12章变化的电磁场(2)解读
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z A r v C D dV B
时位置(定为坐标原点）r 处的 磁感应强度仍是
0 ev sin( ) B 2 4 r 0 ev sin 2 4 r
x
O y
设电子沿z轴运动，为简便计，改用如图所示的球面坐标。 则离电子瞬时位置r 处的体积元dV为
dV AC CD AB r sin drd d
d d E E E E dS t 时刻有 E dt S dt dD S q DS d D D D E D D dS S dt I d D dq i dt d
假设：电容器内存在一种类似电流的物理量
2 1 1
3.耦合系数
例2：计算同轴螺旋管的互感
两个共轴螺旋管长为 l，匝数 分别为N1 、N2，管内充满磁 导率为 的磁介质 线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通链数
N1
l
N2
B1 n1I1
由互感定义
I1 l 同理可求出： M 12 12 N 2 N1S n2 n1V I2 l
2
例1 一根很长的同轴电缆（如图）由半径为R1 的圆柱体与 内半径为R2 的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体上载有稳 定电流I，再经外层导体返回形成闭合回路。试计算（1）长 为l 的一段电缆内的磁场中所储藏的能量；（2）该段电缆的 自感。
解 由安培环 路定理得，在 内外导体间的 区间离轴线距 离为r处的磁感 应强度为
0 I 0 I l dr dWm wm dV 2 2 2 rdrl 8 r 4 r
2 2
对上式积分可得储藏在内外导体间空间内的总磁能
0 I l dr 0 I l R2 Wm wm dV ln R1 r 4 4 R1 V
2 R2 2
（2）由磁能公式 可求得长为 l=1 的同轴电缆的自感为
R1
r
dr
0 I B 2 r
R2
在电缆外面，B=0，在内外导体的内部也都存在磁场，同样 可由安培环路定理求得。适当选择电缆尺寸，使绝大部分 磁能储藏在两个导体之间的空间内，则此空间中离轴线距 离为r处的磁能密度为
0 I 1B wm 2 2 2 0 8 r
2 2
在半径为r与r+dr,长为l 的圆柱壳空间之内的磁能
H dl I
1 2
H dl 0
1 2 两式左端相等，右端不等，出现矛盾麦氏认为2 右端虽无传导电流，但有变化电场 注意到:
dq d ( s) d ( Ds) d D I dt dt dt dt
定义:
d D I位 dt
思考之一：场客观存在 环流值必须唯一 思考之二：定理应该普适 起着电流的作用, 可以产生磁场, 应是电流的量纲.
P0
dD dE 0 dt dt
3.全电流定律
D L H dl S J 0 dS S t dS
传导电流 面密度 位移电流 面密度
S是以L为边界的任意面 电流的概念就产生磁场而论
传导, 位移 ,束缚电流.
B的安培环路定理:
2
由图可知，式中
AC rd
CD r sin d
2
AB dr
在该体积元中的磁能为
1B 2 dwm r sin drd d 2 0
对上述除电子本身体积的全部空间积分，便可求得运动电子 周围空间的总磁能为
0 1 Wm BHdV 2 V 2
ev sin 2 2 ( ) r sindrdd 2 4r V
i和磁通链数 来
求自感系数的求解步骤: 1.设线圈中通有 电流I .
总匝数N
2.由此计算回路的磁通量
B dS
3.
N L I
２..互感应 互感 1 当线圈 1中的电流变化时,所 激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动 势;这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。
B d l I I 0 0 全电流 束缚电流
L i
H
B
0
M
i
则普遍形式的安培环路定律
d H dl I 传 dt
位移电流，传导电流的比较
I 位
激发 存在空间 热效应 变化电场 真空，介质，导体 不满足焦尔定律
I
k
自 感 磁 能
同理自感为 L 的线圈,通有电流 I 所储存的磁能 应该等于这电流消失时自感电动势所做的功.
