《诱导公式的运用》链接高考
高考100题三角函数：3 诱导公式及其应用
2 cos sin sin sin 4 2
sin cos sin cos 5
1 2
B． 2
C．
1 2
D．-2
【答案】D 【解析】由题意得， sin( ) 2sin(
) sin 2 cos ，所以 tan 2 ，故选 D． 2
sin( ) cos( 2 ) 1 ，则 tan sin cos( ) 2
sin(
【例 7】 【2016 届河北省衡水中学高三下六调文科数学】已知 cos k , k R, （ ）
2
, 2
，则 sin
A． 1 k 【答案】A
B． 1 k
2
C． 1 】由于 cos k , k R,
【例 4】 【2016 届湖 北省 黄冈 中学 高三 5 月一 模理 科数 】设 , (0, （ ）
1 ) ，且 tan tan ，则 2 cos 2
A． 3 【答案】D
2
B． 2
2
C． 3
2
D． 2
, 2
2 2 ，因此 sin sin 1 cos 1 k ，应选 A．
【例 8】 【2016 届安徽省淮南市高三下学期二模文科数学】已知 sin( ) 2sin( （ A． ）
) ，则 tan 的值为 2
【 解 析 】 sin( ) sin
tan
sin 7 ． cos 3 3 2 的值等于________．
高中数学诱导公式全集高三英语作文套题万能公式高考语文现代文规范答题模式
一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
高考数学常用的【诱导公式】
高考数学常用的【诱导公式】高考数学常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα高中数学重要知识点1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。
0的反向量为0 AB—AC=CB。
即“共同起点，指向被减”a=(x，y)b=(x，y)则a—b=(x—x，y—y)。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
5.3 诱导公式(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin αcos (π＋α)＝－cos αtan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin (－α)＝－sin αcos (－α)＝cos αtan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin (π－α)＝sin αcos (π－α)＝－cos αtan (π－α)＝－tan α公式五sin()cos 2cos()sin 2π-α=απ-α=α公式六sin()cos 2cos()sin 2π+α=απ+α=-α记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)sin1470︒；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（5）()()cos120sin150tan855︒︒︒--+.【答案】(1)12(2)24）12；（5）34-【解析】（1）()1sin1470sin 436030sin302︒=⨯︒+︒=︒=．（2）9πππcos cos 2πcos 444⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（3）11πππtan tan 2πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 66ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭1=2.（5）原式()()()cos 18060sin 18030tan 1352360︒︒︒︒︒︒=--⋅-++⨯()cos60sin 30tan135︒︒︒=--+()cos60sin30tan 18045︒︒︒︒=+-cos60sin 30tan 45︒︒︒=-1131224=⨯-=-.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（）A．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由三角函数的定义可得tan 2θ=，则()sin πsin tan 2πsin cos tan 13cos cos 2θθθθθθθθ-===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．【答案】(1)12-；(2)2；(3)(4)2【解析】（1）ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭；（2）ππcos cos 442⎛⎫-== ⎪⎝⎭；（3）7πππtan tan πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）7πππsin sin 2πsin 4442⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）47ππcos πcos 8πcos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．（6）7π7πππsin sin sin 2πsin 3333⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）())tan 855tan855tan(2360135tan135-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒()tan 18045tan451=-︒-︒=︒=．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】36-【解析】由题意得22(14m +=，解得2116m =，因为α为第二象限角，可得0m <，所以14m =-，所以1sin ,cos 4αα=-，所以()π1sin cos 243πsin cos 1sin πsin 12αααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--++⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．【答案】35-【解析】()()()sin sin tan 3sin tan sin 5f ααααααα-===--.2．（2023秋·高一课时练习）已知1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（）A．－411B．－11C．11D【答案】C 【解析】因为1cos 3α=-，且α为第二象限角，所以sin 3α=，则()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--sin cos 3cos sin =cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+--sin 3cos tan =cos 3sin tan ααβααβ+--13311⎛⎫-⨯ ⎪=故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A 【解析】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】由sin()sin παα-=，可得1sin 3α=，则1sin(2021π)sin[(π)2020π]sin(π)sin 3αααα-=--=-=-=-.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．79-B ．3C ．79D ．13【答案】D 【解析】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BCD 【答案】D【解析】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又πsin 063α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．23B ．23-C D ．【答案】B【解析】因为2πππ2cos()cos π()cos()3333ααα⎡⎤-=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知2π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于．【答案】35-/0.6-【解析】7πππππ2π3cos cos(π)cos()sin()sin()6662635x x x x x ⎛⎫+=++=-+=-++=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为；【答案】1116【解析】π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，5πππ1cos cos cos 6664x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππcos cos sin 3266x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222πππ115cos sin 1cos 13661616x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，25ππ11511cos cos 6341616x x ⎛⎫⎛⎫∴-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1116.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【答案】证明见解析.【解析】左边=()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tan α=右边，∴等式成立．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin(22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan)(sin)cos sin sincos sinsin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tancosααα=-=-=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2(77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++=31mm++=右边，所以原等式成立.方法2：由8tan()7mπα+=，得tan()7mπα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17mmπαπα+++=+++=右边，等式成立.。
5.3-诱导公式 2025年高考数学知识点题型及考项复习
2
2
= ( − 1) + Байду номын сангаас
方法2 （特值法） 因为 为偶函数，所以
π
−
2
−1
2
π
−
2
=
π
2
−1
2
+
π
，得
2
= 2.
π
+ sin +
2
π
π
− =
2
2
，得 = 2.
，即
例12 (2022·浙江节选)若3sin − sin = 10, + =
【解析】
π
，则sin
+ ，
即 = ， = .
3sin +2cos
（1）求
的值；
sin −cos
+
【答案】
−
=
+
−
=
+
−
=
×+
∴ cos
11π
2
+ + sin 3π − =
6
11
+
6
11
=
12
..
