最新-江苏省南通中学高二下学期期中考试——数学(理)
江苏省南通中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷(含答案和解析)
江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限、2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()A.第一枚为5点，第二枚为1点B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点C.第一枚为6点，第二枚为1点D.第一枚为4点，第二枚为1点3.若函数xx x f 1)(2+=,则()=-'1f （）3A.-1B.1C.-3D.4.已知*∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（）79100 A.nA -80100 B.nA -nnA --21100 C.nA -21100D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内极小值点个数为()1 A.2 B.3 C.4D.28515 A.C C 28915 B.C C 285390 C.C C -385390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为()41A.31B.32C.43D.8.若函数bx x x x f -+=221ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)(2, A.+∞,2)2( B.-),2()2,( C.+∞⋃--∞)2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 8183>-，则m 的取值可能是（）A.6B.7C.8D.910.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2B.z 的虚部是i2 C.iz 21-= D.5=z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是21，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为61 B.2个球不都是红球的概率为31C.至少有1个红球的概率为32D.2个球中恰有1个红球的概率为216.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）A.()()2112x f x x f x <B.()()2211x f x x f x +<+C.()()02121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数为_______.14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．16.已知函数2(2)2,1,(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．18.已知二项式(2()n x n N+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）计算式子061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[2-，4]的最值．21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·思南期中) 已知集合A={（x，y）|y=2x﹣3}，B={（x，y）|y=m}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是（）A . m＜3B . m≤3C . m≤﹣3D . m＜﹣32. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知 =1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A . 3B . 2C . 5D .3. （2分）已知数列{an}（n=1，2，3，4，5）满足a1=a5=0，且当2≤k≤5时，（ak﹣ak﹣1）2=1，令S=，则S不可能的值是（）A . 4B . 0C . 1D . -44. （2分）如图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（）A . 3B .C . 4D .5. （2分） (2019高二上·集宁月考) 已知数列满足，则（）A .B . 5C .D .6. （2分）(2017·山东) 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·六安月考) 若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·云南期末) 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A . 再向左平行移动个单位长度B . 再向右平行移动个单位长度C . 再向右平行移动个单位长度D . 再向左平行移动个单位长度9. （2分）若椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A . 2B . 4C . 6D . 810. （2分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A . 32B . -32C . 0D . 111. （2分）(2017·山东模拟) 如果，，那么等于（）A . ﹣18B . ﹣6C . 0D . 1812. （2分）已知数列{an}满足a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]an+2﹣2an+2[（﹣1）n﹣1]=0，0∈N* ，记T2n为数列{an}的前2n项和，数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为（）A . 7B . 6C . 5D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·沙坪坝期中) 若（x﹣a）dx= ，则a=________．14. （1分） (2016高二下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为________．15. （1分）(2017·佛山模拟) 所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22 ， 28=22+23+24 ，…，按此规律，8128可表示为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为________.三、解答题 (共5题；共30分)17. （5分） (2018高三上·重庆期末) 在△ABC中，角 A ， B ， C所对的边分别为，且（I）求A；（II）若，△ABC的面积为，求的值。
【名校名卷】南通中学2022—2022学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷
江苏省南通中学2022—2022学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1．i 是虚数单位，i(1i)+的实部是 ▲ ．2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为： ▲ ． 3．已知平面α的法向量(1,2,2)=-n ，则=n ▲ ． 4．i 是虚数单位，复数22i i+= ▲ ． 5．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 ▲ ．6．反证法基本证明模式是：要证明M N >，先假设 ▲ ，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M N >． 7．设1111()123431f n n =++++⋅⋅⋅+-*()n ∈N ，则(1)()f k f k +-= ▲ ．8．“2x <”是“260x x --<”成立的 ▲ 条件．填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个9．已知向量a ＝1，1，0，b ＝－1，0，2，且a ＋b 与2a ＋b 互相垂直，则= ▲ ．10．已知命题p :x ∃∈R ，220x ax a ++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是▲ ．11．复数i1i+在复平面中所对应的点到原点的距离为 ▲ ．12．213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……，根据以上式子可以猜想：2112+221132017++⋅⋅⋅+< ▲ ．13．已知空间四点A －2，3，1，B 2，－5，3，C 10，0，10和D 8，4，9，则四点构成四边形形状是 ▲ ． 14．已知数列{}n a 满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-()2,n n +∈N ≥，请你运用归纳猜想法，得出数列的通项公式n a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）实数m 分别取什么数值时，复数22(56)(215)i z m m m m =+++--（i 是虚数单位），（1）与复数212i -相等； （2）与复数1216i +互为共轭．16．（本小题满分14分）已知p ：128x <<；q ：不等式240x mx -+≥恒成立，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围17．（本小题满分15分）已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线B D ''上，60HDA ∠=︒． （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面AA D D ''所成角的大小．D 'C 'B 'A'HD CBA18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足2*1111()22n n n a a na n +=-+∈N ，且13a =．（1）计算出2a 、3a 、4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．19．（本小题满分16分）由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ，()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），将动点(,)P x y 所满足的条件由加法运算类比到乘法运算（如1233x y -≤≤类比为2313x y≤≤），试写出类比后(,)P x y 所满足的条件，并求5xz y =的最大值．（图1）（图2）20．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)f x x ，()()g x kx k =∈R ． （1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有5 2O36912 AB CD Et()P t 6 5 O412 GRHt()Q t()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0,)x t ∈恒有2()()f x g x x -<．江苏省南通中学2022-2022学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）试卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．1．i 是虚数单位，i(1i)+的实部是 ▲ ．答案：1-2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为： ▲ ． 答案：x ∃∈R ，sin 1x >3．已知平面α的法向量(1,2,2)=-n ，则=n ▲ ． 答案：34．i 是虚数单位，复数22i i+= ▲ ． 答案：2i -+5．命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 ▲ ． 答案：若11x x -≥，或≤，则21x ≥6．反证法基本证明模式是：要证明M N >，先假设 ▲ ，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M N >． 答案：M N ≤7．设1111()123431f n n =++++⋅⋅⋅+-*()n ∈N ，则(1)()f k f k +-= ▲ ．答案：11133132k k k ++++ 8．“2x <”是“260x x --<”成立的 ▲ 条件．填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个 答案：充分不必要9．已知向量a ＝1，1，0，b ＝－1，0，2，且a ＋b 与2a ＋b 互相垂直，则= ▲ ．答案：－110．已知命题p :x ∃∈R ，220x ax a ++≤．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是▲ ． 答案：()0,1 11．复数i1i+在复平面中所对应的点到原点的距离为 ▲ ．12．213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……，根据以上式子可以猜想：2112+221132017++⋅⋅⋅+< ▲ ．答案：4033201713．已知空间四点A －2，3，1，B 2，－5，3，C 10，0，10和D 8，4，9，则四点构成四边形形状是 ▲ ．答案：梯形14．已知数列{}n a 满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-()2,n n +∈N ≥，请你运用归纳猜想法，得出数列的通项公式n a = ▲ ．答案：331nn n n a ⋅=-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）实数m 分别取什么数值时，复数22(56)(215)i z m m m m =+++--（i 是虚数单位），（1）与复数212i -相等； （2）与复数1216i +互为共轭．解析：（1）根据复数相等的充要条件得 -----------5分解之得m ＝－分 （2）根据共轭复数的定义得 --------------12分解得m ＝分 16．（本小题满分14分）已知p ：128x <<；q ：不等式240x mx -+≥恒成立，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围 解析：:p 128x <<,即30<<x ,……3分p 是q 的充分条件，∴不等式240x mx -+≥对()3,0∈∀x 恒成立,……7分x x x x m 442+=+≤∴对()3,0∈∀x 恒成立, (10)分44x x +≥,当且仅当2x =时,等号成立……13分4≤∴m ……14分17．（本小题满分15分）已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线B D ''上，60HDA ∠=︒． （1）求DH 与CC '所成角的大小；（2）求DH 与平面AA D D ''所成角的大小．D 'C 'B 'A'HD CBA解析：以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．设(1)(0)H m m m >，，则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，可得2m =．解得m =， 所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）因为00112cos 2DH CC ++⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，．即DH 与CC '所成的角为45． （2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为011012cos 2DH DC ++⨯<>==，，所以60DH DC <>=，．可得DH 与平面AA D D ''所成的角为30． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足2*1111()22n n n a a na n +=-+∈N ，且13a =．（1）计算出2a 、3a 、4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．证明：（1）24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ． （2）①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．19．（本小题满分16分）由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ，()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），将动点(,)P x y 所满足的条件由加法运算类比到乘法运算（如1233x y -≤≤类比为2313x y≤≤），试写出类比后(,)P x y 所满足的条件，并求5x z y =的最大值．（图1）（图2）解析：1503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤．21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+（36)t <≤ '23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =．∴6月份销售额最大为34500元．2⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x 类比到乘法有：已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由=xy A·B⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ， ∴253431211≤≤z ，则ma=．20．（本小题满分16分）已知函数()ln(1)f x x ，()()g x kx k =∈R ．5 2O36912 AB CD Et()P t 65 O412 GRHt()Q t（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0,)x t ∈恒有2()()f x g x x -<．．【解析】3当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k ，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,解法二：（1）（2）同解法一（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x ，令2(k1),01x x x k 解得，从而得到当1k 时，(0,1)x k 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在当1k 时，取11k+1=12k k k ，从而]。
2022-2023学年江苏省南通市高二年级下册学期期中考试 数学【含答案】
