式, 然后化简, 并求当a ＝6, b ＝3时该分式的值．【解析】 若取①②, a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b 3, 当a ＝6, b ＝3时, 原式＝6－33＝33＝1； 若取①③, a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）＝a －b a ＋b , 当a ＝6, b ＝3时, 原式＝6－36＋3＝39＝13； 若取②③, a 2－b 23a －3b ＝（a ＋b ）（a －b ）3（a －b ）＝a ＋b 3, 当a ＝6, b ＝3时, 原式＝6＋33＝93＝3.分子、分母都可以交换, 分式共有6个, 但数值只有3个．18．先化简, 再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x －1－3x ＋1÷x 2＋4x ＋4x ＋1, 其中x 是方程x －12－x －25＝0的解． 【解析】 原式＝x 2－1－3x ＋1·x ＋1（x ＋2）2＝()x ＋2()x －2x ＋1· x ＋1()x ＋22＝x －2x ＋2. 解方程x －12－x －25＝0, 得x ＝13. ∴原式＝13－213＋2＝－57.19．某工程在招标时, 接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天, 需付甲工程队工程款1.2万元, 乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算, 有如下方案：①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；③若甲、乙两队合做3天, 余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下, 你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由． 【解析】 设规定日期为x 天．由题意, 得3x ＋xx ＋6＝1, 解得x ＝6.经检验, x ＝6是原方程的根． 显然, 方案②不符合要求； 方案①：1.2×6＝7.2(万元)； 方案③：1.2×3＋0.5×6＝6.6(万元)． ∵7.2>6.6,∴在不耽误工期的前提下, 选方案③最节省工程款．全程考点训练9 平面直角坐标系与函数初步一、选择题1．在平面直角坐标系中, 点A (2, －3)所在的象限是(D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 第四象限内点的坐标符号特征是(＋, －), ∴点A (2, －3)所在的象限是第四象限．故选D.2．坐标平面内有一点A , 且点A 到x 轴的距离为3, 点A 到y 轴的距离恰为到x 轴距离的3倍．若点A 在第二象限, 则点A 的坐标为(A )A ．(－9, 3)B ．(－3, 1)C ．(－3, 9)D ．(－1, 3)【解析】 ∵点A 到x 轴的距离为3, 点A 在第二象限, ∴点A 的纵坐标为3.∵点A 到y 轴的距离恰为到x 轴距离的3倍, 点A 在第二象限, ∴点A 的横坐标为－9.∴点A 的坐标为(－9, 3)．故选A.3．已知点M (a , －3)与点N (－4, b )关于x 轴对称, 则(a ＋b )2014的值为(A )A ．1B ．－1C ．72014D ．－72014【解析】 易得a ＝－4, b ＝3, a ＋b ＝－1, ∴(a ＋b )2014＝1.(第4题)4．如图所示, 小手盖住的点的坐标可能为(D ) A ．(5, 2) B ．(－6, 3) C ．(－4, －6) D ．(3, －4)【解析】 小手在第四象限, 该象限内点的坐标符号特征为(＋, －)．5．根据如图所示的程序计算函数值, 若输入的x 的值为52, 则输出的函数值为(B )(第5题)A.32B.25C.425 D.254【解析】 ∵x ＝52在2≤x ≤4之间,∴将x ＝52代入函数y ＝1x , 得y ＝25.(第6题)6．均匀地向一个容器中注水, 最后把容器注满．在注水的过程中, 水面高h (dm)随时间t (min)的变化如图所示(图中OABC 为一折线), 则这个容器的形状为(D )【解析】 据图象可判断：中间一段底面半径最大, 上面一段底面半径最小, 故选D. 7．定义：直线l 1与l 2交于点O , 对于平面内任意一点M , 点M 到直线l 1, l 2的距离分别为p , q , 则称有序实数对(p , q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义, “距离坐标”是(1, 2)的点的个数是(C )A ．2B ．3C ．4D ．5(第7题解)【解析】 如解图．∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且到直线l 1的距离是1的两条平行线a 1, a 2上,到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且到直线l 2的距离是2的两条平行线b 1, b 2上,∴“距离坐标”是(1, 2)的点有M 1, M 2, M 3, M 4, 一共4个．故选C. 二、填空题8．在平面直角坐标系中, 若点P (x ＋2, x )在第四象限, 则x 的取值范围是－2＜x ＜0． 