矩形经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。
矩形的性质与判定练习题
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长´宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求，求AE 的长．例2、已知：、已知：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
A B E C D BAC D N MH GOFE DCB APH DCBA例3、已知：如图所示，、已知：如图所示，矩形矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，°=Ð15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ^交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分ÐCBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
双筋矩形截面例题
双筋矩形截⾯例题双筋矩形截⾯例题例题1 某矩形截⾯梁，截⾯b×h =300×500，混凝⼟为C30，该截⾯承担弯矩为400kNm，所有配置钢筋为HRB335级，请计算该截⾯所需配置的最⼩钢筋⾯积。
果外弯矩⼤于该弯矩，则要考虑双筋截⾯。
当单筋配筋承担玩具为最⼤值时，相应的计算受压区⾼度为：对于C30混凝⼟与HRB335级钢筋，ξb=0.55x b= ξb h0 =0.55×(500-60)= 242mm因此，最⼤单筋截⾯弯矩：M b=а1f c bx b(h0-x b/2)=14.3×300×242(440-242/2)=331.18kNm< 400kNm因此要配双筋。
Σx=0 а1f c bx + f y’A s’ = f y A sΣM=0 M=а1f c bx (h0-x/2) + f y’A s’ (h0-as’)由于混凝⼟强度等级为C30，不超过C50，所以а1取为1.0，可以查相应的材料表格，f c=14.3 N/mm2；对于HRB335级钢筋，f y=300 N/mm2。
将已知条件代⼊⽅程：14.3×300×x + 300×As’ = 300 As400 ×106 = 14.3×300×x(440- x/2) + 300×As’×（440-35）在⽅程组中，未知数为：x、A s’、A s，利⽤两个⽅程求解三个未知数，必须直接进⾏设计，确定⼀个未知数。
通常的做法为：设x =kξb h0，k不⼤于1，即保证x≤x b，同时要保证x≥2a s’；为保证混凝⼟的有效利⽤，同时保证截⾯的延性，k宜尽可能⼤⼀些。
因此，设x=0.9ξb h0 = 0.9×0.55×440 = 217.8 mm，代⼊⽅程组解得：A s’ = 745.95 mm2A s = 3860.49 mm 2选⽤钢筋： A s ’ ：3Φ18， A s ’ = 763 mm 2A s ：8Φ25，双排，A s = 3927 mm 2例题2 某矩形截⾯梁，截⾯b×h =300×500，混凝⼟为C30，该截⾯配置钢筋为HRB335级，梁顶配置钢筋2Φ22， A s ’ = 760mm 2；梁底配置钢筋6Φ25双排，A s = 2945mm 2 ，求该梁可以承担的最⼤弯矩。
初中八年级数学矩形例题
初中八年级数学矩形例题
以下是一些初中八年级数学中关于矩形的例题：
1. 已知一个矩形的长为12cm，宽为8cm，求它的周长和面积。
2. 一个矩形的周长是40cm，宽是4cm，求它的长和面积。
3. 一个矩形的长和宽之比是3:5，且周长为48cm，求它的长和宽。
4. 长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，如果将BC延长，使BD与AB相等，求新形成的矩形的周长和面积。
5. 在一个矩形的四个角上各取一个点，连接这些点得到一个不规则图形，如果这个图形的周长是36cm，其中两条边分别是8cm和7cm，求这两条边所在直角的顶点到对角线的距离。
以上是一些初中八年级数学中关于矩形的例题，通过解答这些例题，可以帮助学生巩固对矩形的周长、面积和相关性质的理
解和应用。
矩形的性质与判定典型例题
_矩形的证明题目一．（共 5 小）1 ．（2016 春 ? 巴南区校月考）如矩形都是由大小不等的正方形依据必定律成的，此中，第①个矩形的周 6 ，第②个矩形的周10 ，第③个矩形的周16 ，⋯，第⑧个矩形的周（）A ．168 B． 170 C． 178 D ．1882 ．（2016 ? 姜堰区校模）矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=8 ，矩形 CEFG 上的点 G 在 CD， EF=a ， CE=2a ，接 BD 、 BF、 DF，△BDF 的面是（）2A ．32 B． 16 C． 8D ．16+a3 ．（ 2016 ? 深圳模）如所示，矩形ABCD 中， AE 均分∠BAD 交 BC 于 E，∠CAE=15 °，下边的：①△ODC 是等三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，此中正确有（）_ A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个4 ．（2015 ? 十堰一模）如，在矩形ABCD 中， E， F 分是AB ， CD 上的点， AE=CF ，接 EF，BF，EF 与角AC 交于点 O，且 BE=BF ，∠BEF=2 ∠BAC ，FC=2 ， AB 的（）A．8B．8C．4 D ．65 ．（2015 ? 露台模）如，矩形ABCD 中， BC=1 ，接 AC 与 BD 交于点 E1， E1作 E1F1⊥ BC 于 F1，接 AF1交 BD 于 E2， E2作 E2F2⊥ BC 于 F2，接 AF2交 BD 于 E3，E3作 E3 F3⊥ BC 于 F3，⋯，以此推，BF n（此中 n 正整数）的（）A．B．C．D．二．解答（共25 小）6 ．（2015 ? 岩）如， E， F 分是矩形 ABCD 的 AD ， AB 上的点，若EF=EC ，且 EF⊥EC．（ 1 ）求： AE=DC ；（2 ）已知 DC=，求BE的．7 ．（ 2015 ? 玉林）如图，在矩形ABCD 中， AB=5 ，AD=3 ，点 P 是 AB 边上一点（不与 A ，B 重合），连结 CP，过点 P 作 PQ⊥ CP 交 AD 边于点 Q ，连结 CQ ．（1 ）当△CDQ ≌△CPQ 时，求 AQ 的长；（2 ）取 CQ 的中点 M ，连结 MD ， MP ，若 MD ⊥MP ，求 AQ 的长．8 ．（2015 ? 石家庄二模）已知：如下图，四边形ABCD 是矩形，分别以BC、 CD 为一边作等边△EBC 和等边△FCD ，点 E 在矩形上方，点 F 在矩形内部，连结AE、 EF．（1 ）求∠ECF 的度数；（2 ）求证： AE=FE ．9 ．（2015 春 ? 巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△ AFE，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸AF 交 CD 于点 G．