11
6
，
11
关键能力构建
题型1 利用诱导公式化简
例3 化简：
cos −π
（1）
sin π−
⋅ sin
π
−
2
cos
π
2
+ ;
【解析】原式
=
cos[− π− ]
sin
−cos
高考数学诱导公式大全
高考数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k＋）＝sin （kZ）cos（2k＋）＝cos （kZ）tan（2k＋）＝tan （kZ）cot（2k＋）＝cot （kZ）公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（＋）＝－sincos（＋）＝－costan（＋）＝tancot（＋）＝cot公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（－）＝－sincos（－）＝costan（－）＝－tancot（－）＝－cot公式四：利用公式二和公式三能够得到与的三角函数值之间的关系：sin（－）＝sincos（－）＝－costan（－）＝－tancot（－）＝－cot公式五：利用公式一和公式三能够得到2与的三角函数值之间的关系：sin（2－）＝－sincos（2－）＝costan（2－）＝－tancot（2－）＝－cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2＋）＝coscos（/2＋）＝－sintan（/2＋）＝－cotcot（/2＋）＝－tansin（/2－）＝coscos（/2－）＝sintan（/2－）＝cotcot（/2－）＝tansin（3/2＋）＝－coscos（3/2＋）＝sintan（3/2＋）＝－cotcot（3/2＋）＝－tansin（3/2－）＝－coscos（3/2－）＝－sintan（3/2－）＝cotcot（3/2－）＝tan(以上kZ)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式经历口诀※规律总结※上面这些诱导公式能够概括为：关于/2*k (kZ)的三角函数值，①当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos；cossin；tancot，c ottan.（奇变偶不变）然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。
高考数学三角函数诱导公式详解分析
高考数学三角函数诱导公式详解分析高考数学中，三角函数是重要的一部分，其中诱导公式是必须掌握的知识之一。
本文将从诱导公式的定义、证明方法以及应用展开详细的分析和解释，希望能够给同学们带来一些帮助。
一、诱导公式的定义在高中数学中，我们学习了正弦、余弦、正切等三角函数的概念和基本性质。
而对于不同角度的三角函数，它们之间存在着一些特殊的关系，这些关系被称为三角函数的诱导公式。
具体来说，诱导公式是指通过对三角函数的变量进行代换，将一个三角函数转化为另一个三角函数的公式。
通常情况下，诱导公式是将各个相邻的三角函数之间的关系进行转化，从而简化我们计算的过程。
二、诱导公式的证明方法针对不同的三角函数诱导公式，其具体的证明方法也各不相同。
这里我们以正弦诱导余弦公式为例，简单介绍一下具体的证明过程。
我们知道，对于任意角度x，有以下公式成立：sin2x + cos2x = 1接下来，我们进行代换。
首先，我们将sin2x 表示为sin(x + x) 的形式：sin2x = sin(x + x)再将cos2x 表示为cos(x + x) 的形式：cos2x = cos(x + x)接着，我们使用公式sin(a + b) = sinacosb + cosasinb 将正弦函数展开：sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx同样的，我们使用公式cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 将余弦函数展开：cos(x + x) = cosxcosx - sinxsinx将以上结果代入到sin2x + cos2x = 1 这个公式中，得到：sinxcosx + cosxsinx + cosxcosx - sinxsinx = 1化简可得：cos2x = cosxcosx - sinxsinx因此，我们可以得到正弦诱导余弦公式：sin2x = 2sinxcosx这个公式表明，通过代换可以将sin2x 转化为2sinxcosx，从而将正弦函数的平方与余弦函数联系起来。
高考数学诱导公式大全
高考数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为恣意角，终边相反的角的同一三角函数的值相等：sin〔2k＋〕＝sin 〔kZ〕cos〔2k＋〕＝cos 〔kZ〕tan〔2k＋〕＝tan 〔kZ〕cot〔2k＋〕＝cot 〔kZ〕公式二：设为恣意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin〔＋〕＝－sincos〔＋〕＝－costan〔＋〕＝tancot〔＋〕＝cot公式三：恣意角与 -的三角函数值之间的关系：sin〔－〕＝－sincos〔－〕＝costan〔－〕＝－tancot〔－〕＝－cot公式四：应用公式二和公式三可以失掉与的三角函数值之间的关系：sin〔－〕＝sincos〔－〕＝－costan〔－〕＝－tancot〔－〕＝－cot公式五：应用公式一和公式三可以失掉2与的三角函数值之间的关系：sin〔2－〕＝－sincos〔2－〕＝costan〔2－〕＝－tancot〔2－〕＝－cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin〔/2＋〕＝coscos〔/2＋〕＝－sintan〔/2＋〕＝－cotcot〔/2＋〕＝－tansin〔/2－〕＝coscos〔/2－〕＝sintan〔/2－〕＝cotcot〔/2－〕＝tansin〔3/2＋〕＝－coscos〔3/2＋〕＝sintan〔3/2＋〕＝－cotcot〔3/2＋〕＝－tansin〔3/2－〕＝－coscos〔3/2－〕＝－sintan〔3/2－〕＝cotcot〔3/2－〕＝tan(以上kZ)留意：在做题时，将a看成锐角来做会比拟好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※下面这些诱导公式可以概括为：关于/2*k (kZ)的三角函数值，①当k是偶数时，失掉的同名函数值，即函数名不改动；②当k是奇数时，失掉相应的余函数值，即sincos；cossin；tancot，cottan.〔奇变偶不变〕然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题03 诱导公式(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量03 诱导公式一、具本目标：（1）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±，2的正弦、余弦、正切的诱导公式. （2）由于诱导公式涉及的公式比较多，记忆时要分清诱导的方向与角的象限. 二、知识概述：1.诱导公式()角 函 数正弦余弦 正切记忆口诀αsinαcosαtan函数名不变 符号看象限-αsinαcos-αtan-αsin -αcosαtanαsin-αcos-αtanαcos αsin-函数名改变 符号看象限αcos-αsin-2.事实上，对于角()2k k Z πα±∈g的正弦、余弦值有当k 为偶数时，函数名不变，符号看象限； 当k 为奇数时，函数名改变，符号看象限.z k ∈απ+k 2α-απ+απ-απ-2απ+2【考点讲解】总的来说就是“奇变偶不变，符号看象限” 3.诱导公式的作用： 任意角→)2,0(π的角； 原则：负化正，大化小.4.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=（ ）A ．−2−3B ．−2+3C ．2−3D ．2+3【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒3132 3.313+==+-故选D. 【答案】D【变式】=ο330cos （ ）A ．21B ．21- C ．23 D ．23-【解析】()2330cos 30360cos 330cos ==-=οοοο.【答案】23 2．【2019优选题】若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12【真题分析】【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， cos5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝ －32，所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离 r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1，所以sin α＝321y r-=－32.【答案】C3.【2019优选题】“32πθ=”是“⎪⎭⎫⎝⎛+=θπθ2cos 2tan ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意可知：当32πθ=时，332sin 2322cos 2-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+πππ，332tan -=π. 而3tan -=θ时，z k k ∈+=,32ππθ.因此前者是后者的充分不必要条件.【答案】A 【变式】""6a π=是().21sin =-απ的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【解析】().21sin 656=-=-=αππαππα，，得由().621sin πααπ==-不一定能得到但由""6a π=是()21sin =-απ 的充分不必要条件. 【答案】A4．【2019优选题】设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f ，R x ∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】由()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin πx x f 可得：()x x f 2cos -=，所以此函数是最小正周期为π的偶函数.【答案】B【变式】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=22cos πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin πx y C ．x x y 2cos 2sin += D ．x x y cos sin += 【解析】由题意可知x x y 2sin 22cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，所以符合最小正周期为π的奇函数.【答案】A5.【2018优选题】设函数()()R x x f ∈满足()()x x f x f sin +=+π．当π<≤x 0时，()0=x f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛623πf （ ）A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-【解析】由题意可得：617sin 611sin 611617sin 617623ππππππ++⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f617sin611sin 65sin 65ππππ+++⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=62sin 62sin 6sin 0πππππππ=212121210=+-+. 【答案】A6.若13cos(),2,22+=-<<ππααπ则sin(2)-=πα（ ） A.12B.32±C.32D.32-【解析】由13cos(),2,22+=-<<ππααπ可得：1cos()cos ,2παα+=-=-1cos ,2α= 所以sin(2)sin παα-=-.而23sin 1cos 2αα=--=-所以.3sin(2)2πα-=.【答案】 C7.【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【答案】138.【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【答案】79-9.【2018优选题】已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且04πα<<，则sin α=_____，cos α=_____．【解析】()2512sin cos sin cos 27cos 2sin ==-⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααααπαπ .又04πα<< ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 2512cos sin 22αααα则 ，且0sin cos αα<<，可得34sin ,cos 55αα==【答案】35 4510.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-.1.