【解析】 ∵点P (x ＋2, x )在第四象限, ∴x ＋2＞0, x ＜0, 解得－2＜x ＜0.9．若第三象限内的点P (x , y )满足|x |＝5, y 2＝9, 则点P 的坐标是(－5, －3)． 【解析】 ∵P 点在第三象限, ∴x ＜0, y ＜0. 又∵|x |＝5, y 2＝9, ∴x ＝－5, y ＝－3. 故点P 的坐标是(－5, －3)．10．对平面上任意一点(a , b ), 定义f , g 两种变换：f (a , b )＝(a , －b ), 如f (1, 2)＝(1, －2)；g (a , b )＝(b , a ), 如g (1, 2)＝(2, 1)．据此得g (f (5, －9))＝(9, 5)．【解析】 g (f (5, －9))＝g (5, 9)＝(9, 5)．(第11题)11．甲、乙两人以相同路线前往离学校12 km 的地方参加植树活动．如图, l 甲, l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (km)随时间t (min)变化的函数图象, 则乙每分钟比甲多行驶35km.【解析】 ∵甲每分钟行驶12÷30＝25(km), 乙每分钟行驶12÷(18－6)＝1(km),∴乙每分钟比甲多行驶1－25＝35(km)．12．将正整数按如图所示的规律排列, 若有序实数对(n , m )表示第n 排, 从左到右第m 个数, 如(4, 2)表示实数9, 则表示实数17的有序实数对是(6, 5)．(第12题)【解析】 观察图表可知：每排的数字个数就是排数, 且奇数排从左到右数字逐渐变大, 而偶数排从左到右数字逐渐变小．实数15＝1＋2＋3＋4＋5,故17是第6排, 从左到右第5个数, 即表示17的有序实数对为(6, 5)． 三、解答题13．小丽和爸爸、妈妈到人民公园游玩, 回到家后, 她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图, 如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴, y 轴．只知道游乐园D 的坐标为(2, －2), 你能帮她求出其他各景点的坐标吗？(第13题)【解析】 由题意可知, 点F 为坐标原点(0, 0), FA 为y 轴正半轴, 则点A , B , C , E 的坐标分别为：A (0, 4), B (－3, 2), C (－2, －1), E (3, 3)．14．在平面直角坐标系中, 一蚂蚁从原点O 出发, 按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动, 每次移动1个单位．其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A 1(0, 1), A 3(1, 0), A 12(6, 0)．(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)．(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向．(第14题)【解析】(2)观察图象, 得点A4(2, 0), A8(4, 0), A12(6, 0), ∴点A4n(2n, 0)．(3)点A100中的n正好是4的倍数, ∴点A100和A101的坐标分别是A100(50, 0), A101(50, 1), ∴蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上．15．如图①, 底面积为30 cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的几何体, 现向容器内匀速注水, 注满为止, 在注水过程中, 水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．(第15题)请根据图中提供的信息, 解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为__14__cm, 匀速注水的水流速度为__5__cm3/s.(2)若几何体的下方圆柱的底面积为15 cm2, 求几何体上方圆柱的高和底面积．【解析】(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14 cm, 两个实心圆柱组成的几何体的高为11 cm, 水从漫过由两个实心圆柱组成的几何体到注满用时42－24＝18(s)．设匀速注水的水流速度为x(cm3/s), 则18·x＝30×(14－11), 解得x＝5, 即匀速注水的水流速度为5 cm3/s.(2)由几何体下方圆柱的高为a(cm), 得(30－15)·a＝18×5, 解得a＝6.∴几何体上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设几何体上方圆柱的底面积为S(cm2), 根据题意, 得5×(30－S)＝5×(24－18), 解得S＝24, 即几何体上方圆柱的底面积为24 cm2.全程考点训练11 反比例函数一、选择题1．已知反比例函数y ＝－2x, 下列结论不正确的是(B )A ．图象必经过点(－1, 2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x >1, 则y >－22．