（1 ）猜想线段GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2 ）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段GC 的长．10 ．（ 2015 秋 ? 开江县期末）已知，四边形ABCD 是长方形， F 是 DA 延伸线上一点，CF 交 AB 于点 E， G 是 CF 上一点，且 AG=AC ，∠ACG=2 ∠GAF ．（1 ）若∠ACB=60 °，求∠ECB 的度数．（2 ）若 AF=12cm ， AG=6.5cm ，求△AEF 中 EF 边上的高？11 ．（ 2015 春 ? 宜兴市校级期中）定义：如图①，在△ABC 中， CD 是 AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友善三角形” ，而且 S△ACD =S △BCD．应用：如图②，在矩形 ABCD 中，AB=4 ， BC=6 ，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， AE=BF ， AF 与 BE 交于点 O ．（1）求证：△ AOB 和△AOE 是“友善三角形” ；（2）连结 OD ，若△AOE 和△DOE 是“友善三角形” ，求四边形 CDOF 的面积．12 ．（ 2015 春 ? 汕头校级期中）如下图，在矩形ABCD 中， AB=12 ，AC=20 ，两条对角线订交于点O ．以 OB、 OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB 1 C，对角线订交于点A1，再以 A 1B1、 A 1C 作第 2 个平行四形 A 1B1C1C，角订交于点O 1；再以 O 1B1、O1C1 作第3个平行四形O 1B1B2C1⋯依此推．（1 ）求矩形ABCD 的面；（ 2 ）求第 1 个平行四形 OBB 1 C 的面是第 2个平行四形 A 1B1C1C 是第 3 个平行四形OB 1B2C 的面是（3 ）第n 个平行四形的面是．13 ．（ 2015 春 ? 青山区期中）如 1 ，已知 AB ∥CD ，AB=CD ，∠A= ∠D ．（ 1 ）求：四形 ABCD 矩形；（ 2 ）E 是 AB 的中点， F AD 上一点，∠ DFC=2 ∠BCE．①如 2 ，若 FAD 中点， DF=1.6 ，求 CF 的度：②如 2 ，若 CE=4 ，CF=5 ， AF+BC=，AF=．14 ．（ 2015 春 ? 富顺县校级月考）矩形ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ；P 是 AD 上的随意一点，过 P 作 PE⊥ OA ， PF⊥ OD ，求 PE+PF 的值？15 ．（ 2015 春 ? 启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD 中，过点 C 引∠A 的均分线AM 的垂线，垂足为M ， AM 交 BC 于 E，连结 MB ， MD ．（1）求证： BE=DC ；（2）求证：∠ MBE= ∠MDC ．（3 ）假如 AB=6 ，AD=10，则四边形ABMD面积=．16 ．（ 2014 ? 丹东一模）（1 ）如图 1 ，四边形ABCD 是矩形， E 为 AD 上一点，且BE=ED ，P 为对角线BD 上一点， PF⊥ BE 于点 F，PG⊥ AD 于点 G．判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（2 ）如图 2 ，当四边形ABCD 变成平行四边形，其余条件不变，若∠ABC=60 °，判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（3 ）如图 3 ，当四边形ABCD 知足∠ABD=90 °，AB=3 ，BD=4 ，其余条件不变，判断PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．_17 ．（ 2014 ? 南岸区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点 F 是CB 延伸线上一点，连结EF交 AB于点G，且DE=BF．AE的垂直均分线MN交AE于点N 、交EF 于点 M ．若∠AFG=2 ∠BFG=45 °，AF=2 ．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）求△CEF 的面积．18 ．（ 2014 春 ? 涪陵区期末）如图，矩形ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ．（1）求矩形 ABCD 的周长；（2）E 是 CD 上的点，将△ ADE 沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处．①求DE 的长；②点 P 是线段 CB 延伸线上的点，连结PA，若△PAF 是等腰三角形，求PB 的长．（3 ）M是 AD上的动点，在DC上存在点N ，使△MDN沿折痕MN折叠，点 D 落在BC 边上点T 处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．_ 19 ．（ 2014春 ? 郯城县期末）如图 1 ，在平面直接坐标系中，矩形OABC的极点A、C的坐标分别为（10 ，0）、（0，4 ），点D 5 的等腰三角形时，求点 P 的坐标．是OA的中点，点P 在2 、图BC3上运动，当△ ODP是腰长为20 ．（ 2013 秋 ? 渝中区校级期末）如图，点AE，交 CD 于点 F， G 是 AF 的中点，再连结（1 ）求证：∠ DEA=2 ∠AEB ；（2 ）若 BC=2AB ，求∠AED 的度数．E 是矩形 ABCD 的边 BC 延伸线上一点，连结DG 、DE ，且 DE=DG ．21 ．（ 2014 春 ? 宜昌校级期末）在矩形ABCG 中，点 D 是 AG 的中点，点 E 是 AB 上一点，DE⊥ DC ，CE 交 BD 于 F，（1）求证： ED 均分∠ AEC；（2）当∠BEC=60 °，且AE=1 时，求矩形 ABCG 的面积；（3）当 BE=BC ，求证： BD 均分∠CDE．_ 22 ．（ 2014 春 ? 沂水县期末）数学学习老是如数学知识自己的生长历史同样，常常发源于猜测中的发现，我们所发现的不必定对，可是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证以后，当所发现的在逻辑上没有矛盾以后，就能够作为新的推理的前提，数学中称之为定理．（1 ）试试证明：等腰三角形的研究中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．可是当时并未说明这个结论的合理．此刻我们学些了矩形的判断和性质以后，就能够解决这个问题了．如图 1 若在 Rt △ABC 中 CD 是斜边 AB 的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．