定解问题复习资料

定解问题复习
定解问题的导出步骤
➢ 确定物理量 :速度、位移、… ➢ 研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次
要矛盾） ➢ 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整
理→数学物理方程
定解条件
引入定解条件的必要性： 从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个
Tn
k=1,2,3…
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3…
泛定方程 边界条件 本征值 本征函数
Tn
k=1,2,3…
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3…
泛定方程 边界条件 本征值 本征函数
Yn
k=1,2,3…
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3
k=0,1,2,3…
其他边界条件 ：
1、衔接条件
背景：系统中出现跳跃点。
研究方法：具体问题具体分析，在跳跃点处寻 找连续条件。
2、自然边界条件
➢
边界值为有限的：
➢
周期边界条件 ：
二阶常系数齐次线性微分方程 及其解法：
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
特征方程
特征根
二 阶 1、有两个不相等的实根
常 系
特征根为
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值 (S为给定区域v 的边界) 第一类边界条件
(2) 绝热状态
第二类边界条件
(3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
交换系数； 周围介质的温度, 第三类边界条件
C、拉普拉斯方程的边界条件
【解】 由边界条件知特征值和特征函数
由叠加原理，一般解为 由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得
例题 研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端
跟外界绝热，杆上初始温度为
,试求无热源时细杆上
温度的变化。
【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件
于是得特征值和特征函数为
令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题
视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次边界条件，取
将 v(x, t) 代入原定解问题的边界条件，得
用
分
离
变
量
法
求定
解 定
解 问 题
解
问
题
的
步
骤
选择合 适的坐 标系
边界条件非齐 次转换为齐次
边界条件
非齐次方程， 齐次边界条件
特解法
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程，齐 次边界条件 分离变量法
齐次边界非齐次初始条件下非齐 次方程的解法：
齐次定解条件非齐次方程的解：
方程类型
Tn
通解
波动方程
称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件应 该完全描写初始时刻（t = 0 时）介质内部及边界上任意一 点的状况。
初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数
A、 波动方程的初始条件
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
输运方程
齐次边界非齐次初始条件非齐次方程 的解：
方程类型
Tn
波动方程
输运方程
泊松方程（特解法）
设定
Fra Baidu bibliotek
待求
18
非齐次边界条件的处理
一、一般处理方法
19
二、特殊处理方法
20
在圆形域求解 ：
圆域内： 圆域外：
1 长为 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。 电梯下降，当速度为 时突然停止，求解杆的振动。
5 有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的 一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直线上升， 求杆的温度分布。
例题 长为 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。 电梯下降，当速度为 时突然停止，求解杆的振动。
解：
I+II
25
例题 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自 由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动, 即定解问题
即 定解问题的特解为：
定解问题 定解问题
例题 解
有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆， 它的一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直 线上升，求杆的温度分布。
设杆长方向为 x 轴，x = l 端保持温度始终为零度， x = 0 端 温度随时间直线上升，比例系数为常数 c ，则定解问题为：
数 齐
齐次方程的通解为
次 2、有两个相等的实根
线
特征根为
性 微 齐次方程的通解为
分 3、有一对共轭复根
方
特征根为
程
的
解
： 齐次方程的通解为
齐次边界条件齐次方程的解
齐次边界条件 解1
偏
常微分方程1
微
分 分离 方 变量
程
常微分方程2
解2
本征解 解1×解2
初始条件
确定叠 加系数
通解＝ 本征解
泛定方程 边界条件 本征值 本征函数
2 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由 的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定
解问题
3
研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端 跟外界绝热，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上
温度的变化。
4 长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的 作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。
由叠加原理，得 确定系数 ,由初值条件知 于是
例题 长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。
解：
定解问题
令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题
不含初始条件，只含边界条件条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
或：
第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
第二类边界条件
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
或
第三类边界条件
性化物体的运动需要附加条件。
从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条 件来确定，这些附加的条件就是初始条件和边界 条件，统称为定解条件。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始 状态的条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界 上的约束情况的条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态