已知长方形的面积为20 cm 2, 设该长方形一边长为y (cm), 另一边长为x (cm), 则y 与x 之间的函数图象大致是(B )3．若函数y ＝m ＋2x的图象在其所在的每一象限内, 函数值y 随自变量x 的增大而增大, 则m 的取值范围是(A )A ．m <－2B ．m <0C ．m >－2D ．m >0【解析】 由在每一象限内, y 随x 的增大而增大, 可知k ＝m ＋2<0, ∴m <－2. 4．如图, 点A 在双曲线y ＝1x 上, 点B 在双曲线y ＝3x上, 且AB ∥x 轴, 点C , D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形, 则它的面积为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 过点A 作AE ⊥y 轴, 易得S 矩形ODAE ＝1, S 矩形OCBE ＝3, ∴S 矩形ABCD ＝S 矩形OCBE －S 矩形ODAE＝3－1＝2.(第4题)(第5题)5．一次函数y 1＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y 2＝m x(m ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示, 若y 1>y 2, 则x 的取值范围是(A )A ．－2<x <0或x >1B ．x <－2或0<x <1C ．x >1D ．－2<x <1【解析】 y 1>y 2, 说明一次函数的图象在反比例函数图象的上方, 观察图象得： 当－2<x <0或x >1时符合要求, 故选A.6．如图, 直线y ＝mx 与双曲线y ＝k x交于A , B 两点, 过点A 作AM ⊥x 轴, 垂足为M , 连结BM .若S △ABM ＝2, 则k 的值是(A )A ．2B ．m －2C ．mD ．4【解析】 S △ABM ＝2S △AOM ＝2×k2＝k ＝2.(第6题)(第7题)7．如图, 已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1, B (2, y 2)为反比例函数y ＝1x 图象上的两点, 动点P (x , 0)在x 轴正半轴上运动, 当线段AP 与线段BP 之差最大时, 点P 的坐标是(D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1, 0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 【解析】 连结AB .把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1, B (2, y 2)的坐标代入反比例函数y ＝1x , 得y 1＝2, y 2＝12, ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2, B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.∵在△ABP 中, 由三角形的三边关系定理, 得||AP －BP <AB ,∴延长AB 交x 轴于点P ′, 当点P 在点P ′处时, PA －PB ＝AB , 即此时线段AP 与线段BP 之差最大．设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b , 把点A , B 的坐标代入可求得直线AB 的表达式是y ＝－x ＋52.当y ＝0时, x ＝52, 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0, 故选D. 二、填空题8．已知反比例函数的图象经过点(－1, 2), 则它的表达式是y ＝－2x．【解析】 设反比例函数的表达式为y ＝k x , 将点(－1, 2)代入y ＝k x, 得k ＝－1×2＝－2, 故函数表达式为y ＝－2x.9．已知反比例函数y ＝4x, 当函数值y ≥－2时, 自变量x 的取值范围是x ≤－2或x ＞0．【解析】 易知反比例函数y ＝4x的图象在第一、三象限, 且在每一象限内, y 随x 的增大而减小, 显然, 当x >0时, y >0；当x <0, y ＝－2时, －2＝4x, 解得x ＝－2.∴当y ≥－2时, x ≤－2.综上所述, x ≤－2或x >0.10．直线y ＝ax (a >0)与双曲线y ＝3x交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点, 则4x 1y 2－3x 2y 1＝－3．【解析】 点A 和点B 关于原点对称, 点A (x 1, y 1), 则点B (－x 1, －y 1),∴4x 1y 2－3x 2y 1＝－4x 1y 1＋3x 1y 1＝－x 1y 1＝－3.(第11题)11．如图, 四边形OABC 是矩形, ADEF 是正方形, 点A , D 在x 轴的正半轴上, 点C 在y 轴的正半轴上, 点F 在AB 上, 点B , E 在反比例函数y ＝k x的图象上, OA ＝1, OC ＝6, 则正方形ADEF 的边长为__2__．【解析】 ∵OA ＝1, OC ＝6, ∴点B 的坐标为(1, 6), ∴k ＝1×6＝6,∴反比例函数的表达式为y ＝6x.