江苏省南通市2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学一、单选题1．109876⨯⨯⨯⨯可以表示为A ．410A B ．510A C ．4!C D ．510C 2．已知集合N M ,均为R 的子集，且∅=N M C )(R ，则=N M A ．空集B ．M C ．N D ．R 3．如图，平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且=∠AD A 1=∠AB A 1,6021=AA ，则线段1AC 的长为A ．6B ．10C ．11D ．324．若a x =是函数)1()()(2--=x a x x f 的极大值点，则a 的取值范围是A ．1<a B ．1≤a C ．1>a D ．1≥a 5．投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表；甲种股票收益分布列乙种股票收益分布列收益1-02收益012概率1.03.00.6概率0.20.50.3则下列说法正确的是A ．投资甲种股票期望收益大B ．投资乙种股票期望收益大C ．投资甲种股票的风险更高D ．投资乙种股票的风险更高6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有A ．72种B ．54种C ．36种D ．27种7．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 的中点，点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为A ．552B ．55C ．105D ．51038．托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：∑==nj jji i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()(，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中)()(1jjnj A B P A P ∑=称为B 的全概率，假设甲袋中有3个自球和3个红球，乙袋中有2个自球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中佳取2个球，已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为A ．135B ．7516C ．83D ．53二、多选题9．已知iiz 43-=，则下列说法中正确的是A ．z 的实部为4B ．z 在复平面上对应的点在第三条象限C ．25=⋅z zD ．25||=z 10．随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的有A ．每次出现正面向上的概率为0.5B ．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25C ．出现n 次正面向上的概率为10105.0nC D ．出现n 次正面向上的概率为nn C 5.01011．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是对角线1BD 上异于B ，1D 的动点，则A ．当P 是1BD 的中点时，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为33B ．当P 是1BD 的中点时，P C B A ，，，1四点共面C ．当//AP 平面D AC .1时，131BD BP =D ．当//AP 平面D C A 11时，1BD AP ⊥12．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的%40，%60，各自产品中的次品率分别为%6，%5.记“任取一个零件为第i 台车床加工)2,1(=i ”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则A ．054.0)(=B P B ．03.0)(2=B A P C ．06.0)|(1=A B P D ．95)|(2=B A P 三、填空题13．已知:P “00200<+-∈∃a x x R x ，”为真命题，则实数a 的取值范围为.14．如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．15．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点M 在线段1CC 上，且CMMC 21=点P 在平面1111D C B A 上，且⊥AP 平面1MBD ，则线段AP 的长为16．若函数x x x f ln )(2=，xxe x g 2)(=，则)(x f 的最小值为；若0,>b a ，且)()(b g a f =，则b a 2-的最小值为.四、解答题17．在条件①无理项的系数和为364-，②3x 的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为2:5中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题；在)(21*N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中.（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.A DB C18．某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如表所示：广告费x 64825销售额y5040703060（1）求销售额y 关于广告费x 的线性回归方程；（2）预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元.回归方程a bx y +=中斜率和截距的最小：乘估计公式分别为：⋅-=-=---=∑∑∑∑===⇒x b y a xn x yx n yx x xy y x xb in t ni i i ini ii ,)())((22112119．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机插驭了100位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的73，在回答“不满意”的人中，女生人数占51.（1）请根据以上信息填写下面22⨯列联表，并依据小概率值001.0=α的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关？满意不满憨合计男生女生合计附：α0.10.050.010.0050.0010x 2.706 3.841 6.6357.87910.828参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ，其中dc b a n +++=①为了解增加体育锻炼时长盾体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低子60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著，已知这100名学生的测试成绩服从正态分布)25,70(N ，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著．附：若),(~2σμN X ，则6827.0)(≈+≤≤-σμσμX P ，9545.0)22(≈+≤≤-σμσμX P 9973.0)33(≈+≤≤-σμσμX P .20．某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了B A ，两种投篮方案。
江苏省南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题(含简单答案)
南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中，正确的命题有（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量服从正态分布N（0，1），若,则；④回归直线一定过样本点的中心A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）若则（）A .B .C .D .3. （2分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1 ， D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1 ，过EH的平面与棱BB1 ， CC1相交，交点分别为F，G．设AB=2AA1=2a．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1 ， BB1上运动且满足EF=a时，则P的最小值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2014·广东理) 已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A . 200，20B . 100，20C . 200，10D . 100，105. （2分） (2016高二下·宜春期中) 某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A . 120B . 98C . 63D . 566. （2分） (2017高二下·汪清期末) 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A .B .C .D . 或8. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 现从编号为1～31的31台机器中，用系统抽样法抽取3台，测试其性能，则抽出的编号可能为（）A . 4，9，14B . 4，6，12C . 2，11，20D . 3，13，239. （2分）(2019·鞍山模拟) 的展开式中的系数为（）A .B . 1024C . 4096D . 512010. （2分）下列命题中正确的个数为（）①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A . 1B . 2C . 3D . 011. （2分）篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（）种出场阵容的选择.A . 16B . 28C . 84D . 9612. （2分）在区间[﹣2，4]上随机地抽取一个实数x，若x满足x2≤m的概率为，则实数m的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 9二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到红球的概率为，则袋中红球有________ 个．14. （1分）已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．15. （1分）(2017·湖北模拟) 若二项式展开式中的含x2的项的系数为60．则=________．16. （1分） (2017高二下·夏县期末) 某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·珠海期末) 为了迎接珠海作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对珠海各方面卫生情况的满意度（假设被问卷的路人回答是客观的），以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70），…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：（1）求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；（2）估计全市市民满意度在60分及以上的百分比．18. （5分）(2017·雨花模拟) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．19. （5分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，40：59岁之间进行了统计，相关数据如下：100﹣500元600﹣1000总计20﹣391061640﹣59151934总计252550（1）用分层抽样的方法在缴费100：500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20：39岁之间应抽取几人？（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．20. （10分） (2020·辽宁模拟) 某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品的需求量的限制，并有如下关系：商品的月需求量（万件）车间最多正常运行个数345若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：商品的月需求量（万件）未正常生产的一个车间的月维护费（万元）500600试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品的月利润为最大．21. （15分） 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.22. （15分） (2019高二下·杭州期中) 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、第11 页共13 页19-1、20-1、20-2、第12 页共13 页21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、第13 页共13 页。
数学-高二-江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．2．函数y=sinx•cosx的导函数为．3．函数y=xlnx的单调减区间为．4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是．6．函数y=3x3﹣9x+5在区间上的最大值与最小值之和是．7．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．8．已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为．9．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈，总存在x2∈，使得f（x1）+f（x2）=4，则实数a=．10．水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是．11．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），．则a，b，c的大小关系是．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=．13．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．14．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．16．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．17．已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．18．全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．19．已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【考点】导数的运算．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：32．函数y=sinx•cosx的导函数为cos2x．【考点】导数的运算．【分析】利用导数的乘法与除法法则求出它的导数【解答】解：∵y=sinx•cosx，∴y′=（sinx）′cosx+sinx（cosx）′=cos2x﹣sin2x=cos2x故答案为cos2x．3．函数y=xlnx的单调减区间为（0，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用积的导数运算法则求出导函数，令导函数小于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递减区间．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出t的值，检验即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2tx2+t2x，f′（x）=3x2﹣4tx+t2，∵函数f（x）在x=2处有极小值，∴f′（2）=0，解得：t=2或t=6，经检验，t=2符合题意，故答案为：2．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是1，+∞）．故答案为：﹣2，2﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，21，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，aa，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e1，e0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．14．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由，得a2+a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．【解答】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…因为A﹣1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…16．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．17．已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．【考点】特征值与特征向量的计算；特征向量的意义．【分析】（1）由矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，代入二元一次方程组求得其特征向量；（2）由（1）的结论，向量是属于特征值为﹣2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可求得A2016．【解答】解：（1）矩阵A的特征多项式f（λ）=λE﹣A==（λ﹣3）（λ+2），令f（λ）=0，解得：λ1=3，λ2=﹣2，将λ1=3，代入二元一次方程组得：，解得y=0，矩阵A属于特征值3的特征向量为，将λ2=﹣2，代入二元一次方程组得：，当x=1时，y=﹣1，∴矩阵A属于特征值﹣2的特征向量为；（2）A2016==．∴A2016=．18．全美职业篮球联赛（NBA）某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元，当两队决出胜负后，问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）先确定至少要比赛6场，再求出相应的概率，即可求出组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜，分类求概率，即可求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．求出相应的概率，即可求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．【解答】解：（1）因2000+2100+2200+2300+2400+2500=13500，故至少要比赛6场．当进行比赛6场时，某一队获胜的概率为，当进行比赛7场时，某一队获胜的概率为，所以收入不少于13500万元的概率为．（2）雷霆队“逆袭”获胜，可能通过6场或7场获胜．当6场获胜时，则1、2场败，3、4、5、6胜，概率为；当7场获胜时，则4胜3败，①若前2场都败，则另外1败可以任意发生在第3、4、5、6中的一场，所以“逆袭”获胜概率为．②若前2场1胜1败，则第3、4场必须败，所以“逆袭”获胜概率为，故雷霆队“逆袭”获胜的概率为．（3）所需比赛场数ξ是随机变量，其取值为4，5，6，7．若比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛，则显然在前面k﹣1场中获胜3场，从而，k=4，5，6，7．①分布列为：ξ 4 5 6 7P②所需比赛场数的数学期望是．19．已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈1﹣2a，4hslx3y3h时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．2016年10月17日。
