华东师大数学分析课件
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12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
21-9——华东师范大学数学分析课件PPT
I
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
华东师大数学分析课件01
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二、导函数
如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间 对于区间 端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) 端点考虑相应的单侧导数 如左端点考虑右导数 , 上的可导函数. 此时, 则称 f 为区间 I 上的可导函数 此时 对 I 上的任 与之对应, 意一点 x 都有 f 的一个导数 f′(x) 与之对应, 这就
不存在极限, 处不可导. 不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导
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有限增量公式
可导， 设 f (x) 在点 x0 可导，则 ∆y ε = f ′( x0 ) − ∆x 是当 ∆ x → 0 时的无穷小量，于是 ε ∆ x = o(∆ x). 时的无穷小量 无穷小量， ∆
这样, 这样 函数 f (x) 的增量可以写成
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定义1 定义
的某邻域内有定 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定
义，如果极限
f ( x ) − f ( x0 ) lim (3) x → x0 x − x0 存在, 可导, 存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在
x0 的导数，记作 f ′( x0 ) . 导数， 如果令 ∆x = x – x0, ∆y = f (x0 +∆x) –f (x0), 导数就 ∆
∆ y = f ′( x0 )∆ x + o( ∆ x ).
仍然成立. 式对 ∆ x = 0 仍然成立 根据有限增量公式即可得到下面定理. 根据有限增量公式即可得到下面定理
(5)
的有限增量公式, (5)式称为 f (x) 在点 x0 的有限增量公式, 这个公 )
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定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 可导, 定理 连续. 连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可 导的必要条件. 如例3、 导的必要条件 如例 、例4 中的函数均在 x = 0 处连续，却不可导 处连续，却不可导.
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
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F (u1) F (u2 ) ,
后退 前进 目录 退出
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
7-1——华东师范大学数学分析课件PPT
一、区间套定理 二、聚点定理与有限覆盖
定理 三、实数完备性基本定 理
的等价性
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
定义1
设闭区间列 {[an, bn]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] [an1, bn1] , n 1, 2, ,
x
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界
b1. 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
数学分析 第七章 实数的完备性
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
设
lim
n
an
=
,
从而由定义1 的条件2 可得
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
[an ,bn ] U ( ; ).
证 由区间套定理的证明可得:
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
取 [a2, b2] [a1,b1]
aN2
1 22
,
aN2
1 22
.
显然有
1
[a1 ,
b1] [a2 ,
b2 ],
b2 a2
, 2
并且当 n N2 时, an [a2 ,b2 ]. ......
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
高等教育出版社
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
后退 前进 目录 退出
10-5——华东师范大学数学分析课件PPT
奇函数
( x Rsin t)
4R x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
R3
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
O
x
y
xdx
R
x
§5 定积分在物理中的应用
引力
液体静压力
例2 一根长为 l 的均匀细
引力
y
功与功率
杆, 质量为 M, 在其中垂线
a
dFx
上相距细杆为 a 处有一质
dFy
dF
量为 m 的质点,试求细杆对 l / 2
O
质点的引力.
x l/2 x xdx
解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的
l 2 ,l 2, 质点位于 y 轴上点 a .
任取
[ x , x Δx ] l 2 , l 2
数学分析 第十章 定积分的应用
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§5 定积分在物理中的应用
dF
kqdQ
2
k rq
a2 r2
d .
a
d
r
z
把 dF 分解为 z 轴方向的分力 dFz 和水平方向的分
力dFt . 由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴 Oz上，
数学分析 第十章 定积分的应用
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§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
且导线上的电荷密度恒为常数，因此水平方向分
力 dFt 互相抵消.而
P
3
2 x
9 x2dx 18 .
0
=g (比重=重力加速度 密度）
数学分析 第十章 定积分的应用
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华东师范大学数学分析PPT课件
3
x3 3
x2.
第2页/共77页
(iii)ln( x 1 x2 ) 是 1 的一个原函数: 1 x2
ln( x 1 x2 ) 1 . 1 x2
(iv)
1 2
x
1 x2 arcsin x 是
1 x2 的一个原函数 :
1
2
x
1 x2
arcsin x
1 x2 .
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
第11页/共77页
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C. 2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
第4页/共77页
第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函 数 F, 即
F( x) f ( x). 在第九章中将证明此定理.
第5页/共77页
定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 (i) F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数. (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
11. sec x tan xdx sec x C.
12. csc x cot xdx csc x C.
13.
dx arcsin x C arccos x C. 1 x2
dx
14. 1 x2 arctan x C arccot x C.
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6-1——华东师范大学数学分析课件PPT
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§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有实
根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的
重数为 1 .
