四种命题及其关系课件(精品)
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四种命题的关系PPT精品课件_1
离不相等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 两个三角形全等,则它们的面积相等. 真 逆命题 两个三角形的面积相等,则它们全等. 假 否命题 两个三角形不全等,则它们的面积不相等.
假 逆否命题 两个三角形的面积不相等,则它们不全等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题“若m ≤ 0,或n ≤ 0,则m+n ≤ 0”假
《塞纳河上的渡船》
全世界最伟大的作曲家路德维希·冯·贝多芬 。1770年生 于德国波恩市。他从小就表现出了音乐天赋。贝多芬将近 而立之年时就有了失聪的先兆，贝多芬快到50岁时已经完 全耳聋。实际上贝多芬在完全失聪的岁月里，谱写出的乐 章超出了他早期作品的水准。一般认为他在晚年的岁月里 创作的作品是他一生中最伟大的杰作。他1827年在维也纳 去逝，终年57岁。
梵高自画像
“相信我吧，在艺术问题 上，下面这句话是真实的： 老老实实是最好的办法， 宁肯不厌其烦地严肃钻研， 而不要投机取巧、哗众取 宠。”
——梵高
这句话说明梵高的成功 之路是怎么走出来的？
梵高（1853—1890） 又译凡高，19世纪荷兰著名画家，后期印象主义画派
的代表人物。出生于荷兰的津德尔特。他的画主要以下 层人民的生活为内容，如他以贫苦农民的生活为题材， 创作了《食土豆者》。他决定自由地运用色彩，用夸张 的手法，更有力地表达自己的主观感受。这一时期，他 创作了大量后来的传世名作，如《向日葵》、《椅子和 烟斗》、《咖啡馆夜市》等。《向日葵》是梵高的代表 作之一。
x2 +y2>0 即x2+y2 ≠ 0 这表明：原命题的逆否命题为真命题，从而
原命题也为真命题。
证明：若p2+q2=2, 则p+q≤2
《四种命题及其关系》课件
间接推理规则
如果已知一个命题为假，则可以通过 否定该命题来推导出其他相关命题的 真假性。例如，如果已知原命题为假 ，则可以推导出逆否命题也为假。
举例说明
举例1
设原命题为“所有偶数都是正数 ”，则其逆否命题为“所有非正 数都不是偶数”。由于原命题为 假（因为存在负偶数），所以逆
否命题也为假。
举例2
设原命题为“所有三角形都是多 边形”，则其逆否命题为“所有 非多边形都不是三角形”。由于 原命题为真，所以逆否命题也为
真。
举例3
设原命题为“所有动物都是生物 ”，则其逆命题为“所有生物都 是动物”。由于逆命题为假（因 为存在植物等非动物生物），所
以原命题也为假。
PART 03
四种命题的应用场景
数学领域
几何学
在几何学中，四种命题可以用来描述和证明各种几何性质和定理。例如，在三 角形中，可以通过四种命题来证明角平分线、中线、高线等性质。
逆命题
如果一个人会教书，那么他是 老师。
否命题
如果一个人不是老师，那么他 不会教书。
逆否命题
如果一个人不会教书，那么他 不是老师。
PART 02
四种命题的真假关系
真假关系
1 2 3
互为逆否的两个命题真假性相同
如果一个命题为真，则其逆否命题也为真；如果 一个命题为假，则其逆否命题也为假。
原命题与逆否命题同真假
推理
根据等腰三角形的定义，两个腰相等是等腰三角形的基本性质，因此 这是一个真命题。
结论
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个腰相等。这是一个真命 题。
2023-2026
END
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
THANKS
感谢观看
如果已知一个命题为假，则可以通过 否定该命题来推导出其他相关命题的 真假性。例如，如果已知原命题为假 ，则可以推导出逆否命题也为假。
举例说明
举例1
设原命题为“所有偶数都是正数 ”，则其逆否命题为“所有非正 数都不是偶数”。由于原命题为 假（因为存在负偶数），所以逆
否命题也为假。
举例2
设原命题为“所有三角形都是多 边形”，则其逆否命题为“所有 非多边形都不是三角形”。由于 原命题为真，所以逆否命题也为
真。
举例3
设原命题为“所有动物都是生物 ”，则其逆命题为“所有生物都 是动物”。由于逆命题为假（因 为存在植物等非动物生物），所
以原命题也为假。
PART 03
四种命题的应用场景
数学领域
几何学
在几何学中，四种命题可以用来描述和证明各种几何性质和定理。例如，在三 角形中，可以通过四种命题来证明角平分线、中线、高线等性质。
逆命题
如果一个人会教书，那么他是 老师。
否命题
如果一个人不是老师，那么他 不会教书。
逆否命题
如果一个人不会教书，那么他 不是老师。
PART 02
四种命题的真假关系
真假关系
1 2 3
互为逆否的两个命题真假性相同
如果一个命题为真，则其逆否命题也为真；如果 一个命题为假，则其逆否命题也为假。
原命题与逆否命题同真假
推理
根据等腰三角形的定义，两个腰相等是等腰三角形的基本性质，因此 这是一个真命题。
结论
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个腰相等。这是一个真命 题。
2023-2026
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《四种命题及其关系》课件
( 3 ) 若 f ( x ) 不 是 正 弦 函 数 , 则 f( x ) 不 是 周 期 函 数 . ( 4 ) 若 f( x ) 不 是 周 期 函 数 , 则 f( x ) 不 是 正 弦 函 数 .