AL L idt
o
I
1 2 Li di LI WL 2
２. 互感磁能
先使线圈1电流从0 到 I1 ,电源 1 做功，储存为线圈1的自感磁能
N1
N2
线圈2的电流从0到 I2 ,电源 2 做功，储存为线圈2的自感磁能
1 2 W2 L2 I 2 2
经过上述步骤电流分别为I1 和 I2的状态，储存在磁场中的 总磁能：
1 2 1 2 Wm W1 W2 W12 L1I1 L2 I 2 M 12 I1I 2 2 2
同理，先合开关 k2使线圈 2充电至 I2 ，然后再合 开关k1保持 I2 不变，给线圈 1 充电，得到储存在 磁场中的总能量为：
2 0 2 2 1 3 ＝ e v 2 dr sin d d 2 R r 0 0 32 0 2 2 1 1 2 2 e v cos sin 2 0 r 3 32 2 R 0
0 2 2 1 4 0 e2 2 e v 2 v 2 32 12 R R 3
利用相似的步骤也可求出运动电子周围空间的总电 场能，由于v <<c ，电场能要比磁场能大的多。
§12-5 位移电流
1.位移电流引入
考察电容充电回路
S1面 S2面
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 1 2 Wm ' W2 W1 W21 L2 I 2 L1I1 M 21I 2 I1 2 2 这两种通电方式的最后状态相同，所以 Wm Wm '
M12 M 21 M
称MI1 I2 为互感磁能 M为互感系数
磁场的能量密度 前面得到螺绕环的自感 磁能:
M n1n2V
以上是无漏磁情况下推导的，即彼此磁场完全穿过。 当有漏磁时:
M k L1L2
耦合系数 0 k 1与线圈的相对位置有关。
互感系数的求解步骤:
1.设线圈1中通有 I1 . (线圈1中 不便计算)
2.由此计算线圈2 的 21
3.
作业6
M=N2φ21/I1
1
2
I I 0 sin t
第 16 章 变化的电磁场
§12-3 自感和互感 １.自感应 自感 当线圈中电流变化时，它所 激发的磁场通过线圈自身的 磁通量也在变化，使线圈自 身产生感应电动势，叫自感 现象.该电动势叫自感电动势. 全磁通与回路的电流成正比：
i
N
Li
Li
称 L为自感系数,简称自感或电感。
dt
dt
定义
通过某个面积的位移电流, 就是通过该面积的电 位移通量对时间的变化率
d D Id dt
dD Jd dt
位移电流的面密度
D dS H dl J 0 t L S
电流概念的推广: 仅仅从产生磁场的能力上定义－－仅此而已
1
12
2
12 N112 M12i2
di2 12 M 12 dt
后面将从能量观点证明 两个给定的线圈有：
i2
M 21 M12 M
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
它的单位：亨利（H）
V s 1H 1 1.s A
例1：计算同轴电缆单位长度的自感 根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间 磁场为零。两圆筒间磁场为
2
21
i1
21 N 2 21 M 21i1
互感电动势与线圈电流变化快慢有关；与两个线圈 结构以及它们之间的相对位置和磁介质的分布有关。
线圈 1所激发的磁场通过 线圈 2的磁通链数 互感电动势
当M 常量
di1 21 M 21 dt
线圈2所激发的磁场通过 线圈1的磁通链数和互感 电动势为
§12-4 磁场的能量
１. 自感磁能:
电容器充电以后储存了能量， 当极板电压为V 时储能为：
同样考虑线圈，当它通有电流时， 在其周围建立了磁场，所储存的 磁能等于建立磁场过程中，电源 反抗自感电动势所做的功。 功能原理
1 2 WC CV 2
di 1 2 AL L dq L idt LI WL 0 dt 2
L n V
2
B
R2
B2 V 所以得螺绕环内的磁场能量: Wm 2
定义磁场的能量密度: 磁场所储存的总能量:
B nI
1 2 1 2 2 Wm LI n VI 2 2
R1
B 1 wm BH 2 2 H B Wm wm dV dV 2
1 W1 L1 I12 2
合上开关k2电流 i2 增大时, 在回路1中的互感电动势： 12
k2 2
di2 M 12 dt
1
k1
线圈1的电源维持 I1， 反抗互感电动势的功,转化为 I2 磁场的能量
o
W12 12 I1 dt M12 I1di2 M12 I1I 2
1 2 Wm LI 2
2Wm 0l R2 L＝ 2 ln I 2 R1
所得的结果和例题完全相同
例题2. 设电子是一个半径为R的小球，并假定电荷均匀分 布与其表面。当电子以速度v (v <<c)运动时，当电子周围 无限大的空间内建立电磁场。试计算电磁场中的总磁能。 解 因为v<<c ，所以离电子瞬
M 21
N1 21 I1SN 2 l 21 N1 N 2 S
n1n2V
M M 21 M12
同理可求出每个线圈的自感：
1 N1 I1 N1S 2 L1 n1 V I1 lI 1 M L1L2 2 N 2 I 2 N 2 S 2 L2 n2V I2 lI 2
b
求无限长直导 线中的感应电 动势
h
问题： 1.将2、3端相连接，L=? 设通以电流I，则
L1
L2
S
1 2 3 4
L1 I L2 I 2 MI
L , M L1 L2 I
L L1 L2 2 L1 L2
2.将2、4端相连接，L=?
