高中数学阶段质量检测(六) 不等式、推理与证明
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第6节
[课堂练通考点]1．(2014·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．3．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．(2013·青岛期末)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案：3325．设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，所以T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，所以T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 86．(2014·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .答案：n n[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 247．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p －m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝18．(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)799．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.第Ⅱ组：重点选做题1．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n . (2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3，24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25。
2017届高考数学大一轮 第六章 不等式与推理证明 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理
1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.
2019版高中数学(文)课时作业：第六章 不等式、推理与证明 32 Word版含答案
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0< < .
又∵e<0，∴ > .
[能力挑战]
11．(2018·江西七校联考)若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()
A．a2>b2B．( )a<( )b
C．lg(a－b)>0 D. >1
答案：≥
7．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， － >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵ － ＝ >0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， < <0不一定成立；当 < <0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选B.
答案：B
3．(2018·厦门一模)对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<loga(1＋ )；②loga(1＋a)>loga(1＋ )；③a1＋a<a ；④a1＋a>a
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
二、填空题
6．已知p＝a＋ ，q＝( ) ，其中a>2，x∈R，则p________q.
解析：p＝a＋ ＝(a－2)＋ ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．∵x2－2≥－2，∴q＝( ) ≤( )－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．∴p≥q.
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第5节
[课堂练通考点]1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．(2013·重庆高考改编)(3－a )(a ＋6)(－6<a <3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：选B ∵－6<a <3，∴3－a >0，a ＋6>0， ∴(3－a )(a ＋6)≤⎝⎛⎭⎫3－a ＋a ＋622＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号，∴当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)有最大值92.3．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.4．已知x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．解析：∵x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫x 2a 2＋y 2b 2≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ·x a ＋⎝⎛⎭⎫b ·y b 2＝(x ＋y )2. 答案：a 2＋b 2≥(x ＋y )25．(2014·济南模拟)若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．解析：由已知得m ＋n ＝2，所以1m ＋1n ＝12(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号．答案：26．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.答案：94[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.2．(2014·宁波模拟)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立． 3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．2D.52解析：选B ∵a >1，b >1. ∴lg a >0，lg b >0.lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号． 4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5已知a >b >c >d ，则⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．6解析：选B原式＝⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ×1b －c ×1c －d×3 3(a －b )(b －c )(c －d )＝9. 当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时等号成立． 6函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________． 解析：函数的定义域为[1,6]．y 2＝(12－2x ＋x －1)2＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15.∴y 2≤15.由题意知y >0，∴0<y ≤15. 当且仅当2×x －1＝1×6－x ， 即x ＝83时等号成立．答案：157．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时“＝”成立．答案：58.(创新题)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3， 即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立． 答案：1 39．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy ≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x ＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16解析：选D 由32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，则12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1的最小值是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正数，∴⎝⎛⎭⎫12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1(2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1)≥(1＋1＋1)2，∴12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1≥95. 当且仅当2a ＋1＝2b ＋1＝2c ＋1， 即a ＝b ＝c 时等号成立，∴当a ＝b ＝c ＝13时，12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1取最小值95.答案：95。
第六章 不等式、推理与证明 阶段质量检测
第六章 不等式、推理与证明(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪xx －1<0，B ＝{}x |0<x <3，则A ∩B ＝ ( ) A.{}x |1<x <3 B.{}x |0<x <3 C.{}x |0<x <1 D ．∅ 解析：由xx －1<0⇒x (x －1)<0⇒0<x <1，∵B ＝{}x |0<x <3，∴A ∩B ＝{}x |0<x <1. 答案：C2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中正确的是 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 解析：由1a <1b <0可知b <a <0，所以ab >0，显然有a ＋b <ab ，|b |>|a |，且由均值不等式有 b a ＋a b >2 b a ·a b ＝2.答案：C3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3猜想a n 等于 ( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D.n ＋3－n 解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，猜想a n ＝n 2. 答案：B4．在下列函数中，最小值是2的是 ( ) A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x解析：7x ＋7－x ＝7x ＋17x ≥27x ·17x ＝2. 当且仅当7x ＝17x ，即x ＝0时，“＝”成立．答案：D5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件． 答案：A6．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≥4或a ≤－4 D ．a <－4或a >4解析：不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，意味着方程x 2＋ax ＋4＝0的根的判别式大于零，解不等式Δ＝a 2－4×4>0，a <－4或a >4. 答案：D7．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2<x <4，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <14 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <14 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－b a＝6c a ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <0－b c ＝34，a c ＝18∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <14.答案：D8．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析： 如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交 (不包括点A )或与线段CD 相交(不包括点D )，可行 域才能构成三角形，故k ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：C9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定 解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 答案：B10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8.答案：D11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则tan ∠POQ 的最大值等于 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大，∠POQ ＝∠POM －∠QOM ， tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM ) ＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM ＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是 ( )A.{}x |－2≤x <1B.{}x |x ≤1C.{}x |x <1D.{}x |x <－2解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N ＋)． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N ＋)．答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 214．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”，这个类比命题的真假性是______．解析：由类比推理可知．答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1x 的最大值等于________．解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝22时等号成立，则y ＝3－2x －1x ≤3－22，即y max ＝3－2 2.答案：3－2 216．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b 3＋2b3＝3，解之得b ＝94.答案：94三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4x －2的最小值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y 的最小值． 解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25， 当且仅当4y x ＝9xy 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9x y ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y 的最小值为25.19．