三角形中位线定理模型应用的思维导图
《三角形的中位线定理》PPT课件
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离
【数学之趣】
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游戏 （1）任意画一个四边形ABCD （2）取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H （3）顺次连接E、F、G、H
四边形EFGH是什么图形？
【数学之用】 聚焦解决问题
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方法上：辅助线
探究三角形中位线定理：三角形
平行四边边形
有中点连线而无三角形：作辅助线产生三角形
思想上：转化思想
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【数学之思】 名人润泽课堂
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毕 达 哥 拉 斯
在数学天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们怎么知道。
∴ BD∥CF ∵AD=CF，AD=BD
∴ BD=CF
∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DE∥BC，DF=BC
即DE∥BC，DE= 1 BC 2
【数学之探究】
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三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于它的一半
符号语言：
A
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE= 1 BC.
∴四边形EFGH是平行四边形
A
H
D
E G
B
F
C
顺次连接任意四边形中点，得到一个 怎样的图形？
结论：顺次连接任意四边形中点，得到平行四边形。
【数学之用】
个超7、已知：如图所示，在△ABC 中，CF平分∠ACB，CA=CD， AE=EB．求证：EF= 1 BD
2
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【数学之思】 聚焦课堂收获
是AC的中点。
求证： DE∥BC, DE= 1 BC.
三角形中位线ppt
05
练习题
证明题
题目1
已知E为△ABC中AB的中点，CD为AC边上的高，证明：DE所在的直线平分 BC。
直角三角形中，中位线等于斜边的一半，且中位线与直角边的交点为斜边的中点 。
直角三角形中位线的性质
直角三角形中位线与直角边互相垂直，且中位线将直角三角形分成两个全等的直 角三角形。
03
三角形中位线定理
三角形中位线定理的证明
定理的现代形式
在平面几何中，三角形中位线定理是指，对于一个任意三角形ABC，如果D和E分别是AB 和AC的中点，那么DE的长度是BC的一半，即DE = 1/2 BC。
三角形中位线的定义
三角形中位线是指连接三角形任意两顶点向对边所作的垂线段的中点。 记为：DE为△ABC中AB、AC中位线。
02
三角形中位线的性质
平行四边形
平行四边形两边平行且相等
01
平行四边形是两组对边分别平行的四边形，且平行四边形的两
组对边分别相等。
平行四边形的对角线互相平分
02
平行四边形的对角线互相平分，且可以形成四个全等的三角形
。
平行四边形的面积公式
03
平行四边形的面积等于底乘以高，即 $S = b \times h$。
梯形的性质
梯形上下底边平行
梯形是上底和下底分别平行的四边形。
梯形的面积公式
梯形的面积等于上底加下底乘以高再除以二，即 $S = (a+b) \times h \div 2$。
三角形中位线ppt
01
总结了中位线定理在各种几何问题中的应用，包括平行四边形
、矩形、菱形和梯形等。
中位线定理在代数中的应用
02
讲解了中位线定理在代数问题中的应用，包括线性方程组、矩
阵和多项式等。
中位线定理的推广和变式
03
探讨了中位线定理的推广和变式，包括中位线定理的推广定理
和各种变式，如梯形中位线定理等。
数学学习的个人建议
THANKS
要点二
利用中位线定理解决立体几何问 题
例如在四面体ABCD中，E、F、G分别为AB、AC、AD 的中点，求证$EG \perp BF$。由中位线定理可知$EG = \frac{1}{2}BC$，进而由勾股定理可知$\angle EGF = 90^{\circ}$，即$EG \perp BF$。
中位线定理的应用拓展
中位线定理的推广
设D、E、F为$\bigtriangleup ABC$三边的中点
中位线定理在现代数学中的应 用
例如在微积分学中，可以利用中位线定理证明一些与面 积和长度有关的定理，如Green公式、Gauss-Bonnet 积分公式等。此外，在代数学和线性代数中，中位线定 理也有广泛的应用。
05
总结与展望
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线的平方等于两边平方和减去底边平方的1/4.