（2 ）迁徙运用：利用上述结论解决以下问题：①如图 2所示，四边形 ABCD 中，∠BAD=90 °，∠DCB=90 °，EF 分别是 BD 、AC 的中点，请你说明EF 与 AC 的地点关系．②如图 3所示， ? ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt △ACE，∠AEC=90 °，且∠BED=90 °，试说明平行四边形 ABCD 是矩形．23 ．（ 2014 春 ? 金川区校级期中）如图，在正方形ABCD 的边 BC 上任取一点 M ，过点 C作 CN ⊥ DM 交 AB 于 N ，设正方形对角线交点为O ，试确立 OM 与 ON 之间的关系，并说明原因．_24 ．（2014 春 ? 合川区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，点 E 为 CD 上一点，将△ BCE 沿BE 翻折后点 C 恰巧落在AD 边上的点 F 处，过 F 作 FH ⊥ BC 于 H ，交 BE 于 G，连结 CG．（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；（2）若 AB=8 ， BC=10 ，求四边形 CEFG 的面积．25 ．（ 2014 春 ? 仙桃期中）矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至矩形AEFG ，使 B 点正好落在CD 上的点 E 处，连 BE．（1 ）求证：∠ BAE=2 ∠CBE；（2 ）如图 2，连 BG 交 AE 于 M ，点 N 为 BE 的中点，连M N 、AF，尝试究AF 与 MN的数目关系，并证明你的结论．26 ．（ 2014 春 ? 青县校级期中）如图 1，在四边形ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD=90 °，AB=AD=10cm ，BC=8cm ．点 P 从点 A 出发，以每秒3cm 的速度沿线段AB 方向向 B 运_动，点 Q 从点同时发，当点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点CP 运动到点 B 时， P、Q 同时运动停止，设运动时间为运动．已知动点t 秒．P、Q（1）求 CD 的长；（2）当 t 为什么值时，四边形 PBQD 为平行四边形？（3 ）在运动过程中，能否存在四边形BCQP 是矩形？若存在，恳求出t 的值；若不存在，请说明原因．27 ．（ 2013 ? 遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在点 E处，直线 MN交BC于点M，交AD于点N．（1 ）求证：CM=CN；（2 ）若△CMN的面积与△ CDN的面积比为3：1，求的值．28 ．（ 2013 ? 郑州模拟）（1 ）如图 1 ，已知矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点E 作 EF⊥ BD 于点 F， EG⊥ AC 于点 G， CH ⊥ BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG ；_（2 ）若点 E 在 BC 的延伸线上，如图 2 ，过点 E 作 EF⊥ BD 于点 F，EG⊥ AC 的延伸线于点G， CH ⊥ BD 于点 H ，则 EF、EG、CH 三者之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（3 ）如图 3 ， BD 是正方形 ABCD 的对角线， L 在 BD 上，且 BL=BC ，连结 CL，点 E 是CL 上任一点， EF⊥BD 于点 F，EG⊥BC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（4 ）察看图 1 、图2 、图 3 的特征，请你依据这一特征结构一个图形，使它仍旧拥有EF、EG、 CH 这样的线段的关系，并知足（1）或（ 2 ）的结论，写出有关题设的条件和结论．29 ．（ 2013 ? 重庆模拟）如图，矩形ABCD 中，点 E 为矩形的边CD 上随意一点，点P 为线段 AE 中点，连结 BP 并延伸交边 AD 于点 F，点 M 为边 CD 上一点，连结 FM ，且∠1= ∠2 ．（1 ）若 AD=2 ， DE=1 ，求 AP 的长；（2 ）求证： PB=PF+FM ．30 ．（2013 ? 南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，点 M 、N 在线段 AD 上，∠MBC=∠NCB=60 °，点E、 F 分别为线段 CN 、BC 上的点，连结EF 并延伸，交MB 的延伸线于点G， EF=FG ．（1）点 K 为线 BM 的中点，若线段 AK=2 ， MN=3 ，求矩形 ABCD 的面积；（2 ）求证： MB=NE+BG ．_。
单筋矩形截面计算例题
单筋矩形截面计算例题例题1：某矩形截面梁，截面b×h =300×500，混凝土为C30，该截面承担弯矩为200kNm，配置HRB335级钢筋，请计算该截面所需配置的最小钢筋面积。
ΣM=0 M=а1f c bx(h0-x/2)由于混凝土强度等级为C30，不超过C50，所以а1取为1.0，可以查相应的材料表格，f c=14.3 N/mm2；对于HRB335级钢筋，f y=300 N/mm2。
设受拉区钢筋配置为梁底单排，因此有：h0=h-35=500-35=465mm因此有：200×106 = 14.3×300 × x(465-x/2)解得x=112mm对于计算结果x，进行校核x，防止出现大于x b的情况而超筋。
x b=ξb h0对于C30混凝土与HRB335级钢筋，ξb=0.55。
x b=ξb h0=0.55×465=255.75mm > x，结果满足适筋梁要求。
因此A s =а1f c bx/f y= 14.3×300×112/300=1601.6mm2截面配筋率：ρ=A s/bh0=1601.6/300×465=1.15%>ρmin查钢筋表，对于HRB 335(20MnSi)钢筋，选择4Φ20+2Φ16，A S= 1256+402=1658 mm2>1601.6 mm2，可以满足要求。
通过本例题可以看出，求解方程组必须校核其结果x，只有x< x b才可以作进一步的设计，截面配筋率也必须大于最小配筋率。
同时在解方程时也要注意，由于ΣM=0：M=а1f c bx(h0-x/2)为一个一元二次方程，可能出现两个方程根，根据截面的尺度状况，可以自然约减下去一个根。
例题2：某矩形截面梁，截面b×h =400×600，混凝土为C30，该截面梁底配有双排HRB335级钢筋4Φ25+4Φ20，求该截面能够承担的最大弯矩。
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
矩形(1)
例3:已知:如图,在△ABC 3:已知:如图, 已知 中,∠BAC≠90°,∠ABC=2∠C,AD⊥AC, ,∠BAC≠90° BC或CB的延长线D.试说明 的延长线D.试说明:DC=2AB. 交BC或CB的延长线D.试说明:DC=2AB.
