无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究

无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究X陈 莹,谭伟强(中山大学管理学院行为金融与金融经济学研究所,广东广州,510275)摘 要 期权定价有无套利方法和一般均衡方法两种.本文在一般均衡框架下构造了一个允许连续消费的简单经济模型,并将基于无套利方法的期权定价模型中所假定的标的证券的价格变化动态过程内生化于理性预期均衡中.在常数相对风险厌恶(CRRA)的效用函数的条件下,我们推导出Merton(1973)期权定价公式,从而证明无套利方法与均衡方法的内在一致性,而CRRA 这种类型的效用函数是无套利定价模型在一般均衡框架中成立的充分条件.本文进一步将此模型在一个简单经济中扩展到m 种证券的情况,也得到相似的结论.关键词 期权定价,一般均衡分析,无套利分析中图分类号 F83019 文献标识码 A1. 引 言Black 和Scholes [1]首次运用Modigliani 和Miller [2]的无套利思想证明得出了期权定价公式(以下称为B -S 公式).Merton [3]将条件放宽,在普遍接受的更弱的条件下同样推导出了B -S 模型.期权定价理论从此进入一个新的时期,并取得了丰富的研究成果[4].纵观期权定价理论的发展,期权定价的方法有两种.一种是无套利方法,另一种是一般均衡方法.无套利方法基于无套利原理,认为在没有套利机会的金融市场中,两个具有相同收益的证券在任一时刻的交易价格应该相等.这种方法只是通过对价格的比较进行定价,而与行为主体的偏好和效用函数无关.当用交易的证券可以完全复制出待定价的期权时,我们假设复制期权的标的证券价格服从某一特定动态过程,那么在一个可以连续交易的市场里,特定价的期权的价格和基于该证券的其他衍生证券的价格可以在无套利假设下得到.无套利方法的缺陷之一就是把本应内生化的参数(比如股票价格)都给定了,而且,无套利方法并不是总是可以使用,如当一个新的证券引入市场而它又不能用市场中交易的证券复制时,就无法运用此方法了.期权定价的另一种方法是一般均衡方法.均衡是从相互作用的经济行为主体的活动中产生的,所以需要对行为主体效用函数作出假设.运用/基于偏好0的模型,把证券的价格更多的与基本经济概念联系起来,在基于经济变量达到均衡的同时给期权定价.均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架.Black 等[1][3]和Rubinstein [5]分别用这两种方法推导出B -S 公式,从而引发出众多学者对两种方法内在关联的讨论.Kreps [6],Bick [7],C uong Le Van 和Franc ois Magnien [8]等都从不同的角度深入分析了两者之间的联系.我国的董太亨[9]和郑振龙[10]从方法论的角度具体讨论了X 作者感谢国家社会科学基金重点项目(07AJ L003)的资助.感谢中山大学管理学院陆家骝教授的宝贵意见.当然,对文中可能存在的问题,均由作者负责. 收稿日期:2007-04-19第24卷第3期2007年9月经 济 数 学MATHEMATICS IN ECONOMICS Vol.24 No.3Sep. 2007均衡方法与无套利方法的区别,但没有给出严密的论证和推导.与前述文献不同的是,本文将期权定价中所假定的标的证券的价格变化动态过程内生化于理性预期均衡中.在这个均衡模型里,股票价格过程与外生的/信息过程0有关.许多所谓/均衡模型0的金融连续时间文献探究在均衡条件下价格、收益、风险衡量以及其他一些变量的关系(例如Cox 等[11]),但是这些研究都是将均衡当作外生给定的条件.本文则试图证明均衡条件的内生性.Bick [7]也曾做过相类似的研究,他证明了连续消费下存在一支不支付红利的股票和一支无风险债券时均衡条件下的内生性.本文的不同之处在于,证明存在一支按固定比例连续支付红利的股票和一支风险债券的市场上均衡条件的内生性,进而将模型扩展到具有m 种证券的情形.从这个意义上说,Bick [7]的模型是本文的一个特例.Kreps [6]将资产定价模型限制在一个简单交易策略的经济下,指出在一个均衡中B -S 公式也是成立的,但认为一旦在连续交易的情况下,相似结论的证明则非常棘手.