三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形任意两边中点的连线平 行于第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线定理可以用于证明一些关于三角形中位线的 问题，例如两个三角形相似或者一个四边形是平行四边形 等结论。
本课程主要内容总结
三角形的定义和分类
总结了三角形的定义、分类和常用性质。
三角形中位线定理优质课件PPT
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个
顶点和对边中点的连线。
2021/02/01
3
三角形的中位线定理：三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。 求证：DE∥BC，
DE＝
1
BC
A2
D
E
F
B 2021/02/01
连结
C
4
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四
边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平
行四边形。
A
H
D
E
G B
F
2021/02/01
C
5
任意四边形四边中点连线所得的四边形 一定是平行四边形。
2021/02/01
6
例2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 菱形。
已知：E、F、G、H分别是矩形ABCD中 AB、BC、CD、DA边的中点。求证：EFGH是 菱形。
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC
2
DG是Rt△ADC斜边上的中线
DG 1 AC
2
E
∴EF＝DG
A G
你还想到了什么？
2021/02/01
B
FD
9C
《教材》184页1、2、3、4题。
《教材》188页4题和188页5题。 《练习册》
2021/02/01
10
Thank you
A
H
D
2021/02/01
E G
知识必备06 三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备06 三角形（公式、定理、结论图表）考点一、三角形的边角关系三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边的之差小于第三边.三角形的内角和为180°．典例1:（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是（ ）A．3B．4C．7D．10【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为7，故选：C ．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．典例2：（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC ，求证：∠A +∠B +∠C ＝180°．方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB ．【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAE ，再由平角的定义可得∠BAD +∠BAC +∠CAE ＝180°，从而可求解；方法二：由平行线的性质得：∠A ＝∠ACD ，∠B +∠BCD ＝180°，从而可求解．【解答】证明：方法一：∵DE ∥BC ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．考点二、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形.典例3：（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．典例4：（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．典例5：（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC ﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．考点三、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质： (1)直角三角形中两锐角互余. (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定： (1)有两内角互余的三角形是直角三角形. (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.典例6:（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．典例7：（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 370 m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别计算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得MN的长，计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．典例8：（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF ⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE•cos30°＝．【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．考点四、全等三角形基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).典例9:（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．【分析】根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，∴∠BCA＝∠DEC，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．考点五、灵活运用三角形全等定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．典例10：（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D 在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．典例11:（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SSS）；（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝2米，∠B＝30°，∴AE＝1米，∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），则S△CDA＝（平方米），∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．考点六、角的平分线定理 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典例12：已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.【答案与解析】证明：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知） ∴∠CDF＝∠BEF＝90° ∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF＝CF(已知) ∴△DFC≌△EFB(AAS) ∴DF＝EF(全等三角形对应边相等) ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知） ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.考点七、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．线段的垂直平分线逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．典例13：如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证AD是线段BC的垂直平分线．【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC（等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。
全等三角形思维导图
1全等三角形思维导图〔可点击放大〕全等三角形是整个初中平面几何的根底，一般考察不会太难，但是会很细，多以根底为主，注意角平分线和垂直平分析的性质和判定。
2相似三角形思维导图〔可点击放大〕相似三角形是几何的重点，中考会与圆，特殊四边形〔矩形，菱形，正方形〕等结合考察，还有可能与锐角三角函数结合。
而在一模中，这更是一个必考重点！
3几何初步和三角形思维导图〔可点击放大〕本局部是几何的一个开始，重要在于等腰、等边、直角三角形的性质局部，也是作为根底来考察的。
4圆思维导图〔可点击放大〕这局部就是几何的一个重难点了，虽然一般一模是不会考圆的，但是12年长宁区的试卷中就大大方方出现了圆的压轴题。
尽管近年教材中已经统一删掉了圆与圆的位置关系，降低了一些难度，但同学们如果做足准备去掌握的这一块知识，相信定能
高枕无忧了。
5投影与视图思维导图〔可点击放大〕其实投影与视图局部，在中考里都不是那么重要，也就是考个小题，在一模中可能出现的概率大家也可以预见。
当然，三视图属于立体几何的一个入门，对于高中来说，这局部内容还是很重要的。
同学们如果学有余力，也可以提前掌握，重
点是培养空间想象能力。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，
DF是直角三角形ADE斜边上的中线，∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的，∴ AD×GF= DF×AH，∴AH= = .
点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.
三角形中位线专题PPT课件
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• 如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边 的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形 三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2003个三角形的周长为 .