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）变量x，y有观测数据(xi ， yi)(i＝1,2，，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据( ui ，vi)(i ＝1,2，，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断（）A . 变量x与y正相关，u与v正相关B . 变量x与y正相关，u与v负相关C . 变量x与y负相关，u与v正相关D . 变量x与y负相关，u与v负相关2. （2分） (2020高三上·蚌埠月考) 防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天1个人，第四天2个人，则满足要求的排法种数为（）.A . 90B . 180C . 360D . 7203. （2分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随机抽样法②用系统抽样法B . ①用系统抽样法②用分层抽样法C . ①用分层抽样法②用简单随机抽样法D . ①用分层抽样法②用系统抽样法4. （2分）已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·长春期末) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元7. （2分）甲、乙两种小麦试验品种连续5年平均单位单位面积产量如下（单位：t/hm2）：根据统计学知识可判断甲、乙两种小麦试验品情况为（）品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8A . 甲与乙稳定性相同B . 甲稳定性好于乙的稳定性C . 乙稳定性好于甲的稳定性D . 甲与乙稳定性随着某些因素的变化而变化8. （2分） (2017高二下·岳阳期中) 从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名．则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·阜平月考) 小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为（）A .B .C .D .11. （2分）已知命题P：在三角形ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；命题Q：若随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8，下列命题中正确的是（）A . P∧QB . ￢P∧QC . P∧￢QD . ￢P∧￢Q12. （2分）已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an ，则a2009=（）A . 6B . -6C . 3D . -3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝则X的分布列为________．14. （1分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．15. （1分）两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是________ ．16. （1分）(2017·成武模拟) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高二下·石家庄期末) 某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢打篮球不喜欢打篮合计球男生5女生10合计已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？附：K2=p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. （10分） (2018高二上·安庆期中) 为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19. （10分） (2017高二下·榆社期中) 综合题。
2023-2024学年江苏省南通市高二下册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南通市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}2Z230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．8D ．16【正确答案】C【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A 作答.【详解】解不等式2230x x --<，得13x -<<，因此{}3Z{0,1,12}A x x -<<=∈=∣，所以集合A 的子集个数为328=.故选：C2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为（1，2），（0，-1），则z 1z 2＝（）A ．1+iB ．2-iC ．-2iD ．-2-i【正确答案】B【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解.【详解】由复数的几何意义可知，112z i =+，2i z =-，则()()21212i i i 2i 2i z z =+-=--=-.故选：B3．函数()3sin xf x x x =-在[]π,π-上的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数3sin ()xf x x x =-定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，而33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-，且()()f x f x -≠-，即函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；而当πx =时，()(π)πf x f ==，排除选项A ，选项B 符合要求.故选：B4．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积233R V π-（）＝（R 为球缺所在球的半径，h 为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm ，壶口直径为6cm （如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（）A ．494mlB ．506mlC ．509mlD ．516ml【正确答案】A【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，6cm AB =，O 为球心，D 为壶口所在圆的圆心，所以3cm AD DB ==，因为8cm DE =，所以4OD OE ==，且OD AB ⊥，5OB =，所以球的半径5cm R =，所以球缺的高514cm h =-=，所以球缺的体积233R V π-（）＝()2π351114π33⋅⨯-⨯==，所以该壶壶身的容积约为.3414π472ππ52494ml 333V =⋅-⨯=≈故选：A.5．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（）A 3B ．2C 5D ．5【正确答案】B写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．圆22(2)2x y +-=的圆心坐标为(0,2)2则圆心到渐近线的距离22(2)11d =-，22|2|1a b a=+，解得2ce a==．故选：B ．本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．6．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n a =，若1a ，2a ，1k a ，2k a ，3k a 依次成等比数列，则3k =（）A ．81B ．63C ．41D ．32【正确答案】C【分析】由条件求出数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列定义求3k .【详解】因为21n S n a =，所以1121,4S a S a ==，故213a a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则12d a =，所以()121n a n a =-，因为1a ，2a ，1k a ，2k a ，3k a 依次成等比数列，213a a =，所以3411381k a a a =⋅=，所以()3112181k a a -=，所以341k =，故选：C.7．若()πsin 2cos 26αα++=，则tan α=（）A．3B ．1C．2D．2【正确答案】C【分析】利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角α，再利用两角差的正切公式，求出角α的正切值.【详解】因为()πsin 2cos 26αα++=，展开可得ππsin 2cos cos 2sin cos 266ααα++=，13(sin 2cos 2)2ααπ)3α+即πsin(2)13α+=，解得ππ22π,Z 32k k α+=+∈，即ππ,Z 12k k α=+∈；ππtan tan(π)=tan ,Z 1212k k α=+∈，因为ππtan tan πππ34tan tan()1234ππ1tan tan34-=-=+⋅，所以πtan212==.故选：C 8．已知πsin ea =，2e b =，c =（e 为自然对数的底数），则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>【正确答案】A【分析】根据三角函数的性质可得πsine a =>进而可得a b >，然后构造函数()ln x f x x =，根据导数可得()()1e ef x f ≤=，进而可得b c >，即得.【详解】因为πππ3e 2<<，所以ππsin sin e 32a =>，又5e 2>，24e 5b =<<，所以a b >，设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，由()0f x ¢>，可得0e x <<，函数()f x 单调递增，由()0f x '<，可得e x >，函数()f x 函数单调递减，所以()()1ee f x f ≤=1e <2e <，即b c >，所以a b c >>.故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．已知随机变量X 服从二项分布14,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()89E X =B ．“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件C ．已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X -=-D ．已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ且()60.85P X ≤=，则()240.35P X <≤=【正确答案】BD【分析】根据二项分布的期望公式判断A ；根据对立事件与互斥事件的关系判断B ；根据方差公式判断C ；根据正态分布的对称性判断D.【详解】对于A ：随机变量X 服从二项分布14,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()14433E X =⨯=，故A 错误；对于B ：“A 与B 是互斥事件”不能推出“A 与B 互为对立事件”，“A 与B 互为对立事件”能推出“A 与B 是互斥事件”，故“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件，故B 正确；对于C ：随机变量X 的方差为()D X ，则()()234D X D X -=，故C 错误；对于D ：因为随机变量X 服从正态分布()24,N σ且()60.85P X ≤=，根据对称性可知，()20.15P X ≤=，所以()240.50.150.35P X <≤=-=，故D 正确．故选：BD ．10．已知圆C 过点()1,3A ，()2,2B ，直线m ：320x y -=平分圆C 的面积，过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M ，N ，则（）A ．圆心的坐标为()2,3C B ．圆C 的方程为22(2)(3)1x y -+-=C ．k 的取值范围为17,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．当12k =时，弦MN【正确答案】ABD【分析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据已知条件由圆C 被直线m 平分，结合点A ，B 在圆上建立关于a ，b ，r 的方程组，即可求出圆C 的方程，再利用点到直线的距离建立关于k 的不等式，即可得到实数k 的取值范围，进而也可求得当12k =时，弦MN 的长，进而选出符合要求的选项.【详解】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆C 被直线:m 320x y -=平分，所以圆心()C a b ，在直线m 上，可得320a b -=，由题目条件已知圆C 过点(1,3),(2,2)A B ，则()()()()2222221322a b r a b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，综上可解得2,3,1a b r ===，所以圆心的坐标为(2,3)C ，选项A 正确；圆C 的方程为()()22223x y r -+-=，选项B 正确；根据题目条件已知过点01D （，）且斜率为k 的直线l 方程为1y kx =+，即10kx y -+=，又直线l 与圆C 有两个不同的交点M ，N ，所以点23C （，）到直线l 的距离小于半径r ，1<，解得k的取值范围为4433k <<，所以选项C 错误；当12k =时，可求得点23C （，）到直线l的距离为2d ===所以根据勾股定理可得15d =，即弦MN的长为12d =，所以弦MN，选项D 正确.故选：ABD .11．已知函数()()sin cos R f x x a x a =-∈的图象关于直线π6x =-对称,则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()()120f x f x +=,且()f x 在()12,x x 上无极值点,则12x x +的最小值为2π3【正确答案】ACD【分析】由()π03⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f解得a =求出()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由2πT =可判断A;求出π3x -的范围,根据正弦函数的单调性可判断B;计算π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C;12ππ2sin 2sin 33⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x ，可得12πππ33-=-++x x k 或12ππππ33-=-+++x x k ，可得12x x +的最小值为2π3可判断D.【详解】因为函数()()sin cos R f x x a x a =-∈的图象关于直线π6x =-对称,所以()π03⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ,即ππsin cos 33⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ,解得a =()1πsin 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且πππ2sin 2663⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ,对于A,2πT =,故A 正确;对于B,ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以π2π,033⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ,因为sin y x =在2ππ,32⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 上单调递减,在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误;对于C,πππ2sin 0333⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ,故C 正确;对于D,根据题意()()120f x f x +=,且函数()f x 在()12,x x 上单调.若()()120f x f x +=,则122πππ2sin 2sin 2sin 333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x ,可得12πππ33-=-++x x k 或者12ππππ33-=-+++x x k ,Z k ∈,即122π2π3x x k +=+,Z k ∈,当0k =时,12x x +的最小值为2π3.因为函数()f x 在()12,x x 上单调,即()π2cos 3⎛⎫'=- ⎪⎝⎭f x x 在()12,x x 上无零点,因为()π2cos 3⎛⎫'=- ⎪⎝⎭f x x 的半周期为π,在()12,x x 上无零点,则12x x +的最小值为2π3满足题意,故D 正确.故选:ACD.12．已知函数()()1011x xf x x x =->-，()()lg 11x g x x x x =->-的零点分别为12,x x ，则（）A ．122lg x x =B ．12111x x +=C ．124x x +>D ．1210x x <【正确答案】BC【分析】根据函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，由图象判断12,x x 所在区间，逐项判断.【详解】对A ，1111x y x x ==+-- ，∴由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，∴函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点A ，B 关于直线y x =对称.212212lg ,11x x x x x x ∴==>>-，故A 不正确；对B ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故B 正确；对C ，122222111(1)2411x x x x x x +=++=-++≥--，2(2)2lg 20,2,g x =-≠∴≠ 等号不成立，124x x ∴+>，故C 正确；对D ，由图知1(1,)x ∈+∞，()()210110lg1099g g x =-=> ，易知函数()g x 在()1,+∞上单调递减，所以2(10,),x ∈+∞1210x x ∴>，故D 不正确.故选：BC.三、填空题13．()613x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.【正确答案】60【分析】利用二项式定理求出61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式，再根据r 的取值，即可得答案；【详解】()66611133x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：6621661C C rrrr rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当620r -=即3r =时，366543C =3×6032⨯⨯=⨯，当621r -=-时r 无解，故61x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中无常数项.所以()613x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为60.故6014．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.【正确答案】0.957/95.7%【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.【详解】设B =“取到合格品”，i A =“取到的产品来自第i 批”（i =1，2），则12()0.3,()0.7P A P A ==，12(|)0.95,(|)0.96P B A P B A ==，由全概率公式得.1122()()()()()0.30.950.70.960|95|.7P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=故0.95715．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是侧面11ADD A 内一点（含边界），若1PC //平面AEF ，点P 的轨迹长度为______．