复变函数与积分变换复习题去答题
复变函数及积分变换复习题去答题
第一章 一、选择题1. 一个向量顺时针旋转3π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1，则原向量对应的复数是（A ） A. 2B. 1C.i D.i2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -+ B. 34i + C. 34i - D. 34i -- 3.方程23z i +-= C ）A. 中心为23i -的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z-+=的最小值是（A ）A. -3B. -2C. -1D. 1 二、填空题1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。
（椭圆2222153()()22x y +=） 2. 复数22(cos5sin 5)(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（16ieθ）3. 方程2112(1)z ii z--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .5．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.（5/12π-）6. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（43v u =）三、对于映射12()w z z=+，求出圆周4z =的像。
表示平面上的椭圆2222u v +=11715()()22一、选择题1.下列函数中，为解析函数的是（C ）A. 222x y xyi -- B. 2x xyi + C. 222(1)(2)x y i y x x -+-+ D. 33x iy + 2. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -23. 函数2()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 4. 22()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i 5. ii 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2e πD. 2eπ-6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）A. ()f z 在复平面B. ()f z 以为周期C. ()2iz ize ef z --= D. ()f z 是无界7. 设α是复数则（C ）A. z α是在复平面上处处解析B. z α的模为 zαC. z α一般是多值函数 D . z α的幅角为z 的幅角的α倍 二、填空题1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1lim z f z z→-=______________(1+i)2. 3322()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(272748i -)3.复数1i 的模为______________(2(0,1)k e k π-=±)4.方程10ze--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=±)5.i i -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .三、设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+' （2分）四、解方程：sin cos 4z i z i +=一、选择题1. 设C 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()cx iy dz +=⎰（）DA.1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则(1)(1)c zdz z z -+⎰为（）DA.2i π B. 2i π-C. 0D. A,B,C 都有可能二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)2. 积分⎰=1||z zdz z e 的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 .3. 设()2sin2f z d zξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.（0）三、计算26(1)(2)z R zdz z z =-+⎰，其中0 1 R R >≠，，且2R ≠。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
复变函数与积分变换(习题)
1. 设t 是实参数，则下列方程中表示圆周的是（ ）A 、(1)z i t =+B 、cos sin (0,0,)z a t b t a b a b =+>>≠C 、i z t t=+ D 、(0)it z a e b a =+≠2. i i 的辐角主值是（ ）A 、0B 、2π C 、2π- D 、π 3. 设210z z ++=，则1173z z z ++=( )A 、0B 、iC 、i -D 、1 4. 11(1)n i nn ∞=+∑的敛散性为（ ） A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 无法确定5．设C 是任意实常数，那么由调和函数22(,)v x y x xy y =+-确定的解析函数()f z u iv =+是（ ）A 、2122i z C ++B 、2122i z iC ++ C 、222i z C -+ D 、222i z iC -+ 6.(- )A 、无定义 B、等于3 C、是复数，其实部等于3 D、是复数，其模等于37. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，5()C dz z i π=-⎰（ ） A .i 12π B .1 C .0 D .π1. 在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是 .2. 31z =的全部解是： ， ， .3. 复数()1Ln -的主值为 .4. ()()()()20142015201320142013201420152014i i z i i +-=+-，则=z _________ . 5. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，则3(2)C dz z =-⎰________. 6. 级数212!!n z z z n +++++在|z |<1时的和函数是________.7.若221()(1)f z z z =-，则Re [(),0]s f z =________. 1. 3232()m ()f z y nx y i x lxy =+++在全平面解析，求m n l 、、.（7分）2.计算积分arg CI zdz =⎰，其中C ：从原点到1+i 的直线段.（6分） 3. dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）.（6分） 4. 3sin C z dz z ⎰（其中C 为正向圆周|z|=1）.（6分） 5. 求函数(,)2v x y xy =的共轭调和函数(,)u x y 和由它们构成的解析函数()f z ，使(0)1f =.（6分）1. 求函数0()sin f t t ω=的傅里叶变换.2. 在圆环1||z <<∞内将函数1()(1)f z z z =-展为洛朗级数.。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题14
复变函数与积分变换 试题一、填空、判断题（共24分）(a ) 填空 （每空2分）1、，=+8)1(i ， ln （－3 i ）=2、把点z = 1，i ，-1 分别映照成点w = 1，0，-1 的分式线性映照 w = f (z) 把单位圆 |z| < 1 映照成 。
3、4sinz )(z z f =的孤立奇点的类型是 ，奇点处的留数是 。
4、积分dz )z 1cosz e (2|z |z ⎰=-+π= 。
（b ）判断题 （每题3分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 （ ）2．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。
（ ）3、若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数， 则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函（ ） 4．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上f (z) = sin z 有界。
（ ） 二、解答题（ ）1、设 1i 11e r z θ= ， 2i 22e r z θ= 证明： ( a ) |z ||z ||z z |2121= ( b ) 2121z z )z z (=2、设 )pxy x (i y n my )(2323+++=x z f 是解析函数，试确定 m , n , p 的值。