思考：上面四个命题中，命题
（1）与命题（2）（3）（4）的条
件和结论之间分别有什么关系？
2021/10/10
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（
）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。
2021/10/10 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假） 20
否命题 若﹁ p则﹁ q
2021/10/10
逆否命题 若﹁ q则﹁p
14
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面 四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假Байду номын сангаас
假
(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假
性没有关系.
2021/10/10
原命题：若 p, 则 q
逆命题：若 q, 则 p
2021/10/10
5
例如:命题“同位角相等，两直线平 行”的逆命题是
两直线平行，同位角相等。
原命题与其逆命
题的真假是否存
在相关性呢?
2021/10/10
思考：上面四个命题中，命题
（1）与命题（2）（3）（4）的条
件和结论之间分别有什么关系？
2021/10/10
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（
）个。
答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。
2021/10/10 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假） 20
否命题 若﹁ p则﹁ q
2021/10/10
逆否命题 若﹁ q则﹁p
14
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面 四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假Байду номын сангаас
假
(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假
性没有关系.
2021/10/10
原命题：若 p, 则 q
逆命题：若 q, 则 p
2021/10/10
5
例如:命题“同位角相等，两直线平 行”的逆命题是
两直线平行，同位角相等。
原命题与其逆命
题的真假是否存
在相关性呢?
2021/10/10
四种命题及其关系PPT课件
-
2
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
2. 若f(x)是周期函数，p 则f(x)是正弦函数；q
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另
一个命题的结论和条件，这两个
命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
-
3
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
2.
若3. f若(xf)(是x)正不弦是函正数弦，函p则数f，(x则)是f(周x)期不函是数周；期q函数.
非p
非q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q 的否定分别记作 “非p” “非q”
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
-
16
(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.
. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.
否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等.
逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等.
原命题 (真) 否命题 (假)
逆命题 (假) 逆否命题 (真)
-
17
(3)相等的角是对顶角
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真． 否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真．
高二数学四种命题的相互关系PPT优秀课件
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接 地证明原命题为真命题.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析: 将若“p2+q2=2,则p+q2”视为原命
题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的
逆否命题“若p+q>2,则p2+q22”为真命
=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
小结：
1、四种命题的相互关系
2、四种命题的真假判断
原命题
逆命题
否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
P10 习题1.1A组 4
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
我们发现，命题（2）（3）是互 为逆否命题，命题（2）（4）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
互逆
逆否命题
若¬q,则¬p
前面考察了四种命题之间的相互关系。
题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
证明: 若p+q>2,则
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析: 将若“p2+q2=2,则p+q2”视为原命
题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的
逆否命题“若p+q>2,则p2+q22”为真命
=(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
小结：
1、四种命题的相互关系
2、四种命题的真假判断
原命题
逆命题
否命题
真
真
真
真
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
P10 习题1.1A组 4
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
我们发现，命题（2）（3）是互 为逆否命题，命题（2）（4）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
原命题
互逆
若q，则p
逆命题
互
互
否
否
否命题
若¬p,则¬q
互逆
逆否命题
若¬q,则¬p
前面考察了四种命题之间的相互关系。
题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
证明: 若p+q>2,则
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
四种命题及其关系课件
四种命题间的相互关系
复习回顾
1．一般地，在数学中我们把用语言，符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题,其中(1) 判断为真的语句 叫做真命 题,(2) 判断为假的语句 为假命题.