【正确答案】2【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出P 的轨迹，根据轨迹特点可求答案.【详解】如图，分别取111,AA A D 的中点,M N ，连接1,,MN MB NC ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()1111,0,,,0,1,0,1,1,22M N C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,1,0,0,1,,1,0,022E F A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;所以1111,0,,,0,2222MN EF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,11,1,02NC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,1,1,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;故MN EF =，即//MN EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ，同理可得1//NC 平面AEF ，又11,,MN NC N MN NC =⊂ 平面1MNC ，所以平面1//MNC 平面AEF ；因为P 是侧面11ADD A 内一点（含边界），1PC //平面AEF ，所以点P 必在线段MN 上，即点P 的轨迹为MN ，所以点P 的轨迹长度为MN MN ==故答案为.216．若过点()()1,R P m m ∈有3条直线与函数()e x f x x =的图象相切，则m 的取值范围是__________.【正确答案】25(,0)e -【分析】设切点坐标为()00,x y ，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程()21e xm x x =-++⋅有三个不等实数根，再转化为函数()21,e x m y x y x -+==+的图像有三个交点问题，利用导数作出()21e xy x x -+=+的图象，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意可得()(1)e x f x x '=+，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e xk x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()02001e x m x x =-++⋅.因为存在三条切线，即方程()21e xm x x =-++⋅有三个不等实数根，则方程()21e xm x x =-++⋅有三个不等实数根等价于函数()21,e x m y x y x -+==+的图像有三个交点，设()()21e x g x x x =-++，则()()()12e xg x x x =--+'，当()2,1x ∈-时，()()0,g x g x '>单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()()0,g x g x '<单调递减，25(2)e g -=-，当12x <或x >()0g x <，画出()()21e xg x x x =-++的图象如图，要使函数()21,e xm y x y x -+==+的图像有三个交点，需()20g m -<<，即250e m -<<，即m 的取值范围是25(,0)e -，故25(,0)e -方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得()21e xm x x =-++⋅有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，*N n ∈，2536a a -=，654S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()312nnn b a +=，求数列{}n b 的前10项和10T ．【正确答案】(1)22n a n =+(2)35104【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求得14,2a d ==，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得()()111113213n b n n n n ⎛⎫==- ++++⎝⎭，结合裂项相消法求得n T ，进而得到10T ．【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2536a a -=且654S =，可得25111611333426656615542a a a d a d a d S a d a d -=+--=-=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得14,2a d ==，所以()42122n a n n =+-=+，即数列{}n a 的通项公式22n a n =+．（2）解：由（1）得()31222nn b n +=+，所以()()111113213n b n n n n ⎛⎫==- ++++⎝⎭，所以111111111112243546213n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪+++⎝⎭1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，所以101111135223102103104T ⎛⎫=+--= ⎪++⎝⎭．18．某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在(]16,18的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在(]18,20的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额(),6.25XN μ，其中μ近似为（1）中的样本平均数，根据X 的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y 为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y 的概率分布列与数学期望.参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．【正确答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元(2)14(3)分布列见解析，1【分析】（1）由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；（2）由（1）知13μ=， 2.5σ=，由正态分布的性质求出()18P X >的概率，即可求出这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数；（3）求出Y 的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y 的分布列，再由期望公式求出Y 的数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为[]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18，(]18,20的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：70.0890.10110.20130.24150.20170.12190.0612.9613.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（百元）．∵0.080.100.200.5++<，0.080.100.200.240.5+++>，∴中位数在(]12,14内，设中位数为x 百元，则()0.080.100.200.12120.5x +++-=，解得13x =．∴估计中位数为13百元．（2）由（1）知13μ=，∵2 6.25σ=， 2.5σ=，∴()()10.95451820.0232P X P X μσ->=>+≈≈，∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为6000.02314⨯≈．（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有500.126⨯=（个），“五星级”加盟店有500.063⨯=（个），∴Y 的所有可能取值为0，1，2，3，()3639C 2050C 8421P Y ====，()216339C C 45151C 8428P Y ====，()126339C C 1832C 8414P Y ====，()3339C 13C 84P Y ===．∴Y 的概率分布列为Y 0123P5211528314184∴()515310123121281484E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b C -=．(1)求B ；(2)A 的角平分线与C 的角平分线相交于点D ，3AD =，5CD =，求AC 和BD ．【正确答案】(1)π3(2)7AC =,BD =【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简即可得到结果；（2）由题意可得ADC ∠，然后由余弦定理即可得到AC ，然后在ADC △中，由等面积法即可得到DE ，从而求得BD .【详解】（1）由余弦定理可得，222222a b c a c b ab+--=，整理可得222a c b ac +-=，则2221cos 22a cb B ac +-==，且()0,πB ∈，所以π3B =（2）因为,AD CD 分别是,BAC ACB ∠∠的角平分线，连接BD ，则BD 为ABC ∠的角平分线，即点D 为三角形的内心，则1118022ADC BAC BCA ⎛⎫∠=︒-∠+∠ ⎪⎝⎭()11801802ABC =°-°-Ð19090301202ABC =︒+∠=︒+︒=︒，又因为3AD =，5CD =，在ACD 中，由余弦定理可得，2222cos1209251549AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=++=，则7AC =，过点D ，分别做,,AC AB BC 的垂线，垂足为,,E G F ，在ACD 中，11sin12022ACDS AD CD r =⨯⨯︒=⨯，可得r =，即DE DF DG r ===在直角三角形BDF 中，1302DBF B ∠=∠=︒则2BD DF =20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2AD CD ==，PB =，E 为棱PC 上一点，BE PC ⊥，平面ABE 与棱PD 交于点F ．(1)求证：F 为PD 的中点；(2)求二面角B FC P --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）首先求出BC ，即可得到E 为PC 的中点，再证明//AB 平面PCD ，由线面平行的性质得到//AB EF ，即可得到//CD EF ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，在Rt PAB中，PB =1AB =，所以2AP ==，在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，所以BC ==所以PB BC =，因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点，因为//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，因为平面ABEF ⋂平面PCD EF =，AB ⊂平面ABEF ，所以//AB EF ，所以//CD EF ，所以F 为PD 的中点；（2）由题可知因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ，AD，AP 两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()0,1,1F ，所以()1,2,0BC = ，()1,1,1BF =- ，()0,1,1AF =．设平面BCF 的法向量为(),,m x y z =，则0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1y =-，则2x =，3z =，于是()2,1,3m =-，因为AB ⊥平面PAD ，且//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AF CD ⊥，又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥，CD PD D = ，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以AF是平面PCD的一个法向量，cos ,7m AF m AF m AF⋅== ．由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --的余弦值为7．21．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若直线l 的斜率12k =，求原点O 到直线l 的距离；(2)记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【正确答案】(1)5(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l 方程，根据直线l 与C 相切求出2m =或2m =-，再利用点到直线距离公式即可求出.（2）设直线l 方程为y kx m =+，根据直线l 与C 相切求出2243m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，借助韦达定理得到12,x x 关系式，代入12k k 即可化简出定值.【详解】（1）由题意知直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，与椭圆22:143x y C +=联立得222(34)84120k x kmx m +++-=.因为直线l 与C 相切，所以222(8)4(34)(412)km k m ∆=-+-2248(43)0k m =-+=，故2243m k =+.当12k =时，24m =，2m =或2m =-，直线l 方程为122y x =±.所以原点O 到直线l的距离为d ==.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，12x x <，由已知可得()2,0A -，()2,0B ，∴1112y k x =+，1212=-y k x .由（1）得11y kx m =+，22y kx m =+，2243m k =+.所以()()()()()()()2212121212121212211221222424kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x x x x x +++++===+-+--+--①，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=，由韦达定理得222(2)4(1)(4)km k m ∆=-+-2216(44)160k m =-+=>，12221km x x k +=-+，212241m x x k -=+，故()()()()()22222221222222244444441111k m k m m x x k k k k -+--=-⨯==++++，∴21221x x k -=+，代入①式整理可得()()()2222222212222242143444441k m k m m k m k k k m k m k --++-===----+-+，所以12k k 为定值．22．已知函数()exf x =(1)求曲线()f x 在0x =处的切线l 的方程，并证明除了切点以外，曲线()f x 都在直线l 的上方；(2)若不等式21e cos 02xx mx x ---≥对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1y x =+，证明见解析(2)(],1-∞【分析】（1）先求出曲线()f x 在0x =处的切线l 的方程1y x =+，然后利用导数证明e 1x x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号；（2）令21()e cos 2x s x x mx x =---，分成1m >，1m £两种情况证明，当1m £时，要证21e cos 02x x mx x ---≥，转化为证明21e cos 02x x x x ---≥成立.【详解】（1）()e xf x '=，()01f =，即切点为()0,1，该点处的斜率()01k f '==，故切线l ：1y x =+，证明除了切点以外()f x 都在l 的上方，即证e 1x x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，令()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，当0x ≥时，()0h x '≥，()h x 单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，()()()min 00h x h x h ==≥，故e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，∴除了切点以外()f x 都在l 的上方.（2）令21()e cos 2xs x x mx x =---，()e sin x s x x m x =--+'，∵()00s =，（i ）当1m >时，()010s m =-<'，故存在0x 使得在[)00,x ，()s x 单调递减，()()000s x s <=与题意矛盾；（ii ）当1m £时，要证21e cos 02xx mx x ---≥，即证21e cos 02xx x x ---≥即证()21e 11cos 02x x x x ⎛⎫---+-≥ ⎪⎝⎭，令()2112e xm x x x =---，()1cos t x x=-()1e x m x x '=--，由（1）可知，()e 10x m x x '=--≥故()2112e xm x x x =---在区间[)0,∞+上单调递增，∴()()()min 00m x m x m ==≥，∴()0m x ≥，显然()1cos 0t x x =-≥，即()()0m x t x +≥在0x =时取等号成立.综上，实数m 的取值范围是(],1-∞含有参数的不等式证明方法点睛：1.运用函数的思想证明不等式的常规思路是直接构造函数，再利用函数的最值进行证明，有时运用“虚设零点，整体代换”的技巧体现化归与转化的思想；2.若根据参数范围进行放缩消参，这样简化了不等式结构便于构造函数进行研究，放缩消参是处理含参不等式证明的常规技巧.。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4，5}，B ＝{1，3}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{6}B ．{2，4，6}C ．{2，4，5}D ．{2，4，5，6}2．已知复数z ＝（a +1）﹣ai （a ∈R ），则a ＝﹣1是|z |＝1的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某班60名学生某次考试的数学成绩ξ～N （110，σ2），若P （100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种5．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为34，超过1000次的概率为12，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A ．38B ．23C ．12D ．136．在锐角△ABC 中，若cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，且√3sin C +cos C ＝2，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（6，2√3]B ．（0，4√3]C ．（2√3，4√3]D ．（6，4√3]7．