本文则证明了在一定条件下,即使允许连续交易的发生,也可以推导出相似的结论.另一方面,通过无套利方法得出的结果似乎与投资者效用无关.但是,如果我们将这一局部均衡模型放入到一般均衡的框架内,将会发现在这一过程中必须要预先假设特定的投资者偏好.许多学者讨论了这两者之间的关系(可参见Rubinstein [5],B reeden 和Litzenberger [12],B rennan [13]和Bick [7][14]等).这些研究均表明,当市场组合服从几何布朗运动时,代表性个体投资者具有常数相对风险厌恶(C RRA)效用函数将是一般均衡存在的充分条件.Huang [15]、Duffie [16]、Duffie 和Huang [17]等运用了更复杂的概念测度和鞅理论对这一问题进行了探讨,得到了均衡价格过程存在性及其与信息结构的关系的更为一般的结论.Cuong Le Van 和Francois Magnien [8]在交易者是一个连续统和资产有限的条件下,用拓扑等方法推出无套利条件是均衡存在的充要条件.本文的好处在于通过一定的技术进行简化处理,运用了Merton [18]的动态规划方法阐明这一结论.本文后续安排如下:在第二部分,我们假定具有常数相对风险厌恶的投资者在无限期的经济中可以连续消费,债券价格和具有按固定比例发放红利的股票价格均服从几何布朗运动的均衡框架下,可以内生化得到无套利期权定价方程,并得出常数相对风险厌恶的投资者效用函数假设是期权定价方程成立的充分条件.第三部分,将模型扩展到具有m 种证券的情形,并得到相类似的结论.第四部分给出了本文的结论和相关讨论.2. 一般均衡框架下的期权定价模型我们现在构建一个简单的均衡经济模型.在这个模型中,投资者持续将股票红利用于当期消费,股票价格的变动是在均衡模型中内生的,服从几何布朗运动.与Cox 等[11]不同,我们并没有假定消费品可以无限生产,而是采用与Lucas [19]的方法,使股票价格由市场决定,这样我们才能构建一个模型内生化的标的证券价格运动过程.在B -S 模型中,股票没有支付红利或其他利润分配.Merton [3][20]将此模型扩展到随机发放红利的情况,但同样没有讨论无套利期权定价公式与一般均衡之间的一致性问题.我们将Merton [3]的按比例发放红利模型嵌入连续消费的一般均衡框架中,假定股票价格服从几何布朗运动,并以固定比例D S t 连续支付红利,(其中D >0是常数,S t 是股票的价格.)下面我们对经济条件进行描述.)261)第3期陈 莹,谭伟强:无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究考虑一个无限期经济,即交易期间为[0,]),具有多个投资者,他们都是价格的接受者.同时,有一个在当期生产并在当期消费的商品,该商品可以无成本的连续生产,并且连续消费.投资者可以观察到一个正的随机过程{G t }服从几何布朗运动d G t =L G t dt +RG t dz t ,(1)其中{z t }为标准维纳过程,R >0和L 为常数.投资者相信消费品的生产数量为D G t ,其中D >0为常数.同时,投资者可以观察到另一个正的随机过程{N t }服从几何布朗运动d N t =A N t dt +B N s dz t ,(2)其中{z t }同样为标准维纳过程,B >0和A 为常数.在这个简单经济中,假定存在两支无限可分的证券可以在无摩擦的市场中连续交易:1、证券持有者在时刻t 用红利进行消费,得到所有于该时刻生产的消费品.该证券价格表示为S t ,我们把该证券和所有者消费分别称之为/股票0和/红利0.2、债券在时刻t 的价格用B t 表示.债券的净供应量为零.连续再投资债券的价格用B ^t 表示(从t =0开始).假定投资者的偏好为状态独立、时间可分、二阶连续可微的von Neumann-Morgensterm 效用函数,在任意时刻t 用E t [Q ]0e -p (s -t )U (C s )ds ]的最大化表示.其中,{C t }是随机消费过程,E t 为在时刻t 的可获信息条件下的条件期望算子,效用函数U (#)满足E t [U (C s )]<],Q \0为投资者的时间偏好系数.投资者认为股票和债券价格变化过程均为正的扩散过程.对于股票和债券,运用自我融资¹的交易策略.定理1 在以上对投资者的假设下,考虑以下条件:a . 