A
D B
E
C
2.注意图形的计算题的解题格式, 2.注意图形的计算题的解题格式,解答时不仅要能 注意图形的计算题的解题格式 算出结果,而且要把计算过程的理由说清楚, 算出结果,而且要把计算过程的理由说清楚,防止 出现只有代数运算而无推理过程的解答 的解答. 出现只有代数运算而无推理过程的解答.
这节课的收获是…… 这节课的收获是
B
C
归纳: 归纳: 直角三角形的性质: 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角互余. (1)直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的两个锐角互余 (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 平方. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B
C
巩固练习: 巩固练习:
1.在矩形ABCD中,∠AOD=130° 1.在矩形ABCD中,∠AOD=130°,则 在矩形ABCD ∠ACB=___° 25° 2.已知矩形的一条对角线长是8cm,两条对角 2.已知矩形的一条对角线长是8cm,两条对角 已知矩形的一条对角线长是8cm, 4cm, 48cm 线的一个交角为60 则矩形的边长为_______ 60° 线的一个交角为60°,则矩形的边长为_______
D C
矩形的对角线相等. 矩形的对角线相等. B
∵四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 ∴AC=BD
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：______________ 副校长/组长签字：签字⽇期：【考纲说明】1、掌握矩形的性质及判定定理，能正确的识别并判定矩形；2、能根据数形结合思想解决矩形有关问题。
【趣味链接】⼀块矩形的巧克⼒，初始时由N×M个⼩块组成。
每⼀次你只能把⼀块巧克⼒掰成两个⼩矩形，最少需要⼏次才能把它们掰成N×M块1×1的⼩巧克⼒？【知识梳理】⼀、平⾏四边形1、定义：有两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。
表⽰：平⾏四边形⽤符号“□ ”来表⽰。
2、平⾏四边形性质：（1）⾓：平⾏四边形的邻⾓互补，对⾓相等；（2）边：平⾏四边形两组对边分别平⾏且相等；（3）对⾓线：平⾏四边形的对⾓线互相平分；（4）对称性：平⾏四边形是中⼼对称图形，对⾓线的交点是对称中⼼；（5）⾯积:等于底和⾼的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平⾏四边形的任何⼀边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的⾼。
平⾏四边形的对⾓线将四边形分成4个⾯积相等的三⾓形．3、平⾏四边形的判定：①定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②⽅法1：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形③⽅法2：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形④⽅法3：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形⑤⽅法4：⼀组平⾏且相等的四边形是平⾏四边形若⼀条直线过平⾏四边形对⾓线的交点，则直线被⼀组对边截下的线段以对⾓线的交点为中点，且这条直线⼆等分平⾏四边形的⾯积。
⼆、矩形1、定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形，也说是长⽅形2、矩形的性质：（1）边：对边平⾏且相等；（2）⾓：对⾓相等、邻⾓互补；（3）对⾓线：对⾓线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形．（5）⾯积：设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．特别提⽰：直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；矩形具有平⾏四边形的⼀切性质。
九年级- 矩形知识点典型例题及练习
矩形一、矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
二、矩形的性质：（1）从边来说，矩形的对边平行且相等；（2）从角来说，矩形的四个角都是直角；（3）从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；（4）从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（5）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。
因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
推论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
（6）矩形内任意一点P到四个顶点的长满足下列关系：22PD22=+（如何论证）PCPA+PB三、矩形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（4）对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（5）每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
主要特点①两条对角线相等；②两条对角线互相平分；③两组对边分别平行；④两组对边分别相等；⑤四个角都是直角；⑥顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；⑦有2条对称轴（正方形有4条）.例题分析例题1 下列迷命题中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.一组邻边相等的平行四边形是矩形例题2 如图1-2-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上一动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 的值为.图1-2-1例题3 如图1-2-2，将一张长方形的纸片ABCD的角C折起到E处，作∠EFB 的平分线HF，则∠HFG的大小为.图1-2-2例题4 如图1-2-3，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边上的F处，若AB=12，BC=13，求FC的长度.图1-2-3例题5 如图1-2-4，在矩形ABCD中，AD>AB，O为两条对角线的交点，过O 作一直线分别交BC，AD于M，N.（1）求证:梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积相等（2）当MN满足什么条件的时候，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点与A点重合？（3）在满足（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是不折叠部分的一半（重叠部分计算一次），求BM：MC的值1-2-4例题6 如图1-2-5，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，MN=BN，且BDMN .则ON与CN 的关系是.1-2-51-2-6例题7 在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BD CE 于E ，若∠DCE ：∠BCE =2：1，BC =6，则∠OCD 的度数为 ，对角线AC 的长为 .例题8 如图1-2-6，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，将矩形ABCD 折叠，使A ，C 两点重合，则折痕EF 的长为 .课堂练习1.直角三角形斜边上的中线等于 ．2.如图1-2-7所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是边AB 上的中线，若∠ADC=70°，则∠ACD= ． 3.四边形ABCD 是矩形，若已知AB=8cm ，AC=10cm ， 则AD= ，矩形的周长＝ ，矩形的面积＝ .4.已知矩形的两边长分别为8和6，则矩形的对角线长为 .5.已知矩形的对角线长为3cm ，一边长为2cm ，则另一边长为 . 60如图1-2-8所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE=2∠BAE ，则∠FAC= ．7.如图1-2-9所示，在四边形ABCD 中，∠BDC=90°，AB ⊥BC 于B ，E 是BC•的中点，•连结AE ，DE ，则AE 与DE 的大小关系是（ ）.图1-2-7图1-2-8图1-2-9图1-2-10图1-2-12图1-2-13A ．AE=DEB ．AE>DEC ．AE<DED ．不能确定 8.在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，则四边形AFCE 为 .9.如图1-2-10所示，矩形AB C D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有（ ）.A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10.如图1-2-11，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD = 120°，AB =2.5cm ，则∠DAO = ，AC = cm ，ABCD S 矩形= .11.如图1-2-12，在矩形ABCD 中，AD =6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE .求AE 的长.12.如图1-2-13，在△ABC 中，AB =AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.图1-2-1113.如图1-2-14，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O .（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中 还存在其他的全等三角形，请你找出来 . （2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 . （3）若AB =6，BC =8，则O 点到BD 的距离是 .14.如图1-2-15所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE =2∠BAE ，则∠F AC = ．15.如图1-2-16所示，矩形ABC D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有 .16.矩形的两邻边差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 .17.如图1-2-17，已知矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE =15°，则∠BOE 的度数为 .EOACBED图1-2-14图1-2-15图1-2-161-2-13ABCDEF图1-2-19F1 32 CBAED A 'F1 32 CBAED A '图1-2-1818.点P 是矩形ABCD 内一点，且P A =3，PB =4，PC =5，则PD = .19 .一个矩形纸片如图1-2-18折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF .（1）找出图中全等的三角形，并证明. （2）重合部分是什么图形？证明你的结论.（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明.20. 如图1-2-19，在矩形ABDC 中，把∠A 沿CF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，若AB ＝a ，AC ＝b ，请你计算 ba的值.21.如图1-2-20，在矩形ABCD 中，已知AD =8，AB =6，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ,PF ⊥AC 于F ，求PE +PF 的值.APDCBOEF图1-2-2022.如图1-2-21，长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的平分线与BC交于点E，EF⊥ED，求EF的长度.A DFB E C图1-2-21。
矩形的性质与判定经典练习
证明（三）┄┄矩形的性质与判定[知识要点:]1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
[经典例题:]例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等为一角90°等腰梯形两腰相等例3、已知：如下图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.[课堂练习题:]1．判断一个四边形是矩形，以下条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
