特殊数列求和ppt课件

思考 : 求和: Sn
(x
1)2 x
(x2
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1 x2
)2
(xn
1 xn
)2
提示:通过分析通项,分组选用公式求和,但要 注意分x≠±1和x=±1两种情况讨论.
练习:求下列各数列前n项的和Sn：
(1) 1 1 , 2 1 ,3 1 , 4 1，L
2 4 8 16
n2 n 2 1
Sn
2
2n
4
4
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n,
(1)求证:数列{an+2}为等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列
n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ n ，求数列{bn}的前n项和Sn.
an
【解析】(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n ①
3
∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n3-1 ②
①在－①②中得，令3nn－＝1an1＝，13得，aa1n＝＝13 3，1n.适合an＝31n，
用倒序相加法求其前n项和.
即：如果一个数列的前n项中，距首末两项“等 距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法 求数列的前n项和.
练习：已知函数f
x
1 4x
2
, 点P1
x1 ,
y1
,
P2
x2
,
y2
是函
数f
x 图象上任意两点，且线段P1P2的中点横坐标为
1， 2
求证：1 点P的纵坐标为定值.
2 在数列an中，若a1
(2) 1, 1 2, 1 2 4, L , 1 2 4 L 2n1,L
Sn 2n1 2 n
数列求和的方法之三:并项求和法
在数列中相邻两项或几项的和是同一常数 或有规律可循时，采用并项求和法.
例3.已知数列an的通项公式为an 1n 2n 1 ,
求其前n项和Sn .
Sn
=
n, n,
∴an＝
1. 3n
(2)∵bn＝ n，∴bn＝n·3n. an
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n
③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1
④
④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
即2Sn＝n·3n＋1－3(11--33n ，)
∴Sn＝ (2n 1)3n1 3 .
1 x
当x
Sn 1时，Sn
1 1 nx n 1 x2
1 23 4L
nx L
n 1
n
n1
2
n
我也会做!
求和：
(1)1×2＋2×4＋3×8＋…＋n•2n= (n-1).2n1+2
(2)
1 2
3 4
5 8
7 16
K
2n 1 2n
3 (2n
3）• (1)n 2
能力提升
设{an}为等比数列,Tn＝na1+(n一1)a2+…+2an-1+an， 已知T1＝1，T2＝4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{Tn}的通项公式．
特殊数列求和
一.公式法 :
1.等差数列an的前n项和 :
Sn
n(a1 2
an )
na1
1 2
n(n 1)d.
2.等比数列前n项和: Sn
naa1(11 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
3.正整数数列的求和
: Sn
n
k
k 1
1 2
n(n 1)
4.正整数平方和公式
n为奇数 n为偶数
练习：已知数列an 满足a1 2, an an1 2n 3,
求数列an的前n项和Sn .
Sn
n2 n2
3n 2 3n
2
, n为偶数 6 , n为奇数
典型例题
例4. 求和：
(1)1 1 1 L
1
2n
1 2 1 23 1 2L n n 1
(2) 1 1 1 n 1 1
1 2 2 3
n n1
数列求和的方法之四:裂项相消法
裂项相消法求和：将数列的通项分解 成两项之差，从而在求和时产生相消 为零的项的求和方法.
1.求和：
(1) 1 + 1 3
1 24
1 L 35
1
nn 2
(2) 1 + 1 4
1 47
1 L 7 10
(3n
-
1
2) 3n
1
2.数列{an }通项公式为an
2.已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和，
对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝log3an • log3 an1
前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn＜1.
3.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ n ， 3
(1)an 2n1 (2)Tn 2n1 n 2
高考题选：
1.等比数列{an }的前n项和为Sn ,已知对任意的n N , 点(n, Sn )在函数y bx r(b 0, b 1, b, r是常数)的图象上 (1)求r的值.
(2)当b=2时,记bn
=
n 1 4an
,求数列{bn
}的前n项和.
: Sn
n
k2
k 1
1 n(n 1)(2n 1) 6
5.正整数立方和公式
: Sn
n
k3
k 1
n
( k)2
k 1
1 n2 (n 1)2 4
数列求和的方法之一:倒序相加法
例1. 求和：
12
22
32
102
12 102 22 92 32 82 102 12 .
对某些前后具有对称性的数列，可运
n2
1
,
3n 2
求数列an 的前n项和Sn
1.(1) n3n 5 ，(2) n ; 2. n 4n 1(n 2) 3n 1 2(n 2)
数列求和的方法之五:错位相减法
错位相减法:主要运用于等差数列与等比 数列的积.
例5.设数列an为 1,2 x,3x 2 ,4 x 3 L nx n1 L
f
1 m
,
a2
f
2 m
,L
,
am1
f
m m
1
,
am
f
m m
,
m N*
, 求数列an
的前m项和Sm .
Sm
=
3m 12
1
数列求和的方法之二:分组求和法
分组法求和:将已知数列的每一项进行适当的 拆分后再分组，可组成几个等差数列或等比 数列，进行求和.
例2.求数列1, 11, 111, 1111，L 的前n项和.
x 0,求此数列前n项和。
解：(错位相减法)
S n 1 2x 3x 2 4x3 L L nx n1
xSn
x 2x2 3x3 L L n 1xn1 nxn
1 xSn 1 x x 2 L L x n1 nx n
当x
1时，1
xSn
1 xn 1 x
nxn 1 1 nxn nxn1