(本小题满分12分)已知两个非零向量为b ＝(a －1，1x －2)，c ＝(x x －2，2－a )．解关于x 的不等式b ·c >1(其中a >0)． 解：b ·c ＝(a －1)x x －2＋2－ax －2， 由b ·c >1得(a －1)x ＋2－a x －2>1⇔(a －2)x －(a －4)x －2>0.(1)当a ＝2时，原不等式⇔2x －2>0，∴x >2. (2)当a ≠2时，x 1＝a －4a －2，x 2＝2.由于a －4a －2－2＝－a a －2，而a >0，于是有：①当－a a －2>0，即0<a <2时，a －2<0，a －4a －2>2.原不等式⇔x －a －4a －2x －2<0，∴2<x <a －4a －2.②当－a a －2<0，即a >2时，a －2>0，a －4a －2<2. 原不等式⇔x －a －4a －2x －2>0，∴x <a －4a －2或x >2综上可得：0<a <2时，原不等式解集为(2，a －4a －2)；a ＝2时，原不等式解集为(2，＋∞)； a >2时，原不等式解集为(－∞，a －4a －2)∪(2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300 的交点A (20,24)时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元).21．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积4840 cm 2，画面的宽和高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张最小？ 解：设高为x cm ，则宽为λx cm ， 依题意有λx 2＝4 840 cm 2，则λx ＝4 840x ，宣传画所用纸张的总面积为y ＝(x ＋16)·(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5 000＋4 840×16x＋10x ≥5 000＋2 4 840×16x·10x ＝6 760， 当且仅当4 840×16x ＝10x ，即x ＝88 cm 时等号成立，此时λ＝4 840882＝58，所以宽为55 cm.当λ∈[23，34]时，λx 2＝4 840 cm 2，则x ∈[44330， 2215]，显然2215<88，即上面解题过程中等号不可能成立，利用函数的单调性，设f (x )＝4 840×16x＋10x ，则f (x )在区间(0,88]上单调递减，在区间[88，＋∞)上单调递增，故当x ∈[44330，2215]时单调递减，即取x ＝2215时f (x )有最小值，此时λ＝23.22．(文)(本小题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列；(3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都是 S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)证明：∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1(23a n －2n ＋14)＝－23(－1)n ·(a n－3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·(－23)n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]．当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立．当λ≠－18时，要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]>－12⇔λ<201－(－23)n－18.令f (n )＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12，λ的取值范围为 (－∞，－6)．22．(理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数．(2)法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3.另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法得，0<a 1<1⇔0<a n <1，∀n ∈N ＋； a 1>3⇔a n >3，∀n ∈N ＋.综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0， 于是0<a 1<1或a 1>3.a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0， 因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n∈N＋，a n＋1－a n与a2－a1同号．因此，对一切n∈N＋都有a n＋1>a n的充要条件是0<a1<1或a1>3.。
2010-2023历年高考数学人教版评估检测第六章不等式、推理与证明(带解析)
2010-2023历年高考数学人教版评估检测第六章不等式、推理与证明（带解析）第1卷一.参考题库(共20题)1.(2014·宜昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )A．B．1C．2D．42.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.3.(2014·荆门模拟)若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是( )A．|b-a+|≥2B．a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4C．b2>acD．|b|-|a|≤|c|-|b|4.(2013·黄山模拟)若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值.(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.5.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是________.6.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( )A．B．C．1D．27.条件p：<2x<16,条件q：(x+2)(x+a)<0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围是()A．(4,+∞)B．[-4,+∞)C．(-∞,-4]D．(-∞,-4)8.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义：f′′(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有′拐点′;任何一个三次函数都有对称中心,且‘拐点’就是对称中心”.请你将这一发现作为条件,则函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为_________ _.9.(2013·西安模拟)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )A．2B．2C．4D．210.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<x<4,则实数a的取值范围是________.11.(2014·黄冈模拟)已知a,b都是正实数,函数y=2ae x+b的图象过(0,1)点,则+的最小值是________.12.已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证：对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.13.(2013·宿州模拟)如果实数x,y满足条件那么2x-y的最大值为( )A．2B．1C．-2D．-314.(2014·天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q且x∉P∩Q}.若P={x|x2-3x-4≤0},Q={x|y=log2(x2-2x-15)},那么P+Q等于( )A．[-1,4]B．(-∞,-1]∪[4,+∞)C．(-3,5)D．(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)15.(2013·随州模拟)变量x,y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是( )A．B．C．[-2,3]D．[1,6]16.(2014·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.(1)当a=时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.17.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1,其中能推出：“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是________.18.某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表：时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P918而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)19.(2014·孝感模拟)已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最大值为________.20.(2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )A．B．C．(3,+∞)D．(4,+∞)第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：A2.参考答案：见解析3.参考答案：B4.参考答案：（1）最大值为1,最小值为-2 （2）(-4,2)5.参考答案：86.参考答案：A7.参考答案：D8.参考答案：(1,1)9.参考答案：C10.参考答案：a≥311.参考答案：3+2.12.参考答案：（1）(0,1] （2）见解析13.参考答案：B14.参考答案：D15.参考答案：A16.参考答案：（1）（2）a>-3.17.参考答案：③18.参考答案：（1）y=100QP=100,x∈[1,20],x∈N*（2）719.参考答案：1320.参考答案：B。
2015届高考数学(苏教,理科)大一轮第六章 不等式、推理与证明
第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式对应学生用书P801．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.2．不等式的基本性质1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[试一试]1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的有________．(填写序号)①ac >bc ②1a <1b ③a 2>b 2④a 3>b 3解析：由性质知④对． 答案：④ 2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c对应学生用书P81的大小1.已知a 12121a 2－1，则M ________． 解析：M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N . 答案：M >N2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a.[备课札记] [类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．[典例] (1)“”的________(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是________．[解析] (1)由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．(2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确． 法二：取特殊值．[答案] (1)必要不充分 (2)3[备课札记] [类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是________．(填写序号) ①1a <1b ②|a |>|b | ③a ＋b <2ab④⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，填③. 答案：③不等式性质的应用[典例] 1)≤2，2≤f (1) [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．[备课札记]解：又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．对应学生用书P82[课堂练通考点]1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________(填序号)． ①1a －b >1b②a 2<ab ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1④a n >b n 解析：取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅③成立． 答案：③3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有________个．解析：1a <1b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．答案：34．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是________(填写序号)． ①a 2<b 2 ②ab 2<a 2b ③1ab 2<1a 2b ④b a <a b解析：当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故①错． 因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定， 所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故②错． 因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故③正确．④中b a 与ab 的大小不能确定．答案：③5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(填写序号)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是________(填写序号)． ①－n ＜m ＜n ＜－m ②－n ＜m ＜－m ＜n ③m ＜－n ＜－m ＜n④m ＜－n ＜n ＜－m解析：法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：④2．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是________(填写序号)． ①xy >yz ②xz >yz ③xy >xz④x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0， 3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz .答案：③3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________． 解析：由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.答案：⎝⎛⎭⎫－π6，π 4．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是________(填写序号)．①a 2<b 2 ②ab <b 2 ③a ＋b <0④|a |＋|b |>|a ＋b |解析：∵1a <1b<0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |. 