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4
• 已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点。
• 求证：四边形EFGH是平行四边形
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∵ AF=CF,
∴ △ADF≌ △FEC (SAS)
∴ DF=EC ∵ BE=EC,
∴精选pDptF=BE
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5
• 已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点。
• 求证：四边形EFGH是平行四边形
H
D
A
E G
C
F
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B
6
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7
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• AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是 BC的中点.
• 求证：(1)DE∥AB; (2). DE1ABAC
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1
复习巩固
定义：把连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线 A
中位线定理
D
E
三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半 B
C
中位线定理的 推理格式
∵AD=BD,AE=CE
∴DE∥BC且DE= 1 BC
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基础练习：
1、已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，12cm， 求连结各边中点所成三角形的周长＿1＿3c。m 2、直角三角形两条直角边分别是6cm，8cm， 则连接着两条直角边中点的线段长为＿5＿cm。
三角形的中位线定理课件
A M B
下
C
N
⑵已知:三角形的各边分别为 6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点 8 所成三角形的周长为12 cm, 面积 —— 1 6cm2,为原三角形面积的——。 为——
三角形的中位线定理
临夏县桥寺中学 金学鹏
平行四边形的判定方法有哪些？
三角形的中位线
• 定义: 连接三角形两边中点的线段叫 做三角形的中位线. A
D E
B
C
如图:在△ABC中,D,E分别是两边
的中点,则DE是△ABC的中位线.
如图:在△ABC中,D,E分别是两边 的中点,则DE是△ABC的中位线.
FHale Waihona Puke BMC课堂小结
• 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线. • 三角形中位线性质:三角形的中位线平行于 三角形中位线定义:连接三角形两边中点第 三边,且等于第三边的一半.
家庭作业
• 1.教材P50第5题，第10题. • 2.家庭作业：课后练习。
D B
A E C
你能猜出三角形的中位线与第三边 有怎样的关系？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
你能证明吗？
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于 它的一半。
已知：在△ABC中，AE=EB，AF=FC。 求证：EF∥BC，EF= 1 BC 2 证明： 延长线段EF到M,使FM=EF，连结MC ∵ AF=FC ∠AFE= ∠CFM EF=FM ∴ △AFE≌△CFM (SAS) ∴ ∠AEF= ∠M ∠A= ∠FCM ∴ AB∥CM EF∥BC E ∴ 四边形EBCM是平行四边形 ∴ EM=BC ∵EF=1 EM 2
三角形的中位线及性质PPT课件
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05
中考数学三角形中位线定理模型应用的思维导图
中考数学三角形中位线定理模型应用的思维导图三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养.一、定理模型构建1.双中点模型如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点；结论：12;2DE BC BC DEDE BC⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩数量关系：或位置关系：∥2.中点+平行线模型如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC；结论：12;2.DE BC BC DEE AC⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩数量关系：或位置关系：点是的中点证明：如图2，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∵DE∥BC，CF∥AB, ∴四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD，∴AD=CF.∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC，∴△ADE≌△CFE，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，DE是△ABC的中位线，∴DE=1 2BC.二、定理常用模型1.双中点模型此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用.2.构造托底平行线型如图3，在△ABC中，点D是边AB的中点，点E为AC上一点，连接DE，过点B 作BF∥DE，则DE是△ABF的中位线，定理可用.3.构造中点平底线型如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE是△ABC的中位线，定理可用.三、应用剖析1.平行四边形中构造使用定理例1 （2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD 于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A. 52B．32C．3 D．