投资者的效用函数U (#)具有常数相对风险厌恶的性质,即U c (W )=W a ,其中,a [0为常数.b . 在t =0时,投资者的最优交易策略是在任意时刻t \0时不作任何交易,同时消费所有的红利.c . 在t =0时,投资者认为,在任意时刻t \0,S t /G t S A ,B t /N t S B ,其中A 和B 均为正常数.d . 投资者认为在无限期间[0,]),{B t }和{S t }服从以下过程:dS t =L S t dt +R S t dz t ,dB t =A B t dt +B B t dz t ,(3)其中{z t }为标准维纳过程,L ,R ,A 和B 的含义均与前述式(1)和式(2)相同,同时,投资者认为股票将会分配红利{D S t }(其中D \0为常数).假设ºQ >L 1S a L +12a (a -1)R 2,Q >L 2S (a +1)L +12a (a +1)R 2,(4)这意味着,A =D /(Q -L 2),B =1/(Q -L 1),D =Q -L 2.e . 给定S t 和B t ,对应的欧式期权的价格将由Merton[3]给出:y (x ,T )=x erfc(h 1)+erfc(h 2)2,(5))262)¹º这种技术性条件用于限制无限期望效用和使股票价格和债券价格是有限的.关于自我融资(Sel-f financing)的严格表述可参见Harri son 等[21]. 经 济 数 学第24卷其中,h 1S -(log x +12T )/2T ,h 2S -(log x -12T )/2T ,x S S t /EB t (S )是未来某个固定日(认股权证的到期日),按执行价格单位支付的股票价格(S 为到期时间).x 收益的瞬时方差为V 2=R 2+B 2-2Q R B ,T S Q S 0V 2(s )ds .erfc 函数与累积标准正态分布函数5(x )之间的关系为5(x )=1-12erfc(x /2).以上条件满足(a )C (d )](b ),(a )C (b )](c )](d )](e ).证明 Ñ.(a )C (d )](b ).1.a =0时(风险中性),投资者效用函数为常数,则L =A =0,这表明股票与债券在任意时点上都有相同的回报,任何策略在任意时点上的回报是相同的,由此可以推出t =0时投资者的最优策略就是在任意时刻t \0时都不进行交易.2.a <0时,则为动态规划的问题,其中投资者的红利是按比例分配,并且在当期全部用作消费.在这里我们采用Merton [18]的方法,在收益率由Wiener-Brown 运动过程生成的条件下,推导出具有两风险资产的最优投资组合方程.定义W (t )为在时刻t 的总财富;C (t )为在时刻t 中单位时间的消费;X 1(t )为时刻t 的财富中对股票的投资比例;X 2(t )为时刻t 的总财富中对债券的投资比例;注意到,X 1(t )+X 2(t )S 1,同时,预算方程为W (t )=X 1(t 0)S t S 0+X 2(t 0)B t B 0[W (t 0)-C (t 0)h ],(6)这里t S t 0+h ,h 为两时刻之间的时间间隔.利用条件X 1(t )+X 2(t )S 1以及极限性质过渡到连续时间,可以得到E (t 0){W (t )-W (t 0)}=[X 1(t 0)K 1W (t 0)+X 2(t 0)K 2W (t 0)-C (t 0)]h +o (h ),和E (t 0){[W (t )-W (t 0)]2}=[X 1(t 0),X 2(t 0)]8[X 1(t 0),X 2(t 0)]c W 2(t 0)h +o (h ),其中,期望收益率K i (i =1,2)为常数,K 1=L +D ,K 2=A ;8为风险资产的方差-协方差对称正定矩阵.采用Merton [18]的效用函数为常数相对风险厌恶形式的推导方法,加入遗赠评价函数这个简化假设可以求出最优的投资组合为:[X *1(t 0),X *2(t 0)]=-1a 8-1(K 1,K 2)c ,(7)可见,最优资产组合是与W 或t 无关的常数,在t =0时投资者的最优策略是在任意时刻t \0时不作任何交易,同时消费所有的红利.Ò.(a )C (b )](c ).