答案：④5．已知1a <1b <0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3. 其中不正确的不等式有________个．解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：26．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x ＞3，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x 1＜x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 第Ⅱ组：重点选做题1．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为________．解析：因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .答案：m>p>n2．(2014·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式是________．(填写序号)解析：由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b (a－b)>0，∴a－b>a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．答案：①②③第二节一元二次不等式及其解法对应学生用书P82一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.[试一试]1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－5x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________.解析：集合A ＝[－1,3]，B ＝(－∞，0]∪[5，＋∞)．从而∁R B ＝(0,5)，则A ∩(∁R B )＝(0,3]． 答案：(0,3]2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 解析：由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14. 答案：－143．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0. 得0<m <1， 由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)对应学生用书P83一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a . [备课札记] [类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0，(x ∈[a ，b ])，确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围. 角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，角度二 形如f (x )≥0，(x ∈[a ，b ])，确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围； 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅； ③当4－a2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0， 即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[备课札记] [类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例] 件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件， 则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫kx －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫k x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5. (2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2ax －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[备课札记] [类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.对应学生用书P84[课堂练通考点]1．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意知，因为函数f (x )的值域为[0，＋∞)， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝4b －a24＝0，所以4b ＝a 2， 所以f (x )＝⎝⎛⎫x ＋a 22，所以关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为⎝⎛⎭⎫－a 2－c ，－a2＋c ，即(m ，m ＋6)，故⎩⎨⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，所以c ＝9.答案：92．不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．解析：令2x ＝t ，则不等式变为t 2－4t ＞0.由于t ＞0，故t ＞4，即2x ＞4，解得x ＞2.所以不等式的解集为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．(2013·南通三模)不等式x ＜2x－1的解集是________．解析：不等式等价于(x ＋2)(x －1)x ＜0，由数轴标根法得x ＜－2或0＜x ＜1，从而不等式的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜1}．答案：{x |x ＜－2或0＜x ＜1}4．(2013·苏州常镇二调)若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．解析：由关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，得－1,2为方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个实数根．得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －2＋4＝0，4m ＋4＋4＝0，所以m ＝－2.答案：－25．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 答案：(－4，3)6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.解析：因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 1[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，1－x 2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2. 答案：()－1，－1＋22．已知函数f (x )＝x |x ＋1|，则f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12的解集是________． 解析：原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －14⎪⎪⎪⎪x ＋34＜34，所以⎩⎨⎧x ＋34≥0，⎝⎛⎫x －14⎝⎛⎭⎫x ＋34＜34，①或⎩⎨⎧x ＋34＜0，－⎝⎛⎭⎫x －14⎝⎛⎭⎫x ＋34＜34. ②解不等式组①得－34≤x ＜34，解不等式组②得x ＜－34.综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，34. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，34 3．(2014·南通期末)若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________． 解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞34.答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫34，＋∞4．(2013·盐城二模)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则关于非零实数x 的不等式⎝⎛⎭⎫x ＋4x ⊕4≥8⎝⎛⎭⎫x ⊕1x 的解集为________． 解析：当x ≤－1时，因为x ＋4x ＜0，x ≤1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x ，在(－∞，－1]上恒成立；当－1＜x ＜0时，因为x ＋4x ＜0，x ＞1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x ，在(－1,0)上恒成立；当0＜x ≤1时，因为x ＋4x ＞4，x ＜1x ，故原不等式可化为4≥8x ，解得0＜x ≤12；当x ＞1时，因为x ＋4x ≥4，x ＞1x ，故原不等式可化为4≥8x ，解得x ≥2.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 5．(2013·南京、淮安二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a ≥⎝⎛⎭⎫12x max，所以a ≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a ≤⎝⎛⎭⎫12x min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.答案：126．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 8．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m . 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·连云港模拟)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得：Δ＝a 2－8a >0，得a <0或a >8.当a <0时，对称轴x 0＝a2<0，且f (0)＝2a <0.故A 中两个整数只能为－1,0.故f (－1)＝1＋3a <0，f (－2)＝4＋4a ≥0， 得－1≤a <－13.当a >8时，x 0＝a2>4，设A ＝(m ，n )．由于集合A 中恰有两个整数n －m ≤3.即a 2－8a ≤3，即a 2－8a ≤9.得8<a ≤9.故对称轴4<a2<5，又f (2)＝4>0，f (3)＝9－a ≥0故A 中的两个整数为4和5. 故f (4)<0，f (5)<0，f (6)≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧25－3a <016－2a <036－4a ≥0，解得253<a ≤9.综上a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9 2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2013·苏锡常镇调研)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：法一：设t ＝1＋x ≥1，则x ＝t 2－1，原不等式可转化为t ≥1＋t 2－12－(t 2－1)2a，即t －1≥t 2－12－(t 2－1)2a .又因为t ＞1，则该不等式可转化为1≥t ＋12－(t ＋1)(t 2－1)a ，即(t ＋1)(t 2－1)a ≥t －12，即(t ＋1)2a ≥12对t ∈[1，＋∞)恒成立，所以4a ≥12，即a ≤8，故a 的最大值为8.法二：当x ＝0时，a ＞0；当x ＞0时，1a ≥1＋x2－1＋xx 2，所以1a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2－1＋x x 2max . 又因为1＋x 2－1＋x x 2＝⎝⎛⎭⎫1＋x22－()1＋x 2x 2⎝⎛⎭⎫1＋x 2＋1＋x ＝14⎝⎛⎭⎫1＋x 2＋1＋x ＜14×2.所以1a ≥18，故a 的最大值为8.答案：84．(2014·泰州质检)设实数a ≥1，使得不等式x |x －a |＋32≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：(1)当1≤a ≤32时，显然符合题意．(2)当a ≥2时，原不等式可化为x (a －x )≥a －32.取x ＝1，成立．当x ∈(1,2]时，a ≥x 2－32x －1＝x ＋1－12(x －1).而函数f (x )＝x ＋1－12(x －1)在(1,2]上单调递增，故a ≥f (2)＝52.(3)当32＜a ＜2时，原不等式可化为①⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤a ，x (a －x )≥a －32或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x ≤2，x (x －a )≥a －32.参照(2)的过程解不等式组①得a ≥a ＋1－12(a －1)，解得1＜a ≤32，矛盾，舍去；由不等式组②得a ≤x 2＋32x ＋1＝x －1＋52(x ＋1).同上可得－1≤a ≤32，矛盾，舍去．综上所述，1≤a ≤32或a ≥52.答案：⎣⎡⎦⎤1，32∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题对应学生用书P841．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．答案：x ＋y －1>02．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4， ∴z min ＝2×3－3×4＝－6. 答案：－61．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．解析：作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1. 答案：－1对应学生用书P85表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.解析：作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为2.答案：22．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．解析：当x ＝1时，1＜y ≤1，此时无解；当x ＝2时，12＜y ≤2，此时y ＝1,2；当x ＝3时，13＜y ≤3，此时y ＝1,2,3.所以在可行域中共有5个格点，从中任取3个点共计10种方法．若在直线x ＝2上取一点，则在直线x ＝3上三个点中取两个，此时有2×3＝6(种)；若在直线x ＝2上取两点，则直线x ＝3上三个点中取一个，此时有3种，故所求概率为910.答案：9103．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[备课札记] [类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．解析：在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形ABC ，其中A (5,3)，B (2,0)，C (－1,3)，过原点O 作直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移至点A 时，可取最大值，即z max ＝2×5－3＝7.答案：7(2)(2013·南京、盐城一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x＋3y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)．