2014数理统计复习资料

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2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第二章随机变量及其概率分布

第二章随机变量及其概率分布1．离散型随机变量()01k K K KP X x p p ==≥⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 例1 设，则3.02.05.01=--=c2．常见离散型随机变量（1）0—1分布：设X ～),1(p B ，则应用背景：一次抽样中，某事件A 发生的次数X ～),1(p B ，其中EX X P A P p ====)1()(例2 设某射手的命中率为p ，X 为其一次射击中击中目标的次数，则X ～),1(p B（2）二项分布：设X ～),(p n B ，则()(1),0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=应用背景：n 次独立重复抽样中某事件A 发生的次数X ～),(p n B ，其中()p P A =为事件A 在一次抽样中发生的概率。

例３某射手的命中率为0.8，X 为其5次射击中命中目标的次数，则X 取的可能值为5,,1,0 ，52()0.80.2k k k P X k C -==，即X ～)8.0,5(B记住：若X ～),(p n B ，则np EX =,)1(p np DX -=（3）泊松（Poisson ）分布若(),0,1,2,!KP X k e k k λλ-===则称X 服从参数λ的泊松分布，且DX EX ==λ，记X ～)(λB ，0>λ应用背景：偶然性事件发生的次数X 一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。

另外，当Y ～),(p n B ，且n 很大，P 很小时，令np =λ，则()!kP Y k e k λλ-=≈例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算解：设X 表任取的1000件产品中的次品数，则X ～)005.0,100(B ，由于n 很大，p 很小，令5==np λ则（1）55551506151!15!051)1()0(1)2(------=--=--≈=-=-=≥e e e e e X P X P X P （2）5505(5)!kk P X e k -=≤≈∑3．随机变量的分布函数：X 的分布函数为)()(x X P X F ≤=，+∞<<∞-x)(x F 的性质：①1)(0≤≤x F②若21x x <，则0)()(12≥-x F x F③1)(,0)(=+∞=-∞F F④)()(b F b X P =≤，)(1)(),()()(b F b X P a f b F b X a P -=>-=≤<例5 设X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+=-0,00,)(x x be a x F x λ，其中0>λ，则______=a b=______. 解：由1)(=+∞F 知1=a （因为a be a F x x =+=+∞-+∞→)(lim )(λ）由0)(=-∞F ，及题设0≤x 时0)(=x F ，故0)1()()(lim 0=+=+=-→+b be a x F x x λ综上有⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ，即1,1-==b a例6 设X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F ,11,ln 1,0)(求 )5.22(),30(),2(≤<≤<≤X P X P X P解：2ln )2()2(==≤F X P101)0()3()30(=-=-=≤<F F X P25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤<F F X P4．连续型随机变量若((,))()b a P X a b f x dx ∈=⎰，其中b a <任意，则称X 为连续型随机变量。

概率论与数理统计期末考试复习资料

设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（2）连续型随机变量的分布密度
（3）离散与连续型随机变量的关系（4）分布函数
（5）八大分布
（1） pk 0 ，k 1,2,，（2） pk 1。 k 1
ba
f
(x)

b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
F (x) f (x)dx

1，
x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
P( A)
条件概
下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) P(AB) 。
P( A)
率
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式：P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有

2013-2014概率论与数理统计期末复习试题

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为( ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（），D （2Y-X+1）=（）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( );σ=( ). 6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：且X 与Y 相互独立。