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩㻻”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k （0≤k ≤6，k ∈N ）个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．若函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ，a ＞0，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（0，1]C ．(1e，e]D ．[1e，e]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 10，y 10）求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝1 B ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝﹣2C ．若|r |越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若|r |越小，则变量x 与y 的线性相关性越强10．若（2x 1√x ）n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）A ．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B ．有可能出现恰有三支球队并列第一名C ．恰有两支球队并列第一名的概率为14D ．只有一支球队名列第一名的概率为1212．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（6，2），与a →共线且方向相反的单位向量b →= ．14．某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少1个，则不同的分配方案有 种．15．设函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f ′（x ），f （0）＝2020，且f ′（x ）＝f （x ）﹣2，则f （x ）＝ ，f （x ）+4034＞2f ′（x ）的解集是 ．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求A ；（2）若b ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D ﹣AE ﹣C 为60°，AP ＝1，AD =√3，求三棱锥E ﹣ACD 的体积．19．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1，g （x ）＝lnx ﹣1，其中e 为自然对数的底数．（1）当x ＞0时，求证：f （x ）≥g （x ）+2；（2）是否存在直线与函数y ＝f （x ）及y ＝g （x ）的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．20．（12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m （m ∈N *）人．现从这（10+m ）人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：21．（12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD ＝CD =12AB ，平面P AD ⊥平面P AB ，P A ⊥PB ． （1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ； （2）若二面角P ﹣AB ﹣D 的余弦值为√33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．22．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p （0＜p ＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f （p ），求f （p ）的最大值点p 0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3}，则A∩（∁U B）＝（）A．{6}B．{2，4，6}C．{2，4，5}D．{2，4，5，6}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3}，∴∁U B＝{2，4，5，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}，故选：C．2．已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则a＝﹣1是|z|＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵z＝（a+1）﹣ai（a∈R），|z|＝1，∴（1+a）2+a2＝1，解得a＝0或a＝﹣1，故a＝﹣1是|z|＝1的充分不必要条件，故选：A．3．某班60名学生某次考试的数学成绩ξ～N（110，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．7B．8C．9D．10解：∵考试的数学成绩ξ～N（110，σ2），∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称，∵P（100≤ξ≤110）＝0.35，∴P（ξ＞120）＝P（ξ＜100）＝0.5﹣0.35＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9．故选：C．4．2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）（）A．18种B．24种C．36种D．72种解：根据题意，分2步进行分析：①先将4个垃圾桶分成2、1、1的三个小组，有C 42＝6种分组方法， ②将分好的三组全排列，对应三个固定角落，有A 33＝6种情况， 则有6×6＝36种摆放方法． 故选：C ．5．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为34，超过1000次的概率为12，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A ．38B ．23C ．12D ．13解：根据题意，设事件A ＝充电宝循环充电超过500次，事件B ＝充电宝循环充电超过1000次，则P （A ）=34，P （B ）＝P （AB ）=12，P （B |A ）=P(AB)P(A)=1234=23．故选：B ．6．在锐角△ABC 中，若cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，且√3sin C +cos C ＝2，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（6，2√3]B ．（0，4√3]C ．（2√3，4√3]D ．（6，4√3]解：由√3sin C +cos C ＝2sin （C +π6）＝2，得C +π6=π2+2k π，k ∈Z ， ∵C ∈（0，π2），∴C =π3．由正弦定理知，sinB sinA=ba，由余弦定理知，cos A =b 2+c 2−a 22bc， ∵cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，∴b 2+c 2−a 22bc×1a+12c=b 3a×√32，化简整理得，b （2√3−c ）＝0， ∵b ≠0，∴c =2√3， 由正弦定理，有asinA=b sinB=c sinC=√3√32=4，∴a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，∵锐角△ABC ，且C =π3，∴A ∈（0，π2），B =2π3−A∈（0，π2），解得A ∈（π6，π2）， ∴a +b ＝4（sin A +sin B ）＝4[sin A +sin （2π3−A ）]＝4（sin A +√32cos A +12sin A ）＝4√3sin （A +π6），∵A ∈（π6，π2），∴A +π6∈（π3，2π3），sin （A +π6）∈（√32，1]， ∴a +b 的取值范围为（6，4√3]．故选：D ．7．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩㻻”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k （0≤k ≤6，k ∈N ）个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：由P （ξ＝k ）=C 6k(16)k (56)6−k ，0≤k ≤6，k ∈N ，由题意可得：P （ξ＝k ）≥P （ξ＝k +1），P （ξ＝k ）≥P （ξ＝k ﹣1），∴C 6k (16)k (56)6−k ≥C 6k+1(16)k+1(56)5−k ，C 6k (16)k (56)6−k ≥C 6k−1(16)k−1(56)7−k ，解得：k ＝1， 故选：B ．8．若函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ，a ＞0，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．（0，1]C ．(1e，e]D ．[1e，e]解：f ′（x ）＝2ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣1＝（2e x +1）（ae x ﹣1）． a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在R 上单调递减， 此时函数f （x ）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a ＞0时，f ′（x ）＝2ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣1＝（2e x +1）（ae x ﹣1）． 令f ′（x ）＝0，∴e x =1a ，解得x ＝﹣lna ．∴x ∈（﹣∞，﹣lna ）时，f ′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，﹣lna ）上单调递减； x ∈（﹣lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（﹣lna ，+∞）上单调递增． ∴x ＝﹣lna 时，函数f （x ）取得极小值， ∵f （x ）有两个零点，∴f （﹣lna ）＝a ×1a 2+（a ﹣2）×1a +lna ＝1−1a +lna ＜0，令u （a ）＝1−1a+lna ，u （1）＝0． u ′（a ）=1a 2+1a＞0，∴函数u （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴0＜a ＜1．又x →﹣∞时，f （x ）→+∞；x →+∞时，f （x ）→+∞． ∴满足函数f （x ）有两个零点． ∴a 的取值范围为（0，1）， 故选：A ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 10，y 10）求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝1 B ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝﹣2C ．若|r |越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若|r |越小，则变量x 与y 的线性相关性越强解：当所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r ＝﹣1，所以A 、B 都错误；相关系数|r |值越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 正确； 相关系数|r |值越小，则变量x 与y 的线性相关性越弱，D 错误． 综上知，以上错误的说法是ABD ． 故选：ABD ． 10．若（2x √x）n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12解：当n 为偶数时，若n ＝10时，第6项的二项式系数最大，B 正确， 若n ＝12时，第7项的二项式系数最大，D 错误，当n 为奇数时，若n ＝9时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，A 正确， 若n ＝11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C 正确， 故选：ABC ．11．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）A ．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B ．有可能出现恰有三支球队并列第一名C ．恰有两支球队并列第一名的概率为14D ．只有一支球队名列第一名的概率为12解：4支足球队进行单循环比赛共有C 42=6场比赛，比赛的所有结果共有26＝64种，选项A ：这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，所有A 正确；选项B ：在（a ，b ），（b ，c ），（c ，d ），（d ，a ），（a ，c ），（d ，b ）6场比赛中，依次获胜的可以是a ，b ，c ，a ，c ，b ，此时3对都获得2分，并列第一名，所有B 正确；选项C ：在（a ，b ），（b ，c ），（c ，d ），（d ，a ），（a ，c ），（d ，b ）6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C 42=6种可能，若选中a ，b ，其中第一类a 赢b ，有a ，b ，c ，d ，a ，b 和a ，b ，d ，c ，a ，b 两种情况，同理第二类b 赢a ，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6×464=38，所以C 错误；选项D ：从4支球队中选一支为第一名有4种可能，这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有23＝8种，故只有一支球队名列第一名的概率为864×4=12，所以D 正确；故选：ABD ．12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1 解：设球的半径为R ，因为球的体积为4π3，所以4π3R 3=4π3，解得R ＝1，对于A ，经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆， 即是与△A ′B ′C ′全等的三角形的外接圆，其半径为r =23⋅1⋅sin60°=√33，则其面积为πr 2=π3≠π4，所以A 错；对于B ，作辅助线如图②，PD ∥CF ，PD ＝CF ，所以∠PDA 为AD 与CF 成角， △EQD ≌△CDF ，M 、N 分别为QD 、DE 边中点， 所以AP ＝MN ＝2•1•sin60°=√3，所以cos ∠PDA =22+22−(√3)22⋅2⋅2=58，所以B 对； 对于C ，如图②，AN ⊥平面EDF ，所以DE 为AD 在平面DEF 内射影， 于是∠ADE 即为直线AD 与平面DEF 所成的角，大小为π3，所以C 对；对于D ，如图③，O 1O =√R 2−r 2=√23，O 1G ＝R ﹣O 1O ＝1−√23，AN ＝2•sin60°=√3， 所以球离球托底面DEF 的最小距离为AN ﹣O 1G =√3+√63−1，所以D 对．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（6，2），与a →共线且方向相反的单位向量b →= （−3√1010，−√1010） ． 解：∵向量a →=（6，2），∴与a →共线且方向相反的单位向量b →=1√6+2（6，2）＝（−3√1010，−√1010），故答案为：（−3√1010，−√1010）． 14．某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少1个，则不同的分配方案有 220 种．解：将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有C 123=220种．故答案为：220．15．设函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f ′（x ），f （0）＝2020，且f ′（x ）＝f （x ）﹣2，则f （x ）＝ 2+2018e x ，f （x ）+4034＞2f ′（x ）的解集是 （﹣∞，ln 2） ．解：设h （x ）=f(x)−2e x ，h ′（x ）=f′(x)e x −[f(x)−2]e x (e x )2=f′(x)−f(x)+2e x ，∵f ′（x ）＝f （x ）﹣2，∴h ′（x ）＝0，h （x ）为常函数， 设h （x ）＝c ，则h （x ）=f(x)−2e x=c ， ∴f （x ）＝ce x +2，∵f （0）＝2020，∴c +2＝2020，c ＝2018， ∴f （x ）＝2+2018e x ， ∴f ′（x ）＝2018e x ，f （x ）+4034＞2f ′（x ），即4036+2018e x ＞2×2018e x ， 解得e x ＜2，x ＜ln 2．故答案为：2+2018e x ；（﹣∞，ln 2）．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 (9√2+4√6)π12．解：如图所示，设BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ，P 在平面ABC 内的射影为O 1，所以O 1是正三角形ABC 的中心； 因为三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1， 所以AB ＝BC ＝CA =√2，PD ＝PE ＝PF =√22，O 1D ＝O 1E ＝O 1F =13×√32×√2=√66； 以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线， 是各侧面内以P 为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 内切圆；所以交线的长度之和为3×π2×√22+2π×√66=(9√2+4√6)π12． 故答案为：(9√2+4√6)π12．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求A ；（2）若b ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围． 解：（1）△ABC 中，（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）， 由正弦定理得（c ﹣b ）c ＝（a ﹣b ）（a +b ）， 整理得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，所以cos A =c 2+b 2−a 22bc =bc 2bc =12；又A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）由△ABC 为锐角三角形，且A =π3， 所以{0＜C ＜π20＜2π3−C ＜π2，解得π6＜C ＜π2， 因为b ＝2，由正弦定理得asinπ3=2sin(2π3−C)=c sinC，所以c =2sinCsin(2π3−C)，所以△ABC 的面积为 S =12bc sin A =12×2×2sinCsin(2π3−C)×√32=√3sinC 32cosC+12sinC=√332tanC +12，由tan C ＞tan π6=√33， 所以1tanC∈（0，√3），所以√32tanC +12∈（12，2），所以√3√32tanC +12∈（√32，2√3）； 即△ABC 面积S 的取值范围是（√32，2√3）． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D ﹣AE ﹣C 为60°，AP ＝1，AD =√3，求三棱锥E ﹣ACD 的体积．（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD＝60°，∵AP＝1，AD=√3，∠ADP＝30°，∴PD＝2，E为PD的中点．AE＝1，∴DM=√32，CD=√32×tan60°=32．三棱锥E﹣ACD的体积为：13×12AD⋅CD⋅12PA=13×12×√3×32×12×1=√38．19．