2解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC=12BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，∴CH=8,DH=5，易证△ABF≌△GHF，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3，∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D.点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素.例2（2020•凉山州）如图6，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE ∥AB交AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=8，∴平行四边形ABCD 的周长=2×（AB+AD）=2×8=16.点评：这是三角形中位线定理在平行四边形中常规性应用，或者说是基础性应用，是夯实基础的考题典范，值得规范掌握.2.菱形中构造使用定理例3（2020•荆门）如图7，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50解析：根据三角形中位线定理，得AB=2EF=10,所以菱形的周长为40，所以选C. 点评：这是三角形中位线定理在菱形中的基本应用，是基础性考题的代表.例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF 的大小是否变化？为什么？解析：（1）如图8，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；（2）如图9，连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为12；（3）不变，理由：∵∠EGF=90°，点N为EF中点，∴GN=FN=EN，∵AF=CF=EF，N为EF中点，∴MN=GN=FN=EN，∴△FNG为等边三角形，即∠FNG=60°，∵NG=NE，∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，∴∠CEF=30°，为定值．点评：三角形中位线定理在菱形中的应用，助推线段和最值问题的灵活得解，足见这个定理的重要性和应用性，是值得深思活用的重要解题定理之一.3.矩形中构造使用定理例5 （2020年衢州改编）如图10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．解析：（1）△AFG是等腰三角形．理由如下：根据题意，得∠FAH=∠GAH，∠FHA=∠GHA，AH=AH，所以△FAH≌△GAH，所以AF=AG，所以三角形AFG是等腰三角形.（2）解法1：如图10，过点O作OM∥BF，交DF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2OM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠OMG，∵∠AGF=∠OGM，∠AGF=∠AFG,∴∠OMG=∠OGM，∴OG=OM，∴BF=2OG．点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF 的中位线，∴BF=2FM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠AMO，∠AGF=∠AOM，∵∠AGF=∠AFG,∴∠AMO=∠AOM，∴AM=AO，∵AF=AG，∴AM-AF=AO-AG即FM=OG，∴BF=2OG．点评：构造不同的中位线，使用时所用到的知识原理就不同，体现知识的全面应用，其次，利用平行线性质，等腰三角形的性质与判断，等量代换等实现等线段的代换，从而实现解题目标，体现数学创新思维的新理念.解法3：如图12，过点B 作BM ∥0G ，交GF 的延长线于点M ，∵OD=OB ，∴OG 是三角形DBM 的中位线，∴BM=2OG.∵OG ∥BM ，∴∠AGF=∠M ，∵∠AGF=∠OGM ，∠AFG=∠BFM,∴∠BFM=∠M ，∴BM=BF ，∴BF=2OG ．点评：这也是构造三角形中位线定理的一种新方式，学习时，要全方位掌握定理，学会从多角度，多方法去构造定理，从而提高自己对特定知识点的准确理解，把握和运用，继而提升自我数学核心素养，提高问题解决分析能力和问题解决能力.4.正方形中构造使用定理例6（2020•青岛）如图13，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE=2，OF=3，则点A 到DF的距离为 ．解析：如图13，过点A 作AH ⊥DF ，交DF 的延长线于点H ，易证OF 是△ACE 的中位线，∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF 是△ADE 的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，DF 是直角三角形ADE 斜边上的中线，∴DF=12AE=12=∵△ADF 的面积是相同的，∴12AD ×GF=12DF ×AH ，∴AH=AD GF DF ⨯=.点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.。
《三角形的中位线》ppt课件
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
H A
∴EF//AC，EF 1 AC．
2
同理，GH//AC，GH
1
AC．
2
E B
∴EF//GH，且EFGH．
F
∴四边形EFGH是平行四边形．
D G C
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则
求证：A1B1=B1C1
分析：证明“线段相等” 常利用全等 添加辅助线构造全等
证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线
l1 、 l3于点EF.
A
A1 E
l1
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
B
∴EB1=AB，B1F=BC.
C
B1
l2
F
C1
l3
∵AB=BC，
∴EB1=B1F.
探究
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交 直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
布置作业
教科书第85页习题19.2 第12题、第15题.
课程结束
拓展
【中点三角形】 顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形.
A
D
E
B
F
C
中点三角形的周长是原三角 形的周长的一半.
中点三角形的面积是原三角形 的面积的四分之一
随堂练习
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
中位线是连接三角形两边中点的线段.