L1
S
1
2
L2
3
4
L L1 L2 2 L1 L2
单位：亨利(H)
物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通过线圈自身 的磁通链数，等于该线圈的自感系数。
由电磁感应定律，自感电动势
d di L L dt dt
自感电动势的方向总是要使 它阻碍回路本身电流的变化。
电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈 中产生的感应电动势等于该线圈的自感系数。 所以说，自感 L有维持原电路状态的能力， L就是这种能力大小的量度，它表征回路 电磁惯性的大小。 实验上，常用测电流强度 计算自感系数 L 。
r
R2 R1
I B 2r
R1 r R2
I
I
l
考虑 l长电缆通过面元 ldr 的磁通量为
I 该面积的磁通链 d B dr l ldr 2r R I Il R2 o r LI ldr ln R 2r 2 R R2 ln 电缆单位长度的自感: L lI 2 R1
其它方面均表现出不同:
如在真空中位移电流不伴有电荷的任何运动所以谈不上产生焦耳热
2.位移电流的本质之认识
dl dP d nql nq dt dt dt
若真空
dE dt
D 0 E P dD 0 dE dP dt dt dt
对应着感生磁场, 完善麦的假设 . 改变电偶极矩
时位置(定为坐标原点）r 处的 磁感应强度仍是
0 ev sin( ) B 2 4 r 0 ev sin 2 4 r
x
O y
设电子沿z轴运动，为简便计，改用如图所示的球面坐标。 则离电子瞬时位置r 处的体积元dV为
dV AC CD AB r sin drd d
d d E E E E dS t 时刻有 E dt S dt dD S q DS d D D D E D D dS S dt I d D dq i dt d
假设：电容器内存在一种类似电流的物理量
2 1 1
3.耦合系数
例2：计算同轴螺旋管的互感
两个共轴螺旋管长为 l，匝数 分别为N1 、N2，管内充满磁 导率为 的磁介质 线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通链数
N1
l
N2
B1 n1I1
由互感定义
I1 l 同理可求出： M 12 12 N 2 N1S n2 n1V I2 l
2
例1 一根很长的同轴电缆（如图）由半径为R1 的圆柱体与 内半径为R2 的同心圆柱壳组成，电缆中央的导体上载有稳 定电流I，再经外层导体返回形成闭合回路。试计算（1）长 为l 的一段电缆内的磁场中所储藏的能量；（2）该段电缆的 自感。
解 由安培环 路定理得，在 内外导体间的 区间离轴线距 离为r处的磁感 应强度为
0 I 0 I l dr dWm wm dV 2 2 2 rdrl 8 r 4 r
2 2
对上式积分可得储藏在内外导体间空间内的总磁能
0 I l dr 0 I l R2 Wm wm dV ln R1 r 4 4 R1 V
2 R2 2
（2）由磁能公式 可求得长为 l=1 的同轴电缆的自感为
R1
r
dr
0 I B 2 r
R2
在电缆外面，B=0，在内外导体的内部也都存在磁场，同样 可由安培环路定理求得。适当选择电缆尺寸，使绝大部分 磁能储藏在两个导体之间的空间内，则此空间中离轴线距 离为r处的磁能密度为
0 I 1B wm 2 2 2 0 8 r
2 2
在半径为r与r+dr,长为l 的圆柱壳空间之内的磁能
H dl I
1 2
H dl 0
1 2 两式左端相等，右端不等，出现矛盾麦氏认为2 右端虽无传导电流，但有变化电场 注意到:
dq d ( s) d ( Ds) d D I dt dt dt dt
定义:
d D I位 dt
思考之一：场客观存在 环流值必须唯一 思考之二：定理应该普适 起着电流的作用, 可以产生磁场, 应是电流的量纲.