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝lnx﹣1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f（x）≥g（x）+2；（2）是否存在直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．证明：（1）要证明f（x）≥g（x）+2，即证明e x﹣1≥lnx+1，于是构造函数h（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，x＞0，则h'（x）＝e x﹣1−1 x ，注意：h'（x）是单调递增函数，且h'（1）＝0，令h'（x）＝0得：x＝1，所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）min＝h（1）＝0，所以h（x）≥0，即e x﹣1≥lnx+1．（2）存在最多两条不同的直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切，证明如下：设直线与函数f（x）＝e x﹣1相切于点（t，e t﹣1），则f'（t）＝e t﹣1，所以切线方程为：y﹣e t﹣1＝e t﹣1（x﹣t），即y＝e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t），又因为直线与y＝g（x）的图象相切，且直线和函数g（x）均为单调增函数，所以该直线与函数y＝g（x）的图象相切的充要条件为关于x的方程e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）＝lnx﹣1，即e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1＝0有且仅有1个解．令m（x）＝e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1，则m'（x）＝e t﹣1−1x，令m'（x）＝0得：x=1e t−1，所以当0＜x＜1e t−1时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；当x＞1e t−1时，m'（x）＞0，m（x）单调递增，要使得e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1＝0有且仅有1个解，则m（1e t−1）＝0，即e t﹣1×（1e t−1）+e t﹣1（1﹣t）﹣ln（1e t−1）+1＝0，即1+e t﹣1（1﹣t）﹣（1﹣t）+1＝0，即e t﹣1﹣te t﹣1+t+1＝0．令n（t）＝e t﹣1﹣te t﹣1+t+1，则n'（t）＝1﹣te t﹣1，令n'（t）＝0得：t＝1，所以当t＜1时，n'（t）＞0，n（t）单调递增；当t＞1时，n'（t）＜0，n（t）单调递减；所以n（t）的最大值为n（1）＝2．又因为当t趋近于﹣∞时，n（t）趋近于﹣∞；当t趋近于+∞时，n（t）趋近于﹣∞，所以存在两个不同的t使得：n（t）＝0，即m（1e t−1）＝0，所以存在最多两条不同的直线使得直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切．20．（12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m （m ∈N *）人．现从这（10+m ）人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：解：（1）2×2列联表补充完整如下：K 2=216(60×68−40×48)2100×116×108×108≈7.448＞6.635，因此有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率=40100=25，且各次抽取之间互相独立，故X ～B （3，25），其概率P （X ＝k ）=C 3k (25)k (35)3−k ，k ＝0，1，2，3．其分布列为：（3）随机变量Y 的取值为0，1，2， 则P （Y ＝0）=C 4+m 2C 10+m 2，P （Y ＝1）=C 4+m 1C 61C 10+m2，P （Y ＝2）=C 62C 10+m2，∴E （Y ）＝0×C 4+m 2C 10+m2+1×C 4+m 1C 61C 10+m2+2×C 62C 10+m2≥1，化为：m 2+7m ﹣18≤0，解得﹣9≤m ≤2， 又m ∈N *，∴1≤m ≤2，故m 的最大值为2．21．（12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD ＝CD =12AB ，平面P AD ⊥平面P AB ，P A ⊥PB ． （1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ； （2）若二面角P ﹣AB ﹣D 的余弦值为√33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．（1）证明：因为平面P AD ⊥平面P AB ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，P A ⊥PB ，PB ⊂平面P AB ， 所以PB ⊥平面P AD ，又因为PB ⊂平面PBC ， 所以平面P AD ⊥平面PBC ．（2）解：过D 作DH ⊥P A ，DO ⊥AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面P AD ⊥平面P AB ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，DH ⊥P A ，DH ⊂平面P AD ， 所以DH ⊥平面P AB ，又AB ⊂平面P AB ，所以DH ⊥AB ，又DO ⊥AB ，且DO ∪DH ＝O ，DO ，DH ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， 因为HO ⊂平面P AD ，所以AB ⊥HO ，即∠DOH 即为二面角P ﹣AB ﹣D 的平面角， 不妨设AB ＝4，则可知AD ＝CD ＝BD ＝2，且AO ＝1，OD =√3， 因为cos ∠DOH =√33，所以OH ＝1，所以∠BAP =π4，过O 作OM ⊥平面P AB ，分别以OA →，OH →，OM →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D(0，1，√2)，P （﹣1，2，0），B （﹣3，0，0），C(−2，1，√2)， 所以PD →=(1，−1，√2)，BP →=(2，2，0)，CP →=(1，1，−√2)，设平面PBC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅BP →=2x +2y =0m →⋅CP →=x +y −√2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝0，所以m →=(1，−1，0)， 设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|m →⋅PD →||m →|⋅|PD →|=1+1⋅1+1+2=√22，即θ=π4．22．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）=C202p2(1−p)18，∴f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．。
2021-2022学年江苏省南通中学(南通市)高二下学期期中数学试(解析版)
2021-2022学年江苏省南通中学（南通市）高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y ++= B ．240x y +-=C ．280x y --=D ．280x y -+=【答案】A【分析】由垂直得直线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得．【详解】直线250x y --=的斜率为2，直线l 与之垂直，则12l k =-，又l 过点(2,3)P -，所以直线方程为13(2)2y x +=--，即240x y ++=．故选：A ． 2．若随机变量16,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则数学期望E （X ）＝（ ） A ．6 B ．3C ．32D ．12【答案】B【分析】由二项分布的数学期望即可得出答案. 【详解】随机变量16,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则数学期望()1632E x =⨯=.故选：B.3．已知函数()322f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为（ ）A ．240x y --=B ．240x y +-=C ．480x y --=D ．480x y +-=【答案】C【分析】求出()2f 、()2f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为()322f x x x =-，则()234f x x x '=-，所以，()20f =，()24f '=，因此，曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()42=-y x ，即480x y --=. 故选：C.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为7109,4+=+n S a a a ，则15S =（ ） A ．40 B ．60C ．120D ．180【答案】B【分析】先由等差数列的性质求出84a =，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.【详解】由题意知：8799104a a a a a +=++=，则84a =，则1151581515602a a S a +=⨯==. 故选：B.5．若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种【答案】C【分析】先选后排可得答案.【详解】将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有234336C A =种.故选：C.6．若m 是1和4的等比中项，则曲线22:1y C x m+=的离心率为（ ）AB C D 【答案】A【分析】求出m 的值，利用椭圆、双曲线的性质求离心率. 【详解】m 是1和4的等比中项,所以242m m =⇒=±，当2m =时，曲线22:1y C x m+=化为2212y x +=是焦点在y 轴上的椭圆，离心率为：e =当2m =-时，曲线22:1y C x m+=化为2212y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，离心率为：e =故选：A.7．已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l 的距离的最大值为223416OQ r +=++=，故选：D8．一个袋子中装有大小完全相同的3个红球和2个白球.若每次均从袋中随机摸出1个球，记录其颜色后放回袋中，同时再在袋中放入2个与摸出的球颜色、大小相同的球，则第二次摸出白球的概率为（ ）A ．35B ．25C ．1335D ．1135【答案】B【分析】根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率13265735P =⨯=； 若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率22485735P =⨯=. 综上，第二次摸出白球的概率12142355P P P =+==. 故选：B. 二、多选题9．设函数()f x 的导函数为()f x '， ()y f x '=的部分图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 在()0,4上单调递增B ．函数()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在3x =处取得极小值D ．函数()f x 在0x =处取得极大值【答案】AB【分析】由导函数的正负可得函数()f x 的单调性，再逐项判断可得答案. 【详解】有()y f x '=的图象可得当()0.5,0∈-x 时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在()0,4上单调递增，故A 正确；函数()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B正确；函数()f x 在3x =处无极值，故C 错误；函数()f x 在0x =处取得极小值，故D 错误. 故选：AB.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则（ ） A ．122x x = B ．124y y =- C ．16||3AB =D ．△AOB【答案】BC【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线l 的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A 、B ，根据焦点弦公式判断C ，再求出原点到直线l 的距离，即可求出三角形的面积；【详解】解：抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0F ，所以直线l：)1y x =-，则)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 得231030x x -+=，所以12103x x +=，121=x x ，所以121016||233AB x x p =++=+=，故A 错误，C 正确；))()1212121210113131143y y x x x x x x ⎛⎫=--=-++=-+=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，故B 正确； 又O 到直线l0y -=的距离d =12AOBSAB d ==D 错误； 故选：BC11．若231021001210(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x a x ++++++++=++++，则（ ）A ．010a =B ．2120a =C ．110121022++++=-a a a aD ．100121023111121++++=⨯-a a a a【答案】ACD【分析】利用赋值法判断A 、C ，两边求导再利用赋值法判断B 、D ；【详解】解：231021001210(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x a x ++++++++=++++①，令0x =则010a =，故A 正确，令1x =则()231001211101022222122212a a a a ++++++++-===--，故C 正确；对①两边求导可得：299121012(1)3(1)10(1)210x x x a a x a x +++++⋯++=++⋯+②， 令1x =得129121021012232102a a a ++⋯++⨯+⨯+=+⋯⨯，则()212131002210122232102a a a ++⋯+⨯+⨯++⋯+⨯=⨯，两式相减得()()012912101011010210102122210112911222a a a ++⋯+⨯+++⋯+⨯⨯-=-=-=+-所以110110012102311222112191a a a a ++++-==⨯++⨯-，故D 正确；对②两边求导可得：882310232(1)109(1)232109x x a a x a x +⨯++⋯+⨯⨯+=+⨯⋯+⨯， 令0x =，可得2232431092a +⨯+⨯+⋯+⨯=，解得2165a =，故B 错误． 故选：ACD12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝1，AA 1＝2，D ，E 分别是1,BB AC 的中点，则（ ）A ．1CD AC ⊥B ．BE ∥平面1A CDC ．11A C 与CD 2D ．1A D 与平面11BB C C 所成角的余弦值为10【答案】BCD【分析】以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对选项ACD 一一判断；对选项B ，连接1A C 与1AC 交于点M ，连接MD ，易知MD EB ，则由线面平行的判定定理可知BE ∥平面1A CD ，即可判断B.【详解】以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，()110,0,0,,0,0,,0,022E A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1111,0,2,,0,2,22A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A，12CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,0,2AC =-，所以11202CD AC ⋅=-+≠，所以CD 与1AC 不垂直，所以A 错误；对于B ，连接1A C 与1AC 交于点M ，连接MD ，易知MD EB ，所以MD ⊂面1A CD ，BE ⊄面1A CD ，所以BE ∥平面1A CD ，所以B 正确；对于C，12CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()111,0,0A C =-，所以1112CD AC ⋅=-，12CD ⎛= ⎝111A C =，所以1111112cos 2CD ACCD AC CD AC -⋅⋅====⋅，11A C 与CD 故C 正确；对于D ，1112A D ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =⊥面11BB C C，()113,,0,0,0,222CB CC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，110220n CB x y n CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，令x =1y =-，所以()3,1,0n =-，1A D 与平面11BBC C 所成角为θ，111sin cos ,2n A D n A D n A Dθ⋅-====⋅ 所以cos θ=，1A D 与平面11BB C C D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．若随机变量2(1,)N ξσ~，()40.86P ξ≤=，则()2P ξ≤-=___________. 【答案】0.14750【分析】直接由正态分布的对称性求解概率即可.【详解】由题意知：()()40.862P P ξξ≤==≥-，则()210.860.14P ξ≤-=-=. 故答案为：0.14.14．已知某商品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）有如下表所示的统计数据： x 1 2 3 4 5 y 5096142185227若根据表中数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ŷ＝ˆbx ＋5，则当投入6万元广告费用时，销售额的估计值为___________万元. 【答案】275【分析】先计算样本中心点(),x y ，将其代入回归方程，可得b 的值，再代入6x =，即可求得答案. 【详解】1234550961421852273,14055x y ++++++++====，所以样本中心点为：()3,140，将其代入回归方程ŷ＝ˆbx ＋5中，有14035b =+，解得：45b =，所以线性回归方程为455y x =+，当6x =时，4565275y =⨯+=. 故答案为：275.15．写出一个同时具有下列性质①②的函数()f x =___________. ①()()()f m n f m f n +=；②()()f x f x '<. 【答案】e x -（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需符合题意即可，根据()()()f m n f m f n +=，故构造指数型函数，再求出函数的导函数，即可得解； 【详解】解：依题意令()x f x e -=， 则()()ee m n m nf m n -+--+==，()e m f m -=，()e n f n -=，所以()()()e e em n m nf m f n f m n ----=⋅==+，故满足①； 又()x f x e -'=-，则()()e e x xf x x f --<-='=，即满足②；故答案为：e x -（答案不唯一） 四、双空题16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n 次，则当n ＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n ＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大. 