两个重要极限学习资料
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2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1
x x x f →→
（3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅
)(lim )
(lim )()(lim x g x f
x g x f = ()()0lim ≠x g
（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）
（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1
lim sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x
那么，？=→x
x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x
x x 公式的特征：（1）0
0型极限； （2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x x sin lim
0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x
x x ） 【例3】 求 x
x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000
=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a
(2) m n m n a a a ⋅=+
(3) ()m
n nm a a = 2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)11(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim +∞
→ 解：22222])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x x x 10)1(lim +→
解：e z
x z z x z x x =+=+∞
→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x x =+→10)1(lim ） 【例3】 x x x )11(lim -∞
→ 解：e e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞
→∞→（构造法） 【例4】 x x x x )1
(lim +∞→ 解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x
)21(lim -∞→ (4) x x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
11(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim e e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从