2.怎样判断一个数学命题的真假
(1)数学中判定一个命题是真命题，要 经过证明． (2)要判断一个命题是假命题，只需举 一个反例即可．
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾. 所以，弦AB、CD不被P平分.
A
C
O
P
D B
反证法
一般以下几种情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现的一类 命题；
（2）有关结论是以“至多”，或“至少” 的形式出现的一类命题； （3）关于唯一性、存在性的命题； （4）结论的反面比原结论更具体、更容 易研究的命题（正难则反）.
“若 q, 则
例题分析 例1：若原命题是“同位角相等，两直线 平行”，请写出它的逆命题，否命题，逆 否命题 逆命题：两直线平行，同位角相等. 否命题：同位角不相等，两直线不平行.
逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.
巩固练习 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否 命题，并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整 数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个 三角形有两个角相等； (3)奇函数的图像关于原点对称.
命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的 否定 和条件的 否定 ，那么我们把这样的
两个命题叫做互为 逆否命题．其中一个命 题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆 否命题．
四种命题间的相互关系：
原命题 若p则q 互 否 互逆 逆命题 若q则p 互 否 逆否命题 若¬ q则¬ p
复习回顾
1．一般地，在数学中我们把用语言，符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题,其中(1) 判断为真的语句 叫做真命 题,(2) 判断为假的语句 为假命题.
2.怎样判断一个数学命题的真假
(1)数学中判定一个命题是真命题，要 经过证明． (2)要判断一个命题是假命题，只需举 一个反例即可．
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾. 所以，弦AB、CD不被P平分.
A
C
O
P
D B
反证法
一般以下几种情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现的一类 命题；
（2）有关结论是以“至多”，或“至少” 的形式出现的一类命题； （3）关于唯一性、存在性的命题； （4）结论的反面比原结论更具体、更容 易研究的命题（正难则反）.
“若 q, 则
例题分析 例1：若原命题是“同位角相等，两直线 平行”，请写出它的逆命题，否命题，逆 否命题 逆命题：两直线平行，同位角相等. 否命题：同位角不相等，两直线不平行.
逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.
巩固练习 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否 命题，并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整 数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个 三角形有两个角相等； (3)奇函数的图像关于原点对称.
命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的 否定 和条件的 否定 ，那么我们把这样的
两个命题叫做互为 逆否命题．其中一个命 题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆 否命题．
四种命题间的相互关系：
原命题 若p则q 互 否 互逆 逆命题 若q则p 互 否 逆否命题 若¬ q则¬ p
四种命题、 四种命题间的相互关系 课件
例 3 证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、 b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
方法二 假设 a＋b<0，则 a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知条件 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故 a＋b≥0. 小结 在解答命题的过程中很容易把逆否命题的证法与反 证法混淆，导致错误的原因是忽视了这两种证法的本质区 别．
小结 (1)在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一 是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判 断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行 判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同 真同假． (2)不论用哪种方法判断命题的真假，都要和相关的数学知 识结合，因此要熟练掌握相关的数学知识．
答案 命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是 命题(2)的条件． 对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定．
(1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．
解 (1)原命题：“如果 a 是正数，则 a 的平方根不等于 0”． 逆命题：“如果 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”． 否命题：“如果 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”． 逆否命题：“如果 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”． (2)原命题：“如果 x＝2，则 x2＋x－6＝0”． 逆命题：“如果 x2＋x－6＝0，则 x＝2”． 否命题：“如果 x≠2，则 x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“如果 x2＋x－6≠0，则 x≠2”．
命题及其关系01四种命题PPT教学课件
我们把用语言、符号或式子表达的，
可以判断真假的语句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假
的语句称为假命题． 2020/12/10
2
命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q” 的形式 也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题 的条件,q叫做结论.
记做: pq
原命题为真，它的否命题不一定为真；
20原20/12/1命0 题为真，它的逆否命题一定为真.
10
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 同时指出它们的真假。
（1）菱形的对角线互相垂直且平分；
（2）四边相等的四边形是正方形；
（3）负数的平方是正数；
2020/12/10
两个互为逆否的命题同真或同假
2020/12/10
14
课后练习
1．命题“内错角相等，则两直线平行”的
否命题为（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线不平行，则内错角不相等
C．内错角不相等，则两直线不平行
D．内错角不相等，则两直线平行
2．命题“若 a b ，则 a 1”的逆否命题为（ ） b
A．若 a 1，则 a b B．若 a ≤ b ，则 a ≤1
b
b
C．若 a b ，则 b a D．若 a ≤1，则 a ≤ b b
2020/12/10
15
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
16
2020/12/10
1
问题1:下面的语句的表述形式有什么特点？ 你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3) 2+3=6; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根；
可以判断真假的语句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假
的语句称为假命题． 2020/12/10
2
命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q” 的形式 也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题 的条件,q叫做结论.