3、将 )z 2)(1(1)(--=z z f 在 0 < | z - 1 | < 1 上展开成罗朗级数。
三、计算题（8分+12分=20分）1、计算⎰+cdz iy x )(2，其中 C 是沿曲线 2x y = 由点 0=z 到点 i z +=12、用两种方法（含留数方法）计算积分⎰-+cz z dz )2)(1(z 的值。
其中 C ：| z | = 3 。
3、求 方程 01z 4=+ 的全部根 4、求把上半平面Im ( z ) >0 ，保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足f （i ）=0，0)i (arg ='f的分式线性映照。
吉林师范成人教育《复变函数与积分变换试题》期末考试复习题及参考答案
吉林师范成人教育期末考试试卷《复变函数与积分变换》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题(每空2分，共16分)1.复数-2是复数________的一个平方根。
2.设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
3.设a>0，则Lna=________。
4.记号Res z=af(z)表示________。
5.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。
6.方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________。
7.设幂级数∑c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则c n =______(n=0,1,…)。
8.cosz 在z=0的幂级数展式为________。
二、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。
每小题2分，共14分)1.lim z 0→e z =∞.( ) 2.设z 0为围线C 内部的一点，则∫c dz z z -0=2πi.( ) 3.若函数f(z)在围线C 上解析，则∫c f(z)dz=0.( )4.z=0是函数124-e z x的4级极点。
( )5.若z 0是f(z)的本性奇点，则z 0是f(z)的孤立奇点。
( )6.若f(z)在|z|≤1上连续，在|z|<1内解析，而在|z|=1上取值为1，则当|z|≤1时f(z)≡1.( )7.若f(z)与f(z)都在区域D 内解析，则f(z)在D 内必为常数。
( )三、完成下列各题(每小题5分，共30分)1.求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。
2.试证：复平面上三点a+bi,0,1-a +bi 共直线。
3.计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。
4.说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。
5.将函数z +1z (z -1)2在圆环1<|z|<+∞内展为罗朗级数。
大学复变函数复习题+答案
《复变函数和积分变换》一．（本题30分，其每小题各3分）1. 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ；2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ，则其收敛半径 ； 6.计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数） ；10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =. （7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数与积分变换复习题(专升本)
《 复变函数与积分变换 》复习题（专升本）一、判断题1、cos z与sin z 在复平面内有界.( ) 2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛.( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( ) 5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz . ( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( ) 10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点. ( )二、选择题 1.arg 13i ( )A.-3π B.3πC.32π D.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy4.0z 是3sin zz的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3D.45.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k6、设复数1cossin33z i ，则arg z（ ）A.-3B.6C.3D.237、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴8、下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为0zB.|sin |1zC.0zeD.3z 的定义域为全平面9、设C 为正向圆周||1z ，sin n Czdz z=2i ，则整数n 为（ ） A.-1 B. 0 C. 1 D. 210、设nn n a z 0n n n b z 和()n n n n a b z 的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A. 1R RB.12min{R ,R }RC. 2R RD.12min{R ,R }R三、填空题1、设11zi，则Im z__________。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本
《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ，则arg z （ ）A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是（ ）。
总复习题(复变)
《复变函数与积分变换》总复习题一、填空1.=+-4)i1i 1( 。
2. 2z 1lim 1+z →∞= 。
3. 已知虚数8z 3=，则=+++22z z z 23 。
4. i 31z 1+-=，i 1z 2+-=，=21z argz 。
5.=+3)i 31( 。
6. 区域就是 。
7.函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充分必要条件是：)y ,x (u 和)y ,x (v 在D 内任一点iy x z +=可微，而且满足柯西—黎曼方程即 。
8. 如果函数)z (f 在0z 及其邻域内处处可导，则称)z (f 在0z 。
9.没有重点的连续曲线C ，称为 曲线（或若尔当曲线）。
10. 复平面加上无穷远点称为 。
11. 若()f z 在0z 不解析，则称0z 为()f z 的 。
12. 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么()f z 沿D 内的任意一条封闭曲线C 的积分()Cf z dz =⎰Ñ 。
13.+=lnz Lnz 。
14. 如果二元实函数)y ,x (ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程0yx 2222=∂∂+∂∂ϕϕ，则称)y ,x (ϕ为区域D 内的 。
15. 复变函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充要条件为：在区域D 内，)z (f 的虚部)y ,x (v 是实部)y ,x (u 的 。
16. 3i2e-的辐角主值为 。
17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。
18. 如果函数)z (f 在单连通域B 内处处解析，那么函数)z (f 沿B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为_____________________。
19. 设函数)z (f 在区域D 内解析，且)z (f 不是常数，则在D 内)z (f 最大值。
20. 在区域D 内解析的函数，若其模在D 的内点达到最大值，则此函数必恒为 。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z⎰，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。
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第一章 一、选择题
1. 一个向量顺时针旋转
3
π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，
对应的复数为1，则原向量对应的复数是（A ） A. 2
B. 1
C.
i D.
i
2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -
+ B. 34i + C. 34
i - D. 34i -- 3.