则A=( ),B=( ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( ). 二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). 3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t =概率论与数理统计期末复习试题一参考答案一、填空题（每空2分，共20分）1、0 ；2、14/50 或7/25 ；3、81/130 ；4、1，17 ；5、5，4 ；6、0.35，0.35 ；7、X (n) 二、计算题（每题12分，共48分）1、解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P (6)(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P ………………………………12 2、解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以………………………4 （2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x (8)（3）⎰---==11)1(λλλe dx e F x (12)3、解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E ………………………4 （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E (8)（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D (12)4、解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ (6)（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ………………………12 三、解答题（12分）解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t (12)所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分. 四、综合题（每小题4分，共20分）解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1) (4)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它 (2)同理,23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它 (4)(3)因为:32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. ………………………4 (4)1133330013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰………………………2 124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ (3)3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- ………………………4 (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰………………………2 ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=- (3)22()DY EY EY =-12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-= (4)概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？3、已知随机变量X 的密度函数为01()2120xx p x Axx <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它(1)求A.（2）X 的分布函数)(x F .4、若X ，Y 为相互独立的分别服从]10[，上均匀分布的随机变量，试求Z X Y =+的分布密度函数.5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布),(2σμN ，现抽查了25天，得元，30=S 元，求职工每天医疗费均值μ的双侧0.95置信区间. 7、设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-otherx x x f ,010,)(1θθ 其中θ是未知参数，且0>θ。

2014概率论与数理统计9-数理统计4 [兼容模式]

数学基础课许述文副教授假设检验雷达信号处理国家重点实验室许述文作品前言FOREWORD统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。

在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。

例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望等于μ的假设等。

我们要根据样本对所提出的假设作出是接受还是拒绝的决策。

假设检验是作出这一决策的过程。

LOGO过渡页TRANSITION PAGE第一部分假设检验LOGO假设检验根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。

参数假设检验非参数假设检验LOGO参数假设检验让我们先看一个例子：罐装可乐的容量按标准为355毫升。

生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。

怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？LOGO通常的办法是进行抽样检查：如每隔1小时，抽查5罐，得到一个容量为5的子样（x1，…，x5）。

每隔一定时间，抽查若干罐。

如何根据这些值来判断生产是否正常？LOGO在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动。

这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位。

因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的。

μσX N(,)～2LOGOLOGO要检验的假设：0μμ=H 0：（= 355）0μ对立假设：H 1：0μμ≠称H 0为原假设（零假设）；称H 1为备择假设（对立假设）。

在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设。

LOGO如何判断原假设H 0是否成立？X 355-∴不应太大X μ∵为的无偏估计X 355-考虑对差异作定量的分析，以确定其性质：1.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差LOGO X 355 若较大合理的界限在何处？应由什么原则来确定？认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常。

这种差异称作“系统误差”2.LOGO带概率性质的反证法小概率事件在一次试验中基本上不会发生。

2014年自考概率论与数理统计冲刺串讲考前老师划重点

第一章随机事件及其概率1．事件的关系与运算必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。

不可能事件：φ一般事件A ：A φ⊂⊂Ω若A 、B 为两事件若B A ⊂，则其蕴含：“A 发生导致B 发生”。

若φ=⋂=B A AB ，这表示A 发生时，B 必不发生，反之亦然。

若 A-B=A ，则AB=φ；若 AB=A ，则B A ⊂；若A ∪B ＝A ，则B ⊂A 。

若n A A A ,,21为n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如1111,,n n n i i i i i i i i A A A A ∞=====等等。

例1 事件n i i A 1=发生等于“n A A A ,,21至少有1个发生”。

2．常用概率公式（1）1)(≤≤A P O ，1)(=ΩP ，0)(=φP（2）若B A ⊂，则)()(B P A P ≤（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃；当φ=AB ，则)()()(B P A P B A P +=⋃)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃（4）)(1)(A P A P -=（5）)()()(AB P A P B A P -=-（6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===ni i n i i A P A P 11)()(（7）若n A A A ,,21相互独立，则 )()()()(211n ni i A P A P A P A P ==)()()()(211n n i i A P A P A P A P ==例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P 则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P1.0)()()()(=-=-=AB P A P B A P B A P3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为的样本点个数的样本点个数Ω==A n r A P )( 例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P（1）无放回抽样：101)(2522==C C A P 53)(251312==C C C B P （2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次2)52()(=A P 1223()()()55P B C = ［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)52,2(B ，从而12122)521()52()2()(--===C X P A P4．条件概率（1）若0)(>B P ，则)()()(B P AB P B A P =，其中A 为任一事件。