记做: pq
原命题为真，它的否命题不一定为真；
20原20/12/1命0 题为真，它的逆否命题一定为真.
10
例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题， 同时指出它们的真假。
（1）菱形的对角线互相垂直且平分；
（2）四边相等的四边形是正方形；
（3）负数的平方是正数；
2020/12/10
两个互为逆否的命题同真或同假
2020/12/10
14
课后练习
1．命题“内错角相等，则两直线平行”的
否命题为（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线不平行，则内错角不相等
C．内错角不相等，则两直线不平行
D．内错角不相等，则两直线平行
2．命题“若 a b ，则 a 1”的逆否命题为（ ） b
A．若 a 1，则 a b B．若 a ≤ b ，则 a ≤1
b
b
C．若 a b ，则 b a D．若 a ≤1，则 a ≤ b b
2020/12/10
15
PPT教学课件
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2020/12/10
1
问题1:下面的语句的表述形式有什么特点？ 你能判断它们的真假吗？ (1)若xy＝1，则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等； (3) 2+3=6; (4)如果b≤－1，那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根；
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20
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p2 q2 ≥2 pq ,
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
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2
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件 和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;
2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系：
作业：习题1.1 A组 2-4题
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
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21
练习 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设 a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
a <b aaba
abbb a<b
a= ba=b
这些条件都与已知ab0矛盾
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命
题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条
件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
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17
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下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、 （4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
则这个三角形有两个角相等； 真命题 逆命题：若一个三角形有两个角相等，
则这个三角形有两条边相等. 真命题 否命题：若一个三角形没有两条边相等
，则这个三角形没有两个角相等. 真命题
逆否命题：若一个三角形没有两个角相等 ，则一个三角形没有两条边相等. 真命题
（3）四条边相等的四边形是正方形.
改写:若一个四边形的四条边相等,则它是正 假 方形.
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”，那么它的逆命题为“若q,则p”.
思考分支：命题（1) 和命题(3)的条件和结 论的内在联系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函 数．
抽象概括
对于命题（1）（3）,其中一个命题的条 件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和 结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互 否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题.
2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题
为（
）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
思考分支：命题（1) 和命题(2)的条件 和结论的内在联系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
可以看到，命题（1）的条件是命题（2） 的结论，且命题（1）的结论是命题（2）的 条件，即它们的条件和结论互换了.
抽象概括
一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么我们把这样的两个命题叫 做互逆命题．其中一个命题叫做原命题， 另一个命题叫做原命题的逆命题．
复习回顾
1．一般地，在数学中我们把用语言，符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题,其中(1) 判断为真的语句 叫做真命 题,(2) 判断为假的语句 为假命题.
2.在数学中,具有“若p，则q”这种 形式的命题是常见的，我们把这种形 式的命题的p叫做命题的 条件，q叫做 命题的 结论.
创设情境
互 否
逆否命题 若¬q则¬p
例题分析
例1：若原命题是“同位角相等，两直线 平行”，写出它的逆命题，否命题，逆 否命题
逆命题：两直线平行，同位角相等. 否命题：同位角不相等，两直线不平行. 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.
巩固练习
写出下列命题的逆命题，否命题和逆否 命题，并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整 数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个 三角形有两个角相等； (3)四条边相等的四边形是正方形.
逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. 真
否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是 真 正方形.
逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边 假 不全相等.
通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现 四种命题的真假性间有什么规律吗？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”，那么它的否命题为“若 p,则 q”.
思考分支：命题(1) 和命题(4)的条件 和结论的内在联系？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周 期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不 是正弦函数．
抽象概括
对于命题（1）（4），其中一个命题的 条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定 和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原 命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
【变式与拓展】
1．(2012 年湖南)命题“若 α＝π4，则 tanα＝1”的逆否命题
是( C )
A．若 α≠π4，则 tanα≠1
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”那么它的逆否命题为“若 q,则 p”.
设 “若p,则q”是原命题，那么 “若q,则p”是原命题的逆命题； “若 p,则 q”是原命题的否命题； “若 q,则 p”是原命题的逆否命题.