由条件(b )可以得到,在t 时刻将消费转换成股票是一个次优的选择,即0=d d E |E =0U (kD G t -E S t )+E s >te -Q (s -t )E t [U (kD G s +E D G s )],(8)得到S t U c (kD G t )=Q ]t e -Q (s -t )E t [U c (kD G s )D G s ]ds (9)由U c (W )=W a ,可得)263)第3期陈 莹,谭伟强:无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究U c (kD G t )=k a D a G a t ,代入式(9),进行整理可得»S t k a D a G a t =Q ]te -Q (s -t )E t [k a D a +1G a +1s ]ds =k aD a +1Q ]t e -Q (s -t )G a +1t e L 2(s -t )ds =k a Da +1G a +1t (Q -L 2)-1.由此可以得出:S t /G t =D /(Q -L 2)=A .相似地,可以推导出债券价格满足0=d d E |E =0U (kD G t -E B t )+E s >te -Q (s -t )E t [U (kD G s +E N s )],则有B t U c (kD G t )=Q ]t e -Q (s -t )E t [U c (kD G s )D N s ]ds ,通过整理,可以得到B t /N t =1/(Q-L 1)=B .Ó.(c )](d ).由上面的假设可知,随机过程{G t }和{N t }都是服从正的几何布朗运动的,而A 和B 都是常数,则直接可以得到条件(d ).Ô.(d )](e ).这是Merton [3]推导出的连续时间中的期权定价模型,Merton [3]给出了模型的详细证明.这了简单起见,定理中从时刻t =0开始考虑个人的风险偏好和最优交易策略.但是,如果我们把任意时刻看成时间的起点,结论依然是成立的.条件e 中若在非随机和利率为常数的特殊情形下(即D =0,A =r ,B t =exp(-rt )和T S R 2S ),则与B -S 公式完全相同.这个定理在简单经济的假设中,进一步假设所有的个体具有同样的初始禀赋和同样的时间可加性的偏好,令我们在一个均衡(在这里所用的是理性预期均衡)的框架中证明了Merton [18]的等比例股息分配模型.具体来说,我们推导出了指数为a 和表示时间的不耐心参数Q 之间满足的关系.当投资者相信证券价格根据S t =D G t /(Q -L 2),B t =N t /(Q-L 1)进行变化时,投资者的最优交易策略是消费当期所有红利的同时不进行交易.另一方面我们从均衡方法的条件入手,最终推导出基于无套利条件的连续时间Merton [3]期权定价模型,证明了两种方法的一致性.3. 模型扩展在上面的模型基础上,我们将进行进一步扩展,推导出存在m 种证券(其中一支为无风险证券)的模型.为了讨论的方便,在这里我们假设不发放红利,投资者也不消费.与前面假设一致,我们假定在无限期的经济中,即交易期间为[0,]),具有多个投资者,他们只是价格的接受者.市场上共有m 种资产,其中第m 种资产为唯一的无风险资产,它在时)264)»在推导过程中,还用到E t [G a +1s ]=G a +1t e L 2(s -t ),这是Karlin 和Taylor [22]给出的结果,在此不再证明.经 济 数 学第24卷刻t 时的价格表示为R mt ,其瞬间收益率¼K m =r ,其投资比例为X (t ),且X m (t )=1-E n i =1X i (t ),其中n =m -1为风险资产的数量,风险资产在时刻t 的价格用R it =(i =1,,,n ),且其不发放红利.投资者可以观察到一个正的随机过程{G it }服从几何布朗运动,d G it =L i G it dt +R i G it dz t ,其中{z t }为标准维纳过程,R i >0和L i 为常数.考虑一个像上面的个体投资者,初始禀赋是有k i 股第i 种股票(i =1,,,n ).假设投资者的效用函数U (#)满足E [|U (R T )|]<].那么,如果在t =0时投资者的最优交易策略是在任意时刻都进行交易的话,那么投资者必定认为½R it =E t [U c (k i R iT )R iT ]/E t [U c (k i R iT )],(i =1,,,n ).