数理统计复习资料

复习资料（资料总结，仅供参考）判断题1.研究人员测量了100例患者外周血的红细胞数，所得资料为计数资料。

X 2.统计分析包括统计描述和统计推断。

3.计量资料、计数资料和等级资料可根据分析需要相互转化。

4.均数总是大于中位数。

X 5.均数总是比标准差大。

X 6.变异系数的量纲和原量纲相同。

X 7.样本均数大时，标准差也一定会大。

X 8.样本量增大时，极差会增大。

9.若两样本均数比较的假设检验结果P 值远远小于0.01，则说明差异非常大。

X 10.对同一参数的估计，99%可信区间比90%可信区间好。

X 11.均数的标准误越小，则对总体均数的估计越精密。

12. 四个样本率做比较，2)3(05.02χχ> ，可认为各总体率均不相等。

X13.统计资料符合参数检验应用条件，但数据量很大，可以采用非参数方法进行初步分析。

14.对同一资料和同一研究目的，应用参数检验方法，所得出的结论更为可靠。

X 15.等级资料差别的假设检验只能采用秩和检验，而不能采用列联表χ2检验等检验方法X 。

16.非参数统计方法是用于检验总体中位数、极差等总体参数的方法。

X 17.剩余平方和SS 剩1=SS 剩2，则r 1必然等于r 2。

X 18.直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。

19.两变量关系越密切r 值越大。

X 20.一个绘制合理的统计图可直观的反映事物间的正确数量关系。

21.在一个统计表中，如果某处数字为“0”，就填“0”，如果数字暂缺则填“…”，如果该处没有数字，则不填。

X 22.备注不是统计表的必要组成部分，不必设专栏，必要时，可在表的下方加以说明。

23.散点图是描写原始观察值在各个对比组分布情况的图形，常用于例数不是很多的间断性分组资料的比较。

24.百分条图表示事物各组成部分在总体中所占比重，以长条的全长为100%，按资料的原始顺序依次进行绘制，其他置于最后。

X 25.用元参钩藤汤治疗80名高血压患者，服用半月后比服用前血压下降了2.8kPa ，故认为该药有效（ X ）。

2013~2014年全国自考概率论与数理统计试题及答案要点

全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)五、应用题(10分)全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)答案1、本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.2、解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂=== ，故选B.3、解：本题考查的是分布函数的性质。

由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。

所以答案为C 。

4、解：选A 。

{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 5、解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040.14d =--= ，故选D 。

6、解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。

7、解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+= ，选A8、解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= ，选C 。

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第四章随机变量的数字特征

EX = (−1) × + 1 ×
1 2
［注］： DX =
EX 2 − ( EX ) 2 是重要常用公式
1 + x, − 1 ≤ x < 0 例 5 设随机变量 X 具有概率密度 f ( x) = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 ，求 DX 0, 其他
解：因 f ( x) 是分段函数，故求 EX , EX 时也要随之分段积分
2
EX = ∫ xf ( x)dx = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx = 0
−∞ −1
+∞
0
1
0
EX 2 = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 (1 + x)dx + ∫ x 2 (1 − x)dx =
−∞ −1
0
+∞
0
1
1 6
于是 DX =
E ( X 2 ) − ( EX ) 2 =
=
0
2 3
2．单个随机变量函数的期望
设 X 为随机变量， y =
g ( x) 是普通函数，则 Y = g ( X ) 是随机变量，且
∑ g ( xi ) p ( X = xi ), 当X为离散型 * Eg ( X ) = i+∞ ∫ g ( x) f ( x)dx, 当X为连续型，且X具有密度f ( x) −∞
例6
设 ( X , Y) 分布律为
，Z =
g ( X , Y) = XY
则 E ( XY) = (0 × 0) P00 + (0 × 1) P01 + (1 × 0) P10 + (1 × 1) P11 = (1 × 1) P11 = 1 ×