方程23z i +-= C ）
A. 中心为23i -
B. 中心为23i -+，半径为2的圆周
C. 中心为23i -+
D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+
5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z
-+=的最小值是（A ）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 1 二、填空题
1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。
（椭圆
22
22153()()22
x y +=） 2. 复数
2
2
(cos5sin5)
(cos3sin3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（
16i
e
θ）
3. 方程
2112(1)z i
i z
--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）
4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴
为25
的椭圆，该图形是否为区域 否 .
5．复数
(
)
i i z --=
11
32
的模为_________，辐角为____________.
（5/12π-
）
6. 曲线()2z i t =+在映射2
w z =下的象曲线为____________.（
43v u =
）
三、对于映射12()w z z
=+，求出圆周4z =的像。
表示平面上的椭圆
22
22u v +=11715()()22
一、选择题
1.下列函数中，为解析函数的是（C ）
A. 222x y xyi --
B. 2x xyi +
C. 222(1)(2)x y i y x x -+-+
D. 33x iy + 2. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
3. 函数2()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在
4. 22()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i
5. i
i 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2
e π
D. 2
e
π-
6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）
A. ()f z 在复平面
B. ()f z 以为周期
C. ()2
iz iz
e e
f z --= D. ()f z 是无界
7. 设α是复数则（C ）
A. z α是在复平面上处处解析
B. z α
的模为 z
α
C. z α
一般是多值函数 D . z α
的幅角为z 的幅角的α倍 二、填空题
1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1
lim z f z z
→-=______________(1+i)
2. 3322
()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(
272748
i -) 3.复数1i
的模为______________(2(0,1)k e k π
-=± )
4.方程10z e
--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=± )
5.
i
i -+1)1(的值为
,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224
±=-+-+k i e
k π
ππ
π
；
主值为)]
2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-π
ππ
i e .
三、设i y x y x z f 2
2
3
3
2)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出
)1(16
27
)4343()4
3,43()4
3
,43(i x
v i
x
u i f +=
∂∂+∂∂=+' （2分）
四、解方程：sin cos 4z i z i +=
一、选择题
1. 设C 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()c
x iy dz +=⎰
（）D
A.
1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566
i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则
(1)(1)c z
dz z z -+⎰为（）D
A.
2i π B. 2
i π
- C. 0 D. A,B,C 都有可能 二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)
2. 积分⎰=1||z z
dz z e 的值为i π2，⎰==
-2||2)2
(sin z dz z z
π 0 .
3. 设
()2
sin
2f z d z
ξ
π
ξ
ξξ==-⎰ ，其中2z ≠，则()1f '=_______.（0）
三、计算
26(1)(2)z R z
dz z z =-+⎰ ，其中0 1 R R >≠，
，且2R ≠。
当0<R<1，积分值＝0
当1<R<2，积分值＝8i π 当R>2，积分值＝0
四、
⎰
=
-++=321
73)(ξξ
ξξξd z z f ，求).1(i f +'
)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ
（1分）
五、验证
()22
,22v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数()f z u iv =+满足条件()2f i i =-.
)22()14()(22x y x i y xy z f +-++--= （10分）
六. 设
,sin y e v px
=求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=+=++=--1,)sin (cos 1,)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f z
x
z
x （2分）
1. 设0()()f t t t δ=-，则f(t)的傅氏变换为（D ）
A. 1
B. 2π
C. 0jwt e
D. 0jwt
e -
2. 设0()cos f t w t =，则f(t)的傅氏变换为（A ） A. 00[()()]w w w w πδδ++- B. 00[()()]w w w w πδδ+--
C.
00[()()]j w w w w πδδ+-- D. 00[()()]j w w w w πδδ++-
3. 设()sin()3
f t t π
=-
，则f(t)的拉氏变换为（A ）
A. 212(1)s -+
B. 2
2(1)
s s + C. 3
21(1)s e s π-+ D. 32(1)s s e s π-+ 5.
设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F ,
则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21t f t f F F ⋅其中)()(21t f t f *定
义
为
⎰
∞+∞
--τ
ττd t f f )()(21.
6. 已知
()()()()12,,t
f t e u t f t tu t ==则它们的卷积()()12f t f t *=____________. （1t
t e --+）
4. 利用 ()
[
]()s f t F s ds t
∞=⎰
已知sin ()kt
f t t
=，求()F s
6. 用Laplace 变换求解常微分方程：
⎩⎨
⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y
故 1)]([)(1+==-t
e S Y t y L
7. 用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程2t
y y e
''''+=满足初始条件
()()()0000y y y '''===的解.
t t e t sin 51
cos 52101212-++-
=。