必修五 第二章 数列 复习课

必修五 第二章 数列 复习课一、选择题1、已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．1342、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.383、在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋14、已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．105、已知等比数列{a n }，a 1＝3，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1896、在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b＋c 的值为( )A.1 B ．2二、填空题7、等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________.8、如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y＋(a －b )log m z ＝______.9、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．10、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．三、解答题11、设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1bn －1(n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.12、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .13、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．14、设{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .以下是答案 一、选择题1、答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.2、答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.3、答案 B解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35. ∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.4、答案 C解析 设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n . ②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.5、答案 C解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， 又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.6、 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.二、填空题7、答案 48解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12 ＝S 3·q 12＝3×24＝48.8、答案 0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz ＝d log m 1＝0.9、答案 5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11.则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5.10、答案 2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由aq·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.三、解答题11、(1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t . ② ①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2,3，…)．∴数列{a n }是一个首项为1， 公比为2t ＋33t 的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t，得b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1 ＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1) ＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n ＋13 ＝－49(2n 2＋3n )．12、解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1.13、解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.14、解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1⎝⎛⎭⎫12a n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝⎛⎭⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12.∴⎩⎨⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18. 当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去) 此时，b n ＝b 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝⎛⎭⎫125－2n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝⎛⎭⎫q ＝－14<0舍去 此时，b n ＝b 1q n －1＝2·⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －3＝⎝⎛⎭⎫12a n ， ∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.。