初中数学《全等三角形》主题单元设计以及思维导图
初中数学《三角形》主题单元教学设计以及思维导图主题单元规划思维导图主题单元标题三角形适用年级七年级所需时间6时主题单元学习概述根据整套教科书的设计，本章在直观操作的基础上，将几何直观与简单推理相结合，更多地注重学生推理意识的树立和对推理过程的理解，注重学生用自己的方式有条理地表达推理过程，这是第三学段“图形与几何”内容中发展推理和论证能力的第一阶段。
1、三角形是最简单的多边形，它不仅是研究多边形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。
而研究三角形全等又是其中重要的部分。
，对于进一步积累数学活动经验、发展空间观念、几何直观和推理能力的培养，都有重要的价值。
2、《三角形全等》的整体单元设计有下面四部分组成：即三角形全等定义及其性质、尺规作图、三角形全等的判别方法、三角形全等的应用。
3、学习重点：三角形全等的判别方法学习难点：根据条件选择正确的判定方法进行全等的判定4、四个专题之间的关系：一个问题的研究的三个步骤无非是：是什么（概念性质）-为什么？（判定）-怎么用（应用）。
全等三角形的四个专题也存在这样的逻辑关系。
即了解三角形全等的定义，进而探究两个三角形全等的判定条件，最后运用三角形全等解决一类测距离的问题。
要说明的是余下的尺规作图专题的设计和与其他价格专题的关系。
将其放在判定之前，是因为基于学生的已有知识，要探究判定条件，只有根据定义，也就是完全重合的两个三角形全等。
所以将这一专题提前，学生通过尺规作三角形，然后进行拼比重合，进而探究说明三角形全等。
5、主要学习方式：通过测量、拼图的活动，提供学生观察、操作、交流的平台，给学生充分实践和探索的空间，注重几何直观和推理能力，注重学生分析问题能力和有条理表达6、预期的学习效果。
掌握全等三角形的性质。
会利用基本作图做三角形。
会运用（SSS、ASA、AAS、SAS）判定两个三角形全等。
主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1．了解图形全等，全等三角形的概念。
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三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养.
一、定理模型构建
1.双中点模型
如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点；
结论： .
2.中点+平行线模型
如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC；
∴BF=2FM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠AMO，∠AGF=∠AOM，∵∠AGF=∠AFG,∴∠AMO=∠AOM，
∴AM=AO，∵AF=AG，∴AM-AF=AO-AG即FM=OG，∴BF=2OG．
点评：构造不同的中位线，使用时所用到的知识原理就不同，体现知识的全面应用，其次，利用平行线性质，等腰三角形的性质与判断，等量代换等实现等线段的代换，从而实现解题目标，体现数学创新思维的新理念.
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
二、定理常用模型
1.双中点模型此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用.
2.构造托底平行线型
如图3，在△ABC中，点D是边AB的中点，点E为AC上一点，连接DE，过点B作BF∥DE，则DE是△ABF的中位线，定理可用.
3.构造中点平底线型
如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE是△ABC的中位线，定理可用.
点评：这是三角形中位线定理在平行四边形中常规性应用，或者说是基础性应用，是夯实基础的考题典范，值得规范掌握.
2.菱形中构造使用定理
例3（2020•荆门）如图7，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形
ABCD的周长为 （ ）
A．20B．30C．40 D．50
解析：根据三角形中位线定理，得AB=2EF=10,所以菱形的周长为40，所以选C.
点评：这是三角形中位线定理在菱形中的基本应用，是基础性考题的代表.
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
解析：（1）如图8，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；
（2）如图9，连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN= AF，NG= CF，即MN+NG= （AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
∴CH=8,DH=5，易证△ABF≌△GHF，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3，
∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D.
点角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素.
例2（2020•凉山州）如图6，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为 ；
（3）不变，理由 ：∵∠EGF=90°，点N为EF中点，∴GN=FN=EN，∵AF=CF=EF，N为EF中点，∴MN=GN=FN=EN，∴△FNG为等边三角形，即∠FNG=60°，∵NG=NE，∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，∴∠CEF=30°，为定值．
结论：
证明：如图2，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∵DE∥BC，CF∥AB,
∴四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD，∴AD=CF.
∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC，∴△ADE≌△CFE，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，
DE是△ABC的中位线，∴DE= BC.
点评：三角形中位线定理在菱形中的应用，助推线段和最值问题的灵活得解，足见这个定理的重要性和应用性，是值得深思活用的重要解题定理之一.
3.矩形中构造使用定理
例5（2020年衢州改编）如图10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．
AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×（AB+AD）=2×8=16.
解析：（1）△AFG是等腰三角形．理由如下：根据题意，得∠FAH=∠GAH，∠FHA=∠GHA，
AH=AH，所以△FAH≌△GAH，所以AF=AG，所以三角形AFG是等腰三角形.
（2）解法1：如图10，过点O作OM∥BF，交DF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2OM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠OMG，∵∠AGF=∠OGM，∠AGF=∠AFG,∴∠OMG=∠OGM，