定理2 在以上对投资者的假设下,考虑以下条件:a .投资者的效用函数U (#)具有常数相对风险厌恶的性质,即U c (W )=W a ,其中,a F 0为常数;b .在t =0时,投资者的最优交易策略是在任意时刻t E 0时不作任何交易;c .在t =0时,投资者认为,在任意时刻t E 0,R it S e-q i (T -1)G it (i =1,,,n ),其中q i 为常数;d .投资者认为在无限期间[0,]),{R it }服从以下过程:dR it =L i R it dt +R i R it dz i ,(i =1,,,n ),其中{z t }为标准维纳过程,L i ,R i 的含义均为前述式(1)和式(2)相同.以上条件满足(a )C (d )](b ),(a )C (b )](c )](d ).证明 Ñ.(a )C (d )](b ).当a =0时(风险中性),与定理1的证明相似,可直接得到结论.当a <0时,同样是一个动态规划的问题,采用Merton [8]的模型推导方法,将定理1相似的证明过程扩展到m 资产的情况,可以得到下面的结果E (t 0){W (t )-W (t 0)}=[X c (t 0)(K -^r )+r ]W (t 0)h -C (t 0)h +o (h )和E (t 0){[W (t )-W (t 0)]2}=X c (t 0)8X (t 0)W 2(t 0)h +o (h ).其中,X c (t 0)S [X 1(t 0),,,X n (t 0)]是一个n 维向量;期望收益率K c S [K 1,,,K n ];^r S [r ,,,r ]为n 维向量;8=[R ij ]为风险资产的方差-协方差对称正定矩阵.采用Merton[18]的效用函数为常相对风险厌恶形式的推导方法,可以求出最优的投资组合为[X *1(t 0),,,X *n (t 0)]=1a8-1(K -^r ).由此可见,最优资产组合是与W 或t 无关的常数.因此,在t =0时,投资者的最优策略是在任意时刻t E 0时不作任何交易.Ò:(a )C (b )](c ).过程{G a it 和{G a +1it }是几何布朗运动,其中的参数设置分别是:L i 1=ab +(1/2)a (a -1)R 2i和)265)¼½Bick [7]给出了证明,本文所用的公式是当期权执行价格x =0时的一个特例.显然,如果这里不止一个确定资产,收益率最高的资产将优于其它确定资产.第3期陈 莹,谭伟强:无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究L i 2=(a +1)b +(1/2)a (a +1)R 2i .注意到L i 2-L i 1=b +a R 2i =-q i .根据方程(4)和R it =G it 可得:R it =E i [G a +1iT ]/E i [G a iT ]=G a +1it e L i 2(T -1)/G a it e L i 1(T -1)=e -q i (T -1)G it ,其中的第二个等号,我们运用了附录里的公式.Ó:(c )](d ).由附录中几何布朗运动的性质,直接可以推导出结论.在定理2中,投资者认为股票的价格按R it =e -q i (T -t )G it 进行变化,其中q i 可以看作股票的风险溢价,可能是正的,可能是负的.与定理1相似,我们从t =0开始考虑个人的信念和最优策略,但是如果把任意时刻看成时间的起点,那么结论依然是成立的.根据投资者的风险偏好假设,以及股票价格按照上述过程进行变化,由定理2可知,投资者的最优投资策略就是不进行交易,此时市场出清,从而达到均衡.还可以看到,当股票价格服从几何布朗运动时,我们必须要选择常数相对风险厌恶效用函数来保证一般均衡的存在.4. 结论与讨论本文给出了两个连续时间无摩擦模型.在第一个模型中,我们在一个连续消费均衡嵌入Merton 的等比例发放红利的模型,推知在一般均衡框架中,Merton 期权定价公式还是成立的,从而推导出期权定价模型中均衡方法与无套利方法的内在一致性,同时证明了CRRA 类型的效用函数是Merton 模型在一般均衡框架中成立的充分条件.在第二个模型中,我们考虑了一个具有m 个证券、仅在最后一期进行消费的扩展模型,也得到了相似的结论.