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第五章大数定律与中心极限定理

=1
n
2
)，
为了便于查表近似计算，将
n
Xi 标准化（从而标准化后其近似分布 N (0,1) ） ∑ i
=1
X i − E ∑ X i ∑ X i − nµ ∑ i i i
=1 =1

n

n
D ∑ X i
i =1

n

=
=1
nσ
n ∑ X i − nµ 故上述随机变量的分布函数 Fn ( x) ≈ Φ ( x) ，即 P i =1 ≤ x ≈ Φ ( x) nσ
例1
计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量 X1 , X2 ," ，且都服从 ∪ (−0.5, 0.5) ，求 300
个数相加的误差总和的绝对值小于 10 的概率。解：易知第 i
300
个加数的误差
Xi 满足： Xi ～ ∪ (−0.5, 0.5) ， EXi = 0, DXi =
2
n ∑ X i − nµ i =1 lim P ≤ x = Φ ( x) ，其中 Φ ( x) 为标准正态分布函数 n →∞ nσ
［注］：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当 n 很大时
n
Xi 近似某正态分布 N ( µ , σ ∑ i
1 ，故 12
nµ = 0 D ∑ Xi = ∑ DXi = 300 ×
i =1
i =1
300

1 = 25 12
300 Xi − 0 ∑ 300 i =1 < 2 ≈ 2Φ(2) − 1 = 0.9544 故所 P ∑ Xi < 10 = P 1 i =1 300 × 12

非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率事件与集合论的对应关系表古典概型古典概型的前提是Ω={ω1, ω2,ω3,…, ωn,}, n为有限正整数，且每个样本点ωi出现的可能性相等。

例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。

[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|Ω|=43=64。

(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C433！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|= C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64 =9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。

[解]：p1=4C93=121, p2=C31C51+C32C93=314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A||Ω|几何概型前提是如果在某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。

若A⊂Ω，则P(A)=A的度量Ω的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。

[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤a-x-y≤a}。

而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，⎩⎪⎨⎪⎧a-x-y<x+yx<a-x-y+yy<a-x-y+x解得0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a 。

即G={(x,y)| 0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a }由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率P(A)=1/4。

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第三章多维随机变量及其概率分布

第三章多维随机变量及其概率分布1．二维随机变量),(Y X),(Y X 的分布函数),(),(y Y x X P y x F ≤≤=X 的分布函数),(),(lim )(1+∞==∞→x F y x F x F y Y 的分布函数),(),(lim )(2y F y x F y F x +∞==∞→ ),(lim 0),(lim y x F y x F y x -∞→-∞→==2．离散型),(Y X 的分布律ij P⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑i jij i i ij P y Y x X P P 10),( （与⎪⎩⎪⎨⎧=≥∑K K K P P 10比较） ∑===jij i i P x X P P )(∑===iij i j P y Y P P )(例１设),(Y X 的分布律为求（1）?=a（2）)0(=X P（3）)2(≤Y P（4）)2,1(≤<Y X P（5）)(Y X P =解：（1）由1=∑∑i j ij P知∑∑==+++++=1031131211030201)(i j ij P P P P P P P 125.025.03.01.01.0=+++++=a 解得0=a（2）300102031(0)0.10.10.30.5j j P X PP P P ====++=++=∑（3）∑∑==+=+==+==≤10210121)2()1()2(i i i i P P P P Y P Y P Y P 45.0)01.0()25.01.0(=+++=（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201=+=+===+===≤==≤<P P Y X P Y X P Y X P Y X P（5）25.0)(11===P Y X P3．连续型),(Y X 的分布密度设D 为平面上的区域，),(y x f 为),(Y X 的分布密度，则其满足：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰⎰∞+∞-∞+∞-1),(0),(dxdy y x f y x f dxdy y x f D Y X P D⎰⎰=∈),()),((特别，⎰⎰∞-∞-=≤≤=x ydudv v u f y Y x X P y x F ),(),(),(),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 若X ，Y 相互独立，则有)()(),(21y F x F y x F ⋅=，)()(),(21y f x f y x f ⋅=，其中)(),(11x f x F 分别为X 的边缘分布函数和分布密度，)(),(22y f y F 分别为Y 的边缘分布函数和分布密度。