设AD ＝t , 则OD ＝1＋t , ∴点E 的坐标为(1＋t , t ),∴(1＋t )·t ＝6, 整理, 得t 2＋t －6＝0, 解得t 1＝－3(舍去), t 2＝2, ∴正方形ADEF 的边长为2.(第12题)12．如图, 点A 1, A 2, A 3在x 轴上, 且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3, 分别过点A 1, A 2, A 3作y 轴的平行线, 与反比例函数y ＝8x(x >0)的图象分别交于点B 1, B 2, B 3, 分别过点B 1, B 2, B 3作x 轴的平行线, 分别与y 轴交于点C 1, C 2, C 3, 连结OB 1, OB 2, OB 3, 那么图中阴影部分的面积之和为499． 【解析】 从左往右三个阴影部分的面积分别记为S 1, S 2, S 3, 则S 1＝4, S 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1, S 3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝49,∴S 1＋S 2＋S 3＝4＋1＋49＝499.(第13题)13．如图, 等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上, ∠BCA ＝90°, AC ＝BC ＝22, 反比例函数y ＝3x(x ＞0)的图象分别与AB , BC 交于点D , E .连结DE , 当△BDE ∽△BCA 时, 点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，2．(第13题解)【解析】 如解图．∵∠BCA ＝90°, AC ＝BC ＝22, 反比例函数y ＝3x(x ＞0)的图象分别与AB , BC 交于点D ,E ,∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°.设点E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，3a , D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，3b ,则点C (a , 0), B (a , 22), A (a －22, 0), ∴可知直线AB 的表达式是y ＝x ＋22－a . ∵△BDE ∽△BCA , ∴∠BDE ＝∠BCA ＝90°, ∴直线y ＝x 与直线DE 垂直,∴点D , E 关于直线y ＝x 对称, 则a ＋b2＝3a ＋3b2, 即ab ＝3.又∵点D 在直线AB 上,∴3b ＝b ＋22－a , 即a ＝3a＋22－a ,∴2a 2－22a －3＝0,解得a 1＝322, a 2＝－22(舍去)．∴点E 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫322，2.三、解答题14．点P (1, a )在反比例函数y ＝kx的图象上, 它关于y 轴的对称点在一次函数y ＝2x ＋4的图象上．求此反比例函数的表达式．【解析】 点P (1, a )关于y 轴的对称点是(－1, a )． ∵点(－1, a )在一次函数y ＝2x ＋4的图象上, ∴a ＝2×(－1)＋4＝2.∵点P (1, 2)在反比例函数y ＝k x的图象上, ∴k ＝2. ∴反比例函数的表达式为y ＝2x.(第15题)15．如图, 正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函数y 2＝k 2x交于A , B 两点．已知点A 的坐标为A (4, n ), BD ⊥x 轴于点D , 且S △BDO ＝4.过点A 的一次函数y 3＝k 3x ＋b 与反比例函数的图象交于另一点C , 与x 轴交于点E (5, 0)．(1)求正比例函数y 1, 反比例函数y 2和一次函数y 3的表达式． (2)结合图象, 求出当k 3x ＋b ＞k 2x＞k 1x 时x 的取值范围． 【解析】 (1)设B (p , q ), 则k 2＝pq .由S △BDO ＝12(－p )(－q )＝4, 得pq ＝8, ∴k 2＝8,∴y 2＝8x, ∴点A (4, 2), ∴点B (－4, －2)．把点A (4, 2)的坐标代入y 1＝k 1x 中, 得4k 1＝2, ∴k 1＝12, ∴y 1＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧4k 3＋b ＝2，5k 3＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－2，b ＝10. ∴y 3＝－2x ＋10.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y 3＝－2x ＋10，得点C (1, 8)．由图象可得, 当x ＜－4或1＜x ＜4时, k 3x ＋b ＞k 2x＞k 1x .(第16题)16．如图, 定义：若双曲线y ＝k x(k ＞0)与它的其中一条对称轴y ＝x 交于A , B 两点, 则线段AB 的长度为双曲线y ＝k x(k ＞0)的对径．(1)求双曲线y ＝1x 的对径．(2)若双曲线y ＝k x(k ＞0)的对径是102, 求k 的值． (3)仿照上述定义, 定义双曲线y ＝k x(k ＜0)的对径．