四种命题间的相互关系：
原命题 若p则q
互 否
互逆
否命题 若¬p则¬q
互逆
逆命题 若q则p
B．若 α＝π4，则 tanα≠1
C．若 tanα≠1，则 α≠π4
D．若 tanα≠1，则 α＝π4
解析：原命题的逆否命题是：条件和结论各自否定后，位 置互换即可．
练习：1、判断下列说法是否正确：
（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一 定为真。
（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为 真。
(1) 原命题：若一个整数的末位数字是0，
则这个整数能被5整除； 真命题
逆命题：若一个整数能被5整除，则这
个数的末位数字是0.
假命题
否命题：若一个数的末位数字不是0 , 则这个整数不能被5整除. 假命题
逆否命题：若一个整数不能被5整除， 则这个数的末位数字不是0. 真命题
(2) 原命题：若一个三角形有两条边相等，
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
则这个三角形有两个角相等； 真命题 逆命题：若一个三角形有两个角相等，
则这个三角形有两条边相等. 真命题 否命题：若一个三角形没有两条边相等
，则这个三角形没有两个角相等. 真命题
逆否命题：若一个三角形没有两个角相等 ，则一个三角形没有两条边相等. 真命题
（3）四条边相等的四边形是正方形.
改写:若一个四边形的四条边相等,则它是正 假 方形.
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”，那么它的逆命题为“若q,则p”.
思考分支：命题（1) 和命题(3)的条件和结 论的内在联系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函 数．
抽象概括
对于命题（1）（3）,其中一个命题的条 件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和 结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互 否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题.
2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题
为（
）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
思考分支：命题（1) 和命题(2)的条件 和结论的内在联系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
可以看到，命题（1）的条件是命题（2） 的结论，且命题（1）的结论是命题（2）的 条件，即它们的条件和结论互换了.
抽象概括
一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么我们把这样的两个命题叫 做互逆命题．其中一个命题叫做原命题， 另一个命题叫做原命题的逆命题．
复习回顾
1．一般地，在数学中我们把用语言，符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题,其中(1) 判断为真的语句 叫做真命 题,(2) 判断为假的语句 为假命题.
2.在数学中,具有“若p，则q”这种 形式的命题是常见的，我们把这种形 式的命题的p叫做命题的 条件，q叫做 命题的 结论.
创设情境
互 否
逆否命题 若¬q则¬p
例题分析
例1：若原命题是“同位角相等，两直线 平行”，写出它的逆命题，否命题，逆 否命题
逆命题：两直线平行，同位角相等. 否命题：同位角不相等，两直线不平行. 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.
巩固练习
写出下列命题的逆命题，否命题和逆否 命题，并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整 数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个 三角形有两个角相等； (3)四条边相等的四边形是正方形.
逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. 真
否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是 真 正方形.
逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边 假 不全相等.
通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现 四种命题的真假性间有什么规律吗？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”，那么它的否命题为“若 p,则 q”.
思考分支：命题(1) 和命题(4)的条件 和结论的内在联系？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周 期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不 是正弦函数．
抽象概括
对于命题（1）（4），其中一个命题的 条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定 和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原 命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
【变式与拓展】
1．(2012 年湖南)命题“若 α＝π4，则 tanα＝1”的逆否命题
是( C )
A．若 α≠π4，则 tanα≠1
也就是说，如果原命题为“若p，则 q”那么它的逆否命题为“若 q,则 p”.
设 “若p,则q”是原命题，那么 “若q,则p”是原命题的逆命题； “若 p,则 q”是原命题的否命题； “若 q,则 p”是原命题的逆否命题.
四种命题间的相互关系：
原命题 若p则q
互 否
互逆
否命题 若¬p则¬q
互逆
逆命题 若q则p
B．若 α＝π4，则 tanα≠1
C．若 tanα≠1，则 α≠π4
D．若 tanα≠1，则 α＝π4
解析：原命题的逆否命题是：条件和结论各自否定后，位 置互换即可．
练习：1、判断下列说法是否正确：
（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一 定为真。
（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为 真。
(1) 原命题：若一个整数的末位数字是0，
则这个整数能被5整除； 真命题
逆命题：若一个整数能被5整除，则这
个数的末位数字是0.
假命题
否命题：若一个数的末位数字不是0 , 则这个整数不能被5整除. 假命题
逆否命题：若一个整数不能被5整除， 则这个数的末位数字不是0. 真命题
(2) 原命题：若一个三角形有两条边相等，