由图可知，y ＝－23x ＋z3，过点(4,6)时，z 取得最大值，为26.答案：26角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2014·苏北四市二调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得(x －1)2＋y 2的最小值为|1－2×0＋1|12＋(－2)2＝255.答案：255(2)(2014·南通一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x －xy的取值范围是________．解析：作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2.令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，根据函数z ＝t －1t在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，得z ∈⎣⎡⎦⎤－83，32. 答案：⎣⎡⎦⎤－83，32 角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·苏北三市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k ＝________.解析：由题意得当k ＜－1时满足题意，此时该不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线2x ＋y ＝0经过点P 时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，是113，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－k ＋13，y ＝1－2k 3，即点P ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3， 所以2⎝⎛⎭⎫－k ＋13＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3.答案：－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [备课札记] [类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．线性规划的实际应用[典例] 两种型号的客车安排900名客人旅行，两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36800(元)．[答案] 36 800[备课札记][类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．解析：设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．答案：2 800对应学生用书P86[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，可以画出可行域如下图阴影部分所示，故当直线经过点A (2,1)时，目标函数z ＝2x －y 的最大值为3.答案：3。
高三数学不等式推理与证明训练试题集
高三数学不等式、推理与证明训练试题集一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．下列符合三段论推理形式的为A．如果pq，p真，则q真B．如果bc，ab，则acC．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥cD．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．② C．①②③ D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.答案：C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.答案：D4．已知ai，bi∈Ri＝1,2,3，…，n，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为A．1 B．2 C．n2 D．2n解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.答案：A5．在下列函数中，最小值是2的是A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1x＞0C．y＝sinx＋1sinx，x∈0，π2D．y＝7x＋7－x解析：A中x的取值未限制，故无最小值．D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为A．－6 B．6 C．－5 D．5解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×－2＝6.答案：B7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是A．2 B．22 C．4 D．5解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.答案：C8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤kx－1－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是A．－∞，－1 B．－1,2C．－∞，－1∪2，＋∞ D．2，＋∞解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．若k＞0，将阴影部分的点如0,0代入y≤kx－1－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝kx－1－1是过定点1，－1的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是11a＜1b； 2a3＞b3；3a2＋1＞b2＋1; 42a＞2b.A．23 B．13 C．34 D．24解析：∵a、b符号不定，故1不正确，3不正确．∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故2正确．∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故4正确.答案：D10．设函数fx＝－3 x＞0，x2＋bx＋c x≤0，若f－4＝f0，f－2＝0，则关于x的不等式fx≤1的解集为A．－∞，－3]∪[－1，＋∞ B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪0，＋∞ D．[－3，＋∞解析：当x≤0时，fx＝x2＋bx＋c且f－4＝f0，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.又f－2＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，fx＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪0，＋∞.答案：C11．若直线2ax＋by－2＝0a＞0，b＞0平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得x－12＋y－22＝11，若2ax＋by－2＝0平分圆，∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝3＋2ba＋ab≥3＋2 2baab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.答案：C12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的’距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5 km处 B．4 km处C．3 km处 D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x ，y2＝0.8xx为仓库到车站的距离，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是 .解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然数n是__________．解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an＝a1＋a2＋…＋an－1a1＋1a2＋…＋1an＝a11－qn1－q－1a11－1qn1－1q＝a11－q41－q－q1－qna11－qqn≥0，∴a11－qn1－q≥q1－qna11－qqn.因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.答案：516．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，即yx∈13，2，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.答案：－83，32三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．17．10分在三角形中有下面的性质：1三角形的两边之和大于第三边；2三角形的中位线等于第三边的一半；3三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；4三角形的面积为S＝12a＋b＋crr为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长．请类比出四面体的有关相似性质．解析：1四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；2四面体的中位面过三条棱的中点的面的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]3四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；4四面体的体积为V ＝13S1＋S2＋S3＋S4rr为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积．18．12分已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.解析：b2a＋a2b－a＋b＝b2a－a＋a2b－b＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝a－ba＋b1b－1a＝1aba－b2a＋b，∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．12分为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x＝4－k2t＋1k 为常数．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分．1将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；2该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：1由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－6＋12x－t＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t＝27－182t＋1－tt≥0．2由1知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时，等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….1求a1，a2；2猜想数列{Sn}的通项公式．解析：1当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是a1－12－a1a1－1－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得 a2＝16.2由题设Sn－12－anSn－1－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由1得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….21．12分设二次函数fx＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立．1求f1的值；2求fx的解析式；解析：1由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，若[fx－x]fx－x2＋12≤0恒成立，即x≤fx≤x2＋12恒成立，令x＝1得1≤f1≤12＋12＝1，故f1＝1.2由函数零点为－1得f－1＝0，即a－b＋c＝0，又由1知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.又fx－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，因为fx－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，因此ac≥116①于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，得ac≤c＋a22＝116②故ac＝116，且a＝c＝14，故fx的解析式是fx＝14x2＋12x2＋12x＋14.22．12分某少数民族的刺绣有着悠久的，下图1、2、3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求出f5；2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出fn+1与fn的关系，并根据你得到的关系式求fn的表达式．解析：1∵f1=1，f2=5，f3=13，f4=25，∴f5=25+4×4=41.2∵f2-f1=4=4×1，f3-f2=8=4×2，f4-f3=12=4×3，f5-f4=16=4×4，由上式规律得出fn+1-fn=4n.∴fn-fn-1=4n-1，fn-1-fn-2=4n-2，fn-2-fn-3=4n-3，…f2-f1=4×1，∴fn-f1=4[n-1+n-2+…+2+1]=2n-1n，∴fn=2n2-2n+1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
[理] 阶段质量检测(六) 不等式推理与证明