P0
dD dE 0 dt dt
3.全电流定律
D L H dl S J 0 dS S t dS
传导电流 面密度 位移电流 面密度
S是以L为边界的任意面 电流的概念就产生磁场而论
传导, 位移 ,束缚电流.
B的安培环路定理:
2
由图可知，式中
AC rd
CD r sin d
2
AB dr
在该体积元中的磁能为
1B 2 dwm r sin drd d 2 0
对上述除电子本身体积的全部空间积分，便可求得运动电子 周围空间的总磁能为
0 1 Wm BHdV 2 V 2
ev sin 2 2 ( ) r sindrdd 2 4r V
i和磁通链数 来
求自感系数的求解步骤: 1.设线圈中通有 电流I .
总匝数N
2.由此计算回路的磁通量
B dS
3.
N L I
２..互感应 互感 1 当线圈 1中的电流变化时,所 激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动 势;这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。
B d l I I 0 0 全电流 束缚电流
L i
H
B
0
M
i
则普遍形式的安培环路定律
d H dl I 传 dt
位移电流，传导电流的比较
I 位
激发 存在空间 热效应 变化电场 真空，介质，导体 不满足焦尔定律
I
k
自 感 磁 能
同理自感为 L 的线圈,通有电流 I 所储存的磁能 应该等于这电流消失时自感电动势所做的功.
AL L idt
o
I
1 2 Li di LI WL 2
２. 互感磁能
先使线圈1电流从0 到 I1 ,电源 1 做功，储存为线圈1的自感磁能
N1
N2
线圈2的电流从0到 I2 ,电源 2 做功，储存为线圈2的自感磁能
1 2 W2 L2 I 2 2
经过上述步骤电流分别为I1 和 I2的状态，储存在磁场中的 总磁能：
1 2 1 2 Wm W1 W2 W12 L1I1 L2 I 2 M 12 I1I 2 2 2
同理，先合开关 k2使线圈 2充电至 I2 ，然后再合 开关k1保持 I2 不变，给线圈 1 充电，得到储存在 磁场中的总能量为：
2 0 2 2 1 3 ＝ e v 2 dr sin d d 2 R r 0 0 32 0 2 2 1 1 2 2 e v cos sin 2 0 r 3 32 2 R 0
0 2 2 1 4 0 e2 2 e v 2 v 2 32 12 R R 3
利用相似的步骤也可求出运动电子周围空间的总电 场能，由于v <<c ，电场能要比磁场能大的多。
§12-5 位移电流
1.位移电流引入
考察电容充电回路
S1面 S2面
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 1 2 Wm ' W2 W1 W21 L2 I 2 L1I1 M 21I 2 I1 2 2 这两种通电方式的最后状态相同，所以 Wm Wm '
M12 M 21 M
称MI1 I2 为互感磁能 M为互感系数
磁场的能量密度 前面得到螺绕环的自感 磁能:
M n1n2V
以上是无漏磁情况下推导的，即彼此磁场完全穿过。 当有漏磁时:
M k L1L2
耦合系数 0 k 1与线圈的相对位置有关。
互感系数的求解步骤:
1.设线圈1中通有 I1 . (线圈1中 不便计算)
2.由此计算线圈2 的 21
3.