已知31)22015sin(=+απ，则)2cos(a -π的值为（ ） A ．31 B ．31- C ．97 D ．97-【模拟考场】【解析】因为31)22015sin(=+απ，所以31cos =α， 所以97)192()1cos 2(2cos )2cos(2=--=--=-=-αααπ．选C ．【答案】C 2.已知232cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ，且2πϕ<，则tanφ＝（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．3 【解析】根据诱导公式23sin 2cos ==⎪⎭⎫⎝⎛-ϕϕπ，又因为2πϕ<，所以20πϕ<<，所以3πϕ=，所以3tan =ϕ．【答案】D3.若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【解析】由题意3sin 5α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5α=-，因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------.【答案】B. 4.已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（ ）A. 3B. 3-C.13 D. 13- 【解析】因为()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，所以2cos 0sin θθ--= ，可得cos tan 1211tan 2,cos tan 1213sin sin θθθθθθθ++-+=-===---- ，故选C.【答案】C5. 已知3sin()35x π-=，则5cos()6x π-= ( )A.35 B. 45 C. 35- D. 45- 【解析】∵3sin()sin[()]cos()32665x x x ππππ-=-+=+=， ∴53cos()cos[()]cos()6665x x x ππππ-=-+=-+=- 【答案】C6.已知1sin ,(,)322ππθθ=∈-，则3sin()sin()2πθπθ--的值为（ ） （A ）922 （B ）922- （C ）91 （D ）91-【解析】2122,,cos 1sin 12293ππθθθ⎛⎫∈-∴=-=-=⎪⎝⎭Q , ()312222sin sin sin cos 2339ππθθθθ⎛⎫∴--=-=-⨯=-⎪⎝⎭.故B 正确. 【答案】B7.=ο750sin ．【解析】本题考查的是三角函数求值问题，所以要求将ο750转化为οοο303602750+⨯=再利用诱导公式求ο30角的正弦值即可.由题意可得()2130sin 303602sin 750sin ==+⨯=οοοο.【答案】21 8.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 【解析】由题意得()1122sin sin ,,,cos 1.3293ππαααπα⎡⎤-==∈∴=--=-⎢⎥⎣⎦Q 【答案】223-9.已知31sin()lg10πθ+=，求cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθπθπθθπθθ+-+----+【解析】由题有31sin lg 103θ-=-=-，1sin 3θ∴=， 原式cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+221122181cos 1cos 1cos sin θθθθ=+===+-- 【答案】1810.已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23x x x x x π+-=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.11.已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ． （1）求实数m 的值；（2）求1)23sin()sin()2sin(+--+-απαππα的值． 【解析】（1）∵角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(m P ，∴m ＜0， 221514m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得14m =-； （2）由（1）可知151sin ,cos 44αα==-， ∴1sin()cos 315243sin cos 16151sin()sin()11244πααπααπαα--+===--+++--+--+。
2021年高考数学高分套路 诱导公式(解析版)
2
【解π＋α]
π＋α
tan αcos αsin 2
tan αcos αcos α
＝
＝
－cos αsin α
－cos αsin α
tan αcos α sin α cos α
＝－
＝－
·
＝－1.
sin α
cos α sin α
31π
10π
3.计算：(1)sin(－ )－cos(－ )；
－tan α －tan α tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
kπ 对于角“ ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为
2
奇数时，正弦变 余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数
值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
6
3 22
(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋ tan 45°＝0－3＋1＝－2.
(3)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2 ×360°)＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan 135°＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan(180°－45°)＝－(－
2sin2α＋sin α
sin α1＋2sin α tan α
23π －
1
1
1
∴f
6
＝ tan
23π －
6
＝ tan
π －4π＋
高中数学诱导公式全集高三英语作文套题万能公式高考语文现代文规范答题模式
高中数学诱导公式全集+高三英语作文套题万能公式+高考语文现代文规范答题模式一、高中数学诱导公式全集:常用旳诱导公式有如下几组:公式一:设α为任意角, 终边相似旳角旳同一三角函数旳值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二:设α为任意角, π+α旳三角函数值与α旳三角函数值之间旳关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三:任意角α与 -α旳三角函数值之间旳关系:sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四:运用公式二和公式三可以得到π-α与α旳三角函数值之间旳关系: sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五:运用公式一和公式三可以得到2π-α与α旳三角函数值之间旳关系: sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α旳三角函数值之间旳关系:sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意: 在做题时, 将a当作锐角来做会比很好做。
三角函数诱导公式及其应用
三角函数诱导公式及其应用终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin α+k·360°=sinα（k∈Z）.cosα+k·360°=cosα（k∈Z）.tan α+k·360°=tanα（k∈Z）.cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
设α为任意角，弧度制下的角的表示：sin（π+α）=－sinα.cos（π+α）=－cosα.tan（π+α）=tanα.cot（π+α）=cotα.sec（π+α）=－secα.csc（π+α）=－cscα.角度制下的角的表示：sin（180°+α）=－sinα.cos（180°+α）=－cosα.tan（180°+α）=tanα.cot（180°+α）=cotα.sec（180°+α）=－secα.csc（180°+α）=－cscα.任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinα.cos（－α）=cosα.tan（－α）=－tanα.cot（－α）=－cotα.sec（－α）=secα.csc －α）=－cscα.利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（π－α）=sinα.cos（π－α）=－cosα.tan（π－α）=－tanα.cot（π－α）=－cotα.sec（π－α）=－secα.csc（π－α）=cscα.角度制下的角的表示：sin（180°－α）=sinα.cos（180°－α）=－cosα.tan（180°－α）=－tanα.cot（180°－α）=－cotα.sec（180°－α）=－secα.csc（180°－α）=cscα.利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（2π－α）=－sinα.tan（2π－α）=－tanα.cot（2π－α）=－cotα.sec（2π－α）=secα.csc（2π－α）=－cscα.角度制下的角的表示：sin（360°－α）=－sinα.cos（360°－α）=cosα.tan（360°－α）=－tanα.cot（360°－α）=－cotα.sec（360°－α）=secα.csc（360°－α）=－cscα.π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2+α）=cosα.cos（π/2+α）=—sinα.tan（π/2+α）=－cotα.cot（π/2+α）=－tanα.sec（π/2+α）=－cscα.csc（π/2+α）=secα.角度制下的角的表示：sin（90°+α）=cosα.cos（90°+α）=－sinα.tan（90°+α）=－cotα.sec（90°+α）=－cscα.csc（90°+α）=secα.⒉ π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2－α）=cosα.cos（π/2－α）=sinα.tan（π/2－α）=cotα.cot（π/2－α）=tanα.sec（π/2－α）=cscα.csc（π/2－α）=secα.角度制下的角的表示：sin 90°－α=cosα.cos 90°－α=sinα.tan 90°－α=cotα.cot 90°－α=tanα.sec 90°－α=cscα.csc 90°－α=secα.⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2+α）=－cosα.cos（3π/2+α）=sinα.tan（3π/2+α）=－cotα.cot（3π/2+α）=－tanα.sec（3π/2+α）=cscα.角度制下的角的表示：sin（270°+α）=－cosα.cos（270°+α）=sinα.tan（270°+α）=－cotα.cot（270°+α）=－tanα.sec（270°+α）=cscα.csc（270°+α）=－secα.⒋ 3π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2－α）=－cosα.cos（3π/2－α）=－sinα.tan（3π/2－α）=cotα.cot（3π/2－α）=tanα.sec（3π/2－α）=－cscα.csc（3π/2－α）=－secα.角度制下的角的表示：sin（270°－α）=－cosα.cos（270°－α）=－sinα.tan（270°－α）=cotα.cot（270°－α）=tanα.sec（270°－α）=－cscα.csc（270°－α）=－secα.sina=[2tana/2]/[1+tana/2]cosa=[1-tana/2]/[1+tana/2]tana=[2tana/2]/[1-tana/2]。
2024年新高一数学初升高衔接《诱导公式》含答案解析