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阶段质量检测(六) 不等式、推理与证明(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式(x ＋1)x －1≥0的解集是 ( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－1}D ．{x |x ≥－1或x ＝1} 解析：∵x －1≥0，∴x ≥1. 同时x ＋1≥0，即x ≥－1.∴x ≥1. 答案：B2．下列命题中的真命题是 ( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2 解析：由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D4．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝{x |2x ＋13－x ＜0}，则A ∩B 是 ( )A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3} B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |－12＜x ＜2}D ．{x |－1＜x ＜－12}解析：∵|2x －1|＜3，∴－3＜2x －1＜3.∴－1＜x ＜2. 又∵2x ＋13－x ＜0，∴(2x ＋1)(x －3)＞0，∴x ＞3或x ＜－12.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜－12}．答案：D5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小． 答案：C6．已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，故充分性成立，而a 2＋b 2≥4时，当a ＝－1，b ＝3时成立，但ab ＝－3＜2，显然ab ≥2不成立，故必要性不成立． 答案：A7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c ＜1，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[2,3] B ．[1,3] C ．(1,2) D ．(1,3)解析：由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，得b ＝－1，∴a ＋c ＝2.又0＜c ＜1，∴0＜2－a ＜1，∴1＜a ＜2. 答案：C8．(2010·淄博模拟)若f (a )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f (a )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值为 ( ) A.13 B.23 C.53 D.73 解析：设g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ，由于当m ∈[0,1]时g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ≤1恒成立，于是(0)1,(1)1g g ⎧⎨⎩≤≤ 1,21b a b a -⎧⎨+⎩≤即≤满足此不等式组的点(a ，b )构成图中的阴影部分，其中A(25,33)，设a+b=t，显然直线a+b=t过点A时，t取得最大值7 3 .答案：D9．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则2(1)(2)(1)f ff+＋f ff2(2)(4)(3)＋f ff2(3)(6)(5)＋f ff2(4)(8)(7)等于()A．36 B．24 C．18 D．12 解析：由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．原式＝ff22(1)(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)ff22(1)(1)＝2f(1)＋2f(1)f(3)f(3)＋2f(1)f(5)f(5)＋2f(1)f(7)f(7)＝8f(1)＝24.答案：B10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站() A．5 km处B．4 km处C．3 km处D．2 km处解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2 x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝20x，y2＝0.8x(x为仓库与车站距离)，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x·20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题．请把正确答案填在题中横线上) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于________．解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标为(0,4)，(0，43)．故S △ABC ＝12(4－43)×1＝43.答案：4312．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞4}，则实数a 、b 的值分别为________．解析：由不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞4}可得，－1,4是方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)－1×4＝ab ，解得a ＝－4，b ＝1. 答案：－4,113．关于x 的不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0，当a ＋2＝0，即a ＝－2时，不恒成立，不合题意． 当a ＋2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2. 所以a 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)14．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元． 答案：230015．已知点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的是________． ①2a －3b ＋1＞0；②a ≠0时，ba 有最小值，无最大值；③∃M ∈R ＋，使a 2＋b 2＞M 恒成立；④当a ＞0且a ≠1，b ＞0时，则b a －1的取值范围为(－∞，－13)∪(23，＋∞)．解析：由已知(2a －3b ＋1)(2－0＋1)＜0， 即2a －3b ＋1＜0，∴①错； 当a ＞0时，由3b ＞2a ＋1， 可得b a ＞23＋13a，∴不存在最小值，∴②错；a 2＋b 2表示为(a ，b )与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得： a 2＋b 2＞|1|4＋9＝1313恒成立， ∴③正确；ba －1表示为(a ，b )和(1,0)两点的斜率． 由线性规划知识可知④正确． 答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)当不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值． 解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3， ∵f (1)＞0，∴a 2－6a ＋3－b ＜0. Δ＝24＋4b ，当Δ≤0即b ≤－6时，f (1)＞0的解集为∅； 当b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6， ∴f (1)＞0的解集为{a |3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}． (2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )3，3＝b3.解之，得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.17．若a 1＞0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…) (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：(采用反证法)．若a n ＋1＝a n ， 即2a n1＋a n＝a n ，解得a n ＝0,1. 从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0,1，与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1，n ∈N *.18． (2010·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166v ＝166(0.02v ＋200v)(60≤v ≤120)． (2)y ＝166(0.02v ＋200v )≥166×2 0.02v ×200v＝664(元)当且仅当0.02v ＝200v 即v ＝100千米/时时取等号． 答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元．19．已知函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)设mn ＜0，m ＋n ＞0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝22+4(0).-4(0)x x x x ⎧-<⎨>⎩(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＜0m ＋n ＞0，∴m ，n 一正一负． 不妨设m ＞0且n ＜0，则m ＞－n ＞0， F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4) ＝a (m 2－n 2)，当a ＞0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a ＜0时，F (m )＋F (n )不能大于0.20．某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x ，y 套，月利润为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝700x ＋1200y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为y ＝－712x ＋z 1200，∵－45＜－712＜－310，∴当y ＝－712x ＋z 1200通过图中的点A 时，z 1200最大，z 最大．解⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点A 坐标为(20,24)．将点A (20,24)代入z ＝700x ＋1200y 得z max ＝700×20＋1200×24＝42800元．答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．21．已知函数f (x )＝ax －bx－2ln x ，f (1)＝0.(1)若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1，已知a 1＝4，求证：a n ≥2n ＋2.解：(1)因为f (1)＝a －b ＝0，所以a ＝b ， 所以f (x )＝ax －ax －2ln x ， 所以f ′(x )＝a ＋a x2－2x .要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，则f ′(x )＝－2x ＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．当a ＞0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，则a －1a ≥0，解得a ≥1； 当a ＜0时，由f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＜0恒成立，适合题意．所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)根据题意得：f ′(1)＝0，即a ＋a －2＝0，得a ＝1， 所以f ′(x )＝(1x－1)2，于是a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1＝(a n －n )2－n 2＋1＝a 2n －2na n ＋1.用数学归纳法证明如下： 当n ＝1时，a 1＝4＝2×1＋2， 当n ＝2时，a 2＝9＞2×2＋2；假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式a k ＞2k ＋2成立，即a k －2k ＞2成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －2k )＋1＞(2k ＋2)×2＋1＝4k ＋5＞2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1，不等式也成立， 综上得对所有n ∈N *时，都有a n ≥2n ＋2.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第4节
[课堂练通考点]1．(2014·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析：选B x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0以及该直线下方的区域，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0上方的区域，故选B.2．(2013·北京市海淀区期中练习)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y －4≤0kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选D 注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.3．(2014·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D 如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.4．(2013·四川高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：选C 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24.5．(2013·安徽高考)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.答案：46．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.答案：255[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0.即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.3．(2013·湖南五市十校联合检测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5解析：选B 由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋3y ＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)处，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.4．(2013·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.5．(2014·辽宁六校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．(2014·安徽“江南十校”联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0表示y ≥0的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：27．(2013·广东高考)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：68．(2014·郑州质检)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax－y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.答案：⎝⎛⎭⎫－23，35 9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx ，求z 的最小值．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示． 由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z3的最小值．平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． 故z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·北京高考)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D. ⎝⎛⎭⎫－∞，－53解析：选C 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－23.2．(2014·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，∴可作出可行域，知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1. 答案：1。
