高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版知识点分析
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高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
抽象函数的周期与对称轴
二. 教学重、难点
重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容
1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=
3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②
由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2
4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2
b
a x += 证：要证原结论成立，只需证)2
()2(x b
a f x
b a f -+=++
令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+
则)2
()2(x b a f x b a f -+=++
5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2
(b
a +为对称中心。
证：
方法一：要证原结论成立只需证)2
(
)2
(
x b a f x b a f -+-=++
令2
a
b x x -+
=代入)()(x b f x a f --=+
则)2
()2(
x b
a f x
b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2
(
b
a +的对称点),(00y x
b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ ∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'
【典型例题】
[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 （2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。 （3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。
（4）若)(x f 为单调增函数，则)(x
a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？ 解：（2）（3）
[例2] 若函数3
)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。
解：
R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称
而3
)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a ∴ 3
)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3
-=--=-+f f
[例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时
12)(-=x x f ，求当31≤ 解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T 设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x )()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=- ∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f ∴ 31≤ [例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有 2)(x x f =则 （1）)(x f 是周期函数且周期为2 （2）当]2,1[∈x 时，2 2)(x x x f -= （3）4 3 )5,2004(=-f 其中正确的是？ 解：（1）（2）（3） [例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时， c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(b f m =，)2 (c f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？ 解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴 ∴ 42-=-b ∴8=b 由13)4(-=-f ∴ 134 644-=-c ∴ 3=c ∴ )3 8(f m =，)23 (f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> [例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2, 0[π ∈x 时，x x f sin )(=求)35 (πf 的值。 解：2 33sin )3()3()3 2()3 2()3 5(===-==+=πππ ππππf f f f f [例7] 设)(x f y =定义在R 上，R n m ∈∀，有)()()(n f m f n m f ⋅=+且当0>x 时， 1)(0< （1）求证：1)0(=f 且当0