第25讲 诱导公式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点 1 诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把α看作是锐角，则πα+是第三象限角，函数名不变，符号为πα+的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则α-是第四象限角，函数名不变，符号为α-的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则πα-是第二象限角，三角函数名不变，符号为πα-的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈【记忆规律】（1）把α看作锐角，则2πα-是第一象限角，2πα-的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα-的余弦函数值等于α的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把α看作锐角，则2πα+是第二象限角，2πα+的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα+的余弦函数值等于α的正弦函数值的相反数.知识点 2 所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02π 的角求值公式二将02π 的角转化为0π 的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将2ππ 的角转化为02π 的角求值公式五公式六实现正弦函数与余弦函数的互相转化知识点 3 诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算16πcos 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．D 【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）23πtan6=（ ）A ．B ．CD 【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）()3πcos sin π2θθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ）A ．2sin θ-B ．0C ．cos sin θθ-D ．cos sin θθ-+【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）14π20π11πsin cos tan 336⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知π1sin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．D 【变式2-1】（23-24高一上·山东菏泽·月考）若π1cos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．B ．12-C D ．12【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知α为钝角，且3sin 5α=，则()cos 3πα+=（）A ．35-B ．35C ．45D ．45-【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知α为第二象限角，若2023π1sin ,24α⎛⎫-=⎪⎝⎭则tan α=（ ）A ．BC ．D 考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果α，β满足παβ+=，那么下列式子中正确的个数是（ ）①sin sin αβ=；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=-；④cos cos αβ=；⑤tan tan αβ=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）π1ππ2πsin ,,sin 64233θθθ⎛⎫⎛⎫+=-<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．14-B ．14C ．D 【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若3π1sin 83x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则πcos 8x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；(2)7π19πtansin 46π15πcos tan34+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(3,4)--．(1)求sin α，cos α的值；(2)求9π3πsin(cos()cos()222sin(2π)sin(π)πααααα+⋅-⋅-+-⋅+的值．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知α是第三象限角，且()()()()cos πcos π1π3sin tan 2πsin π2ααααα-+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2sin 3sin cos ααα+的值；(3)角β的终边与角α关于x 轴对称，求()()3πsin π2sin 2πcos cos 5π2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()()3π5πcos sin 22πcos sin π3f θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅--.(1)若()14f θ=，求tan θ的值；(2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求4πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：()()2πcos 2sin 2πcos 2πsin 5πsin 2ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：ππsin(5πcos()sin()2213πcos(3π)cos()sin(4π)2θθθθθθ--+=--+--）.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：23ππ2sin cos 122312cos π2θθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝sin cos sin cos θθθθ+-.【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当2k =或3时，3tan(π)tan(π)sin cos(2π)sin[(21)π]cos k k k k αααααα-+=-++.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角,,A B C 是ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．cos()cos ABC +=-B ．tan()tan B C A +=C ．cossin 2A CB +=D ．sincos 22B C A+=【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A ，B ，C 是ABC 的内角，下列等式中错误的是（ ）A ．()22sincos 1A B C ++=B ．ππsin cos 44A A-+=C ．()cos cos A B C+=D ．tantan 122A B C+⋅=【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在ABC 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan2A B+= .一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）cos120= （ ）A ．B ．12-C ．12D 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知()3sin π5α+=，则sin α=（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35-3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ．13-D ．134．（23-24高一上·北京东城·期末）若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（ ）A ．B ．12-C D ．125．（23-24高一下·江西南昌·月考）若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．13C ．D ．13-6．（23-24高一上·重庆·期末）已知πsin 6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BCD ．二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（ ）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos 22αα+⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在ABC 中，下列关系不成立的是（ ）A ．()cos cos A B C+=B ．()sin sin A B C+=C ．sinsin 22A B C+=D ．coscos 22A B C+=三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+=.10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ .11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知3sin 5α=-，且α是第三象限角.(1)求cos α，tan α的值；(2)求()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值．第25讲 诱导公式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点 1 诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把α看作是锐角，则πα+是第三象限角，函数名不变，符号为πα+的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则α-是第四象限角，函数名不变，符号为α-的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则πα-是第二象限角，三角函数名不变，符号为πα-的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈【记忆规律】（1）把α看作锐角，则2πα-是第一象限角，2πα-的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα-的余弦函数值等于α的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把α看作锐角，则2πα+是第二象限角，2πα+的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα+的余弦函数值等于α的正弦函数值的相反数.知识点 2 所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02π 的角求值公式二将02π 的角转化为0π 的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将2ππ 的角转化为02π 的角求值公式五公式六实现正弦函数与余弦函数的互相转化知识点 3 诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算16πcos 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由诱导公式可得，16π16ππππ1cos cos cos 5πcos πcos 333332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）23πtan6=（ ）A．B ．C D 【答案】B【解析】23ππππtantan 4πtan tan 6666⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:B.【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）()3πcos sin π2θθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ）A ．2sin θ-B ．0C ．cos sin θθ-D ．cos sin θθ-+【答案】A【解析】()3ππcos sin πcos sin 2sin 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫-++=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）14π20π11πsin cos tan 336⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12-【解析】14π20π11ππππsin cos tan sin 5πcos 7πtan 2π336336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ11sincos tan 33622=-+==--故答案为：12--考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知π1sin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．