三角形中位线定理模型应用的思维导图
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三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CH=8,DH=5，易证△ABF≌△GHF，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3，
∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D.
点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素.
例2（2020•凉山州）如图6，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交
AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×（AB+AD）=2×8=16.
结论：
证明：如图2，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∵DE∥BC，CF∥AB,
∴四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD，∴AD=CF.
∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC，∴△ADE≌△CFE，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，
DE是△ABC的中位线，∴DE= BC.
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
解析：（1）如图8，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；
（2）如图9，连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN= AF，NG= CF，即MN+NG= （AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
点评：这是三角形中位线定理在平行四边形中常规性应用，或者说是基础性应用，是夯实基础的考题典范，值得规范掌握.
2.菱形中构造使用定理
例3（2020•荆门）如图7，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形
ABCD的周长为 （ ）
A．20B．30C．40 D．50
解析：根据三角形中位线定理，得AB=2EF=10,所以菱形的周长为40，所以选C.
二、定理常用模型
1.双中点模型此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用.
2.构造托底平行线型
如图3，在△ABC中，点D是边AB的中点，点E为AC上一点，连接DE，过点B作BF∥DE，则DE是△ABF的中位线，定理可用.
3.构造中点平底线型
如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE是△ABC的中位线，定理可用.
三角形中位线定理模型应用的思维导图
三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养.
一、定理模型构建
1.双中点模型
如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点；
结论： .
2.中点+平行线模型
如பைடு நூலகம்1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC；
点评：这是三角形中位线定理在菱形中的基本应用，是基础性考题的代表.
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴BF=2FM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠AMO，∠AGF=∠AOM，∵∠AGF=∠AFG,∴∠AMO=∠AOM，
∴AM=AO，∵AF=AG，∴AM-AF=AO-AG即FM=OG，∴BF=2OG．
点评：构造不同的中位线，使用时所用到的知识原理就不同，体现知识的全面应用，其次，利用平行线性质，等腰三角形的性质与判断，等量代换等实现等线段的代换，从而实现解题目标，体现数学创新思维的新理念.
解析：（1）△AFG是等腰三角形．理由如下：根据题意，得∠FAH=∠GAH，∠FHA=∠GHA，
AH=AH，所以△FAH≌△GAH，所以AF=AG，所以三角形AFG是等腰三角形.
（2）解法1：如图10，过点O作OM∥BF，交DF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2OM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠OMG，∵∠AGF=∠OGM，∠AGF=∠AFG,∴∠OMG=∠OGM，
点评：三角形中位线定理在菱形中的应用，助推线段和最值问题的灵活得解，足见这个定理的重要性和应用性，是值得深思活用的重要解题定理之一.
3.矩形中构造使用定理
例5（2020年衢州改编）如图10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为 ；
（3）不变，理由 ：∵∠EGF=90°，点N为EF中点，∴GN=FN=EN，∵AF=CF=EF，N为EF中点，∴MN=GN=FN=EN，∴△FNG为等边三角形，即∠FNG=60°，∵NG=NE，∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，∴∠CEF=30°，为定值．
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CH=8,DH=5，易证△ABF≌△GHF，∴AB=GH=5，∴AH=CG=BH-BA=BC-BA=8-5=3，
∴DG=GH-DH=5-3=2，∴选D.
点评：解答时，把握三个关键，一是直角三角形斜边中线原理；二是三角形中位线定理；三是构造中点型全等三角形法，这些都是解题的核心要素.
例2（2020•凉山州）如图6，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交
AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×（AB+AD）=2×8=16.
结论：
证明：如图2，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∵DE∥BC，CF∥AB,
∴四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF. ∵AD=BD，∴AD=CF.
∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC，∴△ADE≌△CFE，∴AE=EC，∴点E是AC的中点，
DE是△ABC的中位线，∴DE= BC.
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
解析：（1）如图8，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；
（2）如图9，连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN= AF，NG= CF，即MN+NG= （AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
点评：这是三角形中位线定理在平行四边形中常规性应用，或者说是基础性应用，是夯实基础的考题典范，值得规范掌握.
2.菱形中构造使用定理
例3（2020•荆门）如图7，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=5，则菱形
ABCD的周长为 （ ）
A．20B．30C．40 D．50
解析：根据三角形中位线定理，得AB=2EF=10,所以菱形的周长为40，所以选C.
二、定理常用模型
1.双中点模型此条件下，完全具备定理的条件，可以直接使用.
2.构造托底平行线型
如图3，在△ABC中，点D是边AB的中点，点E为AC上一点，连接DE，过点B作BF∥DE，则DE是△ABF的中位线，定理可用.
3.构造中点平底线型
如图4，在△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE是△ABC的中位线，定理可用.
三角形中位线定理模型应用的思维导图
三角形中位线定理是一个重要知识点，更是一种重要的解题工具，熟练掌握定理的两种模型，能助力数学解题效率，提升数学核心素养.
一、定理模型构建
1.双中点模型
如图1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点；
结论： .
2.中点+平行线模型
如பைடு நூலகம்1 条件：在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC；
点评：这是三角形中位线定理在菱形中的基本应用，是基础性考题的代表.
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴BF=2FM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠AMO，∠AGF=∠AOM，∵∠AGF=∠AFG,∴∠AMO=∠AOM，
∴AM=AO，∵AF=AG，∴AM-AF=AO-AG即FM=OG，∴BF=2OG．
点评：构造不同的中位线，使用时所用到的知识原理就不同，体现知识的全面应用，其次，利用平行线性质，等腰三角形的性质与判断，等量代换等实现等线段的代换，从而实现解题目标，体现数学创新思维的新理念.
解析：（1）△AFG是等腰三角形．理由如下：根据题意，得∠FAH=∠GAH，∠FHA=∠GHA，
AH=AH，所以△FAH≌△GAH，所以AF=AG，所以三角形AFG是等腰三角形.
（2）解法1：如图10，过点O作OM∥BF，交DF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，∴BF=2OM.∵OM∥BF，∴∠AFG=∠OMG，∵∠AGF=∠OGM，∠AGF=∠AFG,∴∠OMG=∠OGM，
点评：三角形中位线定理在菱形中的应用，助推线段和最值问题的灵活得解，足见这个定理的重要性和应用性，是值得深思活用的重要解题定理之一.
3.矩形中构造使用定理
例5（2020年衢州改编）如图10，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为 ；
（3）不变，理由 ：∵∠EGF=90°，点N为EF中点，∴GN=FN=EN，∵AF=CF=EF，N为EF中点，∴MN=GN=FN=EN，∴△FNG为等边三角形，即∠FNG=60°，∵NG=NE，∴∠FNG=∠NGE+∠CEF=60°，∴∠CEF=30°，为定值．