【答案】5160.3125 23或25 【分析】根据独立重复试验的概率公式求n ＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.【详解】设第n 次移动时向左移动的概率为12，事件n ＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，所以事件n ＝6时质子位于原点的概率为3336115C 12216P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 事件第25m +次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在25m +次移动中向右移了5m +次，所以第25m +次移动后质子位于5对应点处的概率25251C 2m m m P ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()25251C2m m m f m ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()()()()2512725!1!6!16C 4441C !5!27!2627m m m m f m m m m m m f m m m m m m ++++++++==⋅=+++++， 令()()11f m f m >+可得()()()()16412627m m m m ++>++，化简可得224282442642m m m m ++>++，所以9m >，N m *∈，所以()()()1011f f f m >>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅令()()11f m f m <+可得9m <，N m *∈，所以(9)(8)(1)f f f >>⋅⋅⋅>，又(9)10154=1(10)2425f f ⨯=⨯， 所以m=9或m =10，即23n =或25n =时，质子位于5对应点处的概率最大. 故答案为：516；23或25. 五、解答题17．已知数列{}n a 满足113,22+==-n n a a a . (1)求{}n a 的通项公式； (2)求{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)122n n a -=+；(2)221nn S n =+-.【分析】（1）利用递推公式进行配凑，构造新数列，再求解出新数列的通项公式，进而求{}n a ；（2）由（1）写出前n 项和n S 的表达式，运用分组转化求和即可. 【详解】(1)122n n a a +=-，()1222n n a a +∴-=- 即1222n n a a +-∴=- ∴数列{}2n a -是以首相为1，公比为2的等比数列， 122n n a -∴-= 122n n a -∴=+(2)由（1）知122n n a -=+()()()()()()123012101212222222222222112212221n nn n n n S a a a a nnn --∴=++++=++++++++=+++++⨯-=+-=+-18．已知13⎛⎫+ ⎪⎝⎭nx x 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数1:3.(1)求n 的值；(2)求展开式中含1x的项.【答案】(1)7 (2)2835【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解即可；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数可得答案．【详解】(1)因为二项式13⎛⎫+ ⎪⎝⎭nx x 的展开式中第2项、第3项二项式系数分别为1C n 、2C n ，所以12C 1C 3n n=，即()11321=-⨯n n n ，解得7n =. (2)因为展开式通项()737721771C 3C 3rx rr r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，当7312-=-r时，解得3r =， 所以展开式中含1x项的系数为347C 32835=.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，点E 在棱AD 上，2AE ED =，1==PA AB ，2BC =，3AD =.(1)求证：CE ⊥平面PAD ； (2)求二面角B PC E --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)155【分析】（1）证明出四边形ABCE 为平行四边形，可推导出CE AD ⊥，由线面垂直的性质可得出CE PA ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角B PC E --的正弦值. 【详解】(1)证明：因为2AE ED =，3AD =，2BC =，所以，223AE AD BC ===， 又因为//BC AD ，即//BC AE ，所以，四边形ABCE 为平行四边形，则//CE AB ， 因为AB AD ⊥，则CE AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，则CE PA ⊥，PA AD A =，CE ∴⊥平面PAD . (2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()0,2,0E 、()0,0,1P ，设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，()0,2,0BC =，()1,0,1BP =-， 则111200m BC y m BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，可得()1,0,1m =， 设平面PCE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,0EC =，()0,2,1EP =-， 则222020n EC x n EP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21y =，可得()0,1,2n =，210cos ,25m n m n m n⋅<>===⨯⋅215sin ,1cos ,5m n m n <>=-<>= 因此，二面角B PC E --1520．为培养学生的创新精神和实践能力，某中学计划在高一年级开设人工智能课程.为了解学生对人工智能的兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中部分数据如下表.(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；(2)从参加调查的25个对人工智能没兴趣的同学中随机抽取2人，记2人中男生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .附：22()n ad bc χ-=，n ＝a ＋b ＋c ＋d .【答案】(1)表格见解析，有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关； (2)分布列见解析，数学期望45【分析】（1）先完善表格，再计算2χ与2.706比较即可判断； （2）直接计算X 为0，1，2的概率，列出分布列，计算期望即可. 【详解】(1)表格如下：22100(45151030) 3.030 2.70655457525χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；(2)25个对人工智能没兴趣的同学中男生有10人，女生有15人，则X 的取值为0，1，2，215225C 7(0)C 20P X ===，111015225C C 1(1)C 2P X ===，210225C 3(2)C 20P X ===，则X 的分布列如下：则数学期望()7134012202205E X =⨯+⨯+⨯=. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为Q 若过点P （1，0）的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且当直线l 垂直于x轴时，||AB =(1)求C 的方程；(2)若直线QA ，QB 的斜率存在且分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值. 【答案】(1)221994x y += (2)见解析【分析】（1）当直线l 垂直于x 轴时，||AB =，所以点在椭圆上，即22121a b += ，即e c a ==，再结合222a b c =+ ，解出,a b即可得到椭圆C 的方程（2）先设出,A B 两点坐标以及直线l 的方程，联立直线l 和椭圆方程，利用韦达定理表示出1212,x x x x + ，然后表示出12,k k ，计算12k k ，得到关于关于k 的一个表达式即可得到题目所证，再验证k 不存在的情况即可 【详解】(1)由题意，椭圆的离心率e c a ==① 当直线l 垂直于x 轴时，||AB =，所以点在椭圆上，即22121,a b +=② 在椭圆中222,a b c =+③ 联立①②③ 解得：33,2a b == 故椭圆方程为：221994x y +=(2)如图所示；设1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为：y kx k =-221994y kx k x y =-⎧⎪⎪∴⎨+=⎪⎪⎩，整理得：2222(41)8490k x k x k +-+-=21224941k x x k -∴+=+ ，2122841k x x k =+ 因(3,0)Q -,1122(,),(,)A x y B x y 1113y k x =+ ,2223y k x =+ 22212121212121212121212()()()(3)(3)3()93()9y y kx k kx k k x x k x x k k k x x x x x x x x x x ---++∴===++++++++2222814164841k k k k -+==-+ 当直线l 的斜率不存在时，此时2),(1,2),(3,0)A B Q --122022021(3)41(3)4k k -∴====----- 12221(8k k ==- 综上，12k k 为定值，这个定值是18-22．已知函数()ln af x x x=-，()()e sin x g x x a =+∈R (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =-时，求证：()()0xf x g x +>. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <的情况下，根据()f x '的正负可得单调性； （2）令()()()h x xf x g x =+，当()0,1x ∈时，易知()0h x >；当[)1,x ∞∈+时，利用导数可求得()h x 在[)1,+∞上单调递增，根据()()10≥>h x h 可得结论. 【详解】(1)由题意知：()f x 定义域为()0,∞+，()221a x a f x x x x+'=--=-； 当0a ≥时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在()0,∞+上单调递减； 当0a <时，令()0f x '=，解得：x a =-；∴当()0,x a ∈-时，()0f x '>；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减；综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减. (2)当1a =-时，()1ln f x x x=--，令()()()1ln e sin x h x xf x g x x x x =+=--++，则()ln 1e cos xh x x x '=--++；当()0,1x ∈时，ln 0x x ->，e 10x ->，sin 0x >，()0h x ∴>；当[)1,x ∞∈+时，令()()m x h x '=，则()1e sin xm x x x '=--，11x ≤，sin 1x ≤，e e x ≥，1e sin e 20x x x∴--≥->，即()0m x '>， ()m x ∴，即()h x '在[)1,+∞上单调递增，()()11e cos10h x h ''∴≥=-++>，()h x ∴在[)1,+∞上单调递增，()1e sin10h x ∴≥-++>；综上所述：()0h x >，即()()0xf x g x +>.【点睛】关键点点睛：本题考查含参函数单调性的讨论、利用导数证明不等式；本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令()()()h x xf x g x =+，利用导数可求得()h x 单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.。
江苏省南通市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
江苏省南通市 2020 版高二下学期期中数学试卷（理科）D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 不等式 3≤|5﹣2x|＜9 的解集为（ ）A . （﹣2，1]B . [﹣1，1]C . [4，7）D . （﹣2，1]∪[4，7）2. （2 分） 命题“”的否定是 （ ）A.B.C.D.3. （2 分） 下列命题:①在一个列联表中,由计算得,则有的把握确认这两类指标间有关联②若二项式的展开式中所有项的系数之和为,则 号为（ ）④若正数，则展开式中 的系数是 ③随机变量 服从正态分布满足，则的最小值为 其中正确命题的序A . ①②③B . ①③④C . ②④第 1 页 共 12 页D . ③④ 4. （2 分） 下列命题是假命题的是（ ）A . 已知随机变量，若，则；B . 在三角形中，是的充要条件；C . 向量，，则 在 的方向上的投影为 2；D . 命题“ 或 为真命题”是命题“ 为真命题且 为假命题”的必要不充分条件。
5. （2 分） (2016 高二下·新疆期中) m=0 是方程 x2+y2﹣4x+2y+m=0 表示圆的（ ）条件． A . 充分不必要 B . 必要不充分 C . 充要 D . 既不充分也不必要6. （2 分） (2016 高二下·新疆期中) 设变量 x，y 满足约束条件： 值为（ ），则目标函数 z=2x+3y 的最小A.6B.7C.8D . 237. （2 分） (2017 高三下·武邑期中) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于（ ）第 2 页 共 12 页A . 18 B . 20 C . 21 D . 40 8. （2 分） (2017 高三下·上高开学考) 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边 长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A . 2cm2 B . cm3 C . 3 cm3第 3 页 共 12 页D . 3cm39. （2 分） (2016 高二下·新疆期中) 设曲线 y= （）A.2 B . ﹣2在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=C.﹣D.10. （2 分） 已知抛物线 y2=2px（p＞0）上一点 M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于（ ）A.B. C.3 D.9 11. （2 分） 已知函数 y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且 x≠2}，且 y=f（x+2）是偶函数，当 x＜2 时，f（x） =|2x﹣1|，那么当 x＞2 时，函数 f（x）的递减区间是（ ） A . （3，5） B . （3，+∞） C . （2，+∞） D . （2，4]12. （2 分） (2016 高二下·新疆期中) 已知点 F1 ， F2 为椭圆存在点 P 使得，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）第 4 页 共 12 页的左右焦点，若椭圆上A . （0， ）B . （0， ]C.（ ， ]D . [ ，1）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018·昌吉月考) 不等式的解集为________.14. （1 分） (2017 高一上·海淀期中) 能够说明“设 x 是实数，若 x＞1，则 实数 x 的值为________．15. （1 分） 设非空集合，从 A 到 Z 的两个函数分别为，于 A 中的任意一个 x，都有，则满足要求的集合 A 有________.”是假命题的一个 ，若对16. （1 分） (2016 高二上·德州期中) 在空间直角坐标系中，设 A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2 ， 则 m=________．三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2016 高一上·宿迁期末) 已知向量 ， 满足| |= ， =（4，2）．（1） 若 ∥ ，求 的坐标；（2） 若 ﹣ 与 5 +2 垂直，求 与 的夹角 θ 的大小．18. （10 分） (2016 高一下·湖北期中) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，设向量 c）， =（cosC，cosA）．=（a，（1） 若 ∥ ，a= c，求角 A；（2） 若 • =3bsinB，cosA= ，求 cosC 的值．第 5 页 共 12 页19. （5 分） 已知向量 a=(cos ,sin )，b=(cos ,-sin )，且 为常数），求：（1） • 及| + |；， f（x）= • ﹣2λ| + |（λ（2）若 f（x）的最小值是- ， 求实数 λ 的值． 20. （10 分）（1） 已知，，求，，；（2） 已知空间内三点，，.求以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 .21. （15 分） (2016 高二下·新疆期中) （文）已知点 D（1， 0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是 x+y=0．）在双曲线 C：=1（a＞0，b＞（1） 求双曲线 C 的方程；（2） 若过点（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点，求实数 k 的取值范围；（3） 设（2）中直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两个不同点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k 的值．22. （10 分） (2016 高二下·新疆期中) 已知函数 f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2emx（m∈R）．（1） 当 a=1，求函数 f（x）的最大值（2） 当 a＜0，且对任意实数 x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数 m 的取值范围．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 12 页18-2、19-1、第 9 页 共 12 页20-1、 20-2、 21-1、 21-2、第 10 页 共 12 页21-3、22-1、22-2、。
江苏省南通市数学高二下学期理数期中考试试卷