D 【答案】A【解析】由诱导公式可得3π1sin cos 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又()1cos πcos 3αα+=-=-，故选：A.【变式2-1】（23-24高一上·山东菏泽·月考）若π1cos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．B ．12-C D ．12【答案】B【解析】由π1cos =22α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1sin 2α=，所以()1sin παsin α2+=-=-.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知α为钝角，且3sin 5α=，则()cos 3πα+=（）A ．35-B ．35C ．45D ．45-【答案】C【解析】因为22sin cos 1αα+=，且3sin 5α=，所以22916cos 1sin 12525αα=-=-=，因为α为钝角，所以4cos 5α=-，所以()4cos 3πcos 5αα+=-=.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知α为第二象限角，若2023π1sin ,24α⎛⎫-=⎪⎝⎭则tan α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【解析】由()2023π1sin cos cos 24ααα⎛⎫-=--=-=⎪⎝⎭，则1cos 4α=-，由α为第二象限角，则sin α==sin tan cos ααα==故选：A.考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果α，β满足παβ+=，那么下列式子中正确的个数是（ ）①sin sin αβ=；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=-；④cos cos αβ=；⑤tan tan αβ=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为παβ+=，所以sin sin(π)sin αββ=-=，故①正确，②错误；cos cos(π)cos αββ=-=-，故③正确，④错误；tan tan(π)tan αββ=-=-，⑤正确．故选：C【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】C【解析】因为π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππ4cos cos sin 62533ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）π1ππ2πsin ,,sin 64233θθθ⎛⎫⎛⎫+=-<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．14-B ．14C ．D 【答案】D【解析】∵2ππππsin sin cos 3626θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ,23θ-<<则πππ,362θ-<+<且π1sin 064θ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=故选：D 【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若3π1sin 83x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则πcos 8x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】13【解析】因为3πππ882x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ3π3π1cos cos sin 82883x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：13.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；(2)7π19πtansin 46π15πcos tan34+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】(1)1；(2)1-【解析】（1）()3πsin(2π)cos(3π)cos sin()(cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin cos αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----.（2）ππ7π19πππ1tan 2πsin 3πtansintan sin 146464621ππ1π15πππcos tan 1cos tan cos tan 4π3423434⎛⎫⎛⎫-+++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(3,4)--．(1)求sin α，cos α的值；(2)求9π3πsin(cos()cos()222sin(2π)sin(π)πααααα+⋅-⋅-+-⋅+的值．【答案】(1)4sin 5α=-，3cos 5α=-；(2)35【解析】（1） 角α的终边经过点(3,4)--，∴5r ===，∴4sin 5y r α==-，cos 53x r α==-；（2）9π3πsin()cos()cos()cos sin (sin )222cos sin(2π)sin(π)(sin π35)(sin )ααααααααααα+⋅-⋅-+⋅⋅-==--⋅⋅-=+-．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知α是第三象限角，且()()()()cos πcos π1π3sin tan 2πsin π2ααααα-+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2sin 3sin cos ααα+的值；(3)角β的终边与角α关于x 轴对称，求()()3πsin π2sin 2πcos cos 5π2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.【答案】【解析】（1）()()()()()()()()2cos πcos πcos cos 11πcos tan sin tan 3sin tan 2πsin π2ααααααααααα-+--===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，所以tan 0α>，所以tan α=（2）2sin 3sin cos ααα+222sin 3sin cos sin cos ααααα+=+22tan 3tan tan 1ααα+==+（3）因为α是第三象限角，且tan α=β的终边与角α关于x 轴对称，则tan β=所以3πsin(π)2sin sin 2cos tan 22π2sin cos 2tan 12cos cos(5π)2ββββββββββ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭==----⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()()3π5πcos sin 22πcos sin π3f θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅--.(1)若()14f θ=，求tan θ的值；(2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求4πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)答案见解析；(2)16【解析】（1）()()3π5πcos sin 2sin cos 222cos πsin cos sin π3f θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭===-⋅--，又因为()14f θ=，所以12cos 4θ-=，即1cos 8θ=-，所以θ为第二或第三象限角，当θ为第二象限角时，sin θ==sin tan cos θθθ==-当θ为第三象限角时，sin θ==sin tan cos θθθ==；（2）ππ12cos 663f θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π1cos 66θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4ππsin sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由πππ632θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4πππππ1sin sin sin cos 332666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：()()2πcos 2sin 2πcos 2πsin 5πsin 2ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】左边()πcos 2sin 2πcos πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅--⎡⎤⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin sin cos cos αααα=⋅--⎡⎤⎣⎦2sin sin cos sin cos ααααα=⋅⋅==右边，故原式成立.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：ππsin(5πcos()sin()2213πcos(3π)cos()sin(4π)2θθθθθθ--+=--+--）.【答案】证明见解析【解析】左边sin(5πsin cos cos(π)sin [sin(4π)]θθθθθθ--=---）sin(πsin cos sin 1cos sin (sin )sin θθθθθθθθ---===-=--）右边，故原式得证.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：23ππ2sin cos 122312cos π2θθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝sin cos sin cos θθθθ+-.【答案】证明见解析【解析】∵左边＝()2222cos sin 112sin cos 12sin cos sin θθθθθθθ⋅----=--()()()2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-++==-+--sin cos sin cos θθθθ+=-＝右边．∴原式成立．【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当2k =或3时，3tan(π)tan(π)sin cos(2π)sin[(21)π]cos k k k k αααααα-+=-++.【答案】证明见解析【解析】当2k =时，左边=23tan(2π)tan(2π)tan tan tan sin cos(4π)sin(5π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；当3k =时，左边=23tan(3π)tan(3π)tan tan tan sin cos(6π)sin(7π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；综上，2k =或3k =有原等式恒成立.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】①因为在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin sin πsin sin sin 2sin A B C C C C C C ++=-+=+=；②因为在ABC 中，πA B C ++=，()()cos cos cos πcos cos cos 0A B C C C C C ++=-+=-+=；③()()()sin 22sin 2sin 2sin 2sin 2πsin 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 2π2sin 2sin 2sin 20C C C C =-+=-+=；④()()()cos 22cos 2cos 2cos 2cos 2πcos 2A B C A B C C C⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()cos 2π2cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C =-+=+=.