(完整版)矩形经典题型(培优提高)
矩形知识归纳定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：1. 矩形的四个角是直角，对边相等2. 矩形的对角线相等3. 矩形所在平面内任意一点到其两对角线端点的平方和相等4. 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任何一组对边中点的连线5. 对边平行且相等6. 对角线互相平分判定：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形2. 对角线相等的平行四边形是矩形3. 有三个角是直角的四边形是矩形4. 四个内角相等的四边形是矩形5. 关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6. 对于平行四边形，若存在一点到两对角线端点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形7. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形8. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形例题讲解例1：如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．例2：如图，将一矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ‘处，AB '交CD 于点E ，已知∠EAC=25°，求∠B 'CE 的度数。
E D CA B'B例3：如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是AB 上一点，EF=ED ，且EF DE .(1)求证：AE 平分∠BAD ．(2)若CE=2，矩形ABCD 的周长为16求BE 与DF 的长．例4：如图，矩形ABCD ，延长CB 到点E ，使CE=CA ，点F 是AE 的中点.求证：BF ⊥DF 。
（提示：连接CF ）A DEF课堂练习一．选择题1.如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（）A．13 B．14 C．15 D．162.如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（）A．1 B．0.5 C．0.75 D．23.如图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD﹣DC﹣CB上以1cm/s的速度向B点作匀速运动，则表示△ABP的面积S（cm）与运动时间t（s）之间的函数系的图象是（）A．B．C．D．4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．不能确定5.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.56.已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是（）A．B．C．D．7.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为10cm，则每块长方形地砖的面积是（）A．200cm2B．300cm2C．600cm2D．2400cm28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．9.下列各句判定矩形的说法（ 1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题1. 已知矩形的面积为48平方厘米，一条边长为6厘米，那么这个矩形的一条对角线的长是_______.2. 矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，已知矩形周长为30厘米，那么矩形的面积为_________.3. 已知矩形两条对角线的一个交角为60°，矩形的短边长为4厘米，则长边为_________，对角线为__________.4. 从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线的夹角为__________.5. 已知直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A （10，0），点C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 是BC 边上的一个动点，当△POD 是等腰三角形时，点P 的坐标为 ．6. 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是7. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 ．80cm ①70cm②三．解答题1.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。
初二数学下册知识点《矩形的性质》150例题及解析
初二数学下册知识点《矩形的性质》150例题及解析副标题一、选择题（本大题共65小题，共195.0分）1.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2【答案】A【解析】【分析】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP•PE+•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD矩形ABCD=24，∴S△AOD△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP•PE•PF5×PE5×PF PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．2.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°-30°=60°．故选：C．首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．3.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE④AFA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD根据相似三角形的性质得到AE∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，即∴AE=；故③正确；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°-∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°-2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC∵AC=BD∴AF，故④正确；故选C．4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）C.【答案】D【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB矩形ABCD，•h=•AD，∴h=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE即PA+PB的最小值为．故选：D．首先由S△PAB矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.5.如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A. 15B. 16C. 19D. 20【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE•BC=AF•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，设AB=BC=x，则BE=9-x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15．故选：A．6.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3,4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. (3,1)D. (3,2)【答案】B【解析】【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE 的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE 的周长最小．∵D0），A（3，0），∴H0），∴直线CH解析式为y+4，∴x=3时，y∴点E坐标是（3.故选B．7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）B. 6C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论．本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，故选B．8.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM∵∠FCO=30°，∴FM BM，，∴S△AOE：S△BCM=2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；③可证明∠CDE=∠DFE；④可通过面积转化进行解答．本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9.如图，矩形纸片ABCD AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AB的长为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm【答案】C【解析】【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可.【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠ACD，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm.故选C.10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC∴BO故选：D．已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．11.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等【答案】B【解析】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：B．根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．12.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A. 2B. 3C.D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA=2．故选A．13.下列关于矩形的说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 对角线互相平分的四边形是矩形D. 矩形的对角线互相垂直且平分【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选：B．根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．14.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为( )【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，勾股定理的有关知识，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间为位置关系是解题的关键．作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴E′G∴C四边形EFGH=2E′G=10故选B．15.如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A. 3C. 5【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得△BEF≌△BAE，∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF=AE=x，则有ED=8-x，根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，则DE=8-3=5，故选：C．由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD-BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．16.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选：B．由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．