概率论与数理统计期末考试复习资料

f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a,ｂ］上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
F (x) f (x)dx
1，
x>b。
当 a≤x1<ｘ２≤b 时，X 落在区间（x1, x2 )内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
(2)
pk
1。
k 1
(2）连续设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意
型随机实数x ，有
变量的分布密度
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质:
设随机变量 X 的分布律为
P( X k) k e ， 0 ,k 0,1,2,
k!
则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布,记为
X ~ () 或者Ｐ( )。
泊松分布为二项分布的极限分布(ｎp=λ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
•
C
nk N M
,
k
0,1,2, l
C
n N
l min(M , n)
A=Ｂ。
（６） A、B 中至少有一个发生的事件:A Ｂ,或者 A+B。
事件的属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与Ｂ的差，记为Ａ-B,
关系与也可表示为Ａ-AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。运算 A、B 同时发生：Ａ B,或者ＡＢ。A Ｂ=Ø,则表示 A 与Ｂ不可能同时

2014概率论与数理统计7-数理统计2 [兼容模式]

数学基础课许述文副教授数理统计de基本概念雷达信号处理国家重点实验室许述文作品LOGO前言FOREWORD 关键词•KEYWORD个体总体样本统计量随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。

概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。

但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。

LOGO例如：某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；LOGOLOGO例如：电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；例如：产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是未知的；数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。

LOGO学习的基本内容FOREWORD从第本章开始，我们学习数理统计的基础知识。

主要有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.本章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。

LOGO过渡页TRANSITION PAGE第一部分随机样本◆总体和样本◆小结LOGOLOGO一个统计问题总有它明确的研究对象.1、总体与个体…研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体，总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体中每个成员称为个体总体有限总体无限总体⎪⎩⎪⎨⎧总体我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量…) .由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X，因此随机变量X的分布就是该数量指标在总体中的分布.总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.LOGOLOGO例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X 表示，或用其分布函数F (x )表示.某批灯泡的寿命总体寿命X 可用一概率（指数）分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X 或总体F (x ) .体寿命总体是指数分布总LOGO 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X ,Y )或其联合分布函数F (x ,y )来表示.统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个随机变量(向量)或一个概率分布.总体中抽出若干个体而成的集体,称为样本。

数理统计自考复习资料

复习资料（资料总结，仅供参考）判断题1.研究人员测量了100例患者外周血的红细胞数，所得资料为计数资料。

X 2.统计分析包括统计描述和统计推断。

3.计量资料、计数资料和等级资料可根据分析需要相互转化。

4.均数总是大于中位数。

X 5.均数总是比标准差大。

X 6.变异系数的量纲和原量纲相同。

X 7.样本均数大时，标准差也一定会大。

X 8.样本量增大时，极差会增大。

9.若两样本均数比较的假设检验结果P 值远远小于0.01，则说明差异非常大。

X 10.对同一参数的估计，99%可信区间比90%可信区间好。

X 11.均数的标准误越小，则对总体均数的估计越精密。

12. 四个样本率做比较，2)3(05.02χχ> ，可认为各总体率均不相等。

X 13.统计资料符合参数检验应用条件，但数据量很大，可以采用非参数方法进行初步分析。

14.对同一资料和同一研究目的，应用参数检验方法，所得出的结论更为可靠。

X 15.等级资料差别的假设检验只能采用秩和检验，而不能采用列联表χ2检验等检验方法X 。

16.非参数统计方法是用于检验总体中位数、极差等总体参数的方法。

X 17.剩余平方和SS 剩1=SS 剩2，则r 1必然等于r 2。

X 18.直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。

19.两变量关系越密切r 值越大。

X 20.一个绘制合理的统计图可直观的反映事物间的正确数量关系。

21.在一个统计表中，如果某处数字为“0”，就填“0”，如果数字暂缺则填“…”，如果该处没有数字，则不填。

X 22.备注不是统计表的必要组成部分，不必设专栏，必要时，可在表的下方加以说明。

23.散点图是描写原始观察值在各个对比组分布情况的图形，常用于例数不是很多的间断性分组资料的比较。

24.百分条图表示事物各组成部分在总体中所占比重，以长条的全长为100%，按资料的原始顺序依次进行绘制，其他置于最后。

2014年春季学期统计学课程期末复习提纲

2014年春季学期经济类专业统计学课程期末复习提纲一、复习方法指导和总体要求1、以视频教学课件和教材为主进行复习，但鉴于内容较多，请大家对复习提纲涉及到的内容重点准备。

