2章作业
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2.1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．
表2-22
j ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=0
1801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、
（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为
1231231231231231
23
12123max 801501801324180.525970.4
1430210.84025340.9812100.3
11150.2,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪
⎪++≤⎪
++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪
≥⎩
2.2写出下列线性规划的对偶问题
（1）123
123
123123
min 3536824,,0x x x x x x x x x x x x =++-++≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩ 【解】12
12121212max 8423
35
61,0
w y y y y y y y y y y =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩
3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束432
14321432143214
321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123
123123123
123
123min 810610741
682
264453
0,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； 2.3考虑线性规划
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥+≥+≥++=0
,732254
42012min 2121212121x x x x x x x x x x Z
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；
(3)利用公式C B B －
1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为
123123123max 427212453200,1,2,3j
w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪
++≤⎨⎪≥=⎩
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。
(4)由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式
1212
44
237x x x x +=⎧⎨
+=⎩ 得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。
2.5已知线性规划
123123123123123max 152055556631070,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥⎩无约束
的最优解1
19(,0,
)44
T
X =，求对偶问题的最优解． 【解】其对偶问题是：
123123123
123123min 5675315561020
5,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨
++=⎪⎪≥⎩ 由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零(30s x ≠)，x 1、x 3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于3
0s x ≠知y 3＝0；解方程
1212
515
5y y y y +=⎧⎨
+=⎩ 得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w ＝55/2＝27.5
2.7．某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见表2-23．
表2-23
（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少．
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg ，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A 和C 两种产品． （6）由于市场的变化，产品B 、C 的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划． （7）工厂计划生产新产品D ，每件产品D 消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg ，2kg 及1kg ，每件产品D 应获利多少时才有利于投产． 【解】（1）设 x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为
123123123123123max 4321200
2350026000,0,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥≥⎩ 最优单纯形表：