[理]阶段质量检测(六)不等式推理与证明doc高中数学
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[理]阶段质量检测（六）不等式推理与证明doc高中数学(时刻120分钟，总分值150分)第一卷 (选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．不等式(x ＋1)x －1≥0的解集是 ( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－1}D ．{x |x ≥－1或x ＝1}解析：∵x －1≥0，∴x ≥1.同时x ＋1≥0，即x ≥－1.∴x ≥1.答案：B2．以下命题中的真命题是 ( )A ．假设a ＞b ，c ＞d ，那么ac ＞bdB ．假设|a |＞b ，那么a 2＞b 2C ．假设a ＞b ，那么a 2＞b 2D ．假设a ＞|b |，那么a 2＞b 2 解析：由a ＞|b |，可得a ＞|b |≥0⇒a 2＞b 2.答案：D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，假设f (x )≥1，那么x 的取值范畴是 ( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1. 答案：D4．假设集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝{x |2x ＋13－x＜0}，那么A ∩B 是 ( )A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |－12＜x ＜2}D ．{x |－1＜x ＜－12} 解析：∵|2x －1|＜3，∴－3＜2x －1＜3.∴－1＜x ＜2.又∵2x ＋13－x＜0，∴(2x ＋1)(x －3)＞0， ∴x ＞3或x ＜－12.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜－12}． 答案：D5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①〝假设a ，b ∈R ，那么a －b ＝0⇒a ＝b 〞类比推出〝假设a ，b ∈C ，那么a －b ＝0⇒a ＝b 〞；②〝假设a ，b ，c ，d ∈R ，那么复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d 〞类比推出〝假设a ，b ，c ，d ∈Q ，那么a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d 〞；③〝假设a ，b ∈R ，那么a －b ＞0⇒a ＞b 〞类比推出〝假设a ，b ∈C ，那么a －b ＞0⇒a ＞b 〞．其中类比得到的结论正确的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，尽管满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小．答案：C6．实数a ，b ，那么〝ab ≥2”是〝a 2＋b 2≥4”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，故充分性成立，而a 2＋b 2≥4时，当a ＝－1，b ＝3时成立，但ab ＝－3＜2，明显ab ≥2不成立，故必要性不成立．答案：A7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，假设0＜c ＜1，那么实数a 的取值范畴是 ( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．(1,2)D ．(1,3)解析：由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，得b ＝－1，∴a ＋c ＝2. 又0＜c ＜1，∴0＜2－a ＜1，∴1＜a ＜2.答案：C8．(2018·淄博模拟)假设f (a )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f (a )≤1恒成立，那么a ＋b 的最大值为( ) A.13 B.23 C.53 D.73解析：设g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ，由于当m ∈[0,1]时 g (m )=f (a )=(3a -2)m +b -a ≤1恒成立，因此(0)1,(1)1g g ⎧⎨⎩≤≤ 1,21b a b a -⎧⎨+⎩≤即≤满足此不等式组的点(a ，b )构成图中的阴影部分，其中A (25,33)，设a +b =t ，明显直线a +b =t 过点 A 时，t 取得最大值73. 答案：D 9．函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，那么2(1)(2)(1)f f f +＋f f f 2(2)(4)(3)＋f f f 2(3)(6)(5)＋f f f 2(4)(8)(7)等于 ( ) A ．36 B ．24 C ．18 D ．12解析：由f (p ＋q )＝f (p )f (q )，令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )．原式＝f f 22(1)(1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)f f 22(1)(1)＝2f (1)＋2f (1)f (3)f (3)＋2f (1)f (5)f (5)＋2f (1)f (7)f (7)＝8f (1)＝24.答案：B10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存物资的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，假如在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分不为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：由题意可设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ， ∴k 1＝xy 1，k 2＝y 2x ，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分不代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8，∴y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库与车站距离)，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥2 0.8x ·20x ＝8， 当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立． 答案：A第二卷 (非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题．请把正确答案填在题中横线上)11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域的面积等于________．解析：不等式组表示的平面区域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标为(0,4)，(0，43)．故S △ABC ＝12(4－43)×1＝43. 答案：4312．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞4}，那么实数a 、b 的值分不为________．解析：由不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞4}可得，－1,4是方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－(a ＋1)－1×4＝ab ，解得a ＝－4，b ＝1. 答案：－4,113．关于x 的不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a 的取值范畴是________． 解析：不等式ax 2＋4x －1≥－2x 2－a可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0，当a ＋2＝0，即a ＝－2时，不恒成立，不合题意．当a ＋2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2. 因此a 的取值范畴为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 那么⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元．答案：230015．点P (a ，b )与点Q (1,0)在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，那么以下讲法正确的选项是________．①2a －3b ＋1＞0；②a ≠0时，b a有最小值，无最大值； ③∃M ∈R ＋，使a 2＋b 2＞M 恒成立；④当a ＞0且a ≠1，b ＞0时，那么b a －1的取值范畴为(－∞，－13)∪(23，＋∞)． 解析：由(2a －3b ＋1)(2－0＋1)＜0，即2a －3b ＋1＜0，∴①错；当a ＞0时，由3b ＞2a ＋1，可得b a ＞23＋13a， ∴不存在最小值，∴②错；a 2＋b 2表示为(a ，b )与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得：a 2＋b 2＞|1|4＋9＝1313恒成立， ∴③正确；b a －1表示为(a ，b )和(1,0)两点的斜率． 由线性规划知识可知④正确．答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字讲明、证明过程或演算步骤)16．f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)当不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3，∵f (1)＞0，∴a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝24＋4b ，当Δ≤0即b ≤－6时，f (1)＞0的解集为∅；当b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，∴f (1)＞0的解集为{a |3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}． (2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a (6－a )3，3＝b 3.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3±3，b ＝9. 17．假设a 1＞0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n 1＋a n (n ＝1,2，…) (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观看并归纳出那个数列的通项公式a n . 解：(1)证明：(采纳反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n 1＋a n ＝a n，解得a n ＝0,1. 从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0,1，与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾，故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1， n ∈N *.18． (2018·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出那个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166v＝166(0.02v ＋200v )(60≤v ≤120)．(2)y ＝166(0.02v ＋200v )≥166×2 0.02v ×200v ＝664(元)当且仅当0.02v ＝200v 即v ＝100千米/时时取等号．答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元．19．函数f (x )＝ax 2＋4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0). (1)假设f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)设mn ＜0，m ＋n ＞0，试判定F (m )＋F (n )能否大于0?解：(1)由f (－2)＝0,4a ＋4＝0⇒a ＝－1，∴F (x )＝22+4(0).-4(0)x x x x ⎧-<⎨>⎩(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＜0m ＋n ＞0，∴m ，n 一正一负． 不妨设m ＞0且n ＜0，那么m ＞－n ＞0，F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋4－(an 2＋4)＝a (m 2－n 2)，当a ＞0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a ＜0时，F (m )＋F (n )不能大于0.20．某工艺品加工厂预备生产具有收藏价值的奥运会标志——〝中国印·舞动的北京〞和奥运会吉祥物——〝福娃〞．该厂所用的要紧原料为A 、B 两种贵金属，生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分不为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分不为5盒和10盒．假设奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分不为200盒和300盒．咨询该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分不为x ，y 套，月利润为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝700x ＋1200y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为y ＝－712x ＋z 1200， ∵－45＜－712＜－310， ∴当y ＝－712x ＋z 1200通过图中的点A 时，z 1200最大，z 最大．解⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点A 坐标为(20,24)．将点A (20,24)代入z ＝700x ＋1200y得z max ＝700×20＋1200×24＝42800元．答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分不为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．21．函数f (x )＝ax －b x －2ln x ，f (1)＝0.(1)假设函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范畴；(2)假设函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1，a 1＝4，求证：a n ≥2n ＋2.解：(1)因为f (1)＝a －b ＝0，因此a ＝b ，因此f (x )＝ax －a x －2ln x ，因此f ′(x )＝a ＋a x 2－2x. 要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，那么在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，那么f ′(x )＝－2x ＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．当a ＞0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，那么a －1a ≥0，解得a ≥1；当a ＜0时，由f ′(x )＝a ＋a x 2－2x＜0恒成立，适合题意． 因此a 的取值范畴为(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)依照题意得：f ′(1)＝0，即a ＋a －2＝0，得a ＝1，因此f ′(x )＝(1x－1)2， 因此a n ＋1＝f ′(1a n －n ＋1)－n 2＋1＝(a n －n )2－n 2＋1 ＝a 2n －2na n ＋1.用数学归纳法证明如下：当n ＝1时，a 1＝4＝2×1＋2，当n ＝2时，a 2＝9＞2×2＋2；假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式a k＞2k＋2成立，即a k－2k＞2成立，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝a k(a k－2k)＋1＞(2k＋2)×2＋1＝4k＋5＞2(k＋1)＋2，因此当n＝k＋1，不等式也成立，综上得对所有n∈N*时，都有a n≥2n＋2.。