故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角,,A B C 是ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．cos()cos AB C+=-B ．tan()tan B C A+=C ．cossin 2A CB +=D ．sincos 22B C A+=【答案】AD【解析】对于A ：()cos()cos πcos A B C C +=-=-，故A 正确；对于B ：()tan()tan πtan B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ：ππcos cos cos sin 22222A C B B B +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：ππsinsin sin cos 22222B C A A A +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A ，B ，C 是ABC 的内角，下列等式中错误的是（ ）A ．()22sincos 1A B C ++=B ．ππsin cos 44A A-+=C ．()cos cos A B C +=D ．tantan 122A B C+⋅=【答案】C【解析】在ABC 中，πA B C ++=.对于A ，2222sin ()cos sin cos 1A B C C C ++=+=，A 正确；对于B ，πππ442A A -++=，ππsin cos 44A A -+∴=，B 正确；对于C ，cos()cos(π)cos A B C C +=-=-，C 错误；对于D ，πsin cosπ222tan tan tan tan tan tan 1π2222222sin cos 222C C A B C C C C C C C ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭⋅=-⋅=⋅=⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在ABC 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan2A B+= .【解析】因为25sincos 224C C +=，即251cos cos 224C C -+=，解得1cos 22C =，又π022C <<，所以sin 2C ==所以π1sinsin cos222tan π2cos cos sin222A B C C A B A B C C +-+=====+-一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）cos120= （ ）A．B ．12-C ．12D【答案】B【解析】()1cos120cos 18060cos 602=︒-︒=-︒=-.故选：B2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知()3sin π5α+=，则sin α=（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】D【解析】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB．C ．13-D ．13【答案】D【解析】由诱导公式可得()()1sin 3πsin πsin 3ααα+=+=-=，故π1cos sin 23αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.4．（23-24高一上·北京东城·期末）若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（ ）A ．B ．12-C D ．12【答案】C【解析】因为1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==，则()cos πcos αα-=-，故选：C.5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．13C ．D ．13-【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ1sin sin πsin 6663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6．（23-24高一上·重庆·期末）已知πsin 6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BCD ．【答案】B 【解析】因为πππ632x x -++=，所以ππππcos sin sin 3236x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B.二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（ ）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos 22αα+⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=【答案】BC【解析】对于A ，sin(3π)sin(π)sin ααα+=+=-，故A 项错误；对于B ，7πππsin sin sin cos 222222αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，5ππcos 2cos 2sin 222ααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，cos(9π3)cos(π3)cos3ααα-=-=-，故D 错误.故选：BC.8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在ABC 中，下列关系不成立的是（ ）A ．()cos cos A B C +=B ．()sin sin A B C +=C ．sinsin 22A B C +=D ．coscos 22A B C+=【答案】ACD【解析】()()cos cos πcos A B C C +=-=-，A 选项错误.()()sin sin πsin A B C C +=-=，B 选项正确.ππsinsin sin cos 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，C 选项错误.ππcoscos cos sin 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：ACD 三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+=.【答案】1-【解析】()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+()()()cos 360sin 360tan 720603045︒︒︒︒︒︒++----=cos sin n 6030t 5a 4︒︒︒=--111122=--=-.故答案为：1-10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ .【答案】tan α-【解析】原式()()sin cos sin sin tan cos cos sin cos ααααααααα-⋅-⋅-==-=-⋅⋅.故答案为：tan α-.11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．【答案】23【解析】因为π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππππ1sin sin cos 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2πππ1cos cos πcos 3333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π2π112sin cos 63333x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23.四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知3sin 5α=-，且α是第三象限角.(1)求cos α，tan α的值；(2)求()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】(1)答案见解析；(2)1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，且α是第三象限角，所以4cos 5α==-，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-；（2）由（1）知：()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-22sin cos 16cos cos tan 25ααααα-===-.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值．【答案】(1)sin α=，cos α=tan α=；(2)12-【解析】（1）因为πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭cos α=又因为22sin cos 1αα+=且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α===所以sin tan cos ααα===（2）()()()()()()()23πcos tan πsin 2πsin tan sin 12tan sin 7πcos πsin cos 2ααααααααααα⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭==-=--+-.。
高考数学诱导公式全集-
高考数学诱导公式全集高考数学诱导公式全集常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-&alpha,高中数学;)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
2019高三复习强化训练诱导公式的运用
诱导公式的运用40一．选择题（共40小题）1．cos1200°=（）A．B．C．D．2．已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．3．已知sin（π+α）=，则sin（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．4．cos（﹣π）的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣5．若sinθ+cosθ=2（sinθ﹣cosθ），则=（）A．B．C．D．6．cos=（）A．B．C．D．7．sin（﹣）﹣cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．0 D．8．已知sin5.1°=m，则sin365.1°=（）A．1+m B．﹣m C．m D．与m无关9．已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣10．若，则的值为（）A．﹣m B．C．D．m11．已知sinα=，则sin（π﹣α）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣12．若f（sinx）=sin3x，则f（cos70°）=（）13．已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A．2m B．±2m C．D．14．cos（﹣1320°）=（）A．B．C．﹣D．﹣15．sin（75°﹣α）=（）A．sin（15°﹣α）B．sin（15°+α）C．cos（15°﹣α）D．cos（15°+α）16．=（）A．B．C．D．17．若α为锐角且cos（）=，则sin（）=（）A．B．﹣ C．D．﹣18．sin（﹣）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．19．若，，则sin（2π﹣α）=（）A．B．C．D．20．已知，则下列各式中值为的是（）A．B．sin（π+α）C．D．sin（2π﹣α）21．已知a=cos（﹣2037°），b=cos852°，则a、b的大小关系为（）A．a=b B．a＞b C．a＜b D．无法确定22．计算：sin225°的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣23．已知α∈（﹣，0），sin（﹣α﹣π）=，则sin（﹣π﹣α）=（）A．B．C．﹣D．﹣24．已知f（sinx）=cos3x，则f（cos10°）的值为（）A．± B．C．﹣D．25．已知，则cos（π﹣x）=（）26．已知函数f（x）=sinx，则下列等式成立的是（）A．f（﹣x）=f（x） B．f（2π﹣x）=f（x）C．f（2π+x）=f（x）D．f（π+x）=f（x）27．已知，则=（）A．