弹性力学第二章应力理论

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弹性力学第二章应力状态理论

同理，由 Fy 0, Fz 0 :
fvx , fvy , fvz为fv在 x, y, z轴上的投影
fvy ms y n zy l xy fvz ns z l xy m yz
➢应力张量为对称张量。
➢ 一点的应力状态完全由应力张量确定。
应力状态理论
§2－4 与坐标倾斜的微分面上的应力
z
C
o x
v
xy sx
sy
yx
xzfv
yz P zy zx
B
A
sz
PABC 的体积为 V
体力为 Fx，Fy，Fz
ABC 上的应力为 fv
v ― 平面ABC的外法线 v的方向弦为：
cos(v, x) l cos(v, y) m cos(v, z) n
应力状态理论
x面的应力： s x , xy , xz
y面的应力： s y , yx , yz
z面的应力： s z , zx , zy
应力状态理论
➢ 一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列
e123 e231 e312 1
e132 e321 e213 1
应力状态理论
二阶对称张量反对称张量
Tij T ji Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。
应力状态理论
第二章应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关

弹性力学第二章应力分析

ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，

∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0

∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量方程为

弹性力学的应力分析与优化

弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。

在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。

本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。

一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。

应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。

应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。

拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。

拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。

拉应力越大，物体的变形程度越大。

剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。

剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。

剪应力越大，物体的变形程度越大。

压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。

压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。

压应力越大，物体的变形程度越大。

在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。

解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。

数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。

二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。

优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。

优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。

形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。

例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。

形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。

2 第二章应力和应变

第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。

现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。

虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。

三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。

应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。

2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。

平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。

在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。

在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。

t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。

在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。

上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。

图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。

应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。

对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。

第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。

它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。

本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。

现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

弹性力学第二章应力理论

主应力 & 应力不变量
应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且
1 2 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力的性质
3I12I2I30
➢ 不变性由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。
1, 2, 3
1, 2 , 3
➢ 实数性即特征方程的根永远是实数。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
n==ijij =11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
e3
11
e1
32
31
23
13
22
12 21
x2 e2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1jej
(2) 21e1 22e2 23e3 2jej
(3) 31e1 32e2 33e3 Nhomakorabea 3jej x3 33
主应力 & 应力不变量
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z

2--弹性力学基本理论

yz

zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定：正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定：正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
Í¼ 1-1a
x
0
sx x
Í¼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
Í¼ 1-3a Í¼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介质充满，不考虑材料缺陷，在物体内的物理量是连续的, 可以采用连续函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点

弹性力学弹性体的应力与应变关系

弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。

其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。

弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。

一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。

它是描述物体受力情况的物理量。

应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。

应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。

应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。

二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。

弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。

这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。

三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。

根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。

具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。

胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。

此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。

超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。

四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。

它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。

常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。

2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

第二章知识点：（1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。

可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。

（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量（6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。

弹性力学中的应力分布

弹性力学中的应力分布弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的科学，广泛应用于工程设计和材料研究。

在弹性力学中，应力分布是一个非常重要的概念，它描述了物体在外力作用下的内部应力状况。

本文将探讨弹性力学中的应力分布及其影响因素。

首先，我们需要了解什么是应力。

应力是单位面积上的力，它描述了物体内部各点对面积上的单位力的反应。

根据牛顿定律，应力可以分为两种类型：拉应力和压应力。

当物体受到外拉力时，其内部发生拉伸，此时的应力被称为拉应力；相反，如果物体受到外压力，则会发生压缩，产生压应力。

所以，根据力的作用方向和力对单位面积的作用方式，我们可以确定应力的类型。

其次，应力的分布不是均匀的，而是随着物体的形状和受力情况而变化的。

在弹性力学中，最简单的情况是一维拉伸或压缩。

在这种情况下，物体的形状是直线型，应力的分布是线性的，即应力随着位置的改变而线性变化。

这可以用胡克定律来描述，胡克定律指出应力与应变之间存在线性关系。

应变是物体形变程度的度量，可以用长度或角度的变化来表示。

当物体受到拉力时，它会产生拉伸应变，而当物体受到压力时，会产生压缩应变。

然而，实际情况往往更加复杂。

当物体的形状不再是直线时，应力的分布就有所变化。

例如，在悬臂梁或梁上的集中力作用下，应力的分布呈现出不均匀的情况。

在这种情况下，物体的形状是曲线状，应力的分布也会随之变化。

在曲线的凸起部分，应力较大，在曲线的凹陷部分，应力较小。

这是因为在曲线的凸起部分，物体受到的外力更大，所以产生更大的应力。

这种现象在工程设计中是非常重要的，因为不均匀的应力分布可能导致物体的破坏。

此外，应力分布还受到材料的性质和外力的大小和方向的影响。

不同的材料对外力的响应方式不同，有些材料更容易变形，有些材料则更难变形。

这取决于材料的弹性模量，即材料在受力下的变形程度。

弹性模量越大，材料的刚度越大，物体的形变程度越小。

因此，不同的材料在受力下会产生不同的应力分布。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS，厚度为一个单位长度，N为该面的外法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

第二章应力状态理论(弹性力学)

应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面正应力和切应力。正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力等。表示。单位：力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S