高中数学中的推理与证明方法详解
高中数学中的推理与证明方法详解数学是一门需要逻辑推理和证明的学科，而在高中数学中，推理和证明方法是学习的重点之一。
本文将详细介绍高中数学中常用的推理与证明方法，帮助学生更好地理解和应用。
一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，在数学中经常使用。
它的基本思想是通过已知条件和已有定理，推导出所要证明的结论。
这种证明方法通常分为两步：先列出已知条件和已有定理，再根据这些条件和定理推导出结论。
例如，我们要证明一个几何定理：“在等腰三角形中，底角的两边相等。
”首先，我们列出已知条件：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。
然后，根据这些已知条件，我们可以推导出结论：∠ABC=∠ACB，即底角的两边相等。
二、间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法，它的基本思想是通过反证法，假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
例如，我们要证明一个数论定理：“如果一个整数的平方是奇数，则这个整数本身也是奇数。
”我们假设存在一个整数n，使得n^2是奇数，但n本身是偶数。
根据假设，我们可以得出结论：存在整数k，使得n=2k。
然而，根据等式n^2=(2k)^2=4k^2，我们可以得出结论：n^2是偶数，与已知条件矛盾。
因此，我们可以推断出原命题的正确性。
三、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明数列、等式和不等式等的方法。
它的基本思想是通过证明当n为某个特定值时结论成立，再证明当n=k时结论成立时，可以推导出当n=k+1时结论也成立。
例如，我们要证明一个数列的等差性质：“对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。
”首先，我们验证当n=1时结论成立：a1=a1+(1-1)d，等式成立。
然后，假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d。
我们再来验证当n=k+1时结论是否成立：ak+1=a1+(k-1)d+d=a1+kd。
由此可见，当n=k+1时结论也成立。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第1节
[课堂练通考点]1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．2．(2013·昆明质检)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n解析：选C 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b解析：选C 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b，故C 正确． D 项中b a 与a b的大小不能确定． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．2．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 3．(2013·西安模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0， ∴－π6<2α－β3<π.4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b<0，∴0>a >b . ∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.5．(2014·上海十三校联考)已知1a <1b<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.6．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *,1≤x ≤10)． 假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x＞3， 解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0， 所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：选B 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .2．(2014·北京西城区期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．。
高考数学不等式、推理与证明、复数(含高考真题)
高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)， 故z max =3×2+4×3=18， 故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（ ） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-， 所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-， 所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】 【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-， 所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】 【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-， 故i z =-， 故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】 【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】 【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】 【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】 【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】 【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。
高三数学不等式、推理与证明测试
高三数学不等式、推理与证明测试高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，编辑老师为大家整理了高三数学不等式、推理与证明，希望对大家有帮助。
高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A.若ab，则ac2bc2B.若acbc，则abC.若a3b3且ab0，则1aD.若a2b2且ab0，则1a1b解析C 当c=0时，可知选项A不正确;当c0时，可知B不正确;由a3b3且ab0知a0且b0，所以1a1b成立;当a0且b0时，可知D不正确.2.若集合A={x||x-2|3，xR}，B={y|y=1-x2，xR}，则AB=()A.[0,1]B.[0，+)C.[-1,1]D.解析C 由|x-2|3，得-15，即A={x|-1B={y|y1}.故AB=[-1,1].3.用数学归纳法证明1+2+22++2n+2=2n+3-1，在验证n=1时，左边计算所得的式子为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23解析 D 当n=1时，左边=1+2+22+23.4.已知x，y，zR+，且xyz(x+y+z)=1，则(x+y)(y+z)的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析B∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y1xyz+xz=1xz+xz2 1xzxz=2，当且仅当xz=1，y(x+y+z)=1时，取=，(x+y)(y+z)min=2.5.要证a2+b2-1-a2b20，只要证明()A.2ab-1-a2b2B.a2+b2-1-a4+b420C.a+b22-1-a2b2D.(a2-1)(b2-1)0解析 D 因为a2+b2-1-a2b2(a2-1)(b2-1)0，故选D.6.对于平面和共面的直线m、n，下列命题为真命题的是()A.若m，mn，则n∥B.若m∥，n∥，则m∥nC.若m，n∥，则m∥nD.若m、n与所成的角相等，则m∥n 解析C 对于平面和共面的直线m，n，真命题是若m，n∥，则m∥n.7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+31对于一切实数都成立，则k的取值范围是()A. (-，+)B. (1,3)C. (-，3)D. (-，1)(3，+)解析B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+3434，不等式等价于2x2+2kx+k4x2+6x+3，即2x2+(6-2k)x+3-k0对任意的x 恒成立，=(6-2k)2-8(3-k)0，18.设函数f(x)=x2+x+a(a0)满足f(m)0，则f(m+1)的符号是()A.f(m+1)B.f(m+1)0C.f(m+1)D.f(m+1)0解析C ∵f(x)的对称轴为x=-12，f(0)=a0，由f(m)0，得-19.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析C ∵a0，b0，1a+1b+2ab21ab+2ab4，当且仅当a=b=1时取等号，1a+1b+2abmin=4.10.使不等式log2x(5x-1)0成立的一个必要不充分条件是()A.xB.15C.15解析 D log2x(5x-1)5x-10，2x1，5x-11或5x-10，01，5x-1x15，x12，x25或x15，0x12或1511.假设f(x)=x2-4x+3，若实数x、y满足条件f(y)0，则点(x，y)所构成的区域的面积等于()A. 1B. 2C. 3D. 4解析B 由f(y)0可得fyfx，fx0，即13，x-yx+y-40，画出其表示的平面区域如图所示，可得面积S=21221=2，故选B.12.设x，y 满足约束条件3x-y-60，x-y+20，x0，y0，若目标函数z=ax+by(a0，b0)的最大值为12，则2a+3b的最小值为()A.256B.83C.113D.4解析A 作出可行域(四边形OBAC围成的区域，包括边界)如图，作出直线l：ax +by=0，当直线l经过点A时，z=ax+by 取得最大值.解x-y+2=0，3x-y-6=0，得点A(4,6)，4a+6b=12，即a3+b2=1，2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba23+32+2=256，当且仅当a =b时取等号.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.已知等差数列{an}中，有a11+a12++a2019=a1+a2++a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___ _____.解析由等比数列的性质可知，b1b30=b2b29==b11b20，10b11b12b20=30b1b2b30 .【答案】10b11b12b20=30b1b2b3014.已知实数x，y满足约束条件x-y+40，x+y0，x3，则z=4x2-y 的最小值为________.解析作出不等式组所表示的可行域(图略)，z=4x2-y=22x2y=22x+y，令=2x+y，可求得=2x+y的最小值是-2，所以z=4x2-y的最小值为2-2=14.【答案】1415.某公司租地建仓库，每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，这项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处.解析设仓库建在离车站d km处，由已知y1=2=k110，得k1=20，y1=20d. 由y2=8=10k2，得k2=45，y2=45d.y1+y2=20d+4d5220d4d5=8，当且仅当20d=4d5，即d=5时，费用之和最小.【答案】 516.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________.解析由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc0，所以b2+c2-a20，即a2b2+c2.【答案】a2b2+c2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.x 1.5 3 5 6lg x 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-cx 7 8 9 14 27lg x 2(a+c) 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)(1)假设上表中lg 3=2a-b与lg 5=a+c都是正确的，试判断lg 6=1+a-b-c是否正确?给出判断过程;(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明).解析(1)由lg 5=a+c得lg 2=1-a-c，lg 6=lg 2+lg 3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c，满足表中数值，即lg 6在假设下是正确的.(2)lg 1.5与lg 7是错误的，正确值应为lg 1.5=lg32=lg 3-lg 2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.lg 7=lg 14-lg 2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.18.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.(1)解关于a的不等式f(1)(2)若不等式f(x)b的解集为(-1,3)，求实数a、b的值.解析(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6，f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+30即a2-6a-30，解得3-23不等式解集为{a|3-23(2)f(x)b的解集为(-1,3)，即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3，2=a6-a3，-3=-6-b3，解得a=33，b=-3.19.(12分)(2019南京模拟)已知数列{an}满足a 1=0，a2=1，当nN*时，an+2=an+1+an.求证：数列{an}的第4m+1(mN*)项能被3整除.解析(1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时，第4m+1项能被3整除.命题成立.