在这两个模型中,证券价格运动过程均内生的存在于理性预期均衡中,是外生的信息过程的函数,而证券价格运动过程是投资者CRRA 偏好的必要条件.同时,这两个模型都是将无套利的局部均衡放入一般均衡框架内,得到均衡存在的一般条件.我们知道,无套利方法仅要求所有可交易证券的现价,均衡方法则需要更多的信息,因而提供了一个更强有力的工具.均衡价格与经济个体的属性紧密联结,例如禀赋、信念和偏好,同时也与交易证券的结构和类型有关.如果这些条件发生变化,对应的均衡价格一般也会发生变化.如果市场处在均衡中,直观地看应该在市场中找不到套利机会.因此两种方法导致了一致的定价.本文在市场无摩擦的条件下得出两者一致性的前提条件.在理想的无摩擦市场下,特定的投资者效用函数假定将使无套利的局部均衡在一般均衡框架下成立.但是,也应该看到,均衡方法把期权价格更多地与基本经济变量联系起来,这无疑使得我们在为期权定价时,更多地考虑基本经济变量,而期权定价公式则显示,期权价格与标的证券价格运动过程有关,而与基本的经济变量并无联系.本文所证明的两种方法内在一致的必要条件是投资者效用函数为CRRA.在期权定价模型研究中,我们可以在此前提下,按照实际的模型灵活运用两种方法来进行研究,增加了期权定价模型的方法选择.但是,当市场存在摩擦和投资者非理性时,一般均衡框架内的证券定价要容纳这些摩擦和非理性因素本身就变得十分困难,一般均衡与无套利的关系也变得非常复杂,需要更进一步的探讨,而这正是我们下一步研究的方向.)266) 经 济 数 学第24卷参 考 文 献[1] Black,F.and M.Schotes,The pricing of options and corporate liabilities[J],Journal o f Politica l Econom y ,1973,81:637-659.[2] Modi gliani,F.,Miller ,M.,The cost of capi tal,corporation finance,and the 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There are two methods on option pricing,no -arbitrage and equilibrium analysis.We construct a si mple economy wi th continuous consump tion,in which we /endogenize 0the stochas tic process of prices in the option pricing model based on no -arbitrage analysis.With constant relative risk aversion type utility function assumption,we present Merton(1973)option pricing model and find the consistency of the model with a general equilibrium framework.We extend the model to the market wi th m securities and it turns out si milar results.Keywords Op tion pricing,general equilibrium analysis,no -arbitrage analysis附录:在这里我们列出文章里用到的几何布朗运动的一些性质.几何布朗运动是一个随机过程{Y t },其形式为Y t =Y 0exp((A -(1/2)R 2)t +R Z t ).其中,{Z t }为标准维纳过程且R X 0,A 和Y 0>0为常数.根据Ito 引理可知,这一随机过程可用随机微分方程dY t =A Y t dt +R Y t dz t表示.引理:若G t S e C t Y t ,X t S Y C t ,其中C 为常数,根据Ito 引理可知,{G t }和{X t }也为几何布朗运动,满足随机微分方程dG t =(A +C )G t dt +R G t dz t ,dX t =[C A +(1/2)C (C -1)R 2]X t dt +C R X t dz t .)268) 经 济 数 学第24卷。