B．C．D．28．的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣29．已知，则的值为（）A．B．C．D．30．已知sinα=，则cos（﹣α）=A．﹣B．﹣ C．D．31．若cos（π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin（2π﹣α）等于（）A．﹣B．C．D．±32．cos（﹣3000）等于（）A．﹣B．﹣ C．D．33．sin sin sin（﹣）=（）A．B．C．D．34．sin2013°∈（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（，）35．已知tan（π﹣a）=2，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣36．如果，那么sin（π+A）=（）A．B．C．D．37．cos的值等于（）A．B．C．D．38．已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣39．若tan280°=a，则sin80°的结果为（）A．﹣ B．C．D．40．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+武警解放军诱导公式的运用40参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．（2017春•荆州区校级月考）cos1200°=（）A．B．C．D．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=cos（3×360°+120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣，故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（2016•汕头模拟）已知，且，则tanα=（）A．B．C．D．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B【点评】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．3．（2016•池州二模）已知sin（π+α）=，则sin（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】已知等式利用诱导公式求出sinα的值，利用二倍角的三角函数公式求出cos2α的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，则原式=cos2α=1﹣2sin2α=﹣，故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（2016春•临沂期中）cos（﹣π）的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】直接利用诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：cos（﹣π）=cosπ=cos（6π﹣）=cos=．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．5．（2016春•桐乡市校级期中）若sinθ+cosθ=2（sinθ﹣cosθ），则=（）A．B．C．D．【分析】由sinθ+cosθ=2（sinθ﹣cosθ）⇒tanθ=3，利用诱导公式将所求关系式化简为﹣sinθcosθ，再求值即可．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2（sinθ﹣cosθ），∴sinθ=3cosθ，∴tanθ=3；∵sin（θ﹣π）sin（﹣θ）=﹣sinθcosθ====﹣，故选C．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（2016春•威海期末）cos=（）A．B．C．D．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos=cos（7π+）=cos（2π+π+）=cos（π+）=﹣cos=﹣，故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7．（2016秋•惠来县校级期末）sin（﹣）﹣cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．0 D．【分析】原式先利用奇偶性质化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣sin（4π+）﹣cos（4π+）=﹣sin﹣cos=﹣﹣=﹣，故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，特殊角的三角函数值，以及函数的奇偶性质，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8．（2015秋•巴彦淖尔校级期末）已知sin5.1°=m，则sin365.1°=（）A．1+m B．﹣m C．m D．与m无关【分析】利用诱导公式即可得出．【解答】解：∵sin5.1°=m，则sin365.1°=sin5.1°=m，故选：C．【点评】本题考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题．9．（2015秋•温州校级期末）已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，求出cosα的值，再由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则tanα===﹣，故选：D．【点评】此题考查了诱导诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．10．（2015春•银川校级期末）若，则的值为（）A．﹣m B．C．D．m【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：=sin（+﹣α）=cos（﹣α）=m，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015春•滑县期末）已知sinα=，则sin（π﹣α）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】由已知及诱导公式即可求值．【解答】解：∵sinα=，∴sin（π﹣α）=sinα=．故选：C．【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．12．（2015春•保定校级期末）若f（sinx）=sin3x，则f（cos70°）=（）A．0 B．1 C．D．【分析】由题意可得f（cos70°）=f（sin20°）=sin60°，运算求得结果．【解答】解：∵f（sinx）=sin3x，∴f（cos70°）=f（sin20°）=sin60°=，故选D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．13．（2015•上海模拟）已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A．2m B．±2m C．D．【分析】先利用两角和公式把cos（x﹣）展开后加上cosx整理，进而利用余弦的两角和公式化简，把cos（x﹣）的值代入即可求得答案．【解答】解：cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=m故选C．【点评】本题主要考查了利用两角和与差的余弦化简整理．考查了学生对三角函数基础公式的熟练应用．14．（2016春•临汾校级月考）cos（﹣1320°）=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】原式角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：cos（﹣1320°）=cos1320°=cos（4×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣，故选：D．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15．（2016春•临沂校级月考）sin（75°﹣α）=（）A．sin（15°﹣α）B．sin（15°+α）C．cos（15°﹣α）D．cos（15°+α）【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin（75°﹣α）=sin[90°﹣（15°+α）]=cos（15°+α），故选：D．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．16．（2015秋•深圳校级期末）=（）A．B．C．D．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：sin=sin（670π+π+）=sin（π+）=﹣sin=﹣sin（π﹣）=﹣sin=﹣，故选：D．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．17．（2015秋•宿州期末）若α为锐角且cos（）=，则sin（）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】由已知直接结合诱导公式求得sin（）的值．【解答】解：∵cos（）=，∴sin（）=sin[]=cos（）=．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是对诱导公式的记忆，是基础题．18．（2015秋•海淀区期末）sin（﹣）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（4π+）=﹣sin=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19．（2015秋•长春校级期末）若，，则sin（2π﹣α）=（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．20．（2015春•习水县校级期末）已知，则下列各式中值为的是（）A．B．sin（π+α）C．D．sin（2π﹣α）【分析】利用三角函数的诱导公式化简各个选项，进一步求出各个选项中的函数值，得到选项．【解答】解：对于A，因为=﹣sinα=﹣，对于B，因为sin（π+α）=﹣sinα=﹣，对于C，因为cos（）=sinα=，对于D，因为sin（2π﹣α）=﹣sinα=﹣，只有C正确故选C．【点评】本题考查三角函数的诱导公式并用公式化简各个三角函数，要记准、记熟公式，属于基础题．21．（2015春•亳州校级期中）已知a=cos（﹣2037°），b=cos852°，则a、b的大小关系为（）A．a=b B．a＞b C．a＜b D．无法确定【分析】利用诱导公式可得a=cos123°，b=cos132°，又函数y=cosx在（0，180°）上单调递减，132°＞123°，可得a、b的大小关系．【解答】解：∵a=cos（﹣2037°）=cos（﹣360°×5+123°）=cos123°，又∵b=cos852°=cos132°，又函数y=cosx在（0，180°）上单调递减，132°＞123°，∴cos132°＜cos123°，即a＞b，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．22．（2014•武鸣县校级模拟）计算：sin225°的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°=﹣．故选B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．23．（2014•商丘二模）已知α∈（﹣，0），sin（﹣α﹣π）=，则sin（﹣π﹣α）=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出cosα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣α﹣π）=﹣sin（α+π）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（﹣π﹣α）=﹣sin（π+α）=sinα=﹣．故选：D．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．24．（2015春•张掖校级月考）已知f（sinx）=cos3x，则f（cos10°）的值为（）【分析】将cos10°化为sin80°，直接代入解析式计算即可．【解答】解：因为cos10°=sin（80°+360°k）=sin（100°+360°k），k∈Z，并且f（sinx）=cos3x，所以f（cos10°）=f（sin（80°+360°k）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=；或者f（cos10°）=f（sin（100°+360°k）=cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=；故选A．【点评】本题考查了运用三角函数的诱导公式化简求值，关键是熟练诱导公式；口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．25．