特殊数列求和ppt课件
合集下载
数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
《数列求和》课件
《数列求和》PPT课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和的几种方法(共42张PPT)
470
2nπ 2nπ
2
2nπ
3 ．Leabharlann －sin2nπ
3
，
－sin 以 3 为周期，故 S30＝ 3 3 12＋22 42＋52 282＋292 2 2 2 ＋30 ＝ － 2 ＋3 ＋ － 2 ＋6 ＋ „ ＋ － 2
(2)并项求和法 数列 {an} 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列 并项法 时，运用_____________ 求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 裂项相消法 邻的项出现正负抵消的规律时，运用 _______________ 求和． (4)拆项求和 数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列 )的通项的代数和时，运用 拆项 _________________ 求和．
【解析】(1)a2＝2，a3＝6； (2)证明：由 an＋1＝Sn＋2n，n∈N*，得： n≥2 时，an＝Sn－1＋2(n－1)，n∈N*； 以上两式相减得：an＋1－an＝an＋2， 整 理 得 ： an ＋ 1 ＋ 2 ＝ 2(an ＋ 2) ， 即 bn ＋ 1 ＝ 2bn(n≥2)； b2 a2 ＋ 2 又 ＝ ＝2， b1 a1 ＋ 2 所以，数列 bn 是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列．
第32讲 数列求和
【学习目标】 1．掌握等差、等比数列求和． 2．掌握错位相减，裂项相消法求和． 3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转 化技巧，提升化归能力．
＝
【基础检测】 1．已知{an}是等比数列，a1＝1，S3＝7，求 S5 31或61 ．
【解析】S3＝1＋q＋q2＝7，q＝2 或－3，S5＝ 31 或 61，直接用公式求和．
2nπ 2nπ
2
2nπ
3 ．Leabharlann －sin2nπ
3
，
－sin 以 3 为周期，故 S30＝ 3 3 12＋22 42＋52 282＋292 2 2 2 ＋30 ＝ － 2 ＋3 ＋ － 2 ＋6 ＋ „ ＋ － 2
(2)并项求和法 数列 {an} 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列 并项法 时，运用_____________ 求其前 n 项和． (3)裂项相消 数列{an}满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相 裂项相消法 邻的项出现正负抵消的规律时，运用 _______________ 求和． (4)拆项求和 数列{an}满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等 差数列、等比数列、常数列 )的通项的代数和时，运用 拆项 _________________ 求和．
【解析】(1)a2＝2，a3＝6； (2)证明：由 an＋1＝Sn＋2n，n∈N*，得： n≥2 时，an＝Sn－1＋2(n－1)，n∈N*； 以上两式相减得：an＋1－an＝an＋2， 整 理 得 ： an ＋ 1 ＋ 2 ＝ 2(an ＋ 2) ， 即 bn ＋ 1 ＝ 2bn(n≥2)； b2 a2 ＋ 2 又 ＝ ＝2， b1 a1 ＋ 2 所以，数列 bn 是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列．
第32讲 数列求和
【学习目标】 1．掌握等差、等比数列求和． 2．掌握错位相减，裂项相消法求和． 3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转 化技巧，提升化归能力．
＝
【基础检测】 1．已知{an}是等比数列，a1＝1，S3＝7，求 S5 31或61 ．
【解析】S3＝1＋q＋q2＝7，q＝2 或－3，S5＝ 31 或 61，直接用公式求和．
中小学优质课件特殊数列求和课件.ppt
分析：此 数列为特殊数列，其前后两项关系也
不明确，但 通项的分母是两个因式之积，且两
题 数相差为整数1 若把通项作适当变形，则解法柳暗花明。
这就是我们今天要讲的特殊数列
解 求和的另一种方法：
裂项相消法
析
例2、求和 1
1
1
1
Sn
23
3 4
45
(n 1)(n 2)
例 题
解:
Q
an
(n
1 1)(n
片头
一、复习引入
1、等差数列的前n项和公式
Sn
(a1
an ) n 2
na1
n(n 1) 2
d
2、等比数列的前n项和公式
na1
(q 1)
Sn a1(1 qn ) a1 anq (q 1)
1 q
1 q
例1、求和
(x
1 ) (x2 y
1 y2
)
L
(xn
1 yn )
新 (x 0, x 1, y 1)
若仔细观察其通项公式
an
xn
1 yn
发现它是两个等比数列组成的和数列
故由此想到把它拆成两个等比数列，再分 别求和即可。
这就是我们今天要讲的第一种方法:
分离转化法
练习1、求和Sn (a 1) (a2 2) L (an n)
课提示：Sn (a a2 L an ) (1 2 L n) 分离成等比数列与等差数列之差，再分别
由等比与等差的前n项和公式求出即可
堂 1、当a=0时有： 练习 2、当a=1时有：
Sn
n2 2
n
Sn
n2 2
n
a(1 an )
1 n
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n为奇数 n为偶数
练习：已知数列an 满足a1 2, an an1 2n 3,
求数列an的前n项和Sn .