17.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠APE，∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．18.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（）D. 6【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由折叠性质得∠MAN=∠DAM．由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，根据四边形ABCD是矩形，得到∠DAB=90°，∠DAM=30°，DM=，根据AD=3，∠D=90°，得到AM2=DM2+AD2，即可得到AM的长.【解答】解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM，∵AD=3，∠D=90°，∴AM2=DM2+AD2，∴AM2=）2+32，∴AM，故选B．19.如图，在矩形AOBC中，O OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A.B. （2，）C. ，D. ，【答案】A【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，∴AC=OB，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°×，∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=30°，AD过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM∴AM=3cos30°∴MO∴点D的坐标为（故选：A．根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得出∠DAM=30°是解题关键．20.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM∴NG，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG-NG∴BF=2BN=5，∴BC故选B．补充方法：连接EF．易证△EFD≌△EFG，可得FG=DF=2，BG=AB=DC=3，可得BF=5，再利用勾股定理求BC比较简单．首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补【答案】A【解析】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选：A．根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．22.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AEMF的长是（）C. 1【答案】D【解析】解：∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B=90°，∴AB==EM=3，又∵AE设MD=a，MF=x，在△ADM和△DFM∴△ADM∽△DFM∴DM2=AM•MF，在△DMF和△DCE∴△DMF∽△DCE，，解之得：，故选：D．设MD=a，MF=x，利用△ADM∽△DFM，得到△DMF∽△DCE，∴a与x的关系式，化简可得x的值，得到D选项答案．本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．23.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2∠AEO=120°，则FC的长度为（）A. 1B. 2【答案】A【解析】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故选：A．先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．24.如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A. 24B. 25C. 26D. 27【答案】B【解析】解：如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形ORQP的边长为b．由题意：a2+b2+（a+b）（a-b）=50，∴a2=25，∴正方形EFGH的面积=a2=25，故选：B．如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决问题；本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．25.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）A. 3cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，故选：A．根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．26.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．27.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（）A. 7°B. 21°C. 23°D. 24°【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∴∠ACD=3x，∴3x+21°=90°，解得：x=23°；故选：C．由矩形的性质得出∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质和平行线的性质是解决问题的关键．28.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】解：设FC′=x，则FD=9-x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9-x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9-x）2+32，解得：x=5．故选：D．设FC′=x，则FD=9-x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D 的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元一次方程是解题的关键．29.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，，则折痕EFA. 1 C. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出BC=4EC、DC是解题的关键.由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC，再由GE=2BG结合矩形面积为即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°-∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=2CE，∴GH．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC∵矩形ABCD∴4EC×∴EC，EF=GE=2．故选C.30.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG，故AN=NG，则∠2=∠4，∵EF∥AB，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠90°=30°，∴∠DAG=60°．故选：C．直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．31.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）2cmC.D. 4cm【答案】D【解析】解：在矩形ABCD中，AO=BO=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4cm．故选：D．根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．32.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直【答案】C【解析】解：A、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；B、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；C、对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；D、邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．故选：C．菱形的性质有：四条边相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．33.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A. △AFD≌△DCEB. AFC. AB=AFD. BE=AD-DF【答案】B【解析】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC-EC，∴BE=AD-DF，故（D）正确；故选：B．先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．34.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）B. 6C. 4D. 5【答案】B【解析】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，故选：B．根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论．本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．35.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，ADDE=2，则四边形OCED的面积为（）A. B. 4 C. D. 8【答案】A【解析】【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键，连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴ADEO为平行四边形，∵AD DE=2，∴OE OF=EF在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF，即DC=2，则S菱形ODEC•DC故选A．36.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A. 5B. 4C. 3.5D. 3【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，。
中考数学复习专题20 矩形(解析版)
专题20 矩形1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S矩形=长×宽=ab【例题1】（2019广西桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则ADAB的值为()A．65B．2C．32D．3【答案】B【解析】由折叠可得，AE OE DE==，CG OG DG==，E∴，G分别为AD，CD的中点，设2CD a=，2AD b=，则2AB a OB==，DG OG CG a===，3BG a=，2BC AD b==，90C∠=︒，Rt BCG∴∆中，222CG BC BG+=，即222(2)(3)a b a+=，专题知识回顾专题典型题考法及解析222b a ∴=， 即2b a =，∴2b a =，∴AD AB的值为2 【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 .【答案】512 【解析】连接AD ，即可证明四边形AMDN 是矩形；由矩形AMDN 得出MN ＝AD ，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果．连接AD ，如图所示：∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠AMD ＝∠AND ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴四边形AMDN 是矩形；∴MN ＝AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC ＝5，当AD ⊥BC 时，AD 最短，此时△ABC 的面积＝21BC •AD ＝21AB •AC ， ∴AD 的最小值＝125AB AC BC ⋅=， ∴线段MN 的最小值为512。
矩形的性质和判定典型例题1
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
矩形的性质和判定典型例题1
变式 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的长.