【解析】 (1)过点A 作AC ⊥x 轴于点C , 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝－1.∴点A 的坐标为(1, 1), 点B 的坐标为(－1, －1), ∴OC ＝AC ＝1, ∴OA ＝2OC ＝2, ∴AB ＝2OA ＝22,∴双曲线y ＝1x的对径是2 2.(2)∵双曲线的对径为102, 即AB ＝102, ∴OA ＝5 2.∵OA ＝2OC ＝2AC , ∴OC ＝AC ＝5, ∴点A 的坐标为(5, 5)．把点A (5, 5)的坐标代入y ＝k x(k ＞0), 得k ＝5×5＝25, 即k 的值为25.(3)若双曲线y ＝k x(k ＜0)与它的其中一条对称轴y ＝－x 交于A , B 两点, 则线段AB 的长度为双曲线y ＝k x(k <0)的对径．全程考点训练13 函数的应用一、选择题(第1题)1．某航空公司规定, 旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定, 那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(A )A ．20 kgB ．25 kgC ．28 kgD ．30 kg【解析】 易求得一次函数为y ＝30x －600, 令y ＝0, 得x ＝20.(第2题)2．某种气球内充满了一定质量的气体, 当温度不变时, 气球内气体的气压p (kPa)是气球体积V 的反比例函数, 其图象如图所示, 当气球内的气压大于120 kPa 时, 气球将爆炸, 为了安全, 气球的体积应该(C )A ．不小于54 m 3B ．小于54 m 3C ．不小于45 m 3D ．小于45m 3【解析】 设p ＝k V, 则k ＝60×1.6＝96, ∴p ＝96V.∴当p ≤120时, V ≥45.(第3题)3．小明某次投篮中球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分(如图), 若命中篮圈中心, 则他与篮底的距离l 是(B )A ．3.5 mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m【解析】 当y ＝3.05时, 3.05＝－15x 2＋3.5, 解得x 1＝1.5, x 2＝－1.5(舍去), 故l＝2.5＋1.5＝4(m)．(第4题)4．如图, 正三角形ABC 的边长为3 cm, 动点P 从点A 出发, 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的方向运动, 到达点C 时停止, 设运动时间为x (s), y ＝PC 2, 则y 关于x 的函数图象大致为(C )【解析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D . ∵正三角形ABC 的边长为3, ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°, AC ＝3. ∴AD ＝32, CD ＝323.①当0≤x ≤3, 即点P 在线段AB 上时, AP ＝x , PD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－x (0≤x ≤3)．∴y ＝PC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 2＝x 2－3x ＋9(0≤x ≤3)．∴该函数的图象在0≤x ≤3上是开口向上的抛物线．②当3＜x ≤6, 即点P 在线段BC 上时, PC ＝6－x (3＜x ≤6), ∴y ＝(6－x )2＝(x －6)2(3＜x ≤6),∴该函数的图象在3＜x ≤6上是开口向上的抛物线．综上所述, 该函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋9（0≤x ≤3），（x －6）2（3<x ≤6）.符合此条件的图象为C.(第5题)5．如图, 等腰直角三角形ABC 位于第一象限, AB ＝AC ＝2, 直角顶点A 在直线y ＝x 上,其中点A 的横坐标为1, 且两条直角边AB , AC 分别平行于x 轴, y 轴．若双曲线y ＝kx(k ≠0)与△ABC 有交点, 则k 的取值范围是(C )A ．1<k <2B ．1≤k ≤2C ．1≤k ≤4 D．1＜k ＜4【解析】 如解图, 设直线y ＝x 与BC 交于点E , 分别过A , E 两点作x 轴的垂线, 垂足为D , F , EF 交AB 于点M .(第5题解)∵点A 的横坐标为1, 点A 在直线y ＝x 上, ∴点A (1, 1)．又∵AB ＝AC ＝2, AB ∥x 轴, AC ∥y 轴,∴点B (3, 1), C (1, 3), 且△ABC 为等腰直角三角形, ∴BC 的中点坐标为(2, 2)． ∵点(2, 2)满足直线y ＝x , ∴点(2, 2)即为点E 的坐标,∴当双曲线经过点A 时, k ＝OD ·AD ＝1； 当双曲线经过点E 时, k ＝OF ·EF ＝4. ∴当双曲线与△ABC 有交点时, 1≤k ≤4. 二、填空题(第6题)6．某农场租用播种机播种小麦, 在甲播种机播种2天后, 又调来乙播种机参与播种, 直至完成800亩的播种任务, 播种亩数与天数之间的函数关系如图所示, 那么乙播种机参与播种4天．。