证 设 p( x) 有两个实根 x1, x2, x1 x2, 由于p( x)是
最小值定理, f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最
小值 m .下面分两种情形加以讨论.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
情形1 M = m. 此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒
等于零, 此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有
(iii), 但条件 (i) 不满足,该函 O
x
数在 (0, 1) 上的导数恒为1. 结论不成立.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
(b) f ( x) | x |, x [1, 1]
函数单调性的判别
y
满足条件 (i) 和 (iii), 但条件
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和
函数的单调性
中值定理是 与 ff 的桥梁.有了中值 定理, 就可以根据 f 在区间上的性质来 得到 f 在该区间上的 整体性质.
一、罗尔定理与拉格朗 日定理
二、函数单调性的判别
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
那么在开区间 (a ,b)内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得
§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有实
根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的
重数为 1 .
证 设 p( x) 有两个实根 x1, x2, x1 x2, 由于p( x)是
最小值定理, f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最
小值 m .下面分两种情形加以讨论.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
情形1 M = m. 此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒
等于零, 此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有
(iii), 但条件 (i) 不满足,该函 O
x
数在 (0, 1) 上的导数恒为1. 结论不成立.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
罗尔定理与拉格朗日定理
(b) f ( x) | x |, x [1, 1]
函数单调性的判别
y
满足条件 (i) 和 (iii), 但条件
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和
函数的单调性
中值定理是 与 ff 的桥梁.有了中值 定理, 就可以根据 f 在区间上的性质来 得到 f 在该区间上的 整体性质.
一、罗尔定理与拉格朗 日定理
二、函数单调性的判别
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 拉格朗日定理和函数的单调 性
那么在开区间 (a ,b)内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得
17-4——华东师范大学数学分析课件PPT
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解 由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解 由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析 第十七章 多元函数微分学
9-6——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第九章 定积分
*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达 布定理,然后用达布定理 证明函数可积的第一、第 二、第三充要条件, 其中 第二充要条件即为第三节 中介绍的可积准则.
一、上和与下和的性质 二、可积的充要条件
*点击以上标题可直接前往对应内容
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
T
T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分.
性质5
m(b a) s S M(b a).
性质6（达布定理）
lim S(T ) S, lim s(T ) s.
||T || 0
||T || 0
数学分析 第九章 定积分
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*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
由于 故有
(Mk Mk )Δxk (Mk Mk)Δxk. m Mk (或 Mk) Mk M ,
0 S(T0 ) S(T1 ) (M m)Δxk (M m) || T || .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
同理有
0 S(Ti ) S(Ti1 ) (M m) || Ti || .
上和与下和的性质
可积的充要条件
性质2
设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到的分割, 则
S(T ) S(T) S(T ) (M m) p || T ||,
s(T ) s(T) s(T ) (M m) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后 所得到的分割, T' Tp . 设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk
*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达 布定理,然后用达布定理 证明函数可积的第一、第 二、第三充要条件, 其中 第二充要条件即为第三节 中介绍的可积准则.
一、上和与下和的性质 二、可积的充要条件
*点击以上标题可直接前往对应内容
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
T
T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分.
性质5
m(b a) s S M(b a).
性质6（达布定理）
lim S(T ) S, lim s(T ) s.
||T || 0
||T || 0
数学分析 第九章 定积分
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*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
由于 故有
(Mk Mk )Δxk (Mk Mk)Δxk. m Mk (或 Mk) Mk M ,
0 S(T0 ) S(T1 ) (M m)Δxk (M m) || T || .
数学分析 第九章 定积分
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*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
同理有
0 S(Ti ) S(Ti1 ) (M m) || Ti || .
上和与下和的性质
可积的充要条件
性质2
设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到的分割, 则
S(T ) S(T) S(T ) (M m) p || T ||,
s(T ) s(T) s(T ) (M m) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后 所得到的分割, T' Tp . 设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk
7-2——华东师范大学数学分析课件PPT
注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:
前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
限多个项”.现举例如下:
常数列 (an a)只有一个聚点: a .
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
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*§2 上极限和下极限
上（下）极限的基本 概念
上（下）极限的基本性质
{ (1)n } 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点;
A.
对于任意正数 ,
在 U( A; )
之外 { xn } 只有有限项. 这样, 对任意的 B A, 若
取
0
|B 2
A|
0,
那么在 U (B; 0 ) 内( 此时必
在 U ( A; 0 ) 之外 ) { xn }只有有限项. 这就是说, B
不是 { xn } 的聚点, 故 { xn }仅有一个聚点 A, 从而
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn A ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk A , k 1, 2, .
lim
n
xn
lim
n
xn .