解： 在矩形ABCD中，
A
D
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
O
∴ △AOB为等边三角形
B
1
C
∴A
F
C
老张讲数学
矩形的性质和判定典型例题1
矩形的性质和判定典型例题1
例题1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4
㎝
求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
A
∴AC与BD相等且互相平分
o
D
∴ OA=OB ∵ ∠AOB=60°
B
C
∴ △AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝)
2
在Rt△ABC中，
BC=
AC2 - AB2 = 82 - 42 =
48 （cm）
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
矩形的性质和判定典型例题1
练习1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=6㎝，(1)求矩形对角线的长？(2)BC的长?
（3）矩形的面积？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习2：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=AO
则∠ABD的度数？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习3：如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF,连接 AF,DE相交于点O.求证：（1）△ABF≌ △DCE；（2） △AOD是等 腰三角形
初二数学下册知识点《矩形的判定》经典150例题及解析
初二数学下册知识点《矩形的判定》经典150例题及解析副标题一、选择题（本大题共69小题，共207.0分）1.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当AC＝BD时，它为矩形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．先连接AC，BD，根据EF=HG，EH=FG，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：如图，连接AC，BD，∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形.故选C.2.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．3.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC【答案】B【解析】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．由矩形的判定方法即可得出答案．本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．8.下列命题是真命题的是( )A. 四边都相等的四边形是矩形B. 菱形的对角线相等C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【解析】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选：D．根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A. ∠BAC=∠DCAB. ∠BAC=∠DACC. ∠BAC=∠ABDD. ∠BAC=∠ADB 【答案】C【解析】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．10.下列关于矩形的说法，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是矩形C. 矩形的对角线互相垂直且平分D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D【解析】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选：D．根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．11.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．正确的只有③，故选A．根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．12.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A. 当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【解析】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴选项D不正确；故选：B．由平行四边形的判定方法得出选项A不正确、选项B正确；由矩形和正方形的判定方法得出选项C、选项D不正确．本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．13.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．14.如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE=CF；②AB=DC；③S△ABE=S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE=CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB=DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB=∠DFC，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴S△ABE=S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．15.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.16.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．17.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）A. 四边形ACEF4B. 四边形ACEF是矩形，它的周长是C. 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是D. 四边形ACEF是矩形，它的周长是【答案】B【解析】解：∵DE=AD，DF=CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∴AE=CF，∴四边形ACEF是矩形，∵△ACD是等边三角形，∴AC=1，∴EF=AC=1，过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×∴AF=CE=2AG∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF故选B．首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．18.如图．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A. AB＝BEB. BE＝DEC. ∠ADB＝90°D. CE⊥DE【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A.∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C.∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D.∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选B．19.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB=DC【答案】C【解析】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．故选：C．根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．难度一般．20.顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：∵E，F是中点，∴EH∥BD，同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，∴EH∥FG，EF∥GH，则四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：B．根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．21.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】A【解析】解：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接各边中点E、F、G、H，连接AC、BD，∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°．22.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）【答案】D【解析】【分析】本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM．因为AP的最小值即为直角三角形ABC∴AM故选D．23.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A. AB=CD，AD=BC，∠A=90°B. OA=OB=OC=ODC. AB=CD，AB∥CD，AC=BDD. AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD 【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形和矩形的判定的应用有关知识，先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定逐个判断即可.【解答】解：如图：A.∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B.∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C.∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确,故选D.24.下列说法中错误的是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形D. 两条对角线相等的菱形是正方形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等、平分进行判定即可得出结论．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．【解答】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；B.对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；C.对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；D.两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确，综上所述，B符合题意，故选B．25.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．26.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．27.下列命题中，假命题是（）A. 有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C. 有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D. 有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法.利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可.【解答】解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意；B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意；C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意.故选C.28.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（）A. ∠ABC=90°B. AC⊥BDC. AB=CDD. AB∥CD【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90度．故选A.。