作业6
M=N2φ21/I1
1
2
I I 0 sin t
第 16 章 变化的电磁场
§12-3 自感和互感 １.自感应 自感 当线圈中电流变化时，它所 激发的磁场通过线圈自身的 磁通量也在变化，使线圈自 身产生感应电动势，叫自感 现象.该电动势叫自感电动势. 全磁通与回路的电流成正比：
i
N
Li
Li
称 L为自感系数,简称自感或电感。
dt
dt
定义
通过某个面积的位移电流, 就是通过该面积的电 位移通量对时间的变化率
d D Id dt
dD Jd dt
位移电流的面密度
D dS H dl J 0 t L S
电流概念的推广: 仅仅从产生磁场的能力上定义－－仅此而已
1
12
2
12 N112 M12i2
di2 12 M 12 dt
后面将从能量观点证明 两个给定的线圈有：
i2
M 21 M12 M
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
它的单位：亨利（H）
V s 1H 1 1.s A
例1：计算同轴电缆单位长度的自感 根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间 磁场为零。两圆筒间磁场为
2
21
i1
21 N 2 21 M 21i1
互感电动势与线圈电流变化快慢有关；与两个线圈 结构以及它们之间的相对位置和磁介质的分布有关。
线圈 1所激发的磁场通过 线圈 2的磁通链数 互感电动势
当M 常量
di1 21 M 21 dt
线圈2所激发的磁场通过 线圈1的磁通链数和互感 电动势为
§12-4 磁场的能量
１. 自感磁能:
电容器充电以后储存了能量， 当极板电压为V 时储能为：
同样考虑线圈，当它通有电流时， 在其周围建立了磁场，所储存的 磁能等于建立磁场过程中，电源 反抗自感电动势所做的功。 功能原理
1 2 WC CV 2
di 1 2 AL L dq L idt LI WL 0 dt 2
L n V
2
B
R2
B2 V 所以得螺绕环内的磁场能量: Wm 2
定义磁场的能量密度: 磁场所储存的总能量:
B nI
1 2 1 2 2 Wm LI n VI 2 2
R1
B 1 wm BH 2 2 H B Wm wm dV dV 2
1 W1 L1 I12 2
合上开关k2电流 i2 增大时, 在回路1中的互感电动势： 12
k2 2
di2 M 12 dt
1
k1
线圈1的电源维持 I1， 反抗互感电动势的功,转化为 I2 磁场的能量
o
W12 12 I1 dt M12 I1di2 M12 I1I 2
1 2 Wm LI 2
2Wm 0l R2 L＝ 2 ln I 2 R1
所得的结果和例题完全相同
例题2. 设电子是一个半径为R的小球，并假定电荷均匀分 布与其表面。当电子以速度v (v <<c)运动时，当电子周围 无限大的空间内建立电磁场。试计算电磁场中的总磁能。 解 因为v<<c ，所以离电子瞬
M 21
N1 21 I1SN 2 l 21 N1 N 2 S
n1n2V
M M 21 M12
同理可求出每个线圈的自感：
1 N1 I1 N1S 2 L1 n1 V I1 lI 1 M L1L2 2 N 2 I 2 N 2 S 2 L2 n2V I2 lI 2
b
求无限长直导 线中的感应电 动势
h
问题： 1.将2、3端相连接，L=? 设通以电流I，则
L1
L2
S
1 2 3 4
L1 I L2 I 2 MI
L , M L1 L2 I
L L1 L2 2 L1 L2
2.将2、4端相连接，L=?
L1
S
1
2
L2
3
4
L L1 L2 2 L1 L2
单位：亨利(H)
物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通过线圈自身 的磁通链数，等于该线圈的自感系数。
由电磁感应定律，自感电动势
d di L L dt dt
自感电动势的方向总是要使 它阻碍回路本身电流的变化。
电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈 中产生的感应电动势等于该线圈的自感系数。 所以说，自感 L有维持原电路状态的能力， L就是这种能力大小的量度，它表征回路 电磁惯性的大小。 实验上，常用测电流强度 计算自感系数 L 。
r
R2 R1
I B 2r
R1 r R2
I
I
l
考虑 l长电缆通过面元 ldr 的磁通量为
I 该面积的磁通链 d B dr l ldr 2r R I Il R2 o r LI ldr ln R 2r 2 R R2 ln 电缆单位长度的自感: L lI 2 R1
其它方面均表现出不同:
如在真空中位移电流不伴有电荷的任何运动所以谈不上产生焦耳热
2.位移电流的本质之认识
dl dP d nql nq dt dt dt
若真空
dE dt
D 0 E P dD 0 dE dP dt dt dt
对应着感生磁场, 完善麦的假设 . 改变电偶极矩