2、认真独立地完成作业。

3、利用好课程论坛和语音答疑，多听多问。

二、参考资料参考资料分为四个部分：1、复习提纲和语音答疑时的期末串讲。

复习提纲和期末串讲是我们进行期末复习最重要的参考资料，因为无论是老师上课的讲义还是课本上的内容都是非常庞大而且复杂，所以我们在复习提纲中作了精简并且对重点作了提示。

2、视频教学课件和教材。

请到北大继续教育学院网站收听视频教学课件，教材是北京大学出版社李心愉编著的《应用经济统计学》第二版。

虽然第二版教材有很多改动，但它和第一版的内容基本相同。

另外，视频课件是同学们主要的学习工具，主讲老师会详细认真地讲解每一章。

但主讲老师使用的是第一版教材，所以在听课件时，会出现页码对不上的问题，希望同学们克服一下。

其中，第八章方差分析、第九章分类资料分析和第十三章统计决策，主讲老师没有讲，同学们可以根据已学过的知识自行完成这三章内容的学习，但这三章不在考试范围之内。

3、平时作业。

平时作业的习题或类似题型很有可能会在期末考试中出现，因此希望大家高度重视作业，弄懂每一道题。

4、语音答疑。

我会在语音答疑时针对章节中的重点和难点给大家做详细的讲解，因此大家可通过听语音答疑的录音材料去理解课本中的一些关键和困难的知识点。

三、试卷介绍1、考试范围：《应用经济统计学》除第八章（方差分析）、第九章（分类资料分析）和第十三章（统计决策）以外的所有章节。

2、满分100分，考试时间90分钟。

3、开卷考试，允许使用计算器。

4、题型：一、填空题；二、计算题。

四、各章节知识点第一章、导言1、统计学的概念（课本第2页）（掌握）统计学是一门对群体现象的数量特征进行计算描述和分析推论的科学。

2、统计学的三个核心要点（课本第2—3页）（了解）3、总体和样本的概念（课本第2、9页）（掌握）总体指调查者研究对象的集合。

2014年同济大学应用统计第一章数理统计的基本概念

2
n
n 1 2 ，（ 2） E ( S ) n
2
（ 3） E ( S )
*2
2
B (1, p )
期望 E(X)
P ( )
R ( a, b)
E ( )
N ( , 2 )
p p(1 p)

ab 2
(b a ) 2 12
ab 2
1

1
2

方差 D(X) 样本均值的期望 E ( X ) 样本均值的方差 D ( X )
所以我们希望从客观存在的总体中按一定原则选取一些个体（即抽样），通过对这些个体作观察或测试来推断关于总体分布中的某些量（例如总体的参数、均值、方差、中位数等）. 这些抽取的个体便称为取自总体的一个样本，这些个体的观测值称为样本观测值.
在试验前，样本的取值是不确定的，为了体现随机性，在数理统计中样本记作（ X 1 , X 2 ,, X n ），事实上是 n 维随机变量.样本可能取值的全体称为样本空间；n 为样本大小，称为样本容量. 抽样以后通过试验或观测得到的数值称为样本观测值，记作 ( x1 , , x n ) ，事实上是样本空间的一个点
1 n 2 ( X X ) 修正的样本方差 S i n 1 i 1
*2
常用的统计量
（3）样本的 K 阶原点矩
1 n k Ak ＝ X i n i 1
（4）样本的 K 阶中心矩
(A1 X )
1 n k 2 M k ＝ ( X i X ) (M 2 S ) n i 1
总体指标 X ： X ~ f ( x, ) 或 f ( x)
X :离散型随机变量,
f ( x, ) ˆ P ( X x) 即为总体 X 的概率函数

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