(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4 k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，3a4k+2+2a4k+1能被3整除.即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.由(1)和(2)知，对于任意nN*，数列{an}中的第4m+1(mN*)项能被3整除.20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a，方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0(1)求实数a的取值范围;(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与116的大小，并说明理由.解析(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a，由题意可得0，01，g10，g003-22或a3+22，-1故实数a的取值范围是(0,3-22).(2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2，令h(a)=2a2，∵当a0时，h(a)单调递增，当0即f(0)f(1)-f(0)116.21.(12分)已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(an，an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bnbn+2解析(1)由已知得an+1=an+1，则an+1-an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.当n2时，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2++2+1=1-2n1-2=2n-1.又b1=1也适合上式，所以bn=2n-1，bnbn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1 )=-2n0.所以bnbn+222.(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?解析设该儿童分别预定x，y个单位的午餐和晚餐，共需z 元，则z=2.5x+4y.可行域为12x+8y64，6x+6y42，6x+10y54，x0，y0，即3x+2y16，x+y7，3x+5y27，x0，y0，单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
高三数学单元质检卷不等式推理与证明理含答案
单元质检卷不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A.B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似的,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2017浙江,4)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)5.(2017北京丰台一模,理7)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是()A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙6.(2017山东临沂一模,理9)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-的平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为m.若点P(x,y)∈Ω,则z=mx-y的最小值为()A. B.3C. D.67.(2017湖南岳阳一模,理9)已知O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y)的坐标满足不等式组若z=的最大值为7,则实数a的值为()A.-7B.-1C.1D.78.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)时,假设当n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是()A.1项B.k-1项C.k项D.2k项9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件10.(2017山东菏泽一模,理8)已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1C. D.11.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+12.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.(2017广东揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.参考答案单元质检卷不等式、推理与证明1.D∵2x+2y=1≥2,∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.2.C由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,∴解得a=30,b=-5,∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.3.D选项A,B都是归纳推理,选项C为类比推理,选项D为演绎推理.故选D.4.D画出约束条件所表示的平面区域为图中阴影部分,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,z min=2+2×1=4.又z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.5.B假设乙的说法是正确的,则丁也是正确的,那么甲和丙的说法都是错误的,如果丙是错误的,那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖,与乙的说法矛盾,故乙的说法是错误的,则丁也是错误的,故说法正确的是甲、丙.6.A由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.因为平面区域Ω夹在两条斜率为-的平行直线之间,且两条平行直线间的最短距离为m,所以m=.令z=mx-y=x-y,则y=x-z,由图可知,当直线y=x-z过点B(2,3)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-3=.故选A.7.C不等式组的可行域如图阴影部分所示.O为坐标原点,点A的坐标为(3,-1),点P(x,y),z==3x-y,由z=的最大值为7,可得3x-y=7.由可得B(3,2),代入x-y=a,可得a=1.8.D运用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N+).当n=k时,则1+2+3+…+2k=2k-1+22k-1(k∈N+),左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)+…+2k+1,表示的为2k+1项的和,增加了2k+1-2k=2k项.9.B设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=≥2=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立,故选B.10.D实数x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.因为a>0,由z=表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-, 所以点A与(-1,-1)连线的斜率最小,由解得A,z=的最小值为-,即=-,解得a=.故选D.11.B不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B.12.B若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.13.F+V-E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2.由此归纳可得F+V-E=2.14.12∵抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,∴A(-1,-3),∴m+n=.又=6+3≥6+6=12,当且仅当m=n=时等号成立.15.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2当n=k时,左端为1+2+3+…+k+(k+1)+(k+2)+…+k2,则当n=k+1时,左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.16.1 000由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是,公差是的等差数列,含n项的系数为首项是,公差是-的等差数列,因此N(n,k)=n2++(k-3)n=n2+n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000.。
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阶段质量检测(六) 不等式、推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
第Ⅰ卷 (选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式(x ＋1)x －1≥0的解集是
( )
A ．{x|x ＞1}
B ．{x|x≥1}
C ．{x|x≥1或x ＝－1}
D ．{x|x≥－1或x ＝1} 解析：∵x －1≥0，∴x≥1.
同时x ＋1≥0，即x≥－1.∴x≥1.
答案：B
2．下列命题中的真命题是
( )
A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
B ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2
C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2
解析：由a ＞|b|，可得a ＞|b|≥0⇒a 2＞b 2.
答案：D
3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧ x 2，x≤02x －1，x ＞0
，若f(x)≥1，则x 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：将原不等式转化为：⎩⎨⎧ x ＞02x －1≥1
或⎩⎨⎧ x≤0x 2≥1，从而得x≥1或x≤－1.
答案：D
4．若集合A ＝{x||2x －1|＜3}，B ＝{x|2x ＋13－x
＜0}，则A∩B 是 ( )
A ．{x|－1＜x ＜－12
或2＜x ＜3} B ．{x|2＜x ＜3} C ．{x|－12＜x ＜2} D ．{x|－1＜x ＜－12
} 解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x －1＜3.∴－1＜x ＜2.
又∵2x ＋13－x
＜0，∴(2x＋1)(x －3)＞0， ∴x＞3或x ＜－12.∴A∩B＝{x|－1＜x ＜－12
}． 答案：D
5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若a ，b∈R，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b∈C，则a －b ＝0⇒a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d∈R，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d∈Q，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；
③“若a ，b∈R，则a －b ＞0⇒a ＞b”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＞0⇒a ＞b”． 其中类比得到的结论正确的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小．
答案：C
6．已知实数a ，b ，则“ab≥2”是“a 2＋b 2≥4”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当ab≥2时，a 2＋b 2≥2ab≥4，故充分性成立，而a 2＋b 2≥4时，当a ＝－1，b
＝3时成立，但ab ＝－3＜2，显然ab≥2不成立，故必要性不成立．
答案：A
7．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c ＜1，则实数a
的取值范围是
( )
A ．[2,3]
B ．[1,3]
C ．(1,2)
D ．(1,3)
解析：由题意：⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝1，得b ＝－1，∴a＋c ＝2.
又0＜c ＜1，∴0＜2－a ＜1，∴1＜a ＜2.
答案：C
8．(2020·淄博模拟)若f(a)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m∈[0,1]时f(a)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值为
( ) A.13 B.23 C.53 D.73
解析：设g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a ，由于当m ∈[0,1]时
g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a ≤1恒成立，于是(0)1,(1)1
g g ⎧⎨⎩≤≤ 1,21
b a b a -⎧⎨+⎩≤即≤满足此不等式组的点(a ，b)构成图中的阴影部分， 其中A(25,33
)，设a+b=t ，显然直线a+b=t 过点 A 时，t 取得最大值
73. 答案：D
9．已知函数f(x)满足：f(p ＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，
则2(1)(2)(1)f f f +＋f f f 2(2)(4)(3)＋f f f 2(3)(6)(5)
＋ f f f 2(4)(8)(7)
等于 ( ) A ．36 B ．24 C ．18 D ．12
解析：由f(p ＋q)＝f(p)f(q)，
令p ＝q ＝n ，得f 2(n)＝f(2n)．
原式＝f f 22(1)(1)
＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)f f 22(1)(1)
＝2f(1)＋2f(1)f(3)f(3)＋2f(1)f(5)f(5)＋2f(1)f(7)f(7)
＝8f(1)＝24.
答案：B
10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站
( )
A ．5 km 处
B ．4 km 处
C ．3 km 处
D ．2 km 处
解析：由题意可设y 1＝k 1x
，y 2＝k 2x ， ∴k 1＝xy 1，k 2＝y 2x
， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8，
∴y 1＝20x
，y 2＝0.8x(x 为仓库与车站距离)， 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋
20x ≥2 0.8x ·20x ＝8， 当且仅当0.8x ＝
20x
，即x ＝5时等号成立． 答案：A 第Ⅱ卷 (非选择题，共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题54分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)
11．不等式组⎩⎨⎧ x≥0，
x ＋3y≥4
3x ＋y≤4
，所表示的平面区域的面积等于________． 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由 ⎩⎨⎧ x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4。