第10讲 矩形
特殊的平行四边形(矩形)知识要点梳理：一、矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧）对角线相等（）四个角都是直角（性质具有平行四边形的所有32)1(二、矩形的判定：⎪⎩⎪⎨⎧形对角线相等的平行四边）（三个角是直角的四边形有）（四边形有一个角是直角的平行32)1(⇒四边形ABCD 是矩形. 三、定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半经典例题例1．（1）矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______,长边长是 。
（2）如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则DE 的长是例2. （铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．求证：四边形AEBD 是矩形；AD BCADBC OFEDBAC例 3.如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB∠、ABC∠、BCD∠、CDA∠的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，AQ与DQ交于Q,CN与BN交于N.求证：四边形PQMN是矩形．例4.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．(提示：延长CE交DF的延长线于M，连接BD)例5.(滨州)如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN 交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：OE＝OF（2）那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.经典练习1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为45，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .NMQPDCBAAB CEFD4.如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE为_________.5.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________.6.矩形具有,一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等7.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分8.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD•的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．9.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD对折，求图中阴影部分的面积.10（南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．C1DABENDEB11.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．12.思考题直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是______________. 思考：①本题需要利用一个结论：___________ __.②请你写出上面结论的逆命题________ ___ __. 如果是真命题，你能证明吗？如果是假命题，请说明理由. ③请你解决：已知：如图，△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M 、N 分别是BC 、DE 的中点. 求证：MN ⊥DE .能力拓展题1.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长是 。
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（一）计算
1．已知矩形的对角线长为1，两条相邻边之和为m，求矩形的面积．解析：依题设画出示意图，由矩形性质：
①
又②
∴由有
．
评述1 矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°，稍加连结，则会出现Rt△，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算．
评述2 此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算，而去解方程组．
2．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE=1，EF=2，求矩形面积．
解析：依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=1，BD = 4→连结AC交BD于O，则易知：OA=OB=2，又有BE=OE=1，又∵AE⊥BO，可知△ABO为正三角形，∴AB=OB=2，
，∴
3．在矩形ABCD中，两条对角线小于0，DE平分∠ADC，E点在BC上，∠EDO=15°．
求∠COB，∠AOE的度数．
解析：依题设，画出示意图
由DE平分∠ADC，知∠EDC=45°，又∵∠EDO=15°
又由矩形ABCD知OD=OC
∴△ODC为正三角形，即OC=OD=CD
∴∠DOC=60°，∴∠COB=120°
∵∠EDC=45°，∠DCE=90°
∴CE=CD
∴CO=CE
进而可知∠COE=75°
∴∠AOE=105°
评述：学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法．（二）特殊关系论证
3．已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F 是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系．
解析：结合图示可以猜想AF⊥CF．
证明两线垂直，我们都有过什么想法？盘点盘点：
，……→
法一：连结BF，因∠BFE=90°，证∠AFC=∠BFE进而考虑证△AFC≌△BFE
提示：因CF为Rt△DCE斜边上中线，故CF=EF=FD
易证△FAD≌△FBC，有FB=FA
进而可证明△AFC≌△BFE（SSS）
又由BF为等腰△BED底边上中线有BF⊥DE．所以AF⊥CF 法二：“倍长中线”
延长AF交BC延长线于G，
连结AC ，易证△ADF≌△GEF，AD=GE，BC+CE=GE＋ＣＥ，即ＢＥ＝ＣＧ，
易证△CAG为等腰三角形CA=CG，F为底边AG中点．CF为AG边上的高.
另：对称地思考，同法可延长CF交AD延长线于H
证△AＣＨ为等腰三角形，利用另一方向的三线合一．
法三：利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半，则该三角形为Rt△”．连结AC，设AC交BD于O，连结FO，易知FO为△DEB中位线
从而
又BE=BD=AC，进而有OF=OA=OC，
利用等边对等角和三角形内角和定理易证∠AFC=90°
评述：学习矩形后一个新性质很有用，就是：
4．已知：如图，矩形ABCD中，CF⊥BD，AE平分∠BAD和FC的延长线交于E点．求证：AC=CE．
解析：证AC=CE，两线共端点居于△CAE中，可考虑用“等角对等边”证∠1=∠E．考虑此处可能需倒许多角，设∠1=，尽可能多用表示相关的角．法一：依题设可知∠OAB=∠OBA-∠BAE=∠BGA=45°
故有∠OAB=∠OBA=45°+
∴∠FOC=∠AOB=90°-2而∠FCO=90°-∠FOC
∴∠FCO=2又∠FCO=∠1+∠E．
∴∠E=．
法二：由CF⊥BD可知∠BCF=∠BDC=∠OBA=45°+
又∠CGE=45°，∠BCF=∠CGE+∠E，所以可知∠E=．
评述：1．此题还有许多可以倒角的方法；2．这里亦可通过延长DC交GE于H，通过证△CHE≌△CGA来解决问题，有兴趣均可一试；3．特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联，学习中要注意多发散多思考体会。
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上任一点，过P 分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是多少？
解析：易知四边形PECF为矩形，故EF=CP．
CP最小，则EF最小，过C作CP⊥AB于P．
CP的长即为所求．易知，．
6．如图，P是矩形内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长．
解析：审图后，似乎这三条已知的线段与所求之间没有关联，故需变换位置或添辅助线．法一：沿AD平移△PAB到，连结，可知四边形中两条对角线互相垂直．
故有（能知道为什么吗？）
进而解得．
法二：过P作直线EF⊥AD交AD于E交BC于F，可设AE=x，进而用x表示PE．PF、FC，
再由Rt△PED布列勾股方法得解．
（三）折叠问题
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形对角BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___．
解析：该阴影三角形面积都可怎么算→较简捷算法有：
．…
无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长．
依题设可证明△ABF≌△EDF
从而AF=FE，BF=FD．
设AF=x，则BF=4-x，
由，有
∴
评述：折叠问题的实质是轴对称，解题时首先要知道哪些量对应相等．
8．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点B、D重合，求折痕EF的长．
解析：计算EF，目前在几何图形中计算长度我们都有什么方法？→“构建Rt△，或利用现成Rt△”，
利用勾股定理认真落实题设条件，可知，EF垂直平分BD，进而再观察。
不难发现四边形BFDE是菱形（你能证明么？试试！）
故有Rt△BEO，，．
依题设，同于上例设，则
由有，
∴
∴．。