反之, 若上式成立, 则 { xn } 的聚点唯一 (设为 A) ,
数学分析 第七章 实数的完备性
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*§2 上极限和下极限
上（下）极限的基本 概念
上（下）极限的基本性质
此时易证
lim
n
xn
A.
倘若不然,则存在 0 0,
使得在 U ( A; 0 ) 之外含有
n
n1
n
n1
从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限
之间存在着的内在. 详细讨论请见下文.
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
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由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
存在 > 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
f ( x) f ( x0 ) e .
(2)
注意到(2)式在 x x0 时恒成立, 因此0 x x0 可改写为 x x0 ，这样就得到函数 f (x) 在点x0 连续的e 定义.
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
注意:上述极限式决不能写成
lim xD( x) lim x lim D( x) 0.
x0
x0 x0
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由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若 lim f ( x) A, x x0
lim f ( x) B
x x0
都存在, 但 A B, 则称点 x0 为 f 的一个为第一类间断
点.
注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是 否有定义无关.
O
x
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又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
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例1证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄里克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
lim f ( x) lim xD( x) 0 f (0).
x0
x0
故 f ( x) 在 x 0 处连续.
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(i) f 在点 x0 无定义或者在点 x0 的极限不存在; (ii) f 在点 x0 有定义且极限存在, 但极限值却不 等于f (x0).
根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：
1. 可去间断点: 若 lim f ( x) A 存在, x x0
而 f 在点x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 是 f 的
lim f ( x) lim x 0 f (0),
x0
x0
所以 f ( x)在x 0处左连续.
又因为
yx o
yxa a0
x
y xa a0
lim f ( x) lim ( x a) a,
x0
x0
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所以,当 a 0时 , f ( x)在 x 0 处不是右连续的； 当 a 0 时，在 x 0 处是右连续的. 综上所述,当 a 0 时, f ( x) 在 x 0 处连续； 当 a 0 时，在 x 0 处不连续.
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
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二、间断点的分类
定义4 设函数 f 在 x0 的某(空心)邻域 (U o( x0 ))内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 或不连续点. 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:
很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：
定理4.1 函数 f ( x) 在点 x0 连续的充要条件是：f 在 点 x0 既是左连续，又是右连续.
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例2 讨论函数
x,
f
(
x)
x
a,
解 因为
x0 x 0 在 x 0处的连续性.
y
y xa a0
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定义2 设 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 .如果
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻画函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
3. 若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 则称点 x0 是 f 的一个第二类间断点 .
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例3
试证函数
f
(x)
1
x0 在 x 0处不连续，
存在 > 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
f ( x) f ( x0 ) e .
(2)
注意到(2)式在 x x0 时恒成立, 因此0 x x0 可改写为 x x0 ，这样就得到函数 f (x) 在点x0 连续的e 定义.
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
注意:上述极限式决不能写成
lim xD( x) lim x lim D( x) 0.
x0
x0 x0
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由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若 lim f ( x) A, x x0
lim f ( x) B
x x0
都存在, 但 A B, 则称点 x0 为 f 的一个为第一类间断
点.
注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是 否有定义无关.
O
x
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又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
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例1证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄里克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
lim f ( x) lim xD( x) 0 f (0).
x0
x0
故 f ( x) 在 x 0 处连续.
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(i) f 在点 x0 无定义或者在点 x0 的极限不存在; (ii) f 在点 x0 有定义且极限存在, 但极限值却不 等于f (x0).
根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：
1. 可去间断点: 若 lim f ( x) A 存在, x x0
而 f 在点x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 是 f 的
lim f ( x) lim x 0 f (0),
x0
x0
所以 f ( x)在x 0处左连续.
又因为
yx o
yxa a0
x
y xa a0
lim f ( x) lim ( x a) a,
x0
x0
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所以,当 a 0时 , f ( x)在 x 0 处不是右连续的； 当 a 0 时，在 x 0 处是右连续的. 综上所述,当 a 0 时, f ( x) 在 x 0 处连续； 当 a 0 时，在 x 0 处不连续.
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
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二、间断点的分类
定义4 设函数 f 在 x0 的某(空心)邻域 (U o( x0 ))内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 或不连续点. 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:
很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：
定理4.1 函数 f ( x) 在点 x0 连续的充要条件是：f 在 点 x0 既是左连续，又是右连续.
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例2 讨论函数
x,
f
(
x)
x
a,
解 因为
x0 x 0 在 x 0处的连续性.
y
y xa a0
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定义2 设 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 .如果
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻画函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
3. 若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 则称点 x0 是 f 的一个第二类间断点 .
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例3
试证函数
f
(x)
1
x0 在 x 0处不连续，