（2015秋•淄博校级月考）已知，则cos（π﹣x）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】利用诱导公式化简已知条件与所求表达式，然后求解即可．【解答】解：，sinx=，cos（π﹣x）=﹣cosx=﹣．故选：D．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．26．（2015春•红河州校级月考）已知函数f（x）=sinx，则下列等式成立的是（）A．f（﹣x）=f（x） B．f（2π﹣x）=f（x）C．f（2π+x）=f（x）D．f（π+x）=f（x）【分析】由条件利用正弦函数的周期性，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinx，∴函数f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x），故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．27．（2015秋•乐清市校级月考）已知，则=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：，则=．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，是基础题．28．（2015秋•商洛校级月考）的值为（）【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：=cos（﹣）=cos=﹣cos=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．29．（2015秋•重庆校级月考）已知，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．30．（2013秋•丽水期末）已知sinα=，则cos（﹣α）=A．﹣B．﹣ C．D．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵sinα=，∴cos（﹣α）=sinα=．故选C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．31．（2014春•凉州区校级期末）若cos（π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin（2π﹣α）等于（）A．﹣B．C．D．±【分析】通过诱导公式，求出cosα的值，进而求出sin（2π﹣α）=sinα的值．【解答】解：∵∴sin（2π﹣α）=﹣sinα==故选B．【点评】本题考查了诱导函数的应用，注意角的范围的应用，属于基础题型．32．（2014•海淀区校级模拟）cos （﹣3000）等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【分析】利用三角函数关系式与诱导公式即可求得cos （﹣3000）的值．【解答】解：∵cos （﹣3000）=cos （﹣3600+60°）=cos60°=．故选C ．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．33．（2014•云南一模）sin sin sin （﹣）=（ ）A ．B ．C ．D ． 【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，然后利用二倍角公式化简求值即可．【解答】解：sin sin sin （﹣）=sin sin sin （﹣4π+）=sin sin sin=cos cos cos=cos cos cos=cos cos cos== =．故选：A ．【点评】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查计算能力．34．（2014•罗湖区校级二模）sin2013°∈（ ）A ．（﹣，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（，）D ．（，）【分析】利用诱导公式把sin2013°化为﹣sin33°，再根据 30°＜33＜45°，利用函数的单调性求得sin33°的范围，可得﹣sin33°的范围．【解答】解：sin2013°=sin（5×360°+213°）=sin213°=sin（180°+33°）=﹣sin33°，∵30°＜33＜45°，∴＜sin33°＜，∴﹣＜﹣sin33°＜﹣．故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．35．（2014春•凉州区校级期中）已知tan（π﹣a）=2，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出tanα的值，原式利用同角三角函数间基本关系弦化切后将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan（π﹣a）=﹣tanα=2，∴tanα=﹣2，则原式====﹣．故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．36．（2013秋•红桥区期末）如果，那么sin（π+A）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式化简已知表达式，通过A的象限利用同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】解：∵cos（π+A）=﹣cosA=﹣，∴cosA=，∴sin（π+A）=﹣sinA，当为第一象限角时，sinA=，当A为第四象限角时，sinA=，∴sin（π+A）=﹣sinA=．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式，考查分类讨论思想以及计算能力．37．（2014春•凉州区校级期末）cos的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据cos=cos（+），再利用两角和的余弦公式进行化简可得结果．【解答】解：cos=cos（+）=cos cos﹣sin sin=﹣=，故选：C．【点评】本题主要考查利用两角和的余弦公式进行化简求值，属于基础题．38．（2013•攀枝花一模）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用诱导公式把转化成sin（﹣α），进而利用题设中的条件求得答案．【解答】解：=sin（﹣﹣α）=sin（﹣α）=﹣故选D【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题过程中注意运用诱导公式的时候正负号的变化．39．（2014春•夏津县校级月考）若tan280°=a，则sin80°的结果为（）A．﹣ B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式求得cos10°=﹣，从而求得sin80°=cos10°的值．【解答】解：∵a=tan280°=tan100°=﹣cot10°=﹣=﹣＜0，解得cos10°=﹣，则sin80°=cos10°=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于中档题．40．（2014秋•和平区校级月考）tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】运用诱导公式易得tan300°=﹣tan60°=﹣，==1，从而可得tan300°+的值．【解答】解：因为tan300°+=tan（360°﹣60°）+，由诱导公式一知，tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣，又=，故tan300°+=1﹣，故选：B．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查运算能力，属于中档题．。
高考数学诱导公式
高考数学诱导公式同学们，关于高考数学的诱导公式，你们都记全了吗?下面跟我一起来学习一下高考数学诱导公式吧!公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)留意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
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《诱导公式的运用》链接高考
三年模拟练
1.(★☆☆)tan 300sin 450+的值为（ ）
A.1
B.1
C.1--
D.1-+2.(★★☆)已知()33,,tan ,224ππααπ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭
则sin cos αα+的值是（ ） A.15
± B.15
C.15
- D.75
- 3.(2018山东青岛二中高一上期末，★★☆，数学运算)已知角α的终边上有一
点()1,3,P 则()()sin sin 23cos 2cos 2ππααπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
的值为（ ） A.25
- B.45
- C.47
-
D.-4
4.(★★★)
(1)化简2;sin1601sin 20--
(2)已知tan 2,α=求()()sin sin 2.3cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭
五年高考练 1.(2018浙江，18(1)改编，5分，★☆☆，数学运算)已知角α的顶点与原点O 重
合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,.55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
则()sin απ+=___. 2.(2016四川，11，5分，★☆☆，数学运算)sin 750=___.
3.(2017北京，9，5分，★★☆，直观想象)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3
α=，则sin β=___. 4.(2016课标全国I ，14，5分，★★★，逻辑推理)已知θ是第四象限角，
且3sin ,45πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___.
参考答案
三年模拟练
1.
答案：B
解析：()()tan300sin 450tan 36060sin 36090+=-++=
tan 60sin 9031,-+=-+故选B.
2. 答案：C
解析：由()()3tan tan tan 0,4αππαα-=--==-<且3,,22
ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 得,2π
απ
<<因此43cos ,sin tan cos ,55αααα==-∴== 从而1sin cos ,5
αα+=-故选C. 3.
答案：A
解析：依题意得tan 3,y x α==则()()sin sin 23cos 2cos 2ππααπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
sin cos tan 1312,sin 2cos tan 2325
αααααα---===-------故选A.
4. 答案：见解析 2cos 20sin 20 1.sin 20cos 20sin1601sin 20-==---- ⑵因为tan 2,α=所以()()sin sin sin cos 23sin cos cos cos 2ππααααααπαπα⎛⎫+-+ ⎪--⎝⎭==-⎛⎫++- ⎪⎝⎭
tan 1 3.tan 1
αα--=--
五年高考练
1.
答案：见解析
解析：由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin ,5α=-所以()4sin sin .5απα+=-= 2.
答案：见解析
解析：()1sin 750sin 72030sin 30.2
=+== 3.
答案：见解析
解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可得()21,,k k Z βπα=+-∈
()11sin ,sin sin 21sin .33k αβπαα=∴=+-==⎡⎤⎣⎦ 4.
答案：见解析
解析：3,sin cos ,442445πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=∴+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又22,,22,,2444k k k Z k k k Z π
π
π
π
πθππθπ-<<∈∴-<+<+∈
44cos ,sin ,tan 45454πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+==∴-=∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
sin 444,tan tan .3443cos 4πθππθθπθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=∴-=--=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭。