线段垂直平分线的性质

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线段垂直平分线的性质课件

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目录
• 线段垂直平分线的定义 • 线段垂直平分线的性质 • 线段垂直平分线的应用 • 线段垂直平分线的证明
01
线段垂直平分线的定义
定义
垂直平分线
过线段中点且垂直于线段所在直线的直线。
线段垂直平分线定理
线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
垂直平分设线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线与线段AB的交点为N。
2. 过M作直线ME⊥AB交AB于E点。
证明性质三
01
02
03
04
3. 在直角三角形AEN和BMN 中，由于∠AEN=∠BMN=90°
和MN是垂直平分线，所以 ∠AMN=∠BME。
4. 由于AM=BM，根据ASA 全等条件，得到 △AEN≌△BMN。
01
02
03
确定线段的中点
使用测量工具或计算中点坐标的方法确定线段的中点。
画垂直线
在确定的中点处，作垂直于线段所在直线的垂线。
连接端点
使用测量工具或计算坐标的方法，连接线段的两个端点到垂足。
垂直平分线的性质
距离性质
角平分线性质
垂直性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离
相等。
垂直平分线将角平分，即角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。
垂直平分线是垂直于线段所在直线的直线。
轴对称性质
垂直平分线是轴对称图形，关于垂直平分线对称的两点连线与垂直平
分线垂直。
02
线段垂直平分线的性质
性质一
总结词
线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
详细描述
这是线段垂直平分线最基本和重要的性质。如果一个点位于线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离必定相等。这一性质在几何学中有着广泛的应用，例如在解决与中点、距离和对称性相关的问题时。

线段垂直平分线定理知识总结

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线，所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50，即BE ＋EC ＋BC=50，所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27，所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

因为PA=PB ，所以∠A=∠B 。

又因为PC ⊥AB ，所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ，所以AC=BC 。

又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

线段垂直平分线的性质定理及逆定理

课堂小结
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等。
二、逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条
线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点到这
点P在线段条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两上
端点距离相等的所有点的集合
拓展题
布置作业
第1课时线段垂直平分线的性质定理及逆定理
学习目标
经历证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理的过程,并能够熟练运用此定理解题。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等。
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线上的点到这
点P在线段条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
三、线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合
1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 P
点P在线段
AB的垂直
?
平分线上
PA=PB
几何语言叙述:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端

垂直平分线的定义和性质

垂直平分线的定义和性质
一、垂直平分线的定义和性质
1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的
直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。

2、垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。

所以，中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。

二、垂直平分线例题
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点。

A.三个内角平分线ㅤㅤ
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线ㅤㅤ
D. 三条高
答案：B
解析：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选B。

《线段垂直平分线的性质》

在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如果一条直线经过线段两端点，并且与经过中点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂直平分线的性质。如果一条直线同时经过线段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和判定方法非常重要。

线段的垂直平分线的性质

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。

典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（）（A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分（D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。

57.线段垂直平分线的性质定理

线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
Hale Waihona Puke 例：如图，在△ABC 中,AB=5cm,AC=3cm， BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E,则 △ACD的周长为_____。
8cm
由于DE为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD，由此推出△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AB+AC ，即可求得△ACD的周长 ∵DE为BC的垂直平分线， ∴CD=BD, ∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB 而AC=3cm,AB=5cm, ∴△ACD的周长为3+5=8cm.
通过实际操作观察领会线段垂直平分线的定理的内容。
会用定理进行简单证明和计算。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
由线段垂直平分线的这一特性可以推出：
(1)线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
(2)三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
总结
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。根据此条性质可推出其它相关推论。
如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB 的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于____。
2cm
根据垂分线的推论可知：AN=BN。所以BN+NC=AN+NC=AC=3cm。所以 BC的长为： △BCN的周长-(BN+NC)=2cm。

线段的垂直平分线的性质

的直线垂直平分线段AB．其中正确的个C数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
E
∴ BD=AD
∵ C△BCD=BD+DC+BC
B
∴ C△BCD=AD+DC+BC
= AC+BC = 12+7=19
如图，△ABC和 △A'B'C' 关于直线MN对称，点A、 B、C分别是点A',B',C'的 A 对称点，线段AA'、BB'、 CC'与MN有什么关系？
M A′
P
点A，A′是对称点，设
C
C′
AA′交对称轴MN于点P， B
B′
将△ABC和 △A′B′C′沿直
线MN折叠后，点Ａ与Ａ′
N
重合，于是有：
ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0°
Ｐ
Ａ
Ｂ
Ｃ
l
几何语言： ∵ l ⊥ＡＢ ∴ＰＡ＝ＰＢ
反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的垂直平分线上呢？
若AP=BP ，则P在线段AB的垂直平分线上。
结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
线段垂直平分线的判定：
A D C
M
1.垂直平分线的定义：
P
∵MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB ， AD＝BD ；
2.垂直平分线的性质：
A
DB

13.1.2 线段垂直平分线的性质

M
不一定。仅有一点无法确定一条直线。 B

D M
C
问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？
只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， B D ∴ AC =CE．
C
E
课堂练习
练习2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ．于______ A
有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校
到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. 【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处. A C
B

变式训练：某地有两所大学M,N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。
P
A
C
B
N
6
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
几何语言: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 或
P
M
A
∵ MN⊥AB于C, AC=CB，点P在MN上
N
B
∴PA=PB
课堂练习
练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？

角平分线和线段垂直平分线的性质

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线是指一条线段与另一条线段垂直相交，并将其平分为两个相等的部分。

在几何学中，线段垂直平分线具有以下性质。

1. 垂直性质线段垂直平分线与线段之间的交点是该线段的中点，并且与之垂直相交。

根据这一性质，可以利用垂直平分线来构造垂直线段。

例如，考虑一个线段AB，如果用一条线段垂直平分线将其平分，并将交点命名为M，那么AM和MB是相等且互相垂直的线段。

2. 相等性质垂直平分线将线段平分为两个相等的部分。

也就是说，线段的两个部分的长度相等。

对于线段AB，如果经过其中点M画一条垂直平分线，那么AM和MB的长度将相等。

3. 对称性质垂直平分线可以将线段分成两个对称的部分。

考虑一个线段AB和其垂直平分线中点为M。

根据对称性质，在平面上可通过M作为中心，将线段AB旋转180度，从而得到以AM为半径的圆弧。

这个圆弧将会与线段AB相交于点B。

4. 三角形的性质在三角形中，如果一个线段垂直平分线同时垂直平分了三角形的底边和顶角，则该线段垂直平分线也是三角形高的线段。

例如，在直角三角形ABC中，如果线段DE是边AC的垂直平分线，同时也垂直平分角A，则线段DE也是三角形ABC的高。

这意味着高是直角三角形底边上的最短距离。

5. 直角性质当线段垂直平分线与线段组成一个直角时，可以得出线段垂直平分线所形成的两个部分是等腰直角三角形。

例如，在平面上，如果一条垂直平分线与线段所形成的角为90度，那么该垂直平分线将会将线段分成两个等腰直角三角形，其中每个直角的腰长等于线段的一半。

线段垂直平分线的性质在几何学中具有重要的应用。

它们为解决直角三角形、垂直线段和对称图形等问题提供了有力的基础。

通过理解和应用这些性质，我们可以更深入地理解和研究几何学中的各种问题。

13.5.2线段垂直平分线的性质和判定

P
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分线和角平分线的性质和判定

线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。

性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。

判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。

角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。

性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。

判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。

垂直平分线的定义和性质

垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。

垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。