弹性力学第二章平面问题的基本理论

常体力情况下的简化（2）
— 求解平衡方程
平衡方程所求的应力函数必须满足以下方程：应力调和方程
其中
式的解为
式的通解加上
式的特解：
常体力情况下的简化（3）
— 平衡方程的特解
特解一：特解二：特解三：
常体力情况下的简化（4）
— 平衡方程的通解
剪应力相等：
艾里George Airy (1801-1892)应力函数
平面应力问题
平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也平行于板面且不沿厚度变化。
z
x
h
y
平面应变问题
平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变化。
则有：
最后得到：
因此，由
中第一式：
由
中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
代入应力调和方程
得到：
简写为：
y x
z
物理方程
这里，E为弹性模量，G为剪切模量，µ 泊松系数，且有如下关系：
平面应力问题的物理方程
注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变不为零。
平面应变问题的物理方程
注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力不为零。
平衡微分方程 (1)
o x
c
y
平衡微分方程 (2)
F F F/A F F/A
F
F/2 F/2

第二章弹性力学的基本方程

在二维笛卡尔空间中, 下标用小写希腊字母表示,并取
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei

弹性力学_第二章__应力状态分析

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

弹性力学第2章—应力

τyz
px
O
τzy
τxz
τzx
σz
σx
py
B
y
( ) σ x′
=
σ
x
l
2 x′x
+
σ
y
l
2 x′y
+
σ
z
l
2 x′z
+
2 τ xy lx′xlx′y
+ τ yz l lx′y x′z
+ τ zxlx′xlx′z
即 σ1′1′ = l1′il1′ jσ ij
σ σ 同理可得 σ1′2′ = σ l l1′i 2′ j ij ， = l l 1′3′ 1′i 3′ j ij
pn
=
lim
ΔSC →0
ΔP ΔSC
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
O
y
x
2.1 应力的概念
应力的分解:
应力矢量分解为正应力（截面法向）和剪应力（切向）
正应力剪应力
σn τn
= =
lim
ΔSC →0
lim
ΔSC →0
ΔPn ΔSC ΔPs ΔSC
⎫
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
pn = σ nn + τ ns
z
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
σ n = pn ⋅ n
O
τ n = pn ⋅ s =
p2
−
σ
2 n
y
x
2.1 应力的概念
一点的应力状态：
过固体内部一点的所有截面上应力的集合

弹性力学3-应力状态、几何方程

1、主应力—由三个应力分量
s
x
,s
y
,t
求解主应力及主方向
xy
由式（2-4、2-5），斜面应力随角度变化，如某一斜面上的切
应力为零t n 0 ，则该斜面上的正应力s n 称为P点的一个主
应力，该斜面就称为该点的一个应力主面，该斜面方向（法线
方向）就称为该点的一个应力主方向。
由于切应力为零 t n 0 ，全应力就等于该面上的正应力。
(2-3b)
注意体力项的作用。以上推导用到了切应力互等定理。
第二章平面问题的基本理论
2.3 平面问题中一点的应力状态-斜面上的应力
2、过P点斜面上的应力的正应力和剪应力分量sn、tn
由Px、Py 分别向斜面法向和切向的投影+切应力互等定理可得：
s n lpx mpy t n lpy mpx
s1 = sx s y
s2
2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
B
y
O
P t yx s y
x
t xy
s1
s2
sx
可以看出：s x s y =s1 s2 I
※ 应力张量第一不变量
sx
y
s2
s1
t xy
1
t yx
sy
第二章平面问题的基本理论
2.3 平面问题中一点的应力状态-主应力及方向
2、主应力方向
主应力面（主平面）：主应力 s 所在的 O
第二章平面问题的基本理论 2.4几何方程
当应变分量全为0时： x y g xy 0
由几何方程得：u 0, v 0, v u 0
x
y

弹性力学第2章—应力

⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ [σ ij ] = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢ ⎥ τ τ σ zx zy z ⎣ ⎦
i, j = x, y , z
τzx
σy
σz
τzy
σx
τyx τ xyτ τ xz yx τ xz τ xy τyz
σxτ
τ yz Δz σ
y
O
σz Δy
zy
τzx
截面上的切应力：
2 n
τyz
px
x
A
τzy
τzx
σz
τxz p y
σx
B
y
τ = pi pi − σ = σ ij n jσ ik nk − (σ ij n j ni )
2
2.2 一点的应力状态
应力分量的转换方程
应力张量在坐标变换时的转换公式和 Ox ′y ′z ′ ，其中 x ′ 轴取为斜截面的法向 n ，并通过O点。沿 x ′ 轴方向的正应力为令变换前后的坐标系分别为Oxyz
Δx
y
x
2.1 应力的概念
应力张量的特点:
当坐标系变换时，另一坐标系
σ ij 能够按照一定的变换式变换成 Ox ′y ′z ′ 中的九个分量 σ i′j′
i ′, j ′ = x ′, y ′, z ′
⎡ σ x′ τ x′y′ τ x′z′ ⎤ ⎥ [σ i′j′ ] = ⎢ τ σ τ y′ y ′z ′ ⎥ ⎢ y′x′ ⎢ ⎣τ z′x′ τ z′y′ σ z′ ⎥ ⎦
同理可得 σ 1′ 2′ = l1′i l2′ jσ ij ，
σ 1′ 3′ = l1′il3′ jσ ij
2.2 一点的应力状态

弹性力学第二章 应力理论

弹性力学 第二章应力状态理论

弹性力学 第二章 应力分析

弹性力学的应力分析与优化

2 第二章 应力和应变

第二章：弹性力学基本理论及变分原理

弹性力学第二章 应力理论

2--弹性力学基本理论

弹性力学弹性体的应力与应变关系

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

弹性力学中的应力分布

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

第二章应力状态理论(弹性力学)

弹性力学第二章平面问题的基本理论

第二章弹性力学的基本方程

弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性力学第2章—应力

弹性力学3-应力状态、几何方程

弹性力学第2章—应力

弹性力学第二章应力理论

弹性力学第二章应力状态理论

弹性力学第二章应力分析

2 第二章应力和应变

弹性力学第二章应力理论