江苏省南通市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）向量，的夹角为60，且，则等于（）A . 1B .C .D . 22. （2分）已知函数f（x）（x∈R）满足＞f（x），则（）A . f（2）＜f（0）B . f（2）≤f（0）C . f（2）＝f（0）D . f（2）＞f（0）3. （2分）(2019·随州模拟) 复数 ,则的虚部为（）A .B . iC . -1D . 14. （2分）由“ ，，”得出：“若a＞b＞0且m＞0，则”这个推导过程使用的方法是（）A . 数学归纳法B . 演绎推理C . 类比推理D . 归纳推理5. （2分）(2017·辽宁模拟) 在复平面内复数z= （i为虚数单位）对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2018高二下·长春期末) “所有的倍数都是的倍数，某奇数是的倍数，故该奇数是的倍数.”上述推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 结论错误D . 正确7. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则 =（）A . 3B . ﹣C .D . ﹣8. （2分）已知方程在上有两个不同的解，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）因为对数函数y=logax是减函数（大前提），而y=log2x是对数函数（小前提），所以y=log2x是减函数（结论）”。
上面推理是（）A . 大前提错，导致结论错。
B . 小前提错，导致结论错C . 推理形式错，导致结论错。
D . 大前提和小前提都错，导致结论错。
10. （2分）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C .D .11. （2分）有一段演绎推理是这样的：“因为对数函数y=logax是增函数；已知y=x是对数函数，所以y=x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误12. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 若与有两个公共点，则范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·江苏期中) 已知(i是虚数单位)，则复数z的实部为________．14. （1分） (2015高三上·合肥期末) 曲线f（x）=x2+lnx在（1，f（1））处的切线的斜率为________．15. （1分） (2018高二下·长春月考) 用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是________.16. （1分）(2017高二上·衡阳期末) 已知x＞0，观察下列式子：类比有，a=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2017·长沙模拟) 设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．18. （10分）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；19. （10分） (2018高三上·杭州月考) 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且 .(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.20. （10分）已知函数f（x）=﹣alnx+ +x（a≠0）（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e﹣4 ．21. （5分）对于数列{an}，若（1）求a2，a2，a4，并猜想{an}的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．22. （10分）已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．记函数g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求实数a的值；（2）令h（x）=g（x）+2x，若h（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
2021-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二(下)期中数学试卷
2021-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷2021-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，若复数z=（m2��1）+（m��1）i为纯虚数，则实数m的值为．2．（5分）右面的伪代码输出的结果是．3．（5分）设等比数列{an}的公比为2，前10项和为S10=，则a1的值为．4．（5分）用1，2，3，4，5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有个．5．（5分）某调查机构观察了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图，则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）的有人．6．（5分）若复数z满足|z|=1，则|z��i|的最大值是．第1页（共20页）7．（5分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an+2��an=d（d为常数，且d≠0，n∈N*），a1=1，a2=2，且a1a2，a2a3，a3a4成等差数列，则S20等于． 9．（5分）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为． 10．（5分）设函数f（x）=x3，若0≤θ≤立，则实数m的取值范围为．11．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是．①若函数f （x）是偶函数，则f（��2）=f（2）；②若f（��2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；③若f（��2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数；④若x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）?f（n）＜0． 12．（5分）如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，一堆3个，要把积木一块一块的全部放到某个盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一块，则不同的取法有种（用数字作答）．时，f（mcosθ）+f（1��m）＞0恒成13．（5分）如图，在四边形ABCD中，|=2，则= ．|=4，，E为AC的中点，若14．（5分）数列{an}中，若ai=k2（2k≤i＜2k+1，i∈N*，k∈N），则满足ai+a2i≥100第2页（共20页）的i的最小值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若求（1）tanA：tanB：tanC的值；（2）求角A的值．16．（14分）如图，在三棱锥P��ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，点D，E，N分别为PB，PC，AC的中点，点M为DB的中点．（1）求证：BN⊥平面PAC；（2）求证：MN∥平面ADE．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，（1）P为直线l：x=上一点．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出，坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米造价为30万元．第3页（共20页）（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时才能使造价y最低？19．（16分）已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为（1）求实数a的值；（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望． 20．（16分）已知数列T：a1，a2，…，an（n∈N*，n≥4）中的任意一项均在集合{��1，0，1}中，且对?i∈N*，1≤i≤n��1，有|ai+1��ai|=1．（1）当n=4时，求数列T的个数；（2）若a1=0，且a1+a2+…+an≥0，求数列T的个数．第4页（共20页）2021-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，若复数z=（m2��1）+（m��1）i为纯虚数，则实数m 的值为��1 ．【分析】根据纯虚数的定义可得m2��1=0，m��1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2��1）+（m��1）i为纯虚数，∴m2��1=0，m��1≠0，解得m=��1，故答案为��1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2��1=0，m��1≠0，是解题的关键，属于基础题．2．（5分）右面的伪代码输出的结果是 21 ．【分析】FOR��FROM循环是知道了循环的次数的循环，本题I的取值分别为1，2，3，则执行3次循环，根据语句S←2S+3执行三次，从而求得S即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0， I=1，S=3 I=2，S=9 I=3，S=21第5页（共20页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南通市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为A .B .C .D . -2. （2分）(2017·湘西模拟) 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A . d≈B . d≈C . d≈D . d≈3. （2分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A . 假设a、b、c都是偶数B . 假设a、b、c都不是偶数C . 假设a、b、c至多有一个偶数D . 假设a、b、c至多有两个偶数4. （2分） (2015高二下·宁德期中) 设Sk= + + +…+ （k≥3，k∈N*），则Sk+1=（）A . Sk+B . Sk+ +C . Sk+ + ﹣D . Sk﹣﹣5. （2分）(x2＋2)dx＝（）A .B .C . 2D . 16. （2分）(2016·安徽) 下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A . f（x）=|x|B . f （x）=x﹣|x|C . f（x）=x+1D . f（x）=﹣x7. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1 ，下列判断中一定正确的是（）A . 在t1时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在t0时刻，两车的位置相同D . t0时刻后，乙车在甲车前面8. （2分）已知复数z=3+4i且z(t－i)是实数,则实数t等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·福建期末) 如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”．这个三角形的规律是：各行中的每一个数，都等于后面一行中与它相邻的两个数之和（例如第4行第2个数等于第5行中的第2个数与第3个数之和）．则在“莱布尼茨三角形”中，第10行从左到右第2个数到第8个数中各数的倒数之和为（）A . 5010B . 5020C . 10120D . 1013010. （2分） (2015高二下·金台期中) 下面几种推理是类比推理的是（）①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，得出所有三角形的内角和都是180°；②由f（x）=cosx，满足f（﹣x）=f（x），x∈R，得出f（x）=cosx是偶函数；③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值．A . ①②B . ③C . ①③D . ②③11. （2分）等差数列{an}的前n项和为.已知，则= （）A . 8B . 12C . 16D . 2412. （2分）在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（）A . 模型1的相关指数为0.98B . 模型2的相关指数为0.80C . 模型3的相关指数为0.50D . 模型4的相关指数为0.25二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分）已知复数z1=2+ai，z2=a+i（a∈R），且复数z1﹣z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________14. （1分） (2015高二下·宜春期中) 已知f（x）=∫0x（2t﹣4）dt，则当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为________．15. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 数列的通项公式，若前项的和为10，则项数为________．16. （1分）已知复数z满足z（3﹣4i）=5+mi，且，则实数m的值是________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2018高二下·葫芦岛期中) 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.（1）求z的实部的取值范围；（2）设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．18. （10分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为 .（1）求的解析式；（2）若常数，求函数在区间上的最大值.19. （5分） (2017高二下·武汉期中) 已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．20. （5分）证明：已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数．21. （5分） (2017高二下·南阳期末) （1）已知：x∈（0+∞），求证：；22. （5分）已知=1，求证：tan2θ=﹣4tan（θ+）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、第11 页共11 页。
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江苏省南通中学2018—2018学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸指定位置.
1、
=-3545C A ____________.2、已知x
x
x f +=1)1(，则1
0()e f x dx -=⎰ .
3、
2
(2)(1)12i i i
++=-_________ .4、从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为____（用数字作答）
5、复数2(,12m i
z m R i i
-=
∈+为虚数单位)在复平面上对应的点不可能．．．位于第 象限.
6、某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的废品率是____________.
7、在2
3
1(3)2n
x x -
的展开式中含有常数项，则正数n 的最小值是___________.8、抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是3的概率是______________.
9、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.2
2
2
BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、
ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为
________________________.
10、已知n 为正偶数，且n
x
x )21(2
-
的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是____________（用数字作答）.
11、9本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人5本，其余两人各2本，则共有______种
分法（用数字作答）.
12、设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.()P k ak b ξ==+（k =1，2，3，4）。
又ξ的数学期望3E ξ=，则a b +=_______.
13、已知等式101099221052)1()1()1()1()22(+++++++++=++x a x a x a x a a x x ，其中(0,1,2,
,10)i a i =为实常数，则10
1
n n na =∑=_______.
14、对任意正整数n ，定义n 的双阶乘n!!, 如下：当n 为偶数时，
246.....)4)(2(!!⨯⨯⨯⨯--=n n n n ；当n 为奇数时，1
35.....)4)(2(!!⨯⨯⨯⨯--=n n n n 现有四个命题：
（1）;!2009!)!2008(!)!2009
(=⋅（2）;!!2008!!2009!)!2008(!)!2008
(-=⋅（3）2018！！的个位数字为5；
（4）⋅
∈+=+)(!!!!!)!(*N b a b a b a 、其中所有正确命题的序号是__________
二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本小题１5分)
一共有3个教师和3个学生，分别回答下列问题：（1）坐成一排，教师坐在两端，有多少种排法？ （2）师生相间坐成一排，有多少种排法？
（3）3个学生要相邻坐在一起，坐成一排，有多少种排法？ （4）学生顺序一定，坐成一排，有多少种排法？ （5）6人坐成二排，有多少种排法？
16、（本小题１４分）
已知n n n x a x a x a a x )1(.......)1()1()1(2210-++-+-+=+，（2,*
≥∈n N n ）
（1）当n=5时， 求543210a a a a a a +++++的值； （2）设
3
2
2
-=
n n a b ，n n b b b b T ........432+++=用数学归纳法证明：当2≥n 时，3
)
1)(1(-+=
n n n T n
17、(本小题１5分)
设P 、Q 是复平面上的点集，
（1）P 、Q 分别表示什么曲线？
（2）设 求.
18、（本小题15分）
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
19、（本小题15分）
{}
{}.
,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω,,21Q z P z ∈∈2
1z z -
在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为
12
1
，试求（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程.
20、（本小题16分）
已知公差d 为正数的等差数列{}n a 和公比为q （1q >）的等比数列{}n b ． （1）若10a >，且
11
n n n n
a b a b ++≤
对一切*n N ∈恒成立，求证：11d a q a ≤-； （2）若d >1，集合{}{}{}345345,,,,1,2,3,4,5a a a b b b ⋃=，求使不等式
128
n p n n
n
a b p a b ++++≤
成立的自然数n 恰有4个的正整数p 的值．
命题、校对：高二备课组 责审：杨建楠 审定：教务处
高二数学期中考试答卷
一、填空题： 1．_____________
2．______________
3．_______________
4．_____________
5．______________
________
6．_______________
7．_____________ 8．______________ 9．____________________ 10．____________ 11．_____________ 12．______________ 13．____________ 14．_____________
二、解答题：
15．
16．17．
18．
19．
20．。