Sn
n2 n2
3n 2 3n
2
, n为偶数 6 , n为奇数
典型例题
例4. 求和：
(1)1 1 1 L
1
2n
1 2 1 23 1 2L n n 1
(2) 1 1 1 n 1 1
思考 : 求和: Sn
(x
1)2 x
(x2
1 x2
)2
(xn
1 xn
)2
提示:通过分析通项,分组选用公式求和,但要 注意分x≠±1和x=±1两种情况讨论.
练习:求下列各数列前n项的和Sn：
(1) 1 1 , 2 1 ,3 1 , 4 1，L
2 4 8 16
n2 n 2 1
Sn
2
2n
n2
1
,
3n 2
求数列an 的前n项和Sn
1.(1) n3n 5 ，(2) n ; 2. n 4n 1(n 2) 3n 1 2(n 2)
数列求和的方法之五:错位相减法
错位相减法:主要运用于等差数列与等比 数列的积.
例5.设数列an为 1,2 x,3x 2 ,4 x 3 L nx n1 L
用倒序相加法求其前n项和.
即：如果一个数列的前n项中，距首末两项“等 距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法 求数列的前n项和.
练习：已知函数f
x
1 4x
2
, 点P1
x1 ,
y1
,
P2
x2
,
y2
是函
数f
x 图象上任意两点，且线段P1P2的中点横坐标为
1， 2
求证：1 点P的纵坐标为定值.
2 在数列an中，若a1
2.已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和，
对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝log3an • log3 an1
前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn＜1.
3.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ n ， 3
∴an＝
1. 3n
(2)∵bn＝ n，∴bn＝n·3n. an
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n
③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1
④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即2Sn＝n·3n＋1－3(11--33n ，)
∴Sn＝ (2n 1)3n1 3 .
f
1 m
,
a2
f
2 m
,L
,
am1
f
m m
1
,
am
f
m m
,
m N*
, 求数列an
的前m项和Sm .
Sm
=
3m 12
1
数列求和的方法之二:分组求和法
分组法求和:将已知数列的每一项进行适当的 拆分后再分组，可组成几个等差数列或等比 数列，进行求和.
例2.求数列1, 11, 111, 1111，L 的前n项和.
1 x
当x
Sn 1时，Sn
1 1 nx n 1 x2
1 23 4L
nx L
n 1
n
n1
2
n
我也会做!
求和：
(1)1×2＋2×4＋3×8＋…＋n•2n= (n-1).2n1+2
(2)
1 2
3 4
5 8
7 16
K
2n 1 2n
3 (2n
3）• (1)n 2
能力提升
设{an}为等比数列,Tn＝na1+(n一1)a2+…+2an-1+an， 已知T1＝1，T2＝4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{Tn}的通项公式．
4
4
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n,
(1)求证:数列{an+2}为等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列
1 2 2 3
n n1
数列求和的方法之四:裂项相消法
裂项相消法求和：将数列的通项分解 成两项之差，从而在求和时产生相消 为零的项的求和方法.
1.求和：
(1) 1 + 1 3
1 24
1 L 35
1
nn 2
(2) 1 + 1 4
1 47
1 L 7 10
(3n
-
1
2) 3n
1
2.数列{an }通项公式为an
x 0,求此数列前n项和。
解：(错位相减法)
S n 1 2x 3x 2 4x3 L L nx n1
xSn
x 2x2 3x3 L L n 1xn1 nxn
1 xSn 1 x x 2 L L x n1 nx n
当x
1时，1
xSn
1 xn 1 x
nxn 1 1 nxn nxn1
: Sn
n
k2
k 1
1 n(n 1)(2n 1) 6
5.正整数立方和公式
: Sn
n
k3
k 1
n
( k)2
k 1
Hale Waihona Puke 1 n2 (n 1)2 4
数列求和的方法之一:倒序相加法
例1. 求和：
12
22
32
102
12 102 22 92 32 82 102 12 .
对某些前后具有对称性的数列，可运
(1)an 2n1 (2)Tn 2n1 n 2
高考题选：
1.等比数列{an }的前n项和为Sn ,已知对任意的n N , 点(n, Sn )在函数y bx r(b 0, b 1, b, r是常数)的图象上 (1)求r的值.
(2)当b=2时,记bn
=
n 1 4an
,求数列{bn
}的前n项和.
n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ n ，求数列{bn}的前n项和Sn.
an
【解析】(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n ①
3
∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n3-1 ②
①在－①②中得，令3nn－＝1an1＝，13得，aa1n＝＝13 3，1n.适合an＝31n，
(2) 1, 1 2, 1 2 4, L , 1 2 4 L 2n1,L
Sn 2n1 2 n
数列求和的方法之三:并项求和法
在数列中相邻两项或几项的和是同一常数 或有规律可循时，采用并项求和法.
例3.已知数列an的通项公式为an 1n 2n 1 ,
求其前n项和Sn .
Sn
=
n, n,
特殊数列求和
一.公式法 :
1.等差数列an的前n项和 :
Sn
n(a1 2
an )
na1
1 2
n(n 1)d.
2.等比数列前n项和: Sn
naa1(11 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
3.正整数数列的求